1

1. 1
РАЦІОНАЛЬНІ, ІРРАЦІОНАЛЬНІ, СТЕПЕНЕВІ, ПОКАЗНИКОВІ,
ЛОГАРИФМІЧНІ, ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ВИРАЗИ ТА ЇХНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ
Запис, що складається з чисел, букв (змінних) та знаків алгебраїчних дій,
називається алгебраїчним виразом.
Наприклад: 4ab –a2
(a - b);
௔ା௕
௔ି௕
; ൫‫ݔ‬ − √3൯
ଷ
; √‫ݔ‬ − 2ඥ‫.ݕ‬
Існує шість алгебраїчних дій: додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення
до степеня, добування кореня.
Множина значень змінних, для яких даний вираз має сенс, називається областю
допустимих значень (ОДЗ) даного виразу.
Якщо в алгебраїчному виразі надати змінним якихось допустимих значень, то
одержимо числовий вираз. Його значення називається числовим значенням
алгебраїчного виразу при обраних значеннях змінних.
Якщо алгебраїчний вираз не містить ділення на змінні та добування кореня зі
змінних, то він називається цілим.
Якщо в алгебраїчному виразі є ділення на вираз, що містить змінні, то цей вираз
називається дробовим.
Цілі і дробові вирази складають раціональні вирази.
Ірраціональними є вирази, в яких використовується дія добування кореня зі змінної.
Одночленом називається вираз, що є добутком чисел та натуральних степенів
змінних.
Добуток двох одночленів – також одночлен.
Якщо піднести одночлен до натурального степеня, то одержимо одночлен.
Одночлени називаються подібними, якщо після приведення до стандартного вигляду
( а · 10п
) вони відрізняються тільки коефіцієнтами або зовсім не відрізняються.
Додавання або віднімання подібних одночленів називається зведенням подібних
одночленів.
Многочленом називається сума одночленів. Перетворення многочлена в добуток
декількох многочленів називається розкладанням многочлена на множники.
Перетворення цілих виразів (многочленів)
1. Тотожне перетворення
Якщо вирази приймають рівні числові значення при будь-якому дійсному значенні
змінної, то ці вирази тотожно рівні на множині R.
Тотожністю на деякій множині називається рівність, яка з’єднує два вирази,
тотожно рівні на цій множині.

2. 2
Заміна одного виразу іншим, тотожно рівним йому, називається тотожним
перетворенням виразу.
2. Розкладання виразу на множники
- винесення спільного множника за дужки;
Це перетворення пов’язане з дистрибутивним законом: ac + bc = c (a + b)
- використання формул скороченого множення:
Різниця квадратів a2
– b2
= (a + b)(a – b)
Квадрат різниці (a – b)2
= a2
– 2ab + b2
Квадрат суми (a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
Сума кубів a3
+ b3
= (a + b)(a2
– ab + b2
)
Різниця кубів a3
– b3
= (a – b)(a2
+ ab + b2
)
Куб суми (a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
Куб різниці (a – b)3
= a3
– 3a2
b + 3ab2
– b3
- групування.
Приклад:
x2
– 5xy + 6y2
= x2
– 2xy – 3xy + 6y2
= (x2
– 2xy) – (3xy – 6y2
) = x(x – 2y) – 3y(x – 2y) =
= (x – 2y)(x – 3y).
Перетворення дробових раціональних виразів
Дробовий раціональний вираз або раціональний дріб – це відношення двох цілих
виразів
௉
ொ
, причому вираз ܳ містить змінні. Вважаємо, що всі змінні набувають лише
допустимих значень.
Основна властивість раціонального дробу:
௉
ொ
=
௉ெ
ொெ
.
М – цілий раціональний вираз (М ≠ 0).
Арифметичні дії з раціональними дробами виконуються за тими самими правилами,
що й з числовими дробами:
додавання
ܽ
ܾ
+
ܿ
݀
=
ܽ݀ + ܾܿ
ܾ݀
віднімання
ܽ
ܾ
−
ܿ
݀
=
ܽ݀ − ܾܿ
ܾ݀
множення
ܽ
ܾ
∙
ܿ
݀
=
ܽܿ
ܾ݀
ділення
ܽ
ܾ
:
ܿ
݀
=
ܽ
ܾ
∙
݀
ܿ
=
ܽ݀
ܾܿ
Тут
௔
௕
та
௖
ௗ
деякі раціональні дроби.

3. 3
Перетворення ірраціональних виразів
Для перетворень ірраціональних виразів можуть використовуватись основні
властивості арифметичного кореня:
1. √ܾܽ
೙
= √ܽ
೙
∙ √ܾ
೙
, ܽ ≥ 0, ܾ ≥ 0.
2.
ට
ܽ
ܾ
೙
=
√ܽ
೙
√ܾ
೙ , ܽ ≥ 0, ܾ > 0.
3. ൫ √ܽ
೙
൯
௞
= ඥܽ௞೙
, ܽ ≥ 0.
4.
ට√ܽ
ೖ
೙
= √ܽ
೙ೖ
, ܽ ≥ 0.
5. ඥܽ௞೙
= ඥܽ௞௠೙೘
, ܽ ≥ 0.
Види перетворень:
- винесення множника з-під знака кореня;
Приклад: √50 = √25 ∙ 2 = √25 ∙ √2 = 5√2.
- внесення множника під знак кореня;
Приклад: 3√5 = √3ଶ ∙ √5 = √9 ∙ 5 = √45.
- добування кореня з кореня;
Приклад: ඥܽ√ܾ
యయ
= ඥ√ܽଷܾ
యయ
= √ܽଷܾ
వ
.
- зведення коренів до одного показника;
Приклад: √‫ݔ‬
య
∙ √‫ݔ‬
ర
= √‫ݔ‬ସభమ
∙ √‫ݔ‬ଷభమ
= √‫ݔ‬ସ ∙ ‫ݔ‬ଷభమ
= √‫ݔ‬଻భమ
, ‫ݔ‬ ≥ 0.
- використання формул складних радикалів;
• ඥܽ + √ܾ = ට௔ା√௔మି௕
ଶ
+ ට௔ି√௔మି௕
ଶ
• ඥܽ − √ܾ = ට௔ା√௔మି௕
ଶ
− ට௔ି√௔మି௕
ଶ
- виділення квадрата (або куба) під коренем;
Приклад: ඥ4 − 2√3 = ඥ3 − 2√3 + 1 = ට൫√3 − 1൯
ଶ
= ห√3 − 1ห = √3 − 1.
- звільнення від ірраціональності в знаменнику.
Ця дія виконується за допомогою так званих спряжених виразів √‫ݑ‬ + √‫ݒ‬ та
√‫ݑ‬ − √‫.ݒ‬
Приклад:
ଵ
√௔ି√௕
=
√௔ା√௕
൫√௔ି√௕൯൫√௔ା√௕൯
=
√௔ା√௕
௔ି௕
.

4. 4
Степеневі вирази та їхні перетворення
Степеневими є вирази, які містять степені зі сталим показником і змінною основою.
Запис такого степеня: xn
, x – змінна, n – стала.
Степеневі вирази перетворюють, використовуючи властивості степеня.
Види степенів:
• степінь з натуральним показником: 43421
разівn
n
xxxxx ⋅⋅⋅⋅= ... ;
• степінь з цілим показником: 43421
разівn
n
xxxxx ⋅⋅⋅⋅= ... , x0
= 1 або n
n
x
x
1
=−
;
• степінь з раціональним показником: n mn
m
xx = .
Основні властивості степеня:
1. xn
⋅xm
= xn+m
2. mn
m
n
mn
x
x
x
xx −
==:
3. ( ) mnmn
xx ⋅
=
4. ( ) nnn
yxyx ⋅=⋅
5. n
nn
y
x
y
x
=





6. n
n
x
x
1
=−
7. x0
= 1
8. x1
= x
9. 0n
= 0, n > 0
Показникові вирази та їхні перетворення
Показниковими є вирази, які містять степені зі сталою основою і змінним
показником.
Запис такого степеня: ах
, а – стала, х – змінна.
Показникові вирази перетворюють, використовуючи основні показникові тотожності.
Основні показникові тотожності:
1. ܽ௫ା௬
= ܽ௫
∙ ܽ௬
;
2. ܽ௫ି௬
= ܽ௫
: ܽ௬
=
௔ೣ
௔೤
;
3. ܽ௫௬
= ሺܽ௫ሻ௬
= ሺܽ௬ሻ௫
;
4. ܽ௫
∙ ܾ௫
= ሺܾܽሻ௫
;
5.
௔ೣ
௕ೣ
= ቀ
௔
௕
ቁ
௫
; ܾ ≠ 0;
6. ܽ଴
= 1; ܽ ≠ 0;
7. ܽଵ
= ܽ; ܽି௡
=
ଵ
௔೙
; ܽ ≠ 0;
8. ܽ
೘
೙ = √ܽ௠೙
; ܽ > 0.
Логарифмічні вирази та їхні перетворення
Логарифмічними є вирази які містять логарифми.
Види логарифмів:
• звичайний логарифм log௔ ‫;ݔ‬
• десятковий логарифм lg ‫;ݔ‬

5. 5
• натуральний логарифм ln ‫.ݔ‬
Логарифмічні вирази перетворюють, використовуючи властивості логарифмів.
Основні властивості логарифмів:
1) )0,0(loglog)(log >>+= qpqppq aaa
2) )0,0(logloglog >>−= qpqp
q
p
aaa
3) ),0(loglog Rppp aa ∈>= γγγ
4) )0,0(loglog >≠= ppp aa
β
β
γγ
β
Наслідки:
4*) якщо βγ = , то pp aa
loglog =γ
γ
4**) якщо 1=γ , то pp aa
log
1
log
β
β =
5) )1,0,0(
log
log
log ≠>>= qqp
q
p
p
a
a
q
Наслідок:
5*) якщо а = р, то
q
p
p
q
log
1
log =
6) )1,0,0,0(loglog
≠>>>= bbacca ac bb
Логарифм числа за основою 10 називається десятковим.
Запис: xx 10loglg =
Логарифм числа за основою е називається натуральним.
Запис: xx elogln = ...71828,2=e
Логарифм нуля і від′ємних чисел не існує, оскільки рівняння ах
= 0 і нерівність ах
<
0 при а > 0 не мають розв′язків.
Логарифмування – це знаходження логарифму деякого виразу за певною основою.
Потенціювання – це перетворення, за допомогою якого за даним логарифмом числа
визначають саме число.
Обчислення логарифмів:
• будь-яке число а > 0 має тільки один логарифм;
• від′ємні числа і нуль логарифму не мають;
• логарифм одиниці дорівнює нулю: 01log =a ;
• логарифм основи дорівнює одиниці: 1log =aa .
Тригонометричні вирази та їхні перетворення
Тригонометричними є вирази, які містять тригонометричні функції.
Синусом числа а називається ордината точки Р одиничного кола, в яку переходить
початкова точка Ро(1; 0) при повороті навколо центра кола на кут а радіан.
sin a = y
Косинусом числа а називається абсциса точки Р одиничного кола, в яку переходить
початкова точка Ро(1; 0) при повороті навколо центра кола на кут а радіан.

6. 6
cos a = x
Тангенсом числа а називається відношення
a
a
cos
sin
.
a
a
a
cos
sin
tg =
Котангенсом числа а називається відношення
a
a
sin
cos
.
a
a
a
sin
cos
ctg =
Знаки тригонометричних функцій
Синус Косинус Тангенс, котангенс
Тригонометричні вирази перетворюють, використовуючи відповідні тригонометричні
формули.
Тригонометричні формули:
Основна тригонометрична тотожність: sin2
α + cos2
α = 1
Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу:
α
α
α
cos
sin
=tg , cos α ≠ 0
α
α
α
sin
cos
=ctg , sin α ≠ 0
1=⋅ αα ctgtg
α
α
tg
ctg
1
=
α
α
ctg
tg
1
=
α
α 2
2
cos
1
1 =+ tg
α
α 2
sin
1
1 =+ ctg

7. 7
Формули зведення
Градусна міра
кута
Радіанна міра кута
α
90о
± α
180о
± α
270о
± α
360о
± α
α
π/2 ± α
π ± α
3π/2 ± α
2π ± α
Формули зведення – це формули перетворення тригонометричних функцій кутів (90о
± α), (180о
± α), (270о
± α), (360о
± α) у тригонометричні функції гострого кута α.
Правило зведення:
- У правій частині рівності ставиться той знак, який має тригонометрична
функція, що зводиться;
- При зведенні тригонометричних функцій кутів (180о
± α), (360о
± α) їх назви не
змінюються, а кутів (90о
± α), (270о
± α) назви функцій змінюються: синус на
косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс.
Формули зведення
sin (90о
– α) = cos α
sin (90о
+ α) = cos α
cos (90о
– α) = sin α
cos (90о
+ α) = –sin α
tg (90о
– α) = ctg α
tg (90о
+ α) = –ctg α
ctg (90о
– α) = tg α
ctg (90о
+ α) = –tg α
sin (180о
– α) = sin α
sin (180о
+ α) = –sin α
cos (180о
– α) = –cos α
cos (180о
+ α) = –cos α
tg (180о
– α) = –tg α
tg (180о
+ α) = tg α
ctg (180о
– α) = –ctg α
ctg (180о
+ α) = ctg α
sin (270о
– α) = –cos α
sin (270о
+ α) = –cos α
cos (270о
– α) = –sin α
cos (270о
+ α) = sin α
tg (270о
– α) = ctg α
tg (270о
+ α) = –ctg α
ctg (270о
– α) = tg α
ctg (270о
+ α) = –tg α
sin (360о
– α) = –sin α
sin (360о
+ α) = sin α
cos (360о
– α) = cos α
cos (360о
+ α) = cos α
tg (360о
– α) = –tg α
tg (360о
+ α) = tg α
ctg (360о
– α) = –ctg α
ctg (360о
+ α) = ctg α
Тригонометричні функції суми та різниці двох кутів :
cos(α – β) = cos α · cos β + sin α · sin β
cos(α + β) = cos α · cos β – sin α · sin β
sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
sin(α – β) = sin α · cos β – cos α · sin β

8. 8
βα
βα
βα
tgtg1
tgtg
)(tg
⋅−
+
=+
βα
βα
βα
tgtg1
tgtg
)(tg
⋅+
−
=−
Тригонометричні функції подвійних кутів:
sin 2α = 2sin α · cos α
cos 2α = cos2
α – sin2
α
cos 2α = 1 – 2sin2
α
cos 2α = 2cos2
α – 1
α
α
α 2
tg1
2tg
2tg
−
=
Тригонометричні функції половинних кутів:
2
cos1
2
sin
αα −
=
2
cos1
2
cos
αα +
=
α
αα
cos1
cos1
2 +
−
=tg
Формули суми і різниці однойменних тригонометричних функцій:
2
cos
2
sin2sinsin
βαβα
βα
−
⋅
+
=+
2
cos
2
sin2sinsin
βαβα
βα
+
⋅
−
=−
2
cos
2
cos2coscos
βαβα
βα
−
⋅
+
=+
2
sin
2
sin2coscos
βαβα
βα
−
⋅
+
−=−
βα
βα
βα
coscos
)sin(
⋅
+
=+ tgtg
βα
βα
βα
coscos
)sin(
⋅
−
=− tgtg
Формули перетворення добутку тригонометричних функцій в суму:
2
)cos()cos(
coscos
βαβα
βα
++−
=⋅
2
)cos()cos(
sinsin
βαβα
βα
+−−
=⋅
2
)sin()sin(
cossin
βαβα
βα
−++
=⋅