Download to read offline
More Related Content
Urok 04 z
- 1. СТЕПЕНЕВІ, ПОКАЗНИКОВІ, ЛОГАРИФМІЧНІ,ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ВИРАЗИ ТА ЇХНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ Степеневі вирази та їхні перетворення Степеневими є вирази, які містять степені зі сталим показником і змінною основою. Запис такого степеня: xn , x – змінна, n – стала. Степеневі вирази перетворюють, використовуючи властивості степеня. Види степенів: • степінь з натуральним показником: 43421 разівn n xxxxx ⋅⋅⋅⋅= ... ; • степінь з цілим показником: 43421 разівn n xxxxx ⋅⋅⋅⋅= ... , x0 = 1 або n n x x 1 =− ; • степінь з раціональним показником: n mn m xx = . Основні властивості степеня: 1. xn ⋅xm = xn+m 2. mn m n mn x x x xx − ==: 3. ( ) mnmn xx ⋅ = 4. ( ) nnn yxyx ⋅=⋅ 5. n nn y x y x = 6. n n x x 1 =− 7. x0 = 1 8. x1 = x 9. 0n = 0, n > 0 Показникові вирази та їхні перетворення Показниковими є вирази, які містять степені зі сталою основою і змінним показником. Запис такого степеня: ах , а – стала, х – змінна. Показникові вирази перетворюють, використовуючи основні показникові тотожності. Основні показникові тотожності: 1. ܽ௫ା௬ = ܽ௫ ∙ ܽ௬ ; 2. ܽ௫ି௬ = ܽ௫ : ܽ௬ = ೣ ; 3. ܽ௫௬ = ሺܽ௫ሻ௬ = ሺܽ௬ሻ௫ ; 4. ܽ௫ ∙ ܾ௫ = ሺܾܽሻ௫ ; 5. ೣ ೣ = ቀ ቁ ௫ ; ܾ ≠ 0; 6. ܽ = 1; ܽ ≠ 0; 7. ܽଵ = ܽ; ܽି = ଵ ; ܽ ≠ 0; 8. ܽ = √ܽ ; ܽ > 0.
- 2. Логарифмічні вирази таїхні перетворення Логарифмічними є вирази які містять логарифми. Види логарифмів: • звичайний логарифм log ;ݔ • десятковий логарифм lg ;ݔ • натуральний логарифм ln .ݔ Логарифмічні вирази перетворюють, використовуючи властивості логарифмів. Основні властивості логарифмів: 1) )0,0(loglog)(log >>+= qpqppq aaa 2) )0,0(logloglog >>−= qpqp q p aaa 3) ),0(loglog Rppp aa ∈>= γγγ 4) )0,0(loglog >≠= ppp aa β β γγ β Наслідки: 4*) якщо βγ = , то pp aa loglog =γ γ 4**) якщо 1=γ , то pp aa log 1 log β β = 5) )1,0,0( log log log ≠>>= qqp q p p a a q Наслідок: 5*) якщо а = р, то q p p q log 1 log = 6) )1,0,0,0(loglog ≠>>>= bbacca ac bb Логарифм числа за основою 10 називається десятковим. Запис: xx 10loglg = Логарифм числа за основою е називається натуральним. Запис: xx elogln = ...71828,2=e Логарифм нуля і від′ємних чисел не існує, оскільки рівняння ах = 0 і нерівність ах < 0 при а > 0 не мають розв′язків. Логарифмування – це знаходження логарифму деякого виразу за певною основою. Потенціювання – це перетворення, за допомогою якого за даним логарифмом числа визначають саме число. Обчислення логарифмів: • будь-яке число а > 0 має тільки один логарифм; • від′ємні числа і нуль логарифму не мають; • логарифм одиниці дорівнює нулю: 01log =a ; • логарифм основи дорівнює одиниці: 1log =aa . Тригонометричні вирази та їхні перетворення Тригонометричними є вирази, які містять тригонометричні функції.
- 3. Тригонометричні вирази перетворюють,використовуючи відповідні тригонометричні формули. Тригонометричні формули: Основна тригонометрична тотожність: sin2 α + cos2 α = 1 Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу: α α α cos sin =tg , cos α ≠ 0 α α α sin cos =ctg , sin α ≠ 0 1=⋅ αα ctgtg α α tg ctg 1 = α α ctg tg 1 = α α 2 2 cos 1 1 =+ tg α α 2 sin 1 1 =+ ctg Формули зведення Градусна міра кута Радіанна міра кута α 90о ± α 180о ± α 270о ± α 360о ± α α π/2 ± α π ± α 3π/2 ± α 2π ± α Формули зведення – це формули перетворення тригонометричних функцій кутів (90о ± α), (180о ± α), (270о ± α), (360о ± α) у тригонометричні функції гострого кута α. Правило зведення: - У правій частині рівності ставиться той знак, який має тригонометрична функція, що зводиться;
- 4. - При зведеннітригонометричних функцій кутів (180о ± α), (360о ± α) їх назви не змінюються, а кутів (90о ± α), (270о ± α) назви функцій змінюються: синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс. Формули зведення sin (90о – α) = cos α sin (90о + α) = cos α cos (90о – α) = sin α cos (90о + α) = –sin α tg (90о – α) = ctg α tg (90о + α) = –ctg α ctg (90о – α) = tg α ctg (90о + α) = –tg α sin (180о – α) = sin α sin (180о + α) = –sin α cos (180о – α) = –cos α cos (180о + α) = –cos α tg (180о – α) = –tg α tg (180о + α) = tg α ctg (180о – α) = –ctg α ctg (180о + α) = ctg α sin (270о – α) = –cos α sin (270о + α) = –cos α cos (270о – α) = –sin α cos (270о + α) = sin α tg (270о – α) = ctg α tg (270о + α) = –ctg α ctg (270о – α) = tg α ctg (270о + α) = –tg α sin (360о – α) = –sin α sin (360о + α) = sin α cos (360о – α) = cos α cos (360о + α) = cos α tg (360о – α) = –tg α tg (360о + α) = tg α ctg (360о – α) = –ctg α ctg (360о + α) = ctg α Тригонометричні функції суми та різниці двох кутів : cos(α – β) = cos α · cos β + sin α · sin β cos(α + β) = cos α · cos β – sin α · sin β sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin(α – β) = sin α · cos β – cos α · sin β βα βα βα tgtg1 tgtg )(tg ⋅− + =+ βα βα βα tgtg1 tgtg )(tg ⋅+ − =− Тригонометричні функції подвійних кутів: sin 2α = 2sin α · cos α cos 2α = cos2 α – sin2 α cos 2α = 1 – 2sin2 α cos 2α = 2cos2 α – 1 α α α 2 tg1 2tg 2tg − = Тригонометричні функції половинних кутів: 2 cos1 2 sin αα − = 2 cos1 2 cos αα + = α αα cos1 cos1 2 + − =tg Формули суми і різниці однойменних тригонометричних функцій: 2 cos 2 sin2sinsin βαβα βα − ⋅ + =+ 2 cos 2 sin2sinsin βαβα βα + ⋅ − =− 2 cos 2 cos2coscos βαβα βα − ⋅ + =+
- 5. 2 sin 2 sin2coscos βαβα βα − ⋅ + −=− βα βα βα coscos )sin( ⋅ + =+ tgtg βα βα βα coscos )sin( ⋅ − =− tgtg Формулиперетворення добутку тригонометричних функцій в суму: 2 )cos()cos( coscos βαβα βα ++− =⋅ 2 )cos()cos( sinsin βαβα βα +−− =⋅ 2 )sin()sin( cossin βαβα βα −++ =⋅