1

1. ЛІНІЙНІ, КВАДРАТНІ, РАЦІОНАЛЬНІ, ІРРАЦІОНАЛЬНІ, ПОКАЗНИКОВІ,
ЛОГАРИФМІЧНІ, ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ, НЕРІВНОСТІ ТА ЇХНІ
СИСТЕМИ
Рівняння – це рівність, яка містить змінну.
Рівнянням називають рівність, яка містить одну або декілька невідомих.
Загальний вигляд рівняння з однією змінною: f1(x) = f2(x).
Часто всі функції переносять в одну (ліву) частину рівняння. Тоді рівняння набуває
вигляду: f(x) = 0.
Областю допустимих значень (ОДЗ) рівняння f(x) = 0 називають область визначення
функції f(x).
Розв'язок рівняння – це значення змінної, при якому рівняння перетворюється на
правильну рівність.
Розв'язати рівняння означає знайти всі його розв'язки (корені) або довести, що їх
немає.
Рівносильні рівняння – це рівняння, які мають одні і ті самі розв'язки (корені).
Властивості рівнянь:
•зведення подібних доданків;
•множення (ділення) обох частин рівняння на одне і те саме число, відмінне від
нуля.
Основні види рівнянь з однією змінною:
• лінійні рівняння;
• квадратні рівняння;
• рівняння, що зводяться до квадратних (біквадратні);
• ірраціональні рівняння;
• показникові рівняння;
• логарифмічні рівняння;
• тригонометричні рівняння;
• диференціальні рівняння.
Відомо, що далеко не кожне перетворення рівняння зберігає незмінною множину
його коренів. В одному випадку ця множина може звузитися, що приведе до втрати
коренів, в іншому – розширитися, тобто з'являться сторонні корені. Це може
відбуватись при розв'язуванні рівняння методом наслідків або методом рівносильних
перетворень.
Метод наслідків – це метод розв'язування рівняння, при якому дане рівняння
замінюють на рівняння-наслідок, а потім отримані корені піддають перевірці. Його
застосовують тоді, коли виконати перевірку нескладно. Якщо ж перевірка потребує
значних обчислень, тоді використовують інший шлях розв'язування – метод
рівносильних перетворень. Але застосовуючи як метод наслідків, так і метод
рівносильних перетворень, важливо знати причини втрати коренів і появи сторонніх
коренів.

2. РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ДЕЯКИХ ВИДІВ РІВНЯНЬ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ
Розв′язання лінійних рівнянь з одним невідомим ах = b,
де a і b – коефіцієнти, х – невідоме.
1)
a
b
xa =≠ ,0 ; 2) a = 0, b ≠ 0, коренів немає;
3) а = 0, b = 0, коренем є будь-яке дійсне число.
Розв′язання квадратних рівнянь х2
= а
1) a < 0, коренів немає; 2) а = 0, х = 0; 3) a > 0, ax ±= .
ax2
+ bx + c = 0, a ≠ 0, D = b2
– 4ac
1) D < 0, коренів немає; 2) D = 0,
a
b
x
2
−= ; 3) D > 0,
a
Db
x
2
±−
= .
x2
+ px + q = 0,
Якщо х1, х2 – корені рівняння, то:
1) x1 + x2 = –p; x1· x2 = q;
2) x2
+ px + q = (x – x1)(x – x2).
Розв′язання двочленних рівнянь хп
= b,
1) п – непарне, n
bx = ; 2) п – парне, b < 0, коренів немає;
3) п – парне, b ≥ 0, n
bx ±= .
Розв′язання ірраціональних рівнянь ax = ,
1) а < 0, коренів немає; 2) а = 0, х = 0; 3) а > 0, х = а2
.
Основні методи розв'язування рівнянь:
• метод розкладання на множники;
• метод заміни змінної;
• функціональний метод.
Розв'язування рівнянь з однією змінною методом розкладання на множники
Метод розкладання на множники використовують тоді, коли вдається ліву частину
рівняння f(x)=0 подати у вигляді добутку кількох виразів. Цей крок є корисним,
оскільки дозволяє замість даного рівняння розв'язати сукупність більш простих
рівнянь.
Найбільш поширені випадки розкладання на множники лівої частини рівняння
f(x)=0. (а – стала величина, дійсне число)
x2
– a2
= 0 => (x – a)(x + a) = 0;
х3
+ а3
= 0 => (х + а)(х2
– ах + а2
) = 0;
х3
– а3
= 0 => (х – а)(х2
+ ах + а2
) = 0;
х3
– 1 = 0 => (х – 1)(х2
+ х + 1) = 0;
х3
+ 1 = 0 => (х + 1)(х2
– х + 1) = 0;
х4
– 1 = 0 => (x2
– 1)(x2
+ 1) = 0;
х6
– 1 = 0 => (x3
– 1)(x3
+ 1) = 0.

3. Приклад. Розв'яжіть рівняння (х + 9)2
– 36 = 0.
Розв'язання. Перетворимо дане рівняння так: (х + 9)2
– 62
= 0. Подамо ліву частину
рівняння у вигляді добутку: (х + 9 – 6)(х + 9 + 6) = 0. Отримаємо рівняння (х + 3)(х +
15) = 0. Воно рівносильне сукупності рівнянь х + 3 = 0 і х + 15 = 0. Звідки х = –3 і х =
–15.
Відповідь: –15; –3.
Розв'язування рівнянь з однією змінною методом заміни змінної
Розглянемо розв'язування рівняння методом заміни змінної.
Приклад 1. Розв'яжіть рівняння sin2
t + 2sint = 3.
Розв'язання. Перетворимо дане рівняння так: sin2
t + 2sint – 3 = 0.
Зробивши заміну sint = y, отримаємо рівняння у2
+ 2у – 3 = 0.
За теоремою Вієта знаходимо корені утвореного рівняння у1 = –3, у2 = 1.
В результаті отримуємо для рівняння у2
+ 2у – 3 = 0 рівносильну сукупність рівнянь
sint = –3 та sint = 1.
Оскільки |sint | ≤ 1, то рівняння sint = –3 коренів немає. Знайдемо корені рівняння
sint = 1:
Zkkt ∈+= ,2
2
π
π
.
Відповідь: Zkkt ∈+= ,2
2
π
π
Приклад 2. Розв'яжіть рівняння 3х+1
– 2 · 3х–2
= 75.
Розв'язання. Запишемо рівняння у вигляді 3х
· 3 – 2 · 3х
· 3–2
= 75 або
753
9
2
33 =⋅−⋅ хх
.
Зробимо заміну 3х
= у і отримаємо рівняння 75
9
2
3 =− уу . Розв'яжемо його:
27у – 2у = 675 => 25у = 675 => у = 27.
Маємо: 3х
= 27 => 3х
= 33
=> х = 3.
Відповідь: х = 3.
РОЗВ'ЯЗУВАННЯ НЕРІВНОСТЕЙ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ
НЕРІВНОСТІ
Числові
2 < 5; 5 > 1; 10 ≤ 10; 3 ≥ 1
Умовні (із змінною)
f1(x) < f2(x); f1(x) > f2(x);
f1(x) ≤ f2(x); f1(x) ≥ f2(x)
Числові нерівності
Нерівність a < b справедлива тоді і тільки тоді, коли a – b < 0.
Нерівність a > b справедлива тоді і тільки тоді, коли a – b > 0.

4. Основні властивості числових нерівностей
а < c при a < b і b < c (транзитивність)
при a > b a+c > b+c c ∈ R
ac > bc при a > b і c > 0
ac < bc при a > b і c < 0
a+c > b+m при a > b і c > m
ac > bm при a > b > 0 і c > m > 0
Важливі нерівності
При а ≥ 0, b ≥ 0 виконується нерівність ab
ba
≥
+
2
( * ) (Нерівність Коші)
Число
2
ba +
називається середнім арифметичним.
Число ab називається середнім геометричним.
Нерівності зі змінною
Нерівність виду f(x)>q(x) називають нерівністю з однією змінною.
Розв'язком цієї нерівності називається число х0 таке, що числова нерівність
f(x0)>q(x0) справедлива.
Розв'язати нерівність з однією змінною означає знайти всі її розв'язки.
Дві нерівності називаються рівносильними, якщо множини їх розв'язків збігаються.
Рівносильні перетворення нерівностей з однією змінною ґрунтуються на таких
теоремах:
Теорема 1. Якщо до обох частин нерівності додати вираз, визначений при всіх
припустимих значеннях змінної, то дістанемо нерівність, рівносильну даній.
Наслідок. Будь-який член нерівності можна перенести з однієї частини нерівності
до другої, змінивши його знак на протилежний.
Теорема 2. Якщо обидві частини нерівності помножити на вираз, додатний при всіх
припустимих значеннях змінної, то дістанемо нерівність, рівносильну даній.
Теорема 3. Якщо будь-яку нерівність системи нерівностей замінити на рівносильну,
то дістанемо систему, рівносильну даній.
Теорема 4. Нехай дано нерівність f1(x)>f2(x) і зростаючу функцію q(x) таку, що
E(f1)⊂D(q) і E(f2)⊂D(q), тоді нерівність q(f1(x))>q(f2(x)) рівносильна даній.
Квадратні нерівності
Нерівність виду ax2
+bx+c > 0 називається квадратною. (a, b, c ∈R, a ≠ 0)
Розглянемо квадратну нерівність при a>0. Якщо a<0, то таку нерівність можна
помножити на (–1).
Отже, a > 0.

5. Можливі випадки.
D > 0 Нерівність ax2
+bx+c > 0 виконується при x < x1 або x > x2.
Нерівність ax2
+bx+c < 0 виконується при x1 < x < x2, x1 і x2 – корені
квадратного тричлена ax2
+bx+c, х1 < х2.
D = 0 Нерівність ax2
+bx+c > 0 виконується при будь-якому дійсному
a
b
x
2
−≠ .
Нерівність ax2
+bx+c < 0 немає розв'язків.
D < 0 Нерівність ax2
+bx+c > 0 виконується при будь-якому дійсному х.
Нерівність ax2
+bx+c < 0 немає розв'язків.
Раціональні нерівності
Раціональною називається нерівність виду 0
)(
)(
>
xQ
xP
, де P(x) і Q(x) – многочлени.
Помноживши обидві частини нерівності на Q2
(x), одержимо нерівність P(x) ⋅Q(x)>0,
рівносильну даній.
Такі нерівності розв'язують методом інтервалів.
Ірраціональні нерівності
Ірраціональними називають нерівності, в яких змінна стоїть під знаком кореня.
(всюди розглядаються лише арифметичні корені)
Нерівність )()( xfxq < рівносильна системі нерівностей






<
>
≥
.))(()(
,0)(
,0)(
2
xfxq
xf
xq
Нерівність )()( xfxq > рівносильна сукупності двох систем нерівностей



>
≥
.))(()(
,0)(
2
xfxq
xf
та



≥
<
.0)(
,0)(
xq
xf
Метод інтервалів ґрунтується на такій теоремі.
Теорема. Якщо функція F(x) визначена і неперервна на проміжку a<x<b та немає
коренів на цьому проміжку, то при всіх значеннях аргументу х, що належать цьому
проміжку, функція F(x) зберігає знак.
При розв'язуванні нерівностей методом інтервалів можна дотримуватися
такого алгоритму:
1) Записати подану нерівність у вигляді f(x)>0 або f(x)<0.
2) Знайти D(f).
3) Знайти нулі функції f(x).
4) Позначити на D(f) нулі функції.
5) Знайти знак функції на кожному із проміжків, на які розбивається D(f).
6) Записати відповідь, враховуючи знак даної в умові нерівності.
Показниковим називається рівняння, що містить невідоме тільки у показнику степеня.
Найпростіше показникове рівняння: ах
= b (a > 0, b > 0, a ≠ 1).
Його розв’язком є число x = logab.

6. Розв′язання показникових рівнянь
g(x)
a
f(x)
a = , де а > 0, а ≠ 1 ⇔ f(x) = g(x);
g(x)
b
f(x)
a = , де а > 0, а ≠ 1, де b > 0, b ≠ 1 ⇔ b
c
xga
c
xf log)(log)( = , с > 0, с ≠ 1.
g(x)
(u(x))
f(x)
(u(x)) =





=
≠
>
⇔
),()(
,1)(
,0)(
xgxf
xu
xu
і



=
−
1.
,визначені)(),(
u(x)
xgxf
При розв’язуванні показникових нерівностей використовують такі теореми.
Теорема 1. ൜ܽ௙(௫)
> ܽ௚ሺ௫ሻ
,
0 < ܽ < 1
⇔ f (x) < g(x).
Теорема 2. ൜ܽ௙(௫)
> ܽ௚ሺ௫ሻ
,
ܽ > 1
⇔ f (x) > g(x).
Логарифмічними називаються рівняння, що містять невідоме під знаком логарифма
або в основі логарифма.
Найпростіше логарифмічне рівняння logax = t, де a > 0, a ≠ 1,
має єдиний розв’язок x = at
.
До найпростіших логарифмічних рівнянь належать також рівняння logxa = b.
Розглянемо всі можливі випадки.
1) a = 1, b = 0. Розв’язком рівняння є будь-яке додатне число, відмінне від одиниці.
2) a = 1, b ≠ 0. Розв’язків немає.
3) a ≠ 1, b = 0. Розв’язків немає.
4) a ≠ 1, b ≠ 0. Рівняння має єдиний розв’язок ‫ݔ‬ = ܽ
భ
್ або ‫ݔ‬ = √ܽ
್
.
Розв′язання логарифмічних рівнянь
loga f(x) = loga g(x),
a > 0, a ≠ 1 ⇔





=
>
>
)()(
,0)(
,0)(
xgxf
xg
xf
logaf(x) = b, a > 0, a ≠ 1 ⇔ f(x) = ab
.

7. У випадках, коли рівняння містить логарифми за різними основами, слід привести всі
логарифми до спільної основи.
Використання властивостей логарифмів (формул) при розв’язуванні логарифмічних
рівнянь може призвести до появи сторонніх коренів або втрати коренів. Тому
потрібно робити перевірку.
При розв’язуванні логарифмічних нерівностей використовують такі теореми.
Теорема 1. ቄ
log௔ ݂(‫)ݔ‬ > log௔ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ,
ܽ > 1
⇔ f (x) > g(x) > 0.
Теорема 2. ቄ
log௔ ݂(‫)ݔ‬ > log௔ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ,
0 < ܽ < 1
⇔ 0 < f (x) < g(x).
У випадках, коли основа логарифма містить невідоме, можна застосовувати загальний
метод розв’язування нерівностей.
Тригонометричними називаються рівняння у яких невідома (або змінна) є
аргументом тригонометричної функції.
Такі рівняння або не мають розв'язків, або мають безліч розв'язків (бо функції
періодичні).
Загального способу розв'язування тригонометричних рівнянь не існує.
У процесі розв’язування тригонометричного рівняння можуть з’явитися сторонні
корені. Для їх вилучення потрібно робити перевірку.
Розв'язки найпростіших тригонометричних рівнянь:
Тригонометричне рівняння Розв'язок
sin x = a
cos x = a
tg x = a
x = (–1)k
·arcsin a + kπ, k ϵ Z
x = ± arccos a + 2kπ, k ϵ Z
x = arctg a + kπ, k ϵ Z

8. Окремі випадки:
sin x = 1, Zkkx ∈+= ,2
2
π
π
sin x = 0, Zkkx ∈= ,π
sin x = –1, Zkkx ∈+−= ,2
2
π
π
cos x = 1, Zkkx ∈= ,2 π
cos x = 0, Zkkx ∈+= ,
2
π
π
cos x = –1, Zkkx ∈+= ,2 ππ
Розв'язки складніших тригонометричних рівнянь:
sin kx = a,
( )
k
na
x
n
π+⋅−
=
arcsin1
! Аналогічно розв'язуються рівняння з іншими тригонометричними функціями.
cos (kx + c) = a,
k
cna
x
−+±
=
π2arccos
! Аналогічно розв'язуються рівняння з іншими тригонометричними функціями.
Найпростіші тригонометричні нерівності
Розв'язування тригонометричних нерівностей зводиться до розв'язування
найпростіших тригонометричних нерівностей виду:
sin x ≥ a
cos x ≥ a
tg x ≥ a
ctg x ≥ a
sin x > a
cos x > a
tg x > a
ctg x > a
sin x ≤ a
cos x ≤ a
tg x ≤ a
ctg x ≤ a
sin x < a
cos x < a
tg x < a
ctg x < a
! Тригонометричні нерівності зручно розв'язувати графічним способом.
РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ РІВНЯНЬ І НЕРІВНОСТЕЙ
Системою рівнянь називається два або декілька рівнянь, у яких потрібно знайти всі
спільні розв’язки.
Розв’язати систему рівнянь – означає знайти всі її розв’язки або довести, що
розв’язків немає.
Якщо система має скінченне число розв’язків, то вона називається визначеною.
Якщо система має нескінченну множину розв’язків, то система називається
невизначеною.

9. Дві системи називаються рівносильними, якщо вони мають однакову множину
розв’язків.
Види систем рівнянь:
• сумісні (система має хоча б один розв'язок);
• несумісні (система немає розв'язків).
Методи розв'язування систем рівнянь ґрунтуються на трьох правилах про
рівносильні системи:
1) правило додавання рівнянь системи;
2) правило підстановки;
3) правило переходу до сукупності систем рівнянь.
Згідно 1-го правила можна рівняння системи помножити на деяке число і додати
почленно до іншого рівняння системи.
Згідно 2-го правила можна одну змінну виразити через інші одного рівняння і
підставити в інше рівняння системи.
Згідно 3-го правила










=
=



=
=
⇒



=
=
0);(
,0);(
0);(
,0);(
0);(
,0);();(
yxF
yxg
yxF
yxf
yxF
yxgyxf
Якщо необхідно знайти спільні розв’язки двох чи більше нерівностей, це означає,
що треба розв’язати систему двох чи більше нерівностей.
Розв’язками системи називаються такі значення змінної, які є розв’язками одразу
всіх нерівностей, що входять до даної системи.
Розв’язати систему нерівностей з однією змінною – означає знайти всі її розв’язки
або довести, що їх не існує.