лекція 7

1. Ряди Фур’є
Загальні поняття. Тригонометричний ряд Фур’є. Коефіцієнти
Фур’є.
Ряди Фур’є для парних і непарних функцій.

2. Ряди Фур’є
Загальні поняття. Тригонометричний ряд Фур’є. Коефіцієнти Фур’є.
Означення. Функція ( )f x на проміжку ( ; )  задовольняє умовам Діріхле, якщо:
1) вона має на цьому проміжку скінченне число точок розриву першого роду;
2) проміжок ( ; ) 
( ; ) 
можна розбити на скінченне число частин так, щоб в кожній з
цих частин функція змінювалась монотонно. Це рівносильне тому, щоб на
проміжку функція мала скінченне число екстремумів;
3) існують скінченні граничні значення функції ( 0)f   та ( 0).f  
Слід відмітити, що в переважній більшості функції, які зустрічаються в
технічних проблемах, задовольняють цим умовам.
Обмеження, яке накладається на функцію в пункті 2), не є суттєвим, оскільки в
технічних додатках майже не зустрічаються функції з нескінченним числом
екстремумів.
Означення. Якщо на проміжку ( ; )  функція ( )f x задовольняє умовам Діріхле,
то вона може бути розкладена в тригонометричний ряд
0
1
( ) ( cos sin )
2
n n
n
a
f x a nx b nx


   (1)

3. який називають також рядом Фур’є. Сума цього ряду дорівнює:
( )f x в тих внутрішніх точках проміжку ( ; )  , в яких функція ( )f x неперервна;1)
, включаючи його кінці, дорівнює
3)
2)  
1
( 0) ( 0)
2
f x f x   в усіх точках розриву першого роду;
 
1
( 0) ( 0)
2
f f     на кінцях проміжку.
Якщо ж функція ( )f x неперервна на всьому проміжку ( ; ) 
цього проміжку рівні між собою, то сума тригонометричного ряду функції
та її значення на кінцях
( )f x
в усіх точках проміжку ( ; )  ( ).f x
Коефіцієнти ряду ,na  0,1,2,3,...n  і nb  1,2,3,...n  визначаються за формулами:
1
( )оа f x dx

 
  (2)
(4)
(3)
1
( )cosna f x nxdx

 
 
1
( )sinnb f x nxdx

 
 
Якщо ( )f x - парна функція, тобто  ( ) ( )f x f x  , то її добуток на парну функцію
cosnx - функція парна, а її добуток на sinnx функція непарна.

4. В цьому випадку всі коефіцієнти 0nb  , а тому її ряд Фур’є (1) матиме вигляд:
0
1
( ) cos ,
2
n
n
a
f x a nx


   (5)
(7)
(6)
де коефіцієнти 0a naі  1,2,3,...n  визначаються за формулами:
0
2
( )оа f x dx


 
0
2
( )cosnа f x nxdx


 
Якщо ( )f x - непарна функція, тобто  ( ) ( )f x f x  , то її добуток ( )cosf x nx
непарна функція, а добуток ( )sinf x nx - парна функція. А тому інтеграл в формулі (3)
перетворюється в нуль, всі коефіцієнти 0.na  В цьому випадку для функції ( )f x
її ряд Фур’є (1) матиме вигляд:
1
( ) sin ,n
n
f x b nx


  (8)
(9)
де коефіцієнти nb  0,1,2,3,...n  визначаються за формулою:
0
2
( )sin .nb f x nxdx


 

5. Зауваження. Якщо функція ( )f x задана не на проміжку ( ; )  , а на проміжку (0;2 )
, що має довжину також 2, то її можна розкласти в ряд Фур’є вигляду (1)
, але коефіцієнти  , 0,1,2,...na n  і  , 1,2,3,...nb n  визначаються за формулами:
2
0
1
( )oa f x dx


 
2
0
1
( )cosna f x nxdx


 
2
0
1
( )sinnb f x nxdx


 
(11)
(12)
(10)
Розкласти функцію ( )f x в ряд Фур’є – це означає представити її у вигляді
тригонометричного ряду (1) або рядів (5) і (8). Інакше кажучи, розклад функції
в ряд Фур’є означає розклад її на складові гармоніки - функції вигляду
( ) sin( ) cos sin ,f x A x a x b x       (13)
де
sin , cos .а A b A   (14)

6. Назва гармоніка пояснюється тим, що ця функція описує так званий гармонічний
коливальний рух. Тут A- амплітуда коливання, x  - фаза коливання,  
початкова фаза коливання,   частота коливання.
Періодичне продовження функції.
Якщо функція ( )f x задана на проміжку ( ; )  , то її можна продовжити періодично в
сусідні проміжки. Це означає, що в сусідніх проміжках ( 3 ; ),( 5 ; 3 ),...      
, а також в проміжках ( ;3 ),(3 ;5 ),(5 ;7 ),...      поведінка функції буде такою ж,
як і на проміжку ( ; ).  Значення функції в точках з абсцисами 0 2x n (n- ціле число)
будуть такими ж, як і в точці 0 .x
Якщо функція ( )f x задана на проміжку (0; ) , то в сусідній проміжок ( ;0)
можна здійснити її як парне, так і непарне продовження.
Якщо здійснено парне продовження функції на проміжок ( ;0)
продовження буде симетричним відносно осі ординат графіку функції на проміжку
, то графік цього
(0; ). Отриману таким чином функцію можна потім періодично продовжити з
періодом 2T  за межі проміжку ( ; ).  При парному продовженні функції крива,
яка представляє функцію, не має розривів.
Якщо здійснено непарне продовження функції на проміжок ( ;0)

7. , то графік цього продовження симетричний відносно початку координат графіку
функції ( )f x на проміжку (0; ). При непарному продовженні крива, яка представляє
функцію, може мати розриви в тих місцях, які відповідають центрам симетрії кривої.
Отриману таким чином функцію можна продовжити з періодом 2T 
за межі проміжку( ; ). 
Розклад в ряд Фур’є функцій, заданих на проміжку ( ; ). 
Приклад 1. Розкласти в ряд Фур’є функцію ( ) , ( ; ).f x х х    
Розв’язання. Задана функція задовольняє умовам Діріхле, а тому може бути
розкладена в ряд Фур’є. На проміжку ( ; )  функція ( )f x х
слідує, що ряд Фур’є цієї функції буде містити тільки синуси, а при косинусах всі
коефіцієнти
непарна. Звідси
 0, 0,1,2,3,... .na n  Знайдемо коефіцієнти nb за формулою (9):
0 0
,
2 2 1 1
sin cos cos1
sin , cos
0
n
u x du dx
b x nxdx x nx nxdx
n ndv nxdx v nx
n
 

 
  
  
              
 
 
1
2
2 1 2 2
cos sin ( 1) ( 1) .
0
n n
n nx
n n n n

 

 

 
   
               
 

8. Отже, 1 2
( 1) .n
nb
n

   Остаточно маємо:
1
1
sin
2 ( 1) .n
n
nx
x
n



  
В розгорнутому вигляді, надаючи n значень 1,2,3,..., отримаємо:
sin sin2 sin3 sin4
2 ...
1 2 3 4
x x x x
х
 
     
 
(15)
На проміжку ( ; )  рівність (15) має місце в точках неперервності функції
( )f x х , тобто в даному випадку в усіх внутрішніх точках проміжку ( ; ). 
Поза проміжку цей ряд зображує періодичне продовження заданої функції з
періодом 2 .T  (рис. 1)
Рис. 1
В точках розриву, якими є точки , 3 , 5 ,...     ,сума ряду дорівнює середньому
арифметичному її лівосторонньої та правосторонньої границь в цих точках.
Знайдемо ці границі. Наприклад, в точці x  маємо:
0 0
lim ( ) lim ,
x x
f x x
 

   
 
0 0
lim ( ) lim .
x x
f x x
 

   
 

9. Середнє арифметичне цих границь
( 0) ( 0)
0.
2 2
f f        
 
В усіх точках розриву цієї функції отримаємо теж саме. Таким чином, в точках
розриву сума ряду дорівнює нулю. Розклад (15) можна записати так:
, ,sin sin2 sin3 sin4
2 ...
0, (2 1) ,1 2 3 4
x xx x x x
x n
 

   
      
   
де n- будь-яке ціле число. З отриманого розкладу при 2
x


цікаву суму. Так як
можна отримати
2
x

 точка неперервності заданої функції, то підставляючи її в
ліву і праву частини ряду (15) отримаємо:
1 1 1
2 1 ... .
2 3 5 7
  
     
 
Звідси маємо:
1
1
1 1 1 ( 1)
1 ... .
3 5 7 2 1 4
n
n n



     


Приклад 2. Розкласти в ряд Фур’є функцію 2
( ) :f x х
а) на відрізку б) на проміжку (0;2 ). ; ; 
Розв’язання. а) На відрізку  ;  функція 2
( )f x х парна, а тому її ряд Фур’є буде
містити тільки сталу складову та косинуси, а при синусах всі коефіцієнти

10.  0, 1,2,3,... .nb n  Знайдемо коефіцієнти 0a naі за формулами (6) і (7):
3 2
2
0
2 2 2
;
3 3
0
о
x
а x dx



 
   
2
2
0
, 2
2
cos 1
cos , sin
n
u x du xdx
a x nxdx
dv nxdx v nx
n


 
  
 

2
0 0
,
2 1 1 2 2
sin sin 2 sin 1
sin , cos
0
u x du dx
x nx nx xdx x nxdx
n n n dv nxdx v nx
n
 

 
   
   
               
 
 
2
0
4 1 1 4 1
cos cos cos sin
0 0
x nx nxxdx n nx
n n n n n n

 


 
   
    
                  
   

2 2
4 4
cos ( 1) .n
n
n n
    Звідси маємо:
2 2
2
2 2
1 1
1 2 4 cos
( 1) cos 4 ( 1)
2 3 3
n n
n n
nx
x nx
n n
  
 
          
2
2 2 2 2
cos cos2 cos3 cos4
4 ... .
3 1 2 3 4
x x x x  
      
 
(16)
Слід зауважити, що рівність (16) має місце при  ; .x   
ряд зображує періодичне продовження заданої функції з періодом
В точках поза відрізком цей
2 .T  (рис. 2)

11. Рис. 2
Оскільки 0x  точка неперервності даної функції, то поклавши в ряді (16) 0x 
отримаємо: 1 2
2 2 2 2 2
1
1 1 1 1 ( 1)
...
1 2 3 4 12
n
n n



     
б) На проміжку (0;2 ) для функції
2
( )f x х коефіцієнти na і nb
за формулами (10) – (12):
знаходимо
2 3 2
2
0
2
1 1 8
;
3 3
0
o
x
a x dx



 
   
2
2
2
0
, 2
1
cos 1
cos , sin
n
u x du xdx
a x nxdx
dv nxdx v nx
n


 
  
 

2 2
2
0 0
2 ,
1 1 1 2
sin sin 2 sin 1
sin , cos
0
u x du dx
x nx nx xdx x nxdx
n n n dv nxdx v nx
n
 

 
   
 
             
 
 

12. 2
2 2
0
2 2
2 1 1 2 2 1 4
cos cos sin .
0 0
x nx nxdx nx
n n n n n n n

 

 
   
    
                  
   

2
2 2
2 2
0 0
2, 2
1 1 1 1
sin cos cos 21
sin , cos
0
n
u x du xdx
b x nxdx x nx nx xdx
n ndv nxdx v nx
n
 

 
  
  
               
 
 
2 22
0 0
,
1 4 2 4 2
cos cos 1
cos , sin
u x du dx
x nxdx x nxdx
n n n n dv nxdx v nx
n
 
 
 
 
 
        
  
 
2
2
0
2 2
4 2 1 1 4 2 1 4
sin sin cos .
0 0
x nx nxdx nx
n n n n n n n n

 
  
 
 
 
           
 
 

Отже, остаточно маємо:
2 2
2
2 2
1 1 1
1 8 4 4 4 cos sin
cos sin 4 4
2 3 3n n n
nx nx
x nx nx
n n n n
  

  
  
  
          
  
  
2
2 2 2
4 cos cos2 cos3 sin sin2 sin3
4 ... 4 ... ,
3 1 2 3 1 2 3
x x x x x x

   
           
   
(17) де 0 2 .x  

13. Поза проміжком (0;2 ) ряд (17) зображує періодичне продовження заданої
функції з періодом 2 .T  (рис. 3)
Рис. 3
В точках розриву функції ряд (17) збігається до середнього арифметичного
лівосторонньої та правосторонньої границь в цих точках. Наприклад, при 2x 
маємо:
2 2 2
2 0 2 0
lim ( ) lim (2 ) 4 ;
x x
f x x
 
 
   
  
2 2
2 0 2 0
lim ( ) lim (0 0) 0.
x x
f x x
    
   
Середнє арифметичне цих границь
2
2(2 0) (2 0) 4 0
2 .
2 2
f f  

   
 
Отже, при 2x  сума ряду дорівнює
2
2 . В усіх інших точках 4 ,6 ,8 ,...x   
сума ряду також дорівнює 2
2 . Підставляючи 2x  в праву частину рівності (17)
та знаючи, що при 2x  сума цього ряду дорівнює 2
2 враховуючи, що при цілому
n мають місце рівності cos2 1,sin2 0,n n   отримаємо:

14. 2
2
2 2 2
4 1 1 1
4 1 ... ... 2 .
3 2 3 n


 
       
 
Звідси слідує, що
2
2 2 2 2 2
1
1 1 1 1 1
1 ... ... .
2 3 4 6nn n


       
Приклад 3. Розкласти в ряд Фур’є функцію
, 0,
( )
, 0 .
x
f x
x x
 
 
  
 
  
Розв’язання. Коефіцієнти  , 0,1,2,3,...na n  і  , 1,2,3,...nb n 
обчислюються за формулами (2) – (4).
Так як функція ( )f x задана різними аналітичними виразами на проміжках,
вказаних в умові задачі, то проміжок  ;  , на якому обчислюються інтеграли за
формулами (2) – (4), потрібно розбити на два проміжки:( ;0) і  0; ,
причому в кожному з двох отриманих проміжків замість функції ( )f x
потрібно підставити її значення на відповідному проміжку.
Обчислимо коефіцієнти na nbі

15. 0 2 2
2 2
0
0
1 1 1 3
( ) ,
2 2 2
0
о
x
а dx x dx x x



 
     
  

 
      
               
       
 
0
0 0
0
1 1 1 1
cos ( )cos sin ( ) sin sin ( 1)
0
na nxdx x nxdx nx x nx nx dx
n n n
 



  
 

 
   
             
    
  
2 2
0
1 1 1 1 ( 1)
sin cos
0
n
nxdx nx
n n n


  
 
   
0
0 0
0
1 1 1 1
sin ( )sin cos ( ) cos cos ( 1)
0
nb nxdx x nxdx nx x nx nx dx
n n n
 



  
 

 
    
                      
  
  2
0
1 1 1 1 ( 1)
1 ( 1) cos ( 1) sin .
0
n
n n
nxdx nx
n n n n n n


  
 
 
   
             
   
 

Остаточно маємо:
2
1
3 1 ( 1) ( 1)
( ) cos sin
4
n n
n
f x nx nx
n n




   
   
 


16. Рис. 4
Приклад 4. Розкласти в ряд Фур’є функцію ( ) x
f x e на проміжку (0;2 ).
Розв’язання. Як відомо з курсу інтегрального числення, для знаходження інтегралів
cosax
e bxdx і sinax
e bxdx
двічі застосовується формула інтегрування частинами, після чого отримуємо
рівняння з невідомим інтегралом. Розв’язавши ці рівняння, отримаємо:
 2 2
cos sin cos ,
ax
ax e
e bxdx b bx a bx C
a b
  

 2 2
sin sin cos .
ax
ax e
e bxdx a bx b bx C
a b
  

Використаємо ці інтеграли для знаходження коефіцієнтів na .nbі

17. Маємо:
2 2
0
2
1 1 1
,
0
x x
о
e
а e dx e
 

  

    
2 2
2 2
0
2
1 1
cos sin cos ,
(1 ) (1 )
0
x
x
n
e e
a e nxdx n nx nx
n n
 

  

   
 
 
2 2
2 2
0
2
1 ( 1)
sin sin cos .
(1 ) (1 )
0
x
x
n
e n e
b e nxdx nx n nx
n n
 

  

    
 
Тоді отримаємо:
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1
1 1 ( 1) 1 1 cos sin
cos sin .
2 (1 ) (1 ) 2 1 1
x
n n n
e e n e e nx n nx
e nx nx
n n n n
   
   
  
  
      
             
  
Оскільки функція ( ) x
f x e неперервна в усіх точках проміжку (0;2 )
отриманий ряд збігається до функції
, то
( ) x
f x e в усіх точках проміжку (0;2 )
і до її періодичного продовження з періодом 2T  поза цього проміжку. (рис. 5)
Рис. 5

18. В точках розриву 0, 2 , 4 , 6 ,...     сума ряду дорівнює середньому арифметичному
лівосторонньої та правосторонньої границь:
2
2 0 2 0
lim ( ) lim ,x
x x
f x e e 
    
 
2 0 0 0
lim ( ) lim 1,x
x x
f x e
   
 
2
(2 0) (2 0) 1
.
2 2
f f e 
    

Отже, в точках розриву сума ряду дорівнює
2
1
.
2
e 

Розклад на проміжку (0; ).
(0; )
(0; )
(0; )
Функцію, яка задана на проміжку та задовольняє на цьому проміжку
умовам Діріхле, можна розкласти на цьому проміжку в ряд Фур’є, який містить
тільки косинуси або тільки синуси.
Якщо потрібно розкласти таку функцію в ряд по косинусах, то з проміжку
в сусідній проміжок ( ;0) потрібно зробити парне продовження функції, а потім
поза проміжком ( ; )  здійснити її періодичне продовження з періодом 2 .T 
Ряд буде мати вигляд (5), а коефіцієнти обчислюються за формулами (6) і (7).
Якщо ж потрібно функцію ( )f x , задану на проміжку , розкласти в ряд по синусах,
то в сусідній проміжок ( ;0) потрібно зробити її непарне продовження, а потім
періодично продовжити її з періодом 2 .T  В цьому випадку ряд Фур’є буде мати
вигляд (8), а коефіцієнти обчислюються за формулою (9).
Обидва ряди - (5) (ряд по косинусах) і (8) (ряд по синусах) -на проміжку (0; )
мають одну й ту ж суму. Якщо в точці 0x x проміжку (0; ) функція ( )f x

19. неперервна, то сума кожного з цих рядів дорівнює одному й тому ж числу, а саме
значенню функції ( )f x в цій точці, тобто ( ).оf x
Якщо ж точка 0x x є точкою розриву першого роду функції ( )f x
як одного, так і другого ряду дорівнює знову -
, то в ній сума
таки одному й тому ж числу, а саме
0 0( 0) ( 0)
.
2
f x f x  
В сусідньому ж проміжку ( ;0) сума ряду косинусів (5) не дорівнює сумі ряду
синусів (8).
Сумою ряду косинусів на проміжку ( ;0) буде функція, яка отримується від на
проміжку (0; ) функції ( )f x шляхом її парного продовження в проміжок ( ;0).
Сумою ж ряду синусів буде інша функція, а саме та, яка є непарним
продовженням функції ( )f x з проміжку в проміжок(0; ) ( ;0).
Звідси слідує, що на проміжку ( ;0) суми цих двох рядів рівні по модулю, але
протилежні за знаком.
Отже, функцію, задану на проміжку (0; ) , можна на власний розсуд розкласти
як в ряд косинусів, так і в ряд синусів. Зазначимо міркування, якими варто
керуватися при виборі того чи іншого з цих двох можливих рядів.
Характер збіжності ряду Фур’є функції ( )f x , заданої на проміжку (0; )
визначається її властивостями на кінцях цього проміжку, тобто в точках 0x
та .x 

20. Якщо функція ( )f x в цих точках не дорівнює нулю, то розкладати її в ряд
синусів не має смислу, оскільки в цьому випадку потрібно здійснити непарне
продовження функції в сусідній проміжок ( ;0)
в цих точках, а коефіцієнти ряду синусів будуть спадати зі швидкістю
, що спричинить розрив функції
1
.
n
Щоб уникнути в цих точках розриву функції, зручно провести парне продовження
функції ( )f x в проміжок ( ;0) та розкласти її в ряд косинусів, який буде володіти
кращими властивостями збіжності, так як коефіцієнти ряду косинусів спадають зі
швидкістю 2
1
.
n
Якщо ж функція ( )f x , задана на проміжку (0; ) , в точках 0x x та
дорівнює нулю, то слід віддати перевагу розкладу її в ряд синусів, який в цьому
випадку дає значно кращу збіжність, ніж ряд косинусів. Це пояснюється тим, що,
здійснивши непарне продовження функції ( )f x з проміжку (0; ) в проміжок ( ;0)
, ми забезпечуємо неперервність не тільки самої функції в цих точках, але й її
першої похідної. Для розкладу ж в цьому функції в ряд косинусів її доведеться
парно продовжити з проміжку (0; ) в проміжок ( ;0). При цьому, звичайно, в точках
0x  та x  функція буде неперервною, але її перша похідна в цих точках буде
мати розрив.
Приклад 5. Розкласти в ряд Фур’є по косинусах функцію
, 0 ,
2
( )
, .
2 2
x x
f x
x

 


 
 
  


21. Розв’язання. Функція задана на відрізку  0; . Так як потрібно розкласти її в ряд по
косинусам, то в проміжок ( ;0) потрібно її продовжити парно (рис.6).
Рис. 6
Знаходимо коефіцієнти 0a :naта
2
0 0
2
2 2 3
( ) ,
2 4
оа f x dx xdx dx

 

 
 
 
    
 
 
  
2 2
0 0 0
2
2
2 2 2 1 1
( )cos cos cos sin sin sin
2 2
0 0
na f x nxdx x nxdx nxdx x nx nxdx nx
n n n
 
 



 
  
 
  
          
   
   
 
   
2 2
2
2 1 2
sin cos sin cos 1 .
2 2 2 2 2
0
n n n
nx
n n n n

    
 
 
 
       
   
 
 

22. Отже, маємо:
2 2
1 1
1 3 2 3 2 1
( ) cos 1 cos cos 1 cos .
2 4 2 8 2n n
n n
f x nx nx
n n
   
 
 
 
   
         
   
 
Приклад 6. Розкласти в ряд Фур’є по синусах функцію
, 0 ,
2
( )
, .
2
x x
f x
x x


 

 
 
   

Розв’язання. Так як потрібно розкласти функцію ( )f x в ряд синусів, то в проміжок
( ;0) потрібно здійснити її непарне продовження (рис. 7).
Рис. 7
Знаходимо коефіцієнти :nb
2
0 0
2
2 2
( )sin sin ( )sinnb f x nxdx x nxdx x nxdx

 


 
 
     
 
 
  

23. 2
0
2
2
2 1 1 1 1
cos cos ( ) cos cos
0
2
x nx nxdx x nx nxdx
n n n n








 
 
              
    
 
 
 
2 2 2 2 2 2
2
2 1 1 2 1 1 2 2 4
cos sin cos sin sin sin sin sin .
2 2 2 2 2 2 2 2
0
2
n n n n n n
nx nx
n n n n n n n n


       
   

 
                 
    
 
 
Отже, маємо:
2 2
1 1
4 4 1
( ) sin sin sin sin .
2 2n n
n n
f x nx nx
n n
 
 
 
 
  
Відомо, що 1
2
( 1) , ,sin
2 0, .
n
n n непарне
n парне


   
 
Це означає, що всі члени ряду з парними номерами дорівнюють нулю. Оскільки
непарні номери можна записати у вигляді 2 1n , то отримаємо:
 
 
1
(2 1) 1
2
2 2
1 1
14 1 4
( ) 1 sin(2 1) sin(2 1) .
(2 1) (2 1)
n
n
n n
f x n x n x
n n 
  
 

      
 
 

24. Запитання для самоконтролю.
1. Який ряд називається тригонометричним? У чому полягає задача про
зображення функції рядом Фур'є.
2. Записати формули для коефіцієнтів Фур'є функції ( ), [ ; ].f x х   
3. Сформулювати достатні умови для зображення функції рядом Фур'є.
4. Вказати особливості рядів Фур'є для парних і непарних функцій та
вивести відповідні формули.