для студентів 1-го курсу спеціальностей "Бухгалтерський облік", "Лісозаготівля та первинна обробка деревини", "Лісове господарство"

1. Ю. Марчук Курс лекцій з математики
КОРІНЬ n-ГО СТЕПЕНЯ.
У курсі алгебри розглядалось поняття квадратного кореня з невідємного числа. Узагальнимо це
поняття, визначивши поняття кореня з довільним натуральним показником, більшим від 1.
Як відомо, квадратним коренем з числа а називають число, квадрат якого дорівнює а. Аналогічно
визначається поняття кореня довільного натурального степеня п з числа а.
Коренем п-го степеня (n N, n 1) з числа а називається число, п-й степінь якого дорівнює а.
Запис: п
а
- радикал;
п – показник кореня;
а – підкореневий вираз.
Розвязання коренів
− При парному п існує два корені п-го степеня з будь-якого додатного числа а. п а = ±
с
− Корінь п-го степеня з числа 0 дорівнює нулю. п
0 = 0
− Коренів парного степеня з відємних чисел не існує.
− При непарному п існує корінь п-го степеня з будь-якого числа а, і тільки один. п
а =
b Властивості кореня п-го степеня (n N, m Z)
1) a b = a b, a 0, b 0 n n n
a
a
n
2) = , a 0, b 0
b
b
n
n
3) n m = n
m
a a , a
0 4) n a = n m am , m 0 - основна властивість кореня
m
5) n m ( n
a = a ) , a 0
6) Якщо 0 а b, то n n a b
СТЕПЕНІ З РАЦІОНАЛЬНИМИ ПОКАЗНИКАМИ, ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ
З курсу алгебри відомо, що степінь з натуральним показником обчислюється за формулою:
an = a a a ... a
1442443
n разів
Розглянемо випадок, коли показник степеня є раціональним числом.
Відомо, що раціональне число можна записати у вигляді
m
, де т Z, п N.
n
m
n
r
, Q, =
a r r
Степенем числа а 0 з раціональним показником
m
r = , де т Z, п N (п 1),
n
називається число n m
a .
m
n m n
a = a
Властивості степеня з раціональним показником
Для будь-яких rQ і sQ, та будь-яких a0, b0 правильні рівності:
aras = ar+s
r s
r
s
r s
a
a
a
a a
−
= =
( r
) s
r
s
a =
a
( ) r r r a b = a b

2. Тема: Степенева, показникові та логарифмічна функції
r
r
r
a
b
a
b
=
При 0 a b: a b , коли r 0 r r
a b , коли r 0 r r
При r s: ar as , коли а 1
r s
a a , коли 0 а 1
r 1 0 n
1
Важливі значення степеня: n
a
0 = 0 a = a a = a =
− , при r 0 1
СТЕПЕНЕВІ ФУНКЦІЇ, ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ І ГРАФІКИ
Розглянемо степінь хп при п R і х 0.
Якщо п – стале, а основа х – змінна, то у = хп є функцією аргументу х тобто f(x) = xn .
Функцію f(x) = xn, де п – стале дійсне число, а основа х – змінна, називають степеневою функцією.
Властивості степеневої функції залежать від того, яким числом є показник п. Щоб встановити
властивості функції користуються схемою дослідження функцій.
Схема дослідження функції:
1) Дослідити область визначення функції.
2) Дослідити функцію на парність, непарність, періодичність.
3) Визначити координати точок перетину графіка з осями координат.
4) Дослідити проміжки знакосталості функції.
5) Визначити проміжки зростання і спадання функції.
6) Дослідити функцію на екстремуми.
7) Встановити характерні точки функції.
8) Побудувати графік функції.
ДОСЛІДЖЕННЯ СТЕПЕНЕВОЇ ФУНКЦІЇ.
1. nN, п – непарне.
− D( f ) = (−;+)
− Функція непарна. (графік симетричний відносно початку координат)
− х = 0, у = 0.
− якщо x 0, то y 0; якщо x 0, то y 0.(графік розміщений у І і ІІІ чвертях)
− Функція зростає на всій області визначення, монотонна.
− Точок екстремуму немає.
− Характерні точки (1; 1) і (-1; -1).
− Графік: при п = 1 є пряма у = х; при п = 3; 5; 7;… є криві, симетричні відносно
початку координат і розміщені у І і ІІІ чвертях.

3. Ю. Марчук Курс лекцій з математики
2. nN, п – парне.
− D( f ) = (−;+)
− Функція парна. (графік симетричний відносно осі OY)
− х = 0, у = 0.
− якщо x 0, то y 0; якщо x 0, то y 0.(графік розміщений у І і ІІ чвертях)
− Функція зростає при х 0 /x (0; +∞)/; спадає при х 0 /х (-∞; 0)/.
− Точка екстремуму: (0; 0) – точка мінімуму.
− Характерні точки (1; 1) і (-1; 1).
− Графік: при п = 2; 4; 6;… є криві, симетричні відносно осі OY і розміщені у І і ІІ
чвертях.
3. nZ, n 0, п – непарне.
− D( f ) = (−;0) U (0;+)
− Функція непарна. (графік симетричний відносно початку
координат)
− Точок перетину з осями немає.
− якщо x 0, то y 0; якщо x 0, то y 0.(графік
розміщений у І і ІІІ чвертях)
− Функція спадає на всій області визначення, монотонна.
− Точок екстремуму немає.
− Характерні точки (1; 1) і (-1; -1).
− Графік – це криві, симетричні відносно початку координат
і розміщені у І і ІІІ чвертях.
4. nZ, n 0, п – парне.
− D( f ) = (−;0) U (0;+)
− Функція парна. (графік симетричний відносно осі OY)
− Точок перетину з осями немає.
− якщо x 0, то y 0; якщо x 0, то y 0.(графік
розміщений у І і ІІ чвертях)
− Функція спадає при х 0 / x (0; +∞) /; зростає при
х 0 / х (-∞; 0) /.
− Точок екстремуму немає.
− Характерні точки (1; 1) і (-1; 1).
− Графік – це криві, симетричні відносно осі OY і
розміщені у І і ІІ чвертях.

4. Тема: Степенева, показникові та логарифмічна функції
1
5. = ( k =
3;5;7;...)
k
n
− D( f ) = (−;+ )
− Функція непарна. (графік симетричний відносно початку координат)
− x = 0, y = 0.
− якщо x 0, то y 0; якщо x 0, то y 0.(графік
розміщений у І і ІІІ чвертях)
− Функція зростає на всій області визначення,
монотонна.
− Точок екстремуму немає.
− Характерні точки (1; 1) і (-1; -1).
− Графік – це криві, симетричні відносно початку
координат і розміщені у І і ІІІ чвертях.
1
6. = ( k =
2;4;6;...)
k
n
− D( f ) = [0;+ )
− Функція несиметрична.
− x = 0, y = 0.
− якщо x 0, то y 0.(графік розміщений у І чверті)
− Функція зростає на всій області визначення, монотонна.
− Точок екстремуму немає.
− Характерна точка (1; 1).
− Графік – це криві, розміщені у І чверті.
ПОКАЗНИКОВІ ФУНКЦІЇ, ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ
Використовуючи степінь можна записати дві різні відповідності:
− між значенням степеня і значенням основи ( хп );
− між значенням степеня і значенням показника степеня (ах).
хп – степінь із змінною основою і сталим показником.
ах – степінь із сталою основою і змінним показником.
Функція, задана формулою y = ax, де а 0, a ≠ 1, називається показниковою функцією за
основою а.
Є два види показникової функції за основою а:
− показникова функція за основою 0 a 1;
− показникова функція за основою a 1.
Вивчаючи функції, важливими є не тільки вміння досліджувати властивості різних функцій і на
основі їх будувати графіки, але важливими є і навики читання графіка функції. Тому в процесі
вивчення показникової функції ми спочатку побудуємо її графіки, а потім, читаючи їх,
визначимо її властивості.

5. Ю. Марчук Курс лекцій з математики
Побудуємо графіки функцій:
x
=
1
y
2
,
x
=
2
y
3
, у = 2х , у = 3х.
y=2x y=3x y=0,5x y=(2/3)x
x y x y x y x y
-3 0,1 -3 0,04 -3 8,0 -3 3,4
-2,5 0,2 -2,5 0,1 -2,5 5,7 -2,5 2,8
-2 0,3 -2 0,1 -2 4,0 -2 2,3
-1,5 0,4 -1,5 0,2 -1,5 2,8 -1,5 1,8
-1 0,5 -1 0,3 -1 2,0 -1 1,5
-0,5 0,7 -0,5 0,6 -0,5 1,4 -0,5 1,2
0 1,0 0 1,0 0 1,0 0 1,0
0,5 1,4 0,5 1,7 0,5 0,7 0,5 0,8
1 2,0 1 3,0 1 0,5 1 0,7
1,5 2,8 1,5 5,2 1,5 0,4 1,5 0,5
2 4,0 2 9,0 2 0,3 2 0,4
2,5 5,7 2,5 2,5 0,2 2,5 0,4
3 8,0 3 3 0,1 3 0,3
y=2x y=3x y=0,5x у=(2/3)х
9,0
8,0
7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
0,0
-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Використовуючи схему дослідження функції та побудовані графіки, визначимо, які основні
властивості має показникова функція у = ах:
1) область визначення: D(y) = (- ; +);
область значень: E(y) = (0; +∞).
2) Функція несиметрична, не періодична, оборотна.
3) Перетин з осями: х = 0, у = 1 → (0; 1) – точка перетину з віссю ОY; точок перетину з віссю
ОХ немає.
4) Проміжки знакосталості: x 0, y 0 (I чверть), x 0, y 0 (ІІ чверть).
5) Проміжки монотонності: при а 1, функція зростає на проміжку (- ; +);
при 0 a 1, функція спадає на проміжку (- ; +).
6) Екстремумів немає.
7) Характерна точка (0; 1)
Функція, обернена до показникової функції, називається логарифмічною функцією.
Графік показникової функції називається експонентою.

6. Тема: Степенева, показникові та логарифмічна функції
ПОКАЗНИКОВІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ
Показниковими називають рівняння, в яких невідоме входить лише до показників степенів,
а основи є сталими.
Найпростішим показниковим рівнянням є:
ax = b, a 0, b 0, a ≠ 1
aбо af(x) = b, a 0, b 0, a ≠ 1
Загального методу розв’язування показникових рівнянь немає.
При розв’язуванні показникових рівнянь можна звести ліву і праву частини цього рівняння до
степенів з однаковою основою, а потім перейти від порівняння степенів з однаковою основою до
порівняння їхніх показників. Інші методи: спробувати звести показникове рівняння до
квадратного рівняння, ввівши нову змінну; функціонально-графічний метод (розглянути ліву і
праву частини рівняння як функції, графіки яких перетинаються, тоді рівняння має розв'язки, або
не перетинаються, тоді рівняння немає розв'язків).
Показниковими називають нерівності, в яких невідоме входить лише до показників
степенів, а основи є сталими.
Найпростіші показникові нерівності (a 0, b 0, a ≠ 1):
aх b, ax b, af(x) ag(x), af(x) ag(x)
Розвязуючи показникові нерівності виду af(x) ag(x) або af(x) ag(x), при переході від порівняння
степенів до порівняння їхніх показників, слід пам’ятати властивості степеня з різними основами.
Якщо а 1, то при переході до порівняння показників знак нерівності залишається таким самим.
Якщо 0 a 1, то при переході до порівняння показників потрібно знак нерівності змінити на
протилежний.
ЛОГАРИФМИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
Нехай а – додатне число, а ≠ 1.
Число у називається логарифмом числа х за основою а, якщо х = ау.
Число а називається основою логарифма.
Запис: y = logax
Отже y = logax рівносильне х = ау, при а 0, а ≠ 1.
Тоді a x
log x
a
=
– основна логарифмічна тотожність.
Іншими словами, логарифм числа х за основою а – це показник степеня, до якого треба
піднести число а, щоб одержати х.
Основні властивості логарифмів
1) log ( pq) = log p + log q ( p 0, q 0) a a a
2) p
log = log p − log q ( p 0, q 0)
a a a
q
3) log p
= log p ( p 0,
R) a a
4) log p = log p ( 0, p 0) a
a
log
p
5) log = ( p 0, q 0, q
1)
log
q
p
a
a
q
6) a log b c = c log
b
a ( c 0, a 0, b 0, b 1) Наслідки:
4*) якщо = , то log
p = log
p
a a
4**) якщо =1, то p p a
a
log
1
log
=

7. Ю. Марчук Курс лекцій з математики
5*) якщо а = р, то
q
log p
=
1
p
q log
Логарифм числа за основою 10 називається десятковим.
Запис: x 10 x lg = log
Логарифм числа за основою е називається натуральним.
Запис: x x e ln = log e = 2,71828...
Логарифм нуля і відємних чисел не існує, оскільки рівняння ах = 0 і нерівність ах 0 при а 0
не мають розвязків.
Логарифмування – це знаходження логарифму деякого виразу за певною основою.
Потенціювання – це перетворення, за допомогою якого за даним логарифмом числа визначають
саме число.
Обчислення логарифмів:
− будь-яке число а 0 має тільки один логарифм;
− відємні числа і нуль логарифму не мають;
− логарифм одиниці дорівнює нулю: log 1 = 0
a ;
− логарифм основи дорівнює одиниці: log a =1 a .
ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІК ЛОГАРИФМІЧНОЇ ФУНКЦІЇ.
Кожному додатному числу х відповідає певне значення його логарифма logax. Отже logax при
заданому а (а 0, а ≠ 1) є функцією від х на множині R+.
Функцію y = logax називають логарифмічною функцією за основою а (а 0, а 1).
Оскільки рівності y = logax і х = ау за означенням логарифма визначають один і той самий
звязок між змінними х і у, то показникові і логарифмічна функції є оберненими.
А графіки взаємно обернених функцій є симетричними відносно прямої у = х. Використаємо це
для побудови графіка логарифмічної функції.
Спочатку побудуємо графік логарифмічної функції y = log2x в такій послідовності: у = 2х (синій)
→ у = х (червоний) → y = log2x (зелений).
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
-2
-3
-4
Аналогічно виконується побудова графіка логарифмічної функції y = log0,5x в такій послідовності:
у = 0,5х (синій) → у = х (червоний) → y = log0,5x (зелений).

8. Тема: Степенева, показникові та логарифмічна функції
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
-2
-3
-4
Виходячи з вище розглянутого, побудуємо графіки логарифмічної функції y = logax:
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
a 1 0 a 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Використовуючи графіки логарифмічної функції, визначимо її властивості.
Властивості логарифмічної функції y = logax (а 0, а ≠ 1)
1) область визначення: D(y) = (0; +);
область значень: E(y) =(- ; +).
2) Функція несиметрична, не періодична, оборотна.
3) Перетин з осями: х = 1, у = 0 → (1; 0) – точка перетину з віссю ОХ; точок перетину з віссю
ОY немає.
4) Проміжки знакосталості: при a 1: 0 x 1, y 0 (IV чверть); x 1, y 0 (І чверть);
при 0 a 1: 0 x 1, y 0 (І чверть); x 1, y 0 (IV чверть).
5) Проміжки монотонності: при а 1, функція зростає на проміжку (0; +∞);
при 0 a 1, функція спадає на проміжку (0; +∞).
6) Екстремумів немає.
7) Характерна точка (1; 0)
ЛОГАРИФМІЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ
Рівняння називається логарифмічним, якщо його змінна входить лише під знак
логарифма.
Найпростішим логарифмічним рівнянням є:
logax = b, a 0, a ≠ 1.
При будь-якому дійсному b це рівняння має єдиний розв'язок: х = аb.
Розв'язування інших логарифмічних рівнянь ґрунтується на властивостях логарифмічної функції,
означенні та властивостях логарифма.

9. Ю. Марчук Курс лекцій з математики
Розв'язуючи логарифмічні рівняння, потрібно встановити область допустимих значень (ОДЗ)
рівняння або здійснити перевірку отриманих розв'язків.
Як для показникових, так і для логарифмічних рівнянь немає загального методу розв'язування.
При розв'язуванні окремих логарифмічних рівнянь можна використовувати такі способи:
За означенням логарифма;
За властивостями логарифма і логарифмічної функції;
Графічним способом.
Нерівність називається логарифмічною, якщо її змінні входять лише під знаки логарифмів.
Для розв'язування логарифмічних нерівностей використовують ті ж самі методи, що і для
розв'язування логарифмічних рівнянь.
Найпростішими логарифмічними нерівностями є:
logax b чи logax b, a 0, a ≠ 1.
Нерівності такого виду розв'язують, використовуючи такі властивості логарифмічної функції:
якщо a 1 та logax b, то x ab;
якщо 0 a 1 та logax b, то 0 x ab.