Dokumen ini membahas tentang dinamika getaran dalam kristal padat. Secara ringkas: Pertama, dibahas tentang getaran elastik dan moda rapat dalam kristal. Kedua, dibahas tentang kuantisasi energi getaran menurut hukum ekipartisi dan model Einstein. Ketiga, dibahas model Debye tentang hubungan antara kapasitas panas dan suhu, yang sesuai dengan hasil pengamatan.

1. DINAMIKA KISI KRISTAL
(Getaran Dalam Zat Padat)
Oleh :
Ifatul Laili Sa’adah
Wiwin Susiati
Astuti Abdul Gani
Maria Lourdes S. Amaral

2. A. Getaran Elastik dan Rapat Moda
Getar
• Padatan terdiri dari atom-atom yang diskrit.
Atom tidaklah diam, tetapi berosilasi di sekitar
titik setimbangnya sebagai akibat adanya energi
termal.
• Gelombang elastik : gelombang yang merambat
mempunyai panjang gelombang yang jauh lebih
besar dari pada jarak antar atomnya, sifat atomik
dapat diabaikan dan padatan dapat dianggap
sebagai medium kontinu.

3. • Misalnya gelombang suara (bunyi) elastik longitudinal
merambat dalam suatu bidang isotropik, menurut hukum
Newton mempunyai persamaan gerak:
• 휌퐴푑푥
휕2푢
푑푡2 = 푆 푥 + 푑푥 − 푆(푥) 퐴
• Dimana u adalah simpangan terhadap titik setimbang dan S
adalah tekanan.
• Rengangan dan tekanan S dihubungkan oleh hukum Hooke.
푆 = 푌푢
• Bagian terkecilnya adalah : Δ푆 = 푆 푥 + 푑푥 − 푆 =
휕푆
휕푥
푑푥
• sehingga persamaan gelombang 1 menjadi :
휕2푢
푑푥2 =
휌휕2푢
푌푑푡2

4. • Solusi berbentuk propagasi Gelombang bidang :
푈 = 퐴0푒푖(푘푥−휔푡)
• Dimana masing-masing Ao, k, ω adalah amplitudo, bilangan
gelombang, dan frekuensi radial gelombang. 휕2푢
푑푥2 =
휌휕2푢
푌푑푡2
• Disubsitusikan pada persamaan gelombang
sehingga menjadi 휔 = 푉푠푘 dengan 푉푠 =
푌
푝
1/2

0
=vs k
k
Gb. Kurva dispersi gelombang elastik

5. 푈 = 퐴0푒푖(푘푥)

6. • Karena rapat keadaan tergantung pada hubungan dispersi
푑휔
푑푘
= 푣푠 maka 푔휔 =
퐿
휋
1
푣푠
• Bahasan tiga dimensi kubik dengan rusuk L memberikan
syarat bahwa 푒푖(푘푥퐿+푘푦퐿+푘푧퐿) = 1 maka 푘푥 , 푘푦 , 푘푧 =
푛
2휋
퐿
, 푚
2휋
퐿
, 푙(
2휋
퐿
)
• ruang k menunjukkanbahwasebuahtitikmempunyai volume
(2π/L)3
• Semuamodagetardengan vector gelombangantara k dan (k +
dk) terletak dalam elemen volume 4πk2dk yang dibataskan
oleh bola berjari-jari k dan (k + dk).

7. • Sehingga 푑푁 =
4휋푘2푑푘
2휋/퐿 3 = 푉
푘2
2휋2 푑푘 dengan V=L3
• 푔휔 dihubungkan dengan dipersi linier maka : 푔휔 =
푉
2휋2
휔2
푣푠
3
• Dalam tiga dimensi nilai 푘 mengandung satu moda
longitudinal dan dua moda transfersal sehingga hubungan
dispersinya yaitu : 푔휔 = 푉
휔2
2휋2
1
푣퐿
3 +
1
푣푇
3
• Jika 푣퐿 = 푣푇 maka persamaannya adalah 푔휔 =
3푉
2휋2
휔2
푣푠
3

8. B. Kuantisasi Energi Getaran dalam Zat Padat
Hukum ekuipartisi menyatakan bahwa besaran fisis energi yang
besarnya berbanding lurus dengan kuadrat jarak atau
momentum, maka untuk setiap derajat kebebasan pada suhu T
memiliki energi yang sama, yaitu ½ k0T, dengan k0 adalah
konstanta Boltzmann.
Hal ini berarti energi kinetik setiap atom gas memiliki energy ½
k0T. gas monoatomik memiliki 3 derajat kebebasan, sehingga
pada suhu T energi dalam untuk gas sebanyak 1 kilomol adalah;
푈 = 푁퐴
3
2
푘0푇 = (
3
2
)RT

9. • sehingga kapasitas panas pada volume konstan 퐶푉 =
휕푈
휕푇 푉
=
3
2푅
CV= 12.47 J/0K kmol →He dan Ar pada suhu kamar.
• Memiliki energi potensial atom dalam gerak
harmoniknya,sehingga energi total system atom dalam Kristal
menurut hukum ekipartisi:푈 = 푁퐴
3
2
푘표푇 +
3
2
푘표푇 = 3푅푇
sehingga 퐶푉 =
휕푈
휕푇 푉
= 3푅
• Menurut eksperimen menunjukkan bahwa nilai 퐶푉 menurun
jika T menurun, dan T mendekati nol apabila T menuju 0 K.

10. C. Model Eintein tentang 푪푽 zat padat
Model Einstein tentang getaran kisi mengambil andaian sebagai
berikut:
• Atom Kristal merupakan osilator independen yang masing-masing
memiliki frekuensi sama energy diskrit.
휀푛 = 푛ℏ휔 dengan n=0,1,2,3,....
• Sebaran energi osilator pada harga energy yang
diperbolehkan mengikuti distribusi Boltzmann
푓 휀푛 = 푒−휀푛 푘표푇
Jika disubstitusikan dua persamaan diatas maka :
휀 =
ℏ휔
푒ℏ휔 푘표푇−1

11. klasik
kuantum
ℇ
0 T
Gb. Perbandingan energi kuantum rata-rata osilator dan energi
klasik kristal untuk satu derajat kebebasan

12. • Apabila zat padat sebanyak 1 kmol dan setiap atom mempunyi 3
derajat kebebasan maka energi totalnya 퐸 = 3푁퐴 ℇ=3ℏ휔푁퐸
퐴
푒ℏ휔퐸/푘0푇−1 dimana 휔퐸 adalah frekuensi einstein
• Kapasitaspanaspada volume konstan퐶푉 =
휕퐸
휕푇 푉
=
3푅
휃퐸
푇
2 푒휃퐸 푇
푒휃퐸 푇−1
2
Dimana θE = (ħωE/ko) adalah suatu karakteristik Einstein.
Ungkapan CV di atas menunjukkan hal-hal sebagai berikut:
• Pada suhu yang sangat tinggi, dimana T >>θE, bentuk 푒휃퐸/푇dapat
diekspansikan dalam deret pangkat θE/T, sehingga menghasilkan
퐶푉≅ 3푅 seperti hasil teori klasik.
• Pada suhu yang sangat rendah, dimana T <<θE, bentuk 푒휃퐸/푇 jauh
lebih besar dari pada satu (1), sehingga퐶푉 ≅ 3푅
휃퐸
푇
2
푒−휃퐸/푇

13. • Fungsi ini terus berkurang sehingga mendekati nol dengan
cepat sekali, yakni secara eksponensial. Jadi CV 0 saat T 
0. Hal ini sesuai dengan eksperimen.
• Saat mendekati nol mutlak, penurunan CV model Einstein
yang secara eksponensial di atas ternyata jauh lebih cepat
daripada yang terjadi secara eksperimen, yakni CV ~ T3. Hal
ini merupakan kelemahan yang mendasar model Einstein.
• Kesimpulan yang dapat ditarik dari model Einstein adalah
sebagai berikut:
a. Pada suhu tinggi, osilator tereksitasi sempurna yang
memerlukan energi rata-rata sebesar koT, sehingga 퐶푉 ≅
3푅.
b. Pada suhu rendah, osilator membeku (tidak berosilasi)
dalam tingkat dasar sehingga CV = 0.

14. D. Model Debye Tentang Cv Zat Padat
Debye memodelkan getaran kisi dengan mengambil anggapan
sebagai berikut:
1. Atom Kristal merupakan osilator yang berkaitan erat satu
sama lain, dengan daerah frekuensi ω = 0 sampai suatu
frekuensi maksimum ωD yang ditentukan oleh jumlah moda
getar yang diperkenankan. Dengan demikian pada Kristal
terjadi gerakan kisi secara keseluruhan sehingga terdapat
moda kisi bersama.
2. Gelombang suara dalam padatan merupakan contoh moda
bersama. Oleh karena itu moda kisi mempunyai hubungan
dispersi linier kontinu persamaan dan persamaan rapat
kedaan yang sama dengan bahasan gelombang elastik.

15. • Setiap modus getaran merupakan osilator harmonik tunggal
ekivalen yang mempunyai energi rata-rata seperti osilator
model eisntein. Oleh karena itu energi total getaran seluruh
kisi adalah:
• E = ε ω g ω dω =
3V
2π2vs
3 ω2 ℏω
eℏω/koT dω
• Frekuensi batas bawah tentunya adalah ω = 0. Sedangkan
atas yang ditetapkan oleh Debye dengan batasan bahwa
jumlah derajat kebebasan untuk keseluruhan padatan,
sehingga:
ωD • g ω dω = 3NA
0
• Dimana frekuensi atas ωD disebut frekuensi Debye.

16. • Hasil integrasi di atas, setelah mensubtitusikan persamaan 푔휔 =
3푉
2휋2
휔2
푣푠
3 memberikan nilai ωD = vs 6π2n 1/3 dimana n = NA / V
adalah konsentrasi atom dalam padatan.
• Energi total dapat dituliskan kembali menjadi:
E =
3V
2π2vs
3
ωD ℏω
0
eℏω/koT dω
Dan kapasitas panas pada volume konstan
CV =
휕U
휕T
V
=
3V
2π2vs
3
ℏ3
koT2
ωD
0
ω4eℏω/koT
(eℏω/koT−1)2 dω
• Apabila x = (ħω/koT) dan suhu Debye didefinisikan sebagai θD =
(ħω/koT), maka persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk
CV = 9R
T
θD
3
θD/T
0
x4ex
ex − 1 2 dx

17. • Ungkapan CV di atas menunjukkan hal-hal sebagai berikut:
a. Pada suhu tinggi, T >>θD, di dapatkan CV ≅ 3R yang sesuai
dengan hukum Dulong-Petit. Dalam keadaan demikian,
setiap moda getar tereksitasi penuh, dan memiliki energi
klasik rata-rata ε = koT.
b. Pada suhu rendah, T <<θD, dengan menggunakan
hubungan analitik ~ x4ex
0
ex−1 2 dx =
4
15
π2 didapatkan CV=
12π2
5
R
T
θD
3
Kebergantungan CV terhadap T3 ini sesuai dengan hasil
pengamatan. Dalam keadaan demikian, hanya sedikit moda
getar tereksitasi yakni moda getar yang memiliki energi
kuantum ħω.

18. TERIMA KASIH