1. МАТЕМАТИКА
АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ
ТА ГЕОМЕТРІЯ
РІВЕНЬ СТАНДАРТУ
підручник для 11 класу
закладів загальної середньої освіти
Рекомендовано
Міністерством освіти і науки України
Харків
«Гімназія»
2019
3. ВІД АВТОРІВ
Любі одинадцятикласники та одинадцятикласниці!
У цьому навчальному році ви закінчуєте школу, і ми сподіває
мося, що отримані знання стануть для вас надійним підґрунтям
в опануванні майбутньою професією. Маємо надію, що в цьому вам
допоможе підручник, який ви тримаєте в руках. Ознайомтеся, будь
ласка, з його структурою.
Текст підручника поділено на сім параграфів, кожний з яких
складається з пунктів. Вивчаючи теоретичний матеріал пункту,
особливу увагу звертайте на текст, який надруковано жирним
шрифтом, жирним курсивом і курсивом; так у книзі виділено
означення, правила та найважливіші математичні твердження.
Зазвичай виклад теоретичного матеріалу завершується прикладами
розв’язування задач. Ці записи можна розглядати як один із мож
ливих зразків оформлення розв’язання.
У цій книзі ви ознайомитеся з низкою важливих теорем. Деякі
з них подано з доведеннями. У тих випадках, коли доведення ви
ходять за межі розглядуваного курсу, у підручнику наведено тіль
ки формулювання теорем.
До кожного пункту дібрано завдання для самостійного розв’я
зування, приступати до яких радимо лише після засвоєння теоре
тичного матеріалу. Серед завдань є як прості й середні за склад
ністю, так і важкі, особливо ті, що позначено зірочкою (*).
Свої знання можна перевірити, розв’язуючи задачі в тестовій
формі з рубрики «Перевірте себе».
Крім навчального матеріалу, у підручнику ви зможете знайти
оповідання з історії математики, зокрема про діяльність видатних
українських математиків.
Бажаємо успіхів!
4. 4
УМОВНІ ПОЗНАЧЕННЯ
п° завдання, що відповідають початковому та середньому
рівням навчальних досягнень;
п завдання, що відповідають достатньому рівню навчальних
досягнень;
п завдання, що відповідають високому рівню навчальних
досягнень;
* . . . .
п задачі для математичних гуртків і факультативів;
◄ закінчення доведення теореми, розв’язання задачі;
ключові задачі, результат яких може бути використа
ний під час розв’язування інших задач;
рубрика «Коли зроблено уроки».
Зеленим кольором позначено номери задач, що рекомендовано
для домашньої роботи, синім кольором — номери задач, що реко
мендовано для розв’язування усно.
5. Р о з д іл 1 ^ S S !
Алгебра
і початки аналізу
§ 1. Показникова
та логарифмічна функції
§2. Інтеграл і його застосування
§3. Елементи комбінаторики,
теорії ймовірностей
і математичноїстатистики
6. ПОКАЗНИКОВА
ТА ЛОГАРИФМІЧНА
ФУНКЦІЇ
У цьому параграфі ви ознайомитеся з поняттям степеня з довільним
дійсним показником. Видізнаєтесь, які функції називають показнико
вою та логарифмічною, вивчите властивості цих функцій, навчитеся
розв'язувати показникові та логарифмічні рівняння і нерівності.
1. Показникова функція та її властивості
Розглянемо функцію /(х ) = 2', де х — раціональне число, тобто
областю визначення функції / є множина О.
На рисунку 1.1 позначено точки графіка функції /, які відпо
відають деяким цілим значенням х. Обчислимо значення функції
f(x ) = 2х при деяких дробових значеннях х. Наприклад, при х = —
2
і.
маємо: 2х = 2 2 =1,41__ Якщо до точок, зображених на рисун
ку 1.1, додати точки графіка функції /, які відповідають, напри-
1 3 1 3
клад, значенням х = —, х = —, х = — , х = — , то отримаємо мно-
2 2 2 2
жину точок, зображену на рисунку 1.2.
У, і
1
2 - 1 0 1 2 X
Рис. 1.1
2/<і
1
2 - 1 0 1 2 X
Рис. 1.2
Більш точне уявлення про графік функції / можна отримати,
якщо позначити точки, які відповідають іншим раціональним зна
ченням аргументу (рис. 1.3).
Виявляється, що існує тільки одна неперервна на М функція g,
графік якої проходить через усі точки графіка функції /. Графік
7. 1. Показникова функція та її властивості 7
функції g зображено на рисунку 1.4. Множина точок графіка функ
ції / є підмножиною множини точок графіка функції g.
Функцію g називають показниковою функцією з основою 2 і за
писують: g(x) = 2'.
Аналогічно можна розглядати показникову функцію з будь-
якою основою а, де а > 0 і а ^ 1. Записують: g(x) = ах.
Значення функції g у точці х називають степенем додатного
числа а з дійсним показником х і позначають ах.
Багато властивостей степеня з раціональним показником збері
гаються і для степеня з дійсним показником.
Зокрема, для а > 0, Ь> 0 та будь-яких дійсних х і у справедли
ві такі рівності:
1) а ха у = а х+у;
2) а х : а у = а х-у;
3) (а* )у = а ху;
4) (ab)x = ахЬх;
I -J7 А ( зл/7_ 2-j7
Задача 1. Спростіть вираз -----------j=-------------- -
Р о з в ’язання. Маємо:
и + 1) (а2* - а 2* )
а * * - а 2*
{а2^ - 1)Іа2^
а ^ - а 2^
Уі 1 •
•
•
•
•
•
•
1 •
• •
• • і, • •
2 - 1 0 1 2 X
{ а * + і ) { а * - і ) а2*
Рис. 1.3 Рис. 1.4
8. 8 § 1. Показникова та логарифмічна функції
Розглянемо властивості показникової функції f(x) = ах, де а > 0,
а Ф1.
Областю визначення показникової функції є множина дійсних
чисел, тобто D(f) = К.
Областю значень показникової функції є множина (0; +оо),
тобто E(f) = (0; +оо).
Показникова ФУНКЦІЯ НЄ Має Нулів, І ПРОМІЖОК (-о о ;+ о о ) є її
проміжком знакосталості.
При а > 1 показникова функція є зростаючою; при 0 < а < 1 по
казникова функція є спадною.
Показникова функція є диференційовною. Детальніше про по
хідну показникової функції ви дізнаєтеся в п. 8.
На рисунках 1.5 і 1.6 схематично зображено графік показнико
вої функції для випадків а > 1 І 0 < а < 1 відповідно.
Зазначимо важливу властивість графіка показникової функції
у = а' зі збільшенням модуля х. Якщо а > 1 і х < 0, то відстані від
точок графіка функції у = а' до осі абсцис стають усе меншими
й меншими та можуть стати як завгодно малими, але ніколи не
дорівнюватимуть нулю. Аналогічну властивість має графік функції
у = ах при 0 < а < 1 і х > 0 .
Задача 2. Знайдіть найменше і найбільше значення функції
f(x) = З'г на проміжку [-4; 3].
Р о з в ’язання. Оскільки функція / зростає на проміжку [-4; 3]
(рис. 1.5), то найменшого значення вона набуває при х = -4 , а най
більшого — при х = 3. Отже,
min f{x) = /(-4 ) = 3 4 = — , max f{x) = /(3) = З3 = 27.
[-4:3] 81 [-4:3]
Від повідь: — , 27. ◄
81
9. 1. Показникова функція та її властивості 9
? —1. Які властивості має степінь з дійсним показником?
2. Сформулюйте властивості показникової функції.
3. Зобразіть схематично графік функції у = ах при а > 1; при 0 < а < 1.
ВПРАВИ
1.1. ° Яка з даних функцій є показниковою:
1 ) у = х в; 2) у = л/х; 3 )у = 6'; 4)*/ = 6?
1.2. ° Ґрунтуючись на якій властивості показникової функції можна
стверджувати, що:
1.3.° Укажіть, які з даних функцій є зростаючими, а які — спад
ними:
1) У= Ю '; 3 )у = 2 5) у = 2х -3х;
2) У= 6) у = 2Х
1.4.° Побудуйте графік функції у = З'. У яких межах змінюється
значення функції, коли х зростає від -1 до 3 включно?
1.5. ° Побудуйте графік функції у =
значення функції, коли х зростає від
1.6. ° Порівняйте:
і
1) 53'4 і 53,26;
3) 1 1
2) 0,3°'4 і 0,3°'3; 4) 0,17~3 і
У яких межах змінюється
-2 до 2 включно?
5)(У2 Ґ і (V2 Ґ ;
1.7.° Порівняйте із числом 1 значення виразу:
2 2 1 1
!) І“ 2) І~ 3 )1 ? 4)1? 5) 0,62 6) 3,14
1.8.° Порівняйте із числом 1 додатне число а, якщо:
1) а® > а Ті; 2) а ^ < а ^ ; 3) аГ0,3> а1,4; 4) < а 1'2.
10. 10 § 1. Показникова та логарифмічна функції
1.9.° Порівняйте числа т і п, якщо:
1) 0,8"' < 0,8" з) - >- ;
2) 3,2"' > 3,2"; 4) 1- < 1- •
1.10.' Обчисліть значення виразу:
№+і Г: 32^; 2 ; 3) ^6(,/g+l)2 -361) З
1.11.' Знайдіть значення виразу:
4)
-■Js
1) 5( s - i )2 . f І
2>/з
ч4бУ
s
2) р Г ) ; 3) (Щ )'
-2S
1.12. ' Спростіть вираз:
1) (aS + 2) {aS - 2) - {aS + з)2
1.13. ' Спростіть вираз:
1) ((a*+fc*)2-(a *-fc*)2f ;
2)
2,/3 ,2^2а -Ь
{а* + Ь*У
+ 1.
2)
2J7 Vt
а - а
4 -Jl 3 -Jl '
а -а
1.14.' Чи є правильним твердження:
1) найбільше значення функції у = 0,2Гна проміжку [-1; 2] до
рівнює 5;
2) областю визначення функції у = 4 - 7х є множина дійсних
чисел;
3) областю значень функції у = 6' + 5 є проміжок [5; +°°);
4) найменше значення функції у = | на проміжку [-2; 2]
дорівнює 16?
1.15. " Знайдіть найбільше значення функції у = J на проміж
ку [-2; 3].
1.16. " На якому проміжку найбільше значення функції у = 2' до
рівнює 16, а найменше дорівнює —?
4
1.17." На якому проміжку найбільше значення функції у = —
дорівнює 27, а найменше дорівнює —?
11. 1. Показникова функція та її властивості 11
1.18. * Знайдіть область значень функції:
1) У= -9 '; 2) = +1; 3) у = 7х - 4; 4 )у = 61' 1.
1.19. * Розв’яжіть нерівність:
1) 2х > —1; 2 ) 2 Гх> -2.
1.20. " Розв’яжіть нерівність 2х > 0.
1.21. **Графік якої з функцій, зображених на рисунку 1.7, перетинає
графік функції у = 5'' більше ніж в одній точці?
Рис. 1.7
1.22. "" Установіть графічно кількість коренів рівняння:
1) 2х = х; 2) 2х = sin х; 3) 2~х = 2 - х 2.
1.23. " Установіть графічно кількість коренів рівняння:
ц (ї і =х,; 2)(ї Г =“ “ ; « ( ї ї ' 4-!-
1.24. ” Побудуйте графік функції у = І2 "”' - 2.
1.25. * Знайдіть найбільше і найменше значення функції:
/ sin X
l ) y = [ i j ; 2) у = 3іsinr|- 2.
1.26. * Знайдіть найбільше і найменше значення функції:
1) У= 6C 0 S 2) у = І +5.
ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ І
1.27. Подайте числа 1; 4; 8; 16; л/2; /4; %/32 у вигляді
степеня з основою: 1) 2; 2) —.
2
12. 12 § 1. Показникова та логарифмічна функції
1.28. Подайте числа 1; 9; 81; — ; л/27; /243 у вигляді степеня
27
з основою: 1) 3; 2) —.
З
1.29. Спростіть вираз:
+ 7х; 4) 2Х+3
/ - і
+ 2Х- 4;
5)
+ 3'' + 3' 1; 6) 9Г+1
1.30. Знайдіть область визначення функції:
1) /(х )= „Х+ 2— ; 2) /(х ) = -у/ібх-х2.
х - 2х - 8
1.31. Знайдіть область значень функції:
1) /(х ) = 12 - 4х - х2; 3) /(х ) = cos х tg х.
2) /(х ) = З+ ^/х-1;
ЧИ ПОТРІБНО ВИВЧАТИ ПОКАЗНИКОВУ ФУНКЦІЮ? І
Показникова функція є математичною моделлю багатьох про
цесів, які відбуваються в природі або пов’язані з діяльністю людини.
Наприклад, біологам відомо, що маса колонії бактерій у певних
умовах за рівні проміжки часу збільшується в одну й ту саму кіль
кість разів.
Це означає, що коли, наприклад, у момент часу t = 0 маса до
рівнювала 1, а в момент часу t = 1 маса дорівнювала а, то в момен
ти часу t = 2, t = 3, ..., t = п, ... маса дорівнюватиме відповідно а2,
а3, ..., а", ... . Тому природно вважати, що в будь-який момент
часу t маса дорівнюватиме аг. Можна перевірити (зробіть це само
стійно), що значення функції f(t) = агзбільшується в одну й ту саму
кількість разів за рівні проміжки часу.
Таким чином, розглянутий процес описують за допомогою по
казникової функції f(t) = аг.
Із курсу фізики відомо, що під час радіоактивного розпаду маса
радіоактивної речовини за рівні проміжки часу зменшується в одну
й ту саму кількість разів.
13. 2. Показникові рівняння 13
Якщо покласти гроші на рахунок у банку під певний процент,
то кожного року кількість грошей на рахунку буде збільшуватися
в одну й ту саму кількість разів.
Тому показникова функція описує і ці процеси.
2. Показникові рівняння
Розглянемо рівняння 2' =8,
3х -3х- 1=4,
0,3х- 4 = 0,3Х
У цих рівняннях змінна міститься тільки в показнику степеня.
Наведені рівняння є прикладами показникових рівнянь.
Т еорем а 2.1. При а > 0 і а Ф1 рівність а4 = а*2 виконується
тоді й тільки тоді, коли х г = х 2.
Д оведен н я. Очевидно, що коли х 1= х2, то аХі = ах-.
Доведемо, що з рівності аХі = ах1 випливає рівність х 1= х2.
Припустимо, що х 1Фх2, тобто х 1< х2або х 1> х2. Нехай, напри
клад, ХЛ < Х2.
Розглянемо показникову функцію у = ах. Вона є або зростаючою,
або спадною. Тоді з нерівності х 1< х2 випливає, що аХі < аХі (при
а > 1) або аХі > аХі (при 0 < а < 1). Проте за умовою виконується
рівність аХі = ах1. Отримали суперечність.
Аналогічно, розглядаючи випадок, коли х 1> х2, можна отрима
ти суперечність. Отже, х 1= х2. ◄
Н аслідок. Якщо а > 0 і а Ф1, то рівняння
аПх) = а8(х)
рівносильне рівнянню
f(x) = g(x).
Розглянемо приклади розв’язування показникових рівнянь.
Задача 1. Розв’яжіть рівняння 2'' = 8.
Р о з в ’язання. Подамо кожну із частин рівняння у вигляді
степеня з основою 2. Маємо:
2х = 23.
Звідси х = 3.
Від повідь: 3. ◄
Задача 2. Розв’яжіть рівняння 32х+1+9х = 36.
Р о з в ’язання. Маємо: 32х+1 + (32)х = 36; 32х+1 + 32х = 36.
14. 14 § 1. Показникова та логарифмічна функції
Винесемо множник 32х за дужки: 32х(34+1) = 36.
Далі отримуємо: 32х •4 = 36; 32х = 9; 32х = З2; 2х = 2; х = 1.
В ідп овідь: 1. ◄
Задача 3. Розв’яжіть рівняння 25'' + 4 •5' - 5 = 0.
Р о з в ’язання. Оскільки 25' = (52)' = 52' = (5х)2, то дане рівняння
зручно розв’язувати методом заміни змінної.
Нехай 5'' = t. Тоді задане рівняння можна переписати так:
t2+ U - 5 = 0.
Звідси t = 1 або t = -5.
Якщо t = 1, то 5' = 1. Звідси 5'' = 5°; х = 0.
Якщо t = -5 , то 5'' = -5. Оскільки 5'' > 0 при будь-якому х, то
рівняння 5'' = -5 не має коренів.
Від повідь: 0. ◄
Задача 4. Розв’яжіть рівняння 9 •5' = 25 •З'.
5х
Р о з в ’язання. Маємо: З2•5' = 52•3'. Звідси —
3х
х = 2.
Від повідь: 2. ◄
? — _
1. Що можна сказати про числа хліде , якщо виконується рівність аХі = ах-,
де а > 0 і а * 1?
2. Якому рівнянню рівносильне рівняння аПх) = asix), якщо а > 0 і а * 1?
ш/ вп ра ви
2.1.° Розв’яжіть рівняння:
1 )4 '= 6 4 ; 5 )2 5 ' = 23' 7;
2) 3х = — ;
81
3) 0,62' 3= 1;
6) 8' = 16;
7) V57 = 25;
8) 0,25х"-4 = 2Х"+1;
Щ ґ - І
727У -1 2
U J іv 8 ) “ З
Г4Г ~7
U J U J
11) 36х = -----
.216
х 1 - 2 х а х - 2 х
12) 5х " =64) 10 ' = 0,001;
17. 3. Показникові нерівності 17
3. Показникові нерівності
Нерівності 0 ,2 '< 25, 2' + 5 '> 1 , 7х > 2х є прикладами показ
никових нерівностей.
В основі розв’язування багатьох показникових нерівностей ле
жить така теорема.
Т еорем а 3.1. Якщо а > 1, то нерівність аПх) > а8іх) рівносиль
на нерівності f(x ) > g(x); якщо 0 < а < 1, то нерівність аІ(х>> а8іх)
рівносильна нерівності f(x) < g(x).
Розглянемо приклади розв’язування показникових нерівностей.
Задача 1. Розв’яжіть нерівність 8 •23х 1 < 0 , 5 1.
Р о з в ’язання. Маємо: 23•23х 1< (2 J) 23х+2 < 2і.
Оскільки основа степенів 23х+2 і 2і більша за одиницю, то остан
ня нерівність рівносильна такій:
Зх + 2 < 1.
Звідси З х < -1 ; х <
Від повідь: -
1
з’
. ◄
Задача 2. Розв’яжіть нерівність 2 • — > — .
20
4 -— > —
25
9 ^
> —
20,) {.25 У
у (3 'у
: J ! її.) »
20 25
Оскільки 0 < —< 1, то остання нерівність рівносильна такій:
5
х<2х; х> 0 .
В ідп овідь: [0;+оо). м
Задача 3. Розв’яжіть нерівність 22х+1 - 7 •2х - 4 < 0.
Р о з в ’язання. Маємо: 2 •22х - 7 •2х- 4 < 0.
Нехай 2х= t. Тоді 212- 7t - 4 < 0.
Розв’язавши цю нерівність, отримаємо: < t < 4.
Звідси ——< 2х < 4.
2
18. 18 § 1. Показникова та логарифмічна функції
Оскільки 2' > 0, то 2х > —— при всіх х. Тому достатньо розв’язати
нерівність 2х < 4.
Маємо: 2' < 22; х < 2 .
В ід п о в ід ь : (-°°; 2). ◄
?1. Наведіть приклади показникових нерівностей.
2. Якій нерівності рівносильна нерівність аПх) > asix), якщо а > 1? якщо
0 < а < 1?
ВПРАВИ
3.1. ° Чи рівносильні нерівності:
1) 72>+4> 7,-і і 2х + 4 > х - 1;
2) 0,9х 4 < 0,9Х+2 і х2- 4 < х + 2;
3) ах > а5, де а > 1, і х > 5;
4) ах < а 3, д е 0 < а < 1 , і х < -З?
3.2. ° Розв’яжіть нерівність:
2) 5х < —;
5
3) 11' 5< 113х+1;
4) 0,46х+1 >0,42х+в
3.3. ° Розв’яжіть нерівність:
1) 67v 1> 6; 2) 10'<0,001
3.4. " Розв’яжіть нерівність:
1) 2х" 1<8;
5) 0,3і' 8> 1;
6) 9і Зх<0.
3} | - j > ^ | ; 4) 0,22' 9< 1.
2) 272х+1
3) ОД3' 1< 1000;
4)(іГ<216"3
х - х 2
>1u J ’
/ З#2 / -
і ї ї
- ^ —
UJ І25 J
5,11
х - 0 , 5
7) Isin-^J > л/2;
8) 4 •0,5Х(Х+3) > 0,252х.
20. 20 § 1. Показникова та логарифмічна функції
3.13. "' Розв’яжіть нерівність:
1) 9Х+1 - 2 •3х - 7 < 0;
X
2) 2х + 22- 72> 0;
3.14. "' Розв’яжіть нерівність:
1) Г ~ 125 <0;
х - 4х + 4
з» ( І ) - з { І ) + 2 > 0;
4) 25х - 26 •5х + 25 < 0.
16- 4 х
2)
9х + 12х + 4
> 0.
3.15."' Знайдіть множину розв’язків нерівності:
1) Зх - 9 -З х - 8 > 0; 3) 6Х+2+6 х - 37> 0;
2) 2Х+3+ 2і~х < 17; г31X+1
і +1
3.16. "' Знайдіть множину розв’язків нерівності:
1) Зх+1 -2• 31_х > 7; 2) 41_х -0 ,5 1“2х >1.
3.17. * Розв’яжіть нерівність 2^ - 2 і ^ <1.
3.18. * Розв’яжіть нерівність 3^ - З2 < 8.
3.19. * Розв’яжіть нерівність:
у І
1) 3 •4х + 2 •9х - 5 •6х < 0;
3.20. * Розв’яжіть нерівність:
2) 5 •25х + 3 •10х > 2 •4х.
1) 3 •16х + 2 •81х - 5 •36х < 0; 2) 2 •49* - 9 •14* + 7 •4* > 0.
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
• 2sina + sin2a 1
3.21. Чому дорівнює значення виразу------------------ , якщо cosa = —?
2 sin a-sin 2a 5
о оо О - • sin a -sin p п
3.22. Знайдіть значення виразу --------------- , якщо а —р = —.
cosa + cosP 2
4. Логарифм і його властивості
Легко розв’язати рівняння 2х= 4 і 2х= 8. їхніми коренями будуть
відповідно числа 2 і 3.
Проте для рівняння 2х= 5 одразу вказати його корінь складно.
Виникає природне запитання: чи є взагалі корені у цього рів
няння?
21. 4. Логарифм і його властивості 21
Звернемося до графічної інтерпретації. На рисунку 4.1 зобра
жено графіки функцій у = 2' і у = 5. Вони перетинаються в деякій
точці А (х0; 5). Отже, рівняння 2'' = 5 має єдиний корінь xQ.
Рис. 4.1
Корінь рівняння 2х = 5 домовилися називати логарифмом чис
ла 5 з основою 2 та позначати log25. Таким чином, число log25 —
це показник степеня, до якого треба піднести число 2, щоб отри
мати число 5. Можна записати:
2log25 = 5
Означення. Л огариф м ом додатного числа Ьз основою а, де
а > 0 і а Ф1, називають показник степеня, до якого потрібно під
нести число а, щоб отримати число Ь.
Логарифм числа Ьз основою а позначають loga Ь.
Наприклад, log39 — це показник степеня, до якого потрібно
піднести число 3, щоб отримати число 9. Маємо: log39 = 2, оскіль
ки З2= 9.
Ще кілька прикладів:
log17 17=1, оскільки 17і = 17;
log10Q1 = 0, оскільки 100° = 1;
1 з 1
log,—= -3 , оскільки 2 = —.
8 8
З означення логарифма випливає, що при а > 0 , а ^ 1 і & > 0 ви
конується рівність
Її називають основною логарифмічною тотожністю.
Наприклад, 7log73 = 3, 0,3logosB = 5.
Також з означення логарифма випливає, що при а > 0 і а Ф1
lpga 1 = 0
lpga « = 1
22. 22 § 1. Показникова та логарифмічна функції
Логарифм з основою 10 називають десятковим логарифмом.
Замість log10 Ьзаписують: lg Ь.
Використовуючи це позначення та основну логарифмічну то
тожність, для кожного Ь> 0 можна записати: ІО1®* = Ь.
Розглянемо основні властивості логарифмів.
Т еорем а 4.1 (логари ф м добутку). Якщо х > 0 , у > 0 , а > 0
і а Ф1, то виконується рівність
loga ху = loga х + loga у
Коротко формулюють: логарифм добутку дорівнює сумі лога
рифмів.
Д оведен н я. Розглянемо два вирази: аІОЄаХу і аІ0в°х+1°в- Дове
демо, що вони рівні.
Використовуючи основну логарифмічну тотожність і властивості
степеня, запишемо:
а log„ x + log„ у _ ^ o g a X ' a l°S a У
= ху.
Отже, а '"к" J" = а'"к"J '"я"". Звідси за теоремою 2.1 отримуємо, що
logaху = logaх + logaу. ◄
Т еорем а 4.2 (логариф м частки). Якщо х > 0, у > 0, а > 0
і а Ф1, то виконується рівність
l°S a - = l°Sax - l o g ay
У
Коротко формулюють: логарифм частки дорівнює різниці лога
рифмів.
Т еорем а 4.3 (логари ф м степеня). Якщо х > 0, а > 0 і а Ф1,
то для будь-якого Р є М виконується рівність
logaX P= Р logaX
Т еорем а 4.4 (п ерехід від о д н ієї осн ов и л огари ф м а до
інш ої). Якщо а > 0, а Ф1, Ь> 0, с > 0, сф 1, то виконується рів
ність
1°ШаЬ
lQgcb
log,«
23. 4. Логарифм і його властивості 23
Н асл ідок
рівність
1. Якщо а > 0, а Ф1, Ь> 0, 6^ 1, то виконується
1°§аЬ
1
logs «
Н асл ідок 2. Якщо а > 0, а Ф1, Ь> 0, т о для будь якого р Ф0
виконується рівність
Задача 1. Розв’яжіть рівняння: 1) 3'= 7; 2) 42'' 5= 9.
Р о з в ’язання. 1) 3 означення логарифма випливає, що х = log37.
log .9 + 5
2) Маємо: 2х - 5 = log49; 2х = log49 + 5; х = -----------.
log .9 + 5
Від повідь: 1) log 7; 2) ------------. ◄
3 2
Задача 2. Обчисліть значення виразу: 1) 102+21g7; 2) glogs4 ов.
Р о з в ’язання. 1) Застосовуючи властивості степеня та основну
логарифмічну тотожність, отримуємо:
102+21g7 = 102 •1021g7 = 100 •(10lg7)2 = 100 •72 = 4900.
2) Маємо: 9log8^ 0'B= (З^^И -о.б = ^ 2 ^ 4 . (з2)о,б =
= (3logs4)2 : 3 = 42 : 3 = — . ◄
З
Задача 3. Обчисліть значення виразу log220 + log212 - log215.
Р о з в ’язання. Використовуючи теореми про логарифм добутку
та логарифм частки, отримуємо:
log220 + log212 - log215 = log2(20 •12) - log215 =
r 20-12
= lo§2 ~ = !°g 216 = 4. ◄
15
?1. Що називають логарифмом додатного числа Ьз основою а, де а > 0,а +1?
2. Яку рівність називають основною логарифмічною тотожністю?
3. Сформулюйте теорему про логарифм добутку.
4. Сформулюйте теорему про логарифм частки.
5. Сформулюйте теорему про логарифм степеня.
6. Сформулюйте теорему про перехід від однієї основи логарифма до іншої
та наслідки з неї.
27. 5. Логарифмічна функція та її властивості 27
4.28."' Побудуйте графік функції:
1) У= logxl; 3 ) y = 5-loe^ ;
1
2) у = З_ qlog8(х+З).
4) г/=Ю—1ПІ02*10♦
5) у 2 ' ;
logj х
6) ? = - * - .
logj X
4.29."" Побудуйте графік функції:
1) y = 7 losAx+2); 3) г/ = log х;
log! (Х-1)
4) у =
lg(x2 +1)
lg(x2 +1)'
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
4.30. Спростіть вираз
0,5 , 0 , '
а + ЗЬ0,5 0,5 0 7 0,5 0,5 7 0,5
а -Зо а —о
о U,5,U,5 , ,
а - 2 а о +о а —Ь0,5, 0,5
l b
4.31. Знайдіть точки екстремуму функції:
1 )/(х ) = —+ —; 2) f(x )= 7 x + х2- З х 3.
2 х
5. Логарифмічна функція та її властивості
Оберемо додатне число а, відмінне від 1. Кожному додатному
числу х можна поставити у відповідність число у таке, що у = loguх.
Тим самим задано функцію f(x) = log х з областю визначення
П (/) = (0;+оо).
Цю функцію називають логарифмічною.
Розглянемо основні властивості логарифмічної функції.
Функція у = logaх має єдиний нуль х = 1.
Функція у = logaх має два проміжки знакосталості.
Якщо а > 1, то у < 0 на проміжку (0; 1); у > 0 на проміжку
(1;+°о);
якщо 0 < а < 1, то у < 0 на проміжку (1; +°°); у > 0 на про
міжку (0; 1).
Функція у = log х є зростаючою при а > 1 та є спадною при
0 < а < 1.
Логарифмічна функція є диференційовною. Детальніше про по
хідну логарифмічної функції ви дізнаєтеся в п. 8.
28. 28 § 1. Показникова та логарифмічна функції
На рисунках 5.1 і 5.2 схематично зображено графік логариф
мічної функції для випадків а > 1 І 0 < а < 1 відповідно.
Зазначимо важливу властивість графіка логарифмічної функції
у = logaх. З наближенням значень х до нуля відстані від точок гра
фіка функції у = logaх до осі ординат стають усе меншими й мен
шими та можуть стати як завгодно малими, але ніколи не дорів
нюють нулю.
Задача 1. Порівняйте числа:
1) log26 і log27; 2) log026 і log027; 3) log^4 і 0.
ї
Р о з в ’язан н я. 1) Оскільки логарифмічна функція y = og2x
є зростаючою, то log26 < l°g27.
2) Оскільки логарифмічна функція y = logQ2x є спадною, то
log0,26 > Iog0,27*
ТІ
3) Ураховуючи, що 0 < —< 1, маємо: log^ 4 < log^ 1.
4 4 4
Отже, logIt4 < 0 . ◄
4
Задача 2. Знайдіть область визначення функції:
1) f(x) = log3(х2+ Зх); 2) /(x ) = logr 4(1 6 -х ).
Р о з в ’язання. 1) Оскільки областю визначення логарифмічної
функції є множина додатних чисел, то областю визначення даної
функції є множина розв’язків нерівності х2+ Зх > 0.
Маємо: х (х + 3) > 0; х < -3 або х > 0.
Отже, Л(/) = (— —3) U(0; +°°).
29. 5. Логарифмічна функція та її властивості 29
2) Область визначення даної функції знайдемо, розв’язавши
1 6 -х > 0,
систему нерівностей
X < 16,
х - 4 > 0,
х - 4 ф1.
Тоді
4 < х < 5,
5 < х < 16.
х > 4,
х ф Ь;
Звідси £>(/) = (4; 5) U(5; 16). ◄
1. Яку функцію називають логарифмічною?
2. Сформулюйте властивості логарифмічної функції.
3. Зобразіть схематично графік логарифмічної функції у = log х при а > 1;
при 0 < а < 1.
ВПРАВИ
5.1.° Зростаючою чи спадною є функція:
1) ї/ = logi х; 3) у = log0д х; 5 )j/= lo g ^ x ;
2) у = log х; 4) у = lg х; 6) у= log^x?
5.2. ° Спираючись на яку властивість логарифмічної функції можна
стверджувати, що:
1) lg 7 > lg 5;
5.3. ° Порівняйте:
1) log125 і log126;
, 1 . , 1
2) logB- і logg—;
5.4. ° Порівняйте:
1) log0,9V3 і logO0V2;
2) log064 < log063?
3) logj 2 і logj 4;
3 3
4) log^ 0,7 і log^ 0,6.
2 2
3) log26,8 і log26,9;
2) log7| і log7^; 4) lg - і lg -.
3 4
5.5.° Знайдіть область визначення функції:
1) f(x) = log3(x + 1); 4) /(x ) = log06(5x - 6 - x2);
2) /(x ) = logj (x2+1); 5) /(x ) = 2 lg x + 3 lg(2 - x);
3) /(x ) = log (-x); 6 )/(x ) = lg(x2- l ) .
30. зо § 1. Показникова та логарифмічна функції
5.6. ° Знайдіть область визначення функції:
1) f(x) = log7(6 - х); 3) f(x ) = lg(x + 2) - 2 lg(x + 5).
2) f(x) = log04(7x - x2);
5.7. " Порівняйте з одиницею основу логарифма, якщо:
1) loga0,5 > loga0,4; 3) loga < loga%/б;
2) loga—> loga1; 4) loga^ < lo g a^.
5.8." Порівняйте з одиницею основу логарифма, якщо:
2) loga2 < logaV3.1) logaJ > lo g ai ;
5.9. " Додатним чи від’ємним числом є:
l)lo g 050,6; 2) log0з 3; 3)log20,27; 4 )lo git3?
5.10. " Порівняйте з нулем:
1) l°g45; 2) log2^; 3) log 4) log^2.
6 г 1 з
5.11/ Знайдіть найбільше і найменше значення функції на даному
проміжку:
1) y = log2X,
2) у = lo g jX ,
2
5.12." Знайдіть найбільше і найменше значення функції на даному
проміжку:
Г і 1
; 3 ) y = l o g 2 x ,
4 _ 8 1
— ; 8
|_4 J 3
L 9 1 6 J
— ;8
де
1) у = log j X,
к
2)|/ = lg x , [1; 1000].
5.13. " На якому проміжку найбільше значення функції y = log2x
дорівнює 3, а найменше дорівнює -1 ?
5.14. " На якому проміжку найбільше значення функції у = logj х
2
дорівнює -1 , а найменше дорівнює -2?
5.15. " Порівняйте:
1) log92 і 3; 2) logl 27 і -2 ; 3) log^26 і 6.
5.16." Порівняйте:
l)lo g 0112 і 1; 2) log З і
5.17." Знайдіть область визначення функції:
1) f(x) = lgx2; 2) f(x) = log3tg x;
31. 5. Логарифмічна функція та її властивості 31
4) /(х ) =3) /(х ) = ---- ;
lgx log5(10-x)
5.18." Знайдіть область визначення функції:
1) /(x ) = log Іх І; 2) у = -----; 3) у = lg sin х.
lg(x + 3)
5.19. " Розв’яжіть графічно рівняння:
l)lo g 2x = 3 - x ; 2 )lo g 1x = x - l ; 3) log2х = - х - 0,5.
з
5.20. " Розв’яжіть графічно рівняння:
1) logj х = х + —;
2 2
2) log х = 4 - х.
5.21. " Установіть графічно кількість коренів рівняння:
l)lo g 2x = -x ; 2)log3x = - x 2; 3) logj х = *J~x-
2
5.22. * Скільки коренів має рівняння:
2) log2х = ?!) І- I = b g 2x;
5.23. ” Між якими двома послідовними цілими числами міститься
на координатній прямій число:
1) l°g310; 2) log25; 3) logj7; 4)log012?
з
5.24. "' Між якими двома послідовними цілими числами міститься
на координатній прямій число: 1) log229; 2) logj 9?
2
5.25. "' Порівняйте:
1) l°g45 і log54; 2) log151,3 і log13l,5; 3)logQ70,8 і logog0,7.
5.26. "' Порівняйте:
l)lo g 17l,8 і logl gl,7; 2) log020,3 і log030,2.
5.27. "' Знайдіть область визначення функції:
1) у = lg (l - sin х);
2) i/ = V lg cosx;
-v*
3) у =
5) у =
lg(x + 2)
+ lg (3 -x );
4) у =
lg(4 - х )
1
log6( x -3 )
6) у = logB(x2- 4x + 3) +
7) у = lg (6 x -x 2) +
logB(7 -x )
lg (3 - x)
Ve"1x ; 8) y = logi+3(x2+x).
32. 32 § 1. Показникова та логарифмічна функції
5.28."' Знайдіть область визначення функції:
1) У= , , 2 ^ 4) У= 1§(х + 8 )- 5
lg(x +1)
2) і/ = lg(l + sin x);
3) у = 7 lgsinx;
5.29.* Побудуйте графік функції:
1o8'o,2x I
5) г/= lg (1 0 x -x ) -
l g ( - x - l )
1
lg'(8 - x)
1) У=
1o8'o,2x
6) y = log (8 + 7x - x2).
2) у = -y/loggx logx3.
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
5.30. Розв’яжіть рівняння:
1) Vx2+ 15 = х + 1;
2) >/х + 4 + >/х —4 = 2;
3) л/х + у[х - 2 = 0;
4) -/х+1 + у/x + 1 -6 = 0;
5) 3 cos2х + 7 sin х - 5 = 0;
6) cos 2х - 5 cos х - 2 = 0.
6. Логарифмічні рівняння
Рівняння виду logax = fc, де а > 0, а ^ 1, називають найпрості
шим логарифмічним рівнянням. Це рівняння можна розв’язати,
використовуючи означення логарифма.
Задача 1. Розв’яжіть рівняння log3(Зх - 1) = 2.
Р о з в ’я за н н я. За означенням логарифма можна записати:
, 10
Зх - 1 = З2. Звідси Зх - 1 = 9; х = — .
З
Від повідь: — . ◄
З
Розв’язання рівняння прикладу 1 можна подати таким чином:
l°g3(Зх - 1) = 2 log33,
l°g3(Зх - l) = log3З2,
, 10
Зх - 1 = З2, х = — .
З
Під час розв’язування багатьох логарифмічних рівнянь засто
совують таку теорему.
33. 6. Логарифмічні рівняння 33
Т еорем а 6.1. Якщо а > 0, а Ф1, то рівняння виду
loga f(x) = loga g(x)
рівносильне будь-якій із систем
Г/Ч*) = £(•*), Г/0*0 = £(•*),
f(x) > 0, [£(*) > 0.
Задача 2. Розв’яжіть рівняння lg (2х - 3) = lg (х2- 4х + 2).
Р о з в ’язання. Дане рівняння рівносильне системі
[2х - 3 = х2- 4х + 2,
І2 х -3 > 0.
х = 1,
х = 5,
Маємо:
х2- 6х + 5 = 0,
З
х > —;
2
З
х > —.
2
Звідси х = 5.
В ід п о в ід ь -. 5. ◄
Задача 3. Розв’яжіть рівняння log3(2х - 1) + log3(х - 2) = 3.
Р о з в ’язання. Дане рівняння log3(2x - 1) + log3(x - 2) = 3 рівно
сильне системі
log3((2 x -l)(x -2 )) = 3,
<2х -1 > 0,
х - 2 > 0.
Звідси
Г (2х-1)(х-2) = 33,
[х > 2;
[2х2- 5 х - 25 = 0,
[х > 2;
ємо: х = 5.
Відповідь: 5. ◄
х = 5,
< х = ——, Отриму-
L 2
х > 2.
Задача 4. Розв’яжіть рівняння log2х + logx2 = —.
Р о з в ’язання. Оскільки logx2 =
сильне рівнянню
log2X
то дане рівняння рівно-
Нехай log2х
log9X4--------- =
log2х
t. Тоді отримуємо: t +
5
2
1
t
5
2
34. 34 § 1. Показникова та логарифмічна функції
Звідси
2Г - bt + 2 = 0,
t ф 0.
Отже,
1
t = ~,
2
t = 2.
Тоді початкове рівняння рівносильне сукупності
Звідси х = 22,
_х = 22; _
В і д п о в і д ь : >/2; 4. ◄
х = V2,
х = 4.
log2x = i ,
log2x = 2.
1. Яке рівняння називають найпростішим логарифмічним рівнянням?
2. Якій системі рівносильне рівняння виду log f ( x) = log g(x), якщо a > 0,
a*1 ?
ВПРАВИ
6.1. ° Розв’яжіть рівняння:
1) log2( x - 1) = 1;
2) log3(2x + 1) = 3;
3) lg(3 - 2x) = 2;
6.2. ° Розв’яжіть рівняння:
1) logj (x + 7) = -3;
5
2) log4(2x - 5) = 0,5;
6.3. ° Розв’яжіть рівняння:
1) log (x + 1) = log (4x - 5);
2) logg (3x - 5) = log5(x - 3).
6.4. ° Розв’яжіть рівняння:
1) logg(4x - 6) = logg(x - 2);
6.5. " Розв’яжіть рівняння:
1) log2yfx - log2—= 6;
x
2) log2x + log4x + log8x = 11;
4) logl (4x - 8) = -2;
6
5) log7(x2- 2x - 8) = 1;
6) logj (x2+ 4 x - 5) = -4.
2
3) log^ (x2- 5 x - 3 ) = 2;
4) logj (x2- 5x + 6) = -1 .
2
2) logj (x + 7) = logj (2x + 5).
4 7
3) 2 logsx + loggx - log27x = 6,5;
4) log6x + 2 log36x + 3 log216x = 3;
36. 36 § 1. Показникова та логарифмічна функції
6.14. "' Розв’яжіть рівняння:
1) log07(2х2- 9х + 4) = 2 log07(х + 2);
2) 2 log2(-х ) - log2(Зх + 8) = 1.
6.15. "' Розв’яжіть рівняння:
1) log2( 5 - х ) - log2(х - 1) = 1 - log2(х + 2);
2) 2 log5(х + 1) - log5(х + 9) = log5(Зх - 17).
6.16. "' Розв’яжіть рівняння:
1) log2(2х - 1) - log2(х + 2) = 2 - log2(х + 1);
2) 2 lg(x + 1) - lg(4x - 5) = lg(x - 5).
6.17. * Розв’яжіть рівняння:
1) logr(2x2-7 x + 1 2 ) = 2; 3) logr 2(2х2- l l x + 16) = 2;
2) logr+1 (х + 3) = 2; 4) log2r_3(Зх2- 7x + 3) = 2.
6.18. * Розв’яжіть рівняння:
1) logr х(х2- 5х + 7) = 1; 2) logr(x + 6) = 2.
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
6.19. Знайдіть похідну функції:
Y*2—Qjk і—
1) /(х ) = --------; 2) /(х ) = (5х-1)л/х.
х + 4
6.20. Знайдіть проміжки зростання та точки екстремуму функції:
1) /(х ) = - - х 3- - х 2+ 2х; 2) /(х ) = 3) /(х ) =
3 2 X і - 9 X і + 5
1 з
6.21. Складіть рівняння дотичної до графіка функції /(х ) = х ----х
З
у точці з абсцисою х0= 3.
7. Логарифмічні нерівності
Розв’язування багатьох логарифмічних нерівностей ґрунтується
на такій теоремі.
Т еорем а 7.1. Якщо а > 1, то нерівність logaf( x )> lo g ag(x)
рівносильна системі
lf(x)> g(x),
|g(x) > 0.
Якщо 0 < а < 1, то нерівність logaf(x) > logft^(x) рівносильна
системі
f(x) < g(x),
f(x) > 0.
37. 7. Логарифмічні нерівності 37
Задача 1. Розв’яжіть нерівність log2х > 3.
Р о з в ’я з а н н я . Оскільки 3 = log223, то можна записати:
log2х > log223.
Ця нерівність рівносильна такій: х > 23. Звідси х > 8.
В і д п о в і д ь : (8;+оо).
Задача 2. Розв’яжіть нерівність log0Sx > l.
Р о з в ’я з а н н я . Маємо: log0Sx > log 0S0,3.
Гх< 0,3,
Ця нерівність рівносильна системі
х > 0.
В і д п о в і д ь : (0; 0,3]. ◄
Задача 3. Розв’яжіть нерівність log1(3 x -4 )< log1(x -2 ).
2 2
Р о з в ’я з а н н я . Дана нерівність рівносильна системі
ГЗх- 4 > х - 2,
ї х - 2 > 0.
Гх > 1,
Звідси < х > 2.
І х 2;
В і д п о в і д ь : (2;+оо). м
?
Якій системі нерівностей рівносильна нерівність loga f ( x ) > Іода g(x),
якщо а > 1? якщо 0 < а < 1?
ВПРАВИ
7.1. ° Розв’яжіть нерівність:
1) logQДх < logQд 9;
2) logn x > lo g n 12;
3) log08x > lo g 0814;
4) log7x < log715;
7.2. ° Розв’яжіть нерівність:
1) lg x < lg 4;2
2) loggX > log g -;
5) logs(x + 5) < logs8;
7 7
6) log8(2x - 3) > log87;
7) log2(x - 4) > log22;
9 9
8) lg (l + 3x) < lg 16.
3) log12(x - 8) > log123;
4) log16(4x - 6) < log1610;
38. 38 § 1. Показникова та логарифмічна функції
5) log8 (2 -х ) < logg 2;
7.3.° Розв’яжіть нерівність:
1) log7х > 2;
2) logBx < - l ;
3) logj x < 5;
2
4) l o g j X > l ;
6) log09(2x + 1) > log0g5.
5) log2(5x + 1) > 4;
6) log06( x - 2 ) < 2 ;
7) log’(2 x -l)< 3 ;
8) log0B(2x + l)> -2 .
7.4. ° Розв’яжіть нерівність:
1) log1x < - l ; 3 ) lg x < 5 ; 5) logj (2 x -3 )> -2 ;
7 3
2 ) log4x > 2 ; 4) log1x > -3 ; 6) log0(5x + 6)<2.
e
7.5. " Скільки цілих розв’язків має нерівність:
1) log02В(Зх - 5) > -3 ; 2) log3(7 - х) < З?
7.6. " Знайдіть цілі розв’язки нерівності:
1) log0в(1 - х) > -1 ; 2) log3e(х +1) < 0,5.
7.7. " Знайдіть множину розв’язків нерівності:
1) lg(2x + 3 ) > lg ( x - 1);
2) logB2 x < lo g B(x + l);
3) log02(2х - 1) > log02(Зх - 4);
4) log0'4(х2- 3) < log94(х + 3);
5) log07(x2-2 x -3 )< lo g 07(9 -x );
6) logj (х2+ x + 31)<log1(10х + 11).
з з
7.8. " Розв’яжіть нерівність:
1) log2(2х - 3) < log2(х + 1);
2) log06(3 - 2х) > log06(5х - 2);
3) lg(x2-2 )> lg (4 x + 3);
4) log0л(10 - 2х) > log0л(х2- х - 2).
7.9."" Знайдіть множину розв’язків нерівності:
1) log8(х2- 4х + 3) <1;
2) log0B(x2+ х) > -1;
3) log07(х2+ Юх + 25) > 0;
4) log2(х2- Зх) < 2;
5) log0S(x2+ x -1 2 )> lo g 0S(6 x -6 );
6) lg(x2- х) < lg(3x - 3).
39. 7. Логарифмічні нерівності 39
7.10."' Розв’яжіть нерівність:
1) logj (х2- 5х + 7) > 0;
з
2) log9(x2-6 х + 8)<0,5;
4) log03(x2-2 х + 1)>0;
5) log2(6 - 2х) < log2(х2- 2х - 3);
3) log0B(x2+ З х)> -2;
7.11. ** Розв’яжіть нерівність:
1) lg х + lg(x - 3) > 1;
2) logj (х + 2) + logj х < -1;
з з
3) log2х + log2(х + 4) < 5;
4) log01(x -5 ) + log01( x - 2 ) > - l ;
5) loge(5x + 8) + loge(x +1) < 1- loge3;
6) logs(1 - x) + logs(-5x - 2) > 2 logg 2 +1.
7.12. "' Розв’яжіть нерівність:
1) log2(-x) + log2(1 - x) < 1;
2) log02(x -1 ) + log02(x + 3) > -1;
3) logg (x - 2) + logg ( x - 10) >2;
4) log7x + log7(3 x -8 )> l + 21og72.
7.13. " Розв’яжіть нерівність:
1) log22x < l;
6) log0д(x2- 3x - 4) > log0д(x +1).
2) log2x> 4;
3
3) lg2x + 3 lg x - 4 < 0;
7.14.” Розв’яжіть нерівність:
1) logg Бx > 9;
2) lg2x -2 1 g x -3 > 0 ;
4) log2x + 21og1x -8 < 0 ;
4 4
5) log2x -5 1 o g 2x + 6>0;
6) 2 log2x -S lo g j x + 2>0.
3) 2 log2x - log4x -1 < 0;
4) logg 2x - log0,2x - 2 < 0.
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
7.15. Знайдіть найбільше і найменше значення функції /(х ) =
= х3- Зх2+ 1 на проміжку [-2; 1].
7.16. У якій точці графіка функції /(х ) = х3- х2- 2х дотична утво
рює з додатним напрямом осі абсцис кут а = — ?
4
7.17. Запишіть рівняння дотичної до графіка функції у = х2- х + 2,
яка паралельна прямій х + у + 2 = 0.
40. 40 § 1. Показникова та логарифмічна функції
8. Похідні показникової та логарифмічної
функцій
Чи існує функція, похідна якої дорівнює самій функції? Відпо
вісти на це запитання нескладно. Наприклад, функція, яка є ну
льовою константою, має цю властивість.
А чи можна вказати функцію /, визначену на М, відмінну від
нульової константи, таку, що /'(х ) = /(х ) для будь-якого х є 1?
Відповідь на це запитання не є очевидною.
Виявляється, що серед показникових функцій f(x) = a ' існує
єдина функція така, що /'(х ) = /(х ) для всіх х є і . Число, яке
є основою степеня для цієї функції, позначають буквою в, а сама
функція має вигляд /(х ) = є'. Отже,
(<?*)' = ех
Установлено, що число е ірраціональне. Його можна записати
у вигляді нескінченного неперіодичного десяткового дробу:
6 = 2,71828182845... .
Функцію /(х ) = ех називають експонентою.
Логарифм з основою е називають натуральним логарифмом
і позначають In а, тобто logea = In a.
Можна довести, що похідна показникової функції /(х ) = а' до
рівнює a'In а.
Отже, при а > 0, а Ф1 можна записати:
(ах)’ =ахпа
У п. 5 ми зазначили, що логарифмічна функція /(х) = logax є ди-
ференційовною.
Можна довести, що
Зокрема,
(Іпх)' = —
х
Задача 1. Знайдіть похідну функції:
1) f/ = e' (x2-4 x ); 2) у = х 3 ■3х; 3) у = — .
Іпх
41. 8. Похідні показникової та логарифмічної функцій 41
Р о з в ’язання. 1) Застосовуючи теорему про похідну добутку
двох функцій, отримуємо:
у' = (є*)' •(х 2- 4х) + (х2- 4х)' •ех =
= ех(х2- 4х) + (2х - 4)ех = ех(х2- 2х - 4).
2) Маємо:
у’ = (х3)' •3х+ (3х)' •х3 = Зх2 •3х + 3хІпЗ •х3 = Зхх2(3 + х In 3).
3) Маємо: у'
. 4 . , 4 4 Х - І П Х -
(х ) •Іпх - (Іпх) •X
In2X In2X
4x3ln x -x 3 x3(41nx-l)
In2X In2X
X4
Задача 2. Складіть рівняння дотичної до графіка функції
/(х ) = ех+ х у точці з абсцисою х0= 0.
Р о з в ’язання. Маємо: /(х 0) = 1. Знайдемо похідну функції /
у точці х0= 0: /'(х ) = ех +1. Звідси /'(х 0) = 2. Тоді шукане рівнян
ня має вигляд у = 2х + 1.
Відповідь: у = 2х + 1.Л
Задача 3. Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки
екстремуму функції /(х ) = х In х.
Р о з в ’язання. Маємо:
/'(х ) = (х)' •Іпх + (Іпх)' •х = 1пх + —•х = 1пх + 1.
х
Дослідимо знак /'(х ) на D(f) = (0; +оо).
Маємо: /'(х ) > 0 при 1 п х > -1 . Звідси х > -.
е
Аналогічно знаходимо, що /'(х ) < 0 при 0 < х < —.
е
Отримуємо, що функція / зростає на проміжку
—; +оо І спадає на проміжку 0; -
Р и с . 8 .1
X.. = — (рис. 8.1). ◄
? —1. Яку функцію називають експонентою?
2. Що називають натуральним логарифмом?
3. Чому дорівнює похідна функції у = ех? у = ах?
4. Чому дорівнює похідна функції у = In х? у = log х?
42. 42 § 1. Показникова та логарифмічна функції
8.1. ° Знайдіть похідну функції:
1) у = 4ех; 3) у = ехsin х; 5) у = 5х;
2) y = x V ; 4) у = — ; 6 ) у = х -З х.
х - 2
8.2. ° Знайдіть похідну функції:
1) У= хвех; 2) у = ехcos х; 3) у = ; 4) у = 6'.
е
8.3. ° Знайдіть похідну функції:
1) У= loggх; 2) у = 3) у = х5In х.
х
8.4. ° Знайдіть похідну функції:
хв
1) y = lg х; 2) у = -— •
шх
8.5. " Знайдіть похідну функції:
1 ) у = ех + е х; 2) у =
2х +1
8.6. " Знайдіть похідну функції:
1)2/= 1(Г; 2) У = ^ -
5 - 1
8.7. " Обчисліть значення похідної функції / у точці xQ:
СОЧX
1) /(х ) = ех -З х, х0 = 0; з) /(х ) = —— , х0 = 0.
Є
2) /(х ) = ~ х 2—Іпх, х0 = 4;
8.8. " Обчисліть значення похідної функції / у точці xQ:
1) /(x ) = extgx, х0 = 0; 3) /(х ) = х-1п х, х0 = 3.
2) f(x) = —Іпх, хп= —;
6 6
8.9. " Складіть рівняння дотичної до графіка функції / у точці з аб
сцисою xQ:
1) /(х ) = ех, х0= 0; 3) /(х ) = х •2х, х0= 1;
2) /(х ) = ех + sin х, х0= 0; 4) /(х ) = Зх + 1п х, х0 = 1.
8.10. " Складіть рівняння дотичної до графіка функції / у точці
3 абсцисою xQ:
1) /(х ) = 1п х, х0= 1; 2) /(х ) = 2ех - cos х, х0= 0.
43. 8. Похідні показникової та логарифмічної функцій 43
8.11. *Знайдіть рівняння горизонтальної дотичної до графіка функ
ції:
1) /(х ) = е* + 4 ; 2) fix) = (2' - 7)(2' - 9).
е
8.12. " Знайдіть рівняння горизонтальної дотичної до графіка функції
f(x) = (5' - 65)(5' + 15).
8.13. ” Складіть рівняння дотичної до графіка функції:
1) fix) = є', якщо ця дотична паралельна прямій у = ех —6;
2) fix) = 6х - In х, якщо ця дотична паралельна прямій у = х.
8.14. "" Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстре
муму функції:
1) fix) = ех - х;
2) fix) = x 2 ■2-х;
3) fix) = — -
х - 2
4) fix) = %
е
5) fix) = х3In х;
6) fix) = In x - x;
7) fix) = ln x ---- ;
x
8) fix) = ^ ~ .
lnx
8.15.“ Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстре
муму функції:
1) /(* ) = — ;
з
3 ) /(х ) = 0,5х - In х; 5) /(х ) = 21пх-і— ;
х
2) fix) =
х + З
4) =
X
6) /(х ) = ^ .
■ух
8.16. " Знайдіть найбільше і найменше значення функції /(х ) = є' + х
на проміжку [-1; 1].
8.17. " Знайдіть найбільше і найменше значення функції fix) =
= (х - 1) е ' на проміжку [1; 3].
8.18. " Дослідіть функцію та побудуйте її графік:
1) fix) = хе'; 2) fix) = х2- 2 In х.
8.19." Дослідіть функцію fix) = — та побудуйте її графік.
ех
8.20. Розв’яжіть рівняння:
1) cos 2х = cos х - 1; 2) cos 2х = sin х.
8.21. Знайдіть координати точок перетину графіків функцій:
1) у = 1+ jx + 5 і у = х; 2) у = 2-2~Jx+ 5 і у = -х.
44. 44 § 1. Показникова та логарифмічна функції
МОЯ ЛЮБОВ - УКРАЇНА І МАТЕМАТИКА
Цей патріотичний вислів видатного українського математика,
академіка Михайла Пилиповича Кравчука викарбовано на граніт
ному постаменті пам’ятника науковцеві (див. форзац 1).
Михайло Кравчук народився в с. Човниці на Волині. Закінчив
ши із золотою медаллю Луцьку гімназію, а потім математичне
відділення Київського університету, він залишився працювати
в Києві.
Висока наукова продуктивність і працездатність, оригінальність
і гнучкість мислення М. П. Кравчука дозволили йому отримати
важливі наукові результати в алгебрі та теорії чисел, теорії функ
цій та математичному аналізі, диференціальних та інтегральних
рівняннях, теорії ймовірностей та статистиці тощо. Відомо, що його
науковий доробок був значною мірою використаний американськи
ми вченими під час створення першого комп’ютера.
М. П. Кравчук брав активну участь у створенні української на
укової термінології, одним із перших почав писати наукові праці
українською мовою, хоча вільно володів російською, французькою,
німецькою, італійською, польською та іншими мовами.
Великого значення надавав М. П. Кравчук навчальній роботі
з молоддю, зокрема, за його ініціативи в 1935 р. було проведено
першу Київську математичну олімпіаду для школярів. Спробуйте
свої сили в розв’язанні задач цієї олімпіади.
Завдання першої Київської математичної олімпіади (1935 р.)
1b3- а 3Ь - Ь 2с + с а 3
(Ь-сУ
1. Обчисліть значення виразу
b = 0,19, с = 0,18, d = 0,04.
2. Розв’яжіть рівняння 4х -9-20,75 _ ^
-fd при а =
3. Розв’яжіть систему рівнянь
х + у = 4,
[(х2+ у2){х3+ у3) = 280.
4. Додатні числа щ,н2, ■■■,ип утворюють арифметичну прогресію.
Доведіть, що
І 1 1 _ л -1
+ [^2 л/щ + у[^Я -]ип- 1 + 'J^n +
5. Нехай а і b — катети прямокутного трикутника, с — його гіпо
тенуза. Доведіть, що
logc+i)а + logc_bа = 2 loge+(1а ■logc_bа.
45. Завдання Ns 1«Перевірте себе» в тестовій формі 45
ЗАВДАННЯ №1 «ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ» В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ
1. Яка область визначення функції у = —— -?
А) (—о°; +о°); В) (—°°; 7) U(7; +°°);
Б) (-о°;і)и(1;+оо); Г) (-°°;0)U(0;+°°).
2. На одному з рисунків зображено графік функції у = 3 Укажіть
цей рисунок.
А) Б) В) Г)
У‘
1 / у ‘
‘ У‘ У‘і
— х 0 ^ — X
1 1 >
Ч 1 / <1
0 х 0 X
( 2Y Г15Т 4Чому дорівнює корінь рівняння 1—1 •
It J = 9 ?
А) 2; Б) -2 ; В) 1; Г) -1.
4. Знайдіть множину розв’язків нерівності 0,6х > 0,6.
А) (-оо; 1); В) ( - o o ;- l) U ( l;+ o o ) ;
Б)(1;+оо); Г) (-1 ; 1).
5. Розв’яжіть рівняння Зх+3 + 5 •3х 1= 86.
А) 0; Б) 1; В) 2; Г) 3.
6. Обчисліть значення виразу log0225 - logs— .
А) 1; Б) -1 ; В) 5; Г) -5.
7. Подайте число 3 у вигляді степеня числа 10.
A) 3 = 10logs10; В) 3 = 10lg3;
Б) 3 = 10logs3; Г) подати неможливо.
8. Чому дорівнює значення виразу log6108 - log6З?
А) -1 ; Б) 2; В) -3 ; Г) 4.
9. Розв’яжіть нерівність log02х > log025.
А) (-оо; 5); В) (0; 5) U(5; +°°);
Б) (5;+со); Г) (0; 5).
46. 46 § 1. Показникова та логарифмічна функції
10. Через яку з даних точок проходить графік функції у = logj х?
2
А) (2; 1); Б) (2; -1); В) (^2;£|; Г) (2; 0).
11. При яких значеннях а і Ьвиконується рівність lg ab = lg(-a) +
+ 1g(-b)?
А) а > 0, b < 0; В) а < 0, b < 0;
Б) а < 0, b > 0; Г) таких значень не існує.
12. На рисунку зображено графік функції
у = /(х), визначеної на множині дійсних
чисел. Скільки коренів має рівняння
In / (х) = 0?
A) Жодного кореня;
Б) два корені;
B) три корені;
Г) визначити неможливо.
13. Укажіть найбільший цілий розв’язок нерівності logQ (3 - 2х) <
< - 1 .
А) -2 ; Б) -1 ; В) 1; Г) такого розв’язку не існує.
14. Яка множина розв’язків нерівності ogx[x < 1?
А) (-оо;+оо); Б) (0;+оо); В) (0; 1) U(1;+оо); Г) 0 .
15. Розв’яжіть рівняння log4(x - 4) + log4(x —1) = 1.
А) 0; 5; Б) 0; В) 5; Г) 1; 4.
16. Порівняйте значення виразів log45, log64, log02 3.
A) logQ23 < log64 < log45; В) logQ23 < log45 < log64;
Б) log64 < log023 < log45; Г) log45 < log64 <log023.
17. Знайдіть похідну функції у = x 3e'.
А) у’ = 3 x V ; В) у’ = 3 x V + x V ;
Б) у’ = 3 x V - х V ; Г) у’ = х V In 3.
х^_
InX
18. Знайдіть проміжки спадання функції у
А) (-°о; 0), (1; 4е, В) (0; л/е];
Б) (0; 1), (1; Ve]; Г) (0; 1).
НІГ
47. Головне в параграфі 1 47
ГОЛОВНЕ В ПАРАГРАФ11
Властивості функції у = ах, де а > 0, а Ф1
Область визначення М
Область значень (0; +оо)
Нулі функції -
Проміжки
знакосталості
у > 0 на М
Зростання/ спадання
Якщо а > 1, то функція є зростаючою;
якщо 0 < а < 1, то функція є спадною
Диференційовність Диференційовна
Показникові рівняння
При а > 0 і а Ф1 рівність а*1= а*1 виконується тоді й тільки
тоді, коли хл= х2.
Якщо а > 0 і а 5*1, то рівняння а/('° = аг('° рівносильне рівнянню
f(x) = g(x).
Показникові нерівності
Якщо а > 1, то нерівність а№) > аг('° рівносильна нерівності
fix) > g(x); якщо 0 < а < 1, то нерівність an'r) > as(x) рівносильна
нерівності fix) < gix).
Логарифм і його властивості
Логарифмом додатного числа b з основою а, д е а > 0 і а ^ 1 , на
зивають показник степеня, до якого потрібно піднести число а,
щоб отримати число Ь.
Основна логарифмічна тотожність:
aloe“b =Ь.
Якщо х > 0 , у > 0, а > 0 і а Ф1, то виконуються рівності:
logaху = logaх + logaу;
loga- = logax -lo g ау.
У
Якщо х > 0 , a > 0 і a ^ 1,
рівність logaхр= Р logaх.
Якщо а > 0, а 5*1, b > 0,
log’ Ь
b g ab =
logcа
то для будь-якого Р є М виконується
С > 0, С 5* 1, то виконується рівність
Якщ оа>0, а5*1,6>0, &5*1,то виконується рівність logab = ------- .
log’sа
48. 48 § 1. Показникова та логарифмічна функції
Якщо а > 0, аФ 1, b > 0, то для будь-якого виконується
рівність logapb = і log0b.
Властивості функції у = logaх
Область визначення (0; +оо)
Область значень М
Нулі функції х = 1
Проміжки
знакосталості
Якщо а > 1, то у < 0 на проміжку (0; 1),
у > 0 на проміжку (1; + °° );
якщо 0 < а < 1, то у < 0 на проміжку (1; +°°),
у > 0 на проміжку (0; 1)
Зростання /
спадання
Якщо а > 1, то функція є зростаючою;
якщо 0 < а < 1, то функція є спадною
Диференційовність Диференційовна
Логарифмічні рівняння
Якщо а > 0, аФ 1, то рівняння виду log^ f(x) = log^ g(x) рівно-
- . f(x) = g(x), f(x) = g(x),
си л ьн е б у д ь -я к ій 13 си стем і і
1 /(х)> 0 , [g(x)> 0 .
Логарифмічні нерівності
Якщо а > 1, то нерівність log /(х ) > log g(x) рівносильна систе-
. f(x)>g(x),
МІ і
|g(x) >0.
Якщо 0 < а < 1, то нерівність log /(х ) > log g(x) рівносильна
. f/(x )< g (x ),
си стем і і
!/(* ) > о.
Похідні показникової та логарифмічної функцій
(є')' = ех
(а')' = ахIn а
(log0х)'
1
xlna
(lnx)' = —
х
49. ІНТЕГРАЛ І ЙОГО
ЗАСТОСУВАННЯ
У цьому параграфі ви ознайомитеся з операцією, оберненою до ди
ференціювання, і вивчите властивості цієї операції.
Ви розширите клас фігур, площі яких зможете знаходити. Ознайомитеся
з поняттям «визначений інтеграл» і з'ясуєте його геометричний зміст.
9. Первісна
Ви знаєте, що знаходження похідної заданої функції називають
диференціюванням. Обернену операцію, тобто знаходження функ
ції за її похідною, називають інтегруванням.
О значення. Функцію F називають п ер в існ ою ф ун кц ією
(або коротко п ер в існ ою ) функції / на проміжку І, якщо для всіх
х є І виконується рівність
F'(x) = f(x).
Наприклад, функція F(x) = x2 є первісною функції f(x) = 2х на
проміжку (—оо;+оо), оскільки на М виконується рівність (х2)' = 2х.
Часто в задачах, пов’язаних з первісною функції, проміжок І
опускають. У таких випадках вважають, що / = (—оо;+оо). Так,
функція F(x) = cos х є первісною функції /(х ) = -sin х, оскільки
виконується рівність (cos х)' = -sin X.
Наведемо ще один приклад. Функція F(x) = yfx є первісною
функції /(х ) = — на проміжку (0; +оо), оскільки на цьому про-
2ух
міжку виконується рівність (л/х) = —^=.
2ух
Розглянемо функції у = х24-1 і у = х2 —2. Кожна з них має одну
й ту саму похідну у = 2х. Таким чином, обидві функції у = х24-1
і у = х 2—2 є первісними функції у = 2х. Зрозуміло, що кожна
з функцій виду у = х2+ С, де С — довільне число, є первісною функ
ції у = 2х. Отже, задача знаходження первісної має безліч роз
в’язків.
Мета інтегрування полягає в тому, щоб для заданої функції
знайти всі її первісні на заданому проміжку.
50. 50 § 2 . Інтеграл і його застосування
Як пов’язані між собою всі первісні даної функції, указує така
теорема.
Теорема 9.1 (основна властивість первісної). Якщо
функція F є первісною функції f на проміжку І та С — довільне
число, то функція
У = F(x) + C
також є первісною функції f на проміжку І.
Будь-яку первісну функції f на проміжку І можна подати
у вигляді у = F (х) + С, де С — деяке число.
Якщо функція F є первісною функції / на проміжку І, то запис
F(x) + C, де С — довільне число, називають загальним виглядом
первісних функції / на проміжку І.
З основної властивості первісної випливає, що графіки будь-
яких двох первісних даної функції можна отримати один з одного
паралельним перенесенням уздовж осі ор
динат (рис. 9.1).
Сукупність усіх первісних функції у =
= /(х ) на проміжку І називають її невизна-
ченим інтегралом і позначають
J/(x)dx
(читають: «інтеграл еф від ікс де ікс»).
Під час розв’язування задач на первісну
зручно користуватися таблицею, наведеною
на форзаці 3.
Задача 1. Знайдіть загальний вигляд первісних функції
/(х ) = Xі .
Р о з в ’язання. Користуючись таблицею первісних, отримуємо,
х6
що однією з первісних функції /(х ) = х5 є функція F(x) = — . Тоді
6
X е
згідно з теоремою 9.1 за п и с-----1-С, де С — довільне число, є за-
6
гальним виглядом первісних. ◄
З розв’язання задачі 1 випливає, що
в
[xBdx = — + С.
Задача 2. Для функції /(х ) = cos х знайдіть первісну, графік
п
якої проходить через точку М І—; 3 |.
51. 9. Первісна 51
Р о з в ’язання. Користуючись таблицею первісних, отримуємо,
що шукана первісна має вигляд F{x) = sin х + С, де С — деяке чис
ло. Знайдемо це число.
( п) п
З умови випливає, що F —І= 3. Тоді sin—+ С = 3. Ураховуючи,
■ 1 о tr
що sin—= —, знаходимо: G = 2,5.
6 2
Таким чином, шукана первісна має вигляд F(x) = sin х + 2,5. ◄
? —1. Яку функцію називають первісною функції / на проміжку І ?
2. Сформулюйте основну властивість первісної.
3. Який запис називають загальним виглядом первісних?
4. Що називають невизначеним інтегралом? Як його позначають?
9.1. ° Установіть, чи є функція F первісною функції /:
1) F(x) = Зх2+ х —2, f(x ) = 6хч-1;
2) F(x) = х~4, f(x) = -4x~5на проміжку (0; +oo);
3) F(x) = sin x + 3, fix) = cos x + 3;
4) F(x) = 5r, /(x ) = 5 'In 5.
9.2. ° Доведіть, що функція F є первісною функції / на проміжку І:
1) F(x) = х4- 2х2+ 6, f(x) = 4х3- 4х, І = (-°°; +оо);
2) F(x) = , f(x) = ~ , I = (—°°; 0);
X X
3) F (х) = 5 - Зл/х, / (х) = ----^=, / = (0;+оо).
2 ух
9.3. Чи є функція F(x) = — первісною функції /(х ) = — - на про-
X X
міжку:
1) (0;+°°); 2) (-2; 2); 3) (- °о ; 0]; 4) (-6; 0)?
9.4. ° Знайдіть загальний вигляд первісних функції:
1) / (х) = 5;
2) f(x) = х;
3) f(x) = хв;
4) fix) = 2';
5) fix) = — на проміжку (—оо; 0);
X
6) fix) = у[х на проміжку [1; +°о);
7) fix) = y[x на проміжку (—оо; —3);
8) fix) = х~5 на проміжку (0; +оо).
52. 52 § 2 . Інтеграл і його застосування
9.5.° Знайдіть загальний вигляд первісних функції:
1
1 )/(* ) = 0;
2) f(x) = x8;
3) Пх) = ± ;
З
4 ) / (х) = —— на проміжку (0 ;+ о о );
х
5 ) f(x) = l[x на проміжку (4 ;+ о о );
6) f(x) = tfx на проміжку [0,5; +оо).
9.6." Для функції / знайдіть первісну, графік якої проходить через
3) f(x) = ех, С (0; -6).
указану точку:
1 ) /(* ) = **, А (-1; 3);
2) f{x) = sin х, В (п; -1);
9.7." Для функції / знайдіть первісну, графік якої проходить через
указану точку:
1) f { x ) = x6, 1;
2) f(x) = cos х, N—
3) f(x) = З', К
6 2
2; —
V ШЗу
( 9 Л
9.8." Для функції / знайдіть на проміжку І первісну F, яка набуває
даного значення у вказаній точці:
1) f(x) = — , І = (0 ; +оо), F - = - 9 ;
1 т І^ Я.
П) F 1
2 9
COS X
J 1^ 2’ 2 )
і’
3) /(х ) = - , І = (—0°; 0), F (-e ) = 7;
х
4) /(х ) = - г , І = (—°°; 0), f ^ - - J = 3.
9.9.’ Для функції / знайдіть на проміжку І первісну F, яка набуває
даного значення у вказаній точці:
1) f(x) = ^=, І = (0; +оо), 2?(16)=10;
V X
2) f(x) = ~, І = (0; +оо), F - = -2 ;
X ЄJ
3) fix) = 2х, І = (-оо;+оо), F(5) = 1.
53. 9. Первісна 53
9.10."' Укажіть на рисунку 9.2 графік, який може бути графіком
первісної функції f(x) = cos 3.
У>і У<> Уі> Уі і
О
іН
)
О
О
У
X 0 *х
а б в г
Рис. 9.2
9.11.** Укажіть на рисунку 9.3 графік, який може бути графіком
первісної функції f(x) = In 2.
Рис. 9.3
9.12." Для функції /(х ) = sin2—- cos2— знайдіть які-небудь дві
первісні, відстань між відповідними точками графіків яких
(тобто точками з рівними абсцисами) дорівнює 2.
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
9.13. Розв’яжіть нерівність:
1) log2(1,5х - 3) < 1+ 2 log20,3;
2) log04(3,5- 5х)> 2 log040,2-1.
9.14. Спростіть вираз:
2sin(n - а)
1)
2)
sin —+ а + tgasin(n + а)
2cos а
1 + sin(n + а)
-+ 2cos| - - а І.
54. 54 § 2 . Інтеграл і його застосування
10. Правила знаходження первісної
Під час знаходження похідних функцій ви користувалися пра
вилами диференціювання. У цьому пункті ми розглянемо правила
знаходження первісних.
Теорема 10.1. Якщо функції F і G є відповідно первісними
функцій f і g на проміжку І, то на цьому проміжку функція
у = F (х ) + G(x) є первісною функції у = /(х ) + g(x).
Доведення. З умови випливає, що для будь-якого х е І вико
нуються рівності F'(x) = /(х ) і G'(x) = g(x). Тоді для всіх х із про
міжку І маємо:
(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f(x ) + g-(x).
Отже, функція у = F(x) + G(x) є первісною функції у = /(х ) + g(x)
на проміжку І. ◄
З теореми 10.1 випливає, що
J(/(x) + £(х))гїх = jf(x)dx + jg(x)dx = F(x) + G(x) + C,
де C — довільне число.
Аналогічно можна довести, що
^(f(x)-g(x))dx = J/(x)dx - Jg'(x)dx = F (x )-G (x ) + C.
Теорема 10.2. Якщо функція F є первісною функції f на про
міжку І та k — деяке число, то на цьому проміжку функція
у = kF (х ) є первісною функції у = kf(x).
Тепер можна записати:
jkf(x)dx = kjf(x)dx = kF(x) + C,
де С — довільне число.
Задача 1. Знайдіть загальний вигляд первісних функції/(х) =
= х2+ cos х.
з
2 . ОС
Р о з в ’язання. Первісною функції у = х є функція у = — . Пер-
3
вісною функції у = cos х є функція у = sin X.
Скориставшись теоремою 10.1, отримуємо, що функція
х3
у = -----1-sinx є первісною заданої в умові функції /. Тоді запис
З
зX
-----l-sinx + C є загальним виглядом первісних функції /. ◄
55. 10. Правила знаходження первісної 55
Задача 2. Для функції f(x ) = 5 sin х знайдіть первісну F, яка
задовольняє умову F(0) = 0.
Р о з в ’язання. Первісною функції г/= sin х є функція у = —cos х.
Скориставшись теоремою 10.2, отримуємо, що функція у = -5 cos х
є первісною заданої в умові функції у = 5 sin х. Тоді існує таке
число С, що F(x) = -5 cos х + С. Знайдемо число С з умови F(0) = 0.
Маємо: -5 cos 0 + С = 0. Звідси С = 5.
Відповідь: F(x) = -5 cos х + 5. ◄
Задача 3. Швидкість руху матеріальної точки по координатній
прямій змінюється за законом v(t) = 312+ 41. Знайдіть закон руху
у = s(t), якщо s(0) = 3 м (переміщення вимірюють у метрах, час —
у секундах).
Р о з в ’язання. Функція y = s(t) є первісною функції y = v(t) на
проміжку [0;+оо). Тоді можна записати:
s(t) = t:i +2t2+С,
де С — деяке число. Знайдемо число С з умови s(0) = 3. Маємо:
ts + 212+ С = 3, звідси С = 3.
Отже, шуканий закон руху задається формулою
s(t) = tz + 2t2+ 3. ◄
?1. Якзнайти первісну функції у =f(x) +g(x)7
2. Якзнайти первісну функції y =hf{x), де h - деяке число?
ВПРАВИ
10.1.° Знайдіть загальний вигляд первісних функції:
1) f(x) = 4 - 2х;
ч 6 35) f(x) = ---- х на проміжку (—оо; 0);
X
2) f(x) = Зх2- х + 5;
4 о
6) f (х) = —= + х на проміжку (0; +°°);
УІХ
3) f(x ) = 5 sin х + cos х;
1 3
7) f (х) = —г-ч— j на проміжку (—оо;0);
X X
4) f(x) = 5ех - 2 •3'; 8) f(x) = 4 x --^ r на проміжку (0;+оо).
X
10.2.° Знайдіть загальний вигляд первісних функції:
2) /(х) = х2+4х~1; 3) /(х ) = ^ех +2х1п2;1) f(x) = х + 3;
56. 56 § 2 . Інтеграл і його застосування
4) /(х ) = ----------3sinx на проміжку
COS X
5 ) f(x) = 5i[x---- на проміжку (0 ;+ о о );
х
9 8
6) /(х ) = ——ч— - на проміжку (—оо; 0).
X X
10.3. " Для функції / на проміжку І знайдіть первісну F, яка задо
вольняє дану умову:
1 ) /(х ) = 1 -2 х , / = ( - оо;+оо), F(3) = 2;
2 ) /(х ) = Зх2- 4х, / = (-оо;+оо), F( 1) = 4;
3) /(х ) = 4 - - ^ , / = (0 ;+ о о ), =
4) /(х ) = (2 - Зх)2, / = (-оо;+оо), 2?(1) = 0.
10.4. " Для функції / на проміжку І знайдіть первісну F, графік якої
проходить через дану точку:
1) f( x) = 3 - 6х, І = (-оо; +оо), А ( - 1; 0);
2) /(х ) = 4х3- 6х2+ 1, І = (-оо; +оо), В( 1; 5);
3) /(х ) = 2х — т=, І = (0; +°°), С(4; 10);
}Х
4) /(х ) = 2 sin X, І = (-оо; +оо), D ^ ; 0
10.5. " Для функції /(х ) = 4х3+ 4х знайдіть первісну F, один із нулів
якої дорівнює -1 . Знайдіть решту нулів цієї первісної.
10.6. " Для функції /(х ) = х2- 12 знайдіть первісну F, один із нулів
якої дорівнює 3.
10.7. ’’ Функції F і F2 є первісними функції /(х ) = 5х4- Зх2 - 2 на
проміжку (—оо; +оо). Графік функції .F проходить через точку
А( 1; 2), а функції F2— через точку В(0; 5). Графік якої з функ
цій, .F або F2, розташований вище?
10.8. ’’ Функції F і F2 є первісними функції /(х ) = (2х - І)2 на про
міжку (-оо; +оо). Графік функції F проходить через точку А(2; 6),
а функції F2 — через точку В(—1; 1). Графік якої з функцій, F
або F2, розташований вище?
10.9. ’’ Швидкість матеріальної точки, яка рухається по коорди
натній прямій, змінюється за законом v(t) = t2+ 2t - 3. Запишіть
формулу залежності її координати від часу, якщо в початковий
момент часу t = 0 точка знаходилася в початку координат (швид
кість руху вимірюють у метрах за секунду).
п п
2 ’ 2
![УДК [373.5 : 372.851]: [512.1 + 514.1]
М52
Рекомендовано
Міністерством освіти і науки України
(наказ Міністерства освіти і науки України
від 12.04.2019 № 472)
Видано за рахунок державних коштів.
Продаж заборонено
Авторський колектив:
Аркадій МЕРЗЛЯК,
Дмитро НОМІРОВСЬКИЙ,
Віталій ПОЛОНСЬКИЙ,
Михайло ЯКІР
Мерзляк А. Г.
М52 Математика : алгебра і початки аналізу та геометрія,
рівень стандарту : підруч. для 11 кл. закладів загальної
середньої освіти / А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський,
В. Б. Полонський та ін. — X. : Гімназія, 2019. — 208 с. : іл.
ISBN 978-966-474-323-2.
УДК [373.5 : 372.851] : [512.1 + 514.1]
© А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський,
В. Б. Полонський, М. С. Якір, 2019
© ТОВ ТО «Гімназія», оригінал-макет,
художнє оформлення, 2019ISBN 978-966-474-323-2](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)