Dokumen ini membahas model getaran atom dalam kisi monoatomik dan diatomik satu dimensi menggunakan hukum Hooke dan hukum Newton. Diperkenalkan modal normal, kecepatan fase, dan kecepatan grup serta frekuensi sudut dalam konteks gelombang di kristal. Analisis juga mencakup cabang akustik dan optik serta celah frekuensi dalam kisi tiga dimensi.

1. Kelompok 4
Akhmad herianto
Isra vivision
Paulina nelce mole
Zefry A. ferdyansah

2. Kisi Monoatomik Satu Dimensi
Us-
1
Us Us+
1
Us+
2
Us+
3
Us+
4 K
Andaikan interaksi atom hanya terjadi antar tetangga terdekat, gaya
yang bekerja mengikuti hukum hooke (pendekatan harmonic) dengan
konstanta gaya α, dan massa setiap atom, maka sesuai dengan hukum
newton persamaan gerak atom ke-L adalah
푚 .
휕²
휕푡²
= 훹푙 = −훼 훹푙 − 훹 ( −훼 훹 − 훹 = −훼( 2훹 − 훹 − 훹)
(2.36)

3. Kisi di atas mempunyai simetri translasi. Oleh sebab
itu diambil bentuk solusi
Persamaan (2.37) menunjukkan bahwa semua
atom bergetar dengan frekuensi sama. Getaran yang
demikian disebut getaran modus normal. Substitusi
(2.37) kedalam persamaan (2.36) yang menghasilkan :
휔 = 휔ₒ 푠푖푛
푘푎
2
(2.38)

5. Pada daerah k<</a atau 2a<< (panjang gelombang jauh lebih besar
dari pada jarak antar atom) kecepatan fasa dan kecepatan group adalah
sama, di mana 2a << dinamakan batas gelombang panjang.
Panjang gelombang terpendek bagi gelombang dalam kristal linier yang
masih mempunyai makna fisis adalah pada =2a, dengan a adalah jarak
antara atom terdekat di dalam kristal pada kedudukan kesetimbangnya.
=2a adalah sesuai dengan harga k=/a. Daerah antara -/ak/a
dinamakan daerah Billouin pertama. Derah ini merepresentasikan
semua gelombang yang masih bermakna fisis di dalam kristal.
Kasus dimana k=/a disebut juga sebagai kondisi refleksi Bragg. Pada
kasus ini atom yang bertetangga bergetar dengan fase yang berlawanan,
sebagaimana dengan gelombang tegak.
Untuk k=0 yang mana sesuai dengan  = ~, menunjukkan bahwa semua
atom atom secara bersamaan bergerak ke satu arah tertentu atau
bertranslasi sebagai satu kesatuan.

6. Kisi diatomik satu dimensi
a a
(2r-2) (2r-1) 2r (2r+1) (2r+2)
Model ini terdiri dari dua jenis atom,masing-masing bermassaM1 pada
koordinat ganjil dan M2 pada koordinat genap jarak setimbang atom
bertetangga sebesar a. Asumsi yang di gunakan sama dengan bahasan
kisi monoatomik.persamaan gerak untuk masing-masing massa

7. Diambil solusi berbentuk
훹2푙
+
1
= A1푒푖 푘푎 2푙+1 −훼푥
훹2푙
+
2
= A2푒푖[푘푎 2푙+1 −훼푥]
Subtitusi bentuk solusi (2.45) ke dalam persamaan (2.44)
menghasilkan dua Persamaan yang ekivalen persamaan matrik
2훼−푀1
ω
2 −2훼 cos(푘푎)
−2훼 cos 푘푎 2훼−푀2
ω2
퐴1
퐴2
= 0

8. Solusi nontrivial persamaan homogen (2.46) ada hanya jika
harga determinan matrik sama dengan nol.oleh karena itu
persamaan sekularnya
Memberikansolusiuntuk 휔2,yakni
휔2
1,2 = 훼
1−
푀1
+
1
푀2
± 훼
1−
푀1 +
1
푀2
2 −
4 sin 2 푘푎
푀1푀2
1/2
2훼−푀1
ω2 −2훼 cos 푘푎
−2훼 cos 푘푎 2훼−푀2
ω2
= 0

9. Frekuensi Sudut ω
1
2 = 2/M
2
2 = 2/m
1 1
2 3    
m M
(-/2a) 0 (-/2a)
Gelombang vector k

10. Modus Optik
Modus Akustik
Cabang bagian bawah adalah bagian negatifnya. Cabang ini disebut dengan cabang
akustik.
Cabang bagian atas adalah bagian positifnya . Cabang ini disebut dengan cabang
optik

11. Kisi Tiga Dimensi
Misalnya, terdapatkisibravaistigadimensidengansatu atom perselsatuan.
Diandaikanbentuksolusigelombang yang merambatdalamkristal
훹 푛 = 퐴 푒푖(푘.푟−휔푡)
Vektoramplitudo퐴 menunjukkanarahgetaran atom yang
sesuaidenganpolarisasigelombang ( longitudinal, transversal ataukeduanya).
Subtitusisolusi (2.51)
kedalampersamaangerakmenghasilkanperangkattigapersamaan yang
melibatkan퐴푥 , 퐴푦dan퐴푧sehinggadiperolehpersamaan
sekulardengandeterminanmatrik 3x3 akhirnyadiperoleh 3
buahharga휔2 푦angsemuanyamelaluititikasal k = 0 (cabangakustik).

12. Tanda± menyebabkanterdapatduahubunga
ndispersi, yang masing-masingkurvanya,
denganasumsi M1<
M2.
Kurvabawah, bersesuaiandengantanda
minus, dinamakancabangakustik.
Kurvainimemilikicirisamadengankisimonoa
tomik. Sedangkankurva di
atasdinamakancabangoptik.
Variasicabanginitidakbegitubesarsehinggase
ringdianggaptetap.
Padagambar di
atasterdapatdaerahtanpagetaran,
yaitudaerahfrekuensiantara
(2훼/M1)1/2sampai (2훼/M2)1/2. Daerah
terlarangini,
dimanakisitidakdapatmentransmisikangelo
mbang,
disebutcelahfrekuensi,olehkarenaitukisidiat
omikberperansebagai filter mekaniklolos
pita.

13. Perbedaandinamikagetaranantarakeduacaba
ng di atasdapat di
pelajaridariperbandinganamplitudo A1/A2
padanilai K=0 (atau 휆 =
∞) 푐푎푏푎푛푔 푎푘푢푠푡푖푘. subtitusi휔1 =
0 kedalampersamaanmatrik (2.46)
menghasilkanungkapan
A1=A2
Hal iniberartidua atom dalamsel,
ataumolekulmempunyaiamplitudodanfasa
yang sama.
Keseluruhankisibergetarsepertibendategar,
denganpusatmassabergerakbolak-balik,

14. Cabangoptik subtitusi 휔2= 2훼
1−
푀1 +