1. Transformasi geometri

2. Definisi :
Pemindahan objek (titik, garis, bidang datar)
pada bidang.
Perubahan yang (mungkin) terjadi:
• Kedudukan / letak
• Arah
• Ukuran

3. Jenis-jenis Transformasi Geometri
•
•
•
•
•
•
Proyeksi
Pergeseran tanpa merubah bentuk(Translasi)
Pencerminan (Refleksi)
Pemutaran (Rotasi)
Perkalian bangun/penskalaan (Dilatasi)
Pergeseran merubah bentuk(shear)

4. Proyeksi
• Suatu titik atau sistem diproyeksikan terhadap suatu garis
acuan sehingga setiap titik atau sistem tersebut sejajar
dengan garis acuan.
• Proyeksi merupakan jarak terpendek.
Jika titik A diproyeksikan terhadap sumbu x, maka hasil tersebut
adalah titik B dengan AB merupakan jarak terpendek titik A
terhadap sumbu x.
Jika diproyeksikan terhadap sumbu y, maka hasilnya adalah titik
C dengan AC merupakan jarak terpendek titik A terhadap
y
sumbu y
A
C
O
B
x

5. Proyeksi titik terhadap garis x= y
Titik A(a,b) diproyeksikan pada
garis y = x menghasilkan titik
A’(a’,b’)
Cara mencari matrik
transformasi- nya adalah sebagai
berikut :
Perhatikan bahwa :
a= r cos θ dan b = r sin θ
a’=OA’ cos 45 dan b’ = OA’ sin 45
OA’=r cos (45 – θ)
Maka :
a’= r cos (45 – θ) cos 45
a b
= r cos 45 cos 45 cos θ + r cos 45 sin 45 sin θ = +
2 2
a b
Karena a’ = b’, maka b’ = 2 + 2

6. Sehingga diperoleh :
′  1
a
2
A′ =   =  1
b′   2
a b
+ 
1
2 2
2  a 

  = 
1
b
a + b
2  
2 2


Matrik transformasi untuk titik
yang diproyeksikan pada garis y = x

7.  Translasi
• Suatu titik atau sistem mengalami pergeseran namun
tidak merubah bentuk, karena setiap titik penyusun
sistem mengalami pergeseran yang sama.
• Contoh : Sebuah titik P(x,y) ditranslasikan sejauh a
satuan sepanjang sumbu x dan y satuan sepanjang
sumbu y, diperoleh peta titik P’(x’,y’).
y’
Y
a
b
T=
y
P’(x’,y’) = P’(x+a,y+b)
P(x,y)
b
a
X
O
x
x’

8. Translasi dari titik P ke titik P’ secara linier.
P’(x’,y’)
dy
P(x,y)
dx
x’ = x + dx
y’ = y + dy
Model Matrik:
 x'  x   dx 
 y ' =  y  + dy 
     

9. • Sebuah buku yang terletak di atas meja digeser sejauh
h, maka setiap titik yang menyusun buku tersebut
harus bergeser sejauh h juga.
Buku bergeser dalam satu arah yaitu arah x positif

10. • Bagaimana jika buku digeser ke arah x dan y
sekaligus ?

11. • Penulisan proses translasi titik A menjadi titik M,
dan titik B menjadi titik N dengan T =  h  adalah :
s 
 
A(a, c)
B(b, c)
h
T= 
s 
h
T= 
s 
M(a + h, c + s)
N(b + h, c + s)

12. Contoh soal :
Tentukan bayangan dari lingkaran (x – 2)2 + (y – 1)2 = 9
3
T
jika ditranslasikan oleh :=  4
 
Jawab :
Misalkan titik P(a,b) adalah titik pada lingkaran, sehingga
persamaan dapat ditulis : (a – 2)2 + (b – 1)2 = 9.
3
Titik P ditranslasi dengan T =  4 diperoleh titik T’ sbb :
 
P(a, b)
3 
T= 
 4
P'(a + 3, b + 4)

13. Maka : a’ = a + 3 dan b’ = b + 3
a = a’ – 3 dan b = b’ – 3
Substitusi ke persamaan :
(a’ – 3– 2)2 + (b’ – 4– 1)2 = 9
(a’ – 5)2 + (b’ – 5)2 = 9
Jadi bayangan lingkaran : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 9
Cara lain :
Persamaan lingkaran mempunyai pusat (2,1). Dengan
dilakukan translasi pusat lingkaran diperoleh :
O(2,1)
3 
T= 
 4
O'(2 + 3,1 + 4) = O '(5,5)
Jadi bayangan lingkaran : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 9

14. Pencerminan (refleksi)
• Transformasi pencerminan /refleksi menghasilkan
bayangan yang tergantung pada acuannya.

15. • Refleksi terhadap sumbu x
Refleksi titik A (a, c) terhadap sumbu x
menghasilkan bayangan yaitu A’(a’, c’),
demikian juga untuk titik B dan titik C.
Diperoleh persamaan bahwa : a’ = a,
b’ = b, c’= -c dan seterusnya sehingga
persamaan matrik transformasinya
adalah :
1 0 
Tx = 

0 -1
Refleksi ditulis dengan notasI :
A(a,c)
Dengan notasi
matrik :
sumbu x
x′ 
 y ′ = Tx
 
A’(a, -c)
x  1 0  x 
 y  = 0 -1  y 
  
 

16. •Refleksi terhadap sumbu y
Sama seperti refleksi terhadap
sumbu x menghasilkan persamaan
a’= - a, b’ = - b dan c’ = c dan
seterusnya. sehingga persamaan
matrik transformasinya adalah :
-1
Ty = 
0
0
1

Refleksi ditulis dengan notasI :
A(a,c)
Dengan notasi
matrik :
sumbu y
x′ 
 y ′ = Ty
 
A’(-a, c)
x  -1 0  x 
 y  =  0 1  y 
  
 

17. • Refleksi terhadap titik asal (0,0)
Menghasilkan persamaan :
a’= - a, dan c’ = -c,
b’= - b, dan c’ = -c,
d’= - d, dan c’ = -c,
sehingga persamaan matrik
transformasinya adalah :
-1 0 
T(0,0) = 
0 -1


Refleksi ditulis dengan notasI :
A(a,c)
titik(0,0)
A’(-a,-c)
Dengan notasi
matrik :
 x′ 
 x  -1 0   x 
 y′ = T(0,0)  y  =  0 -1  y 
 
  
 

18. • Refleksi terhadap garis y = x
Menghasilkan persamaan :
a’= c, dan c’ = a,
b’= c, dan c’’ = b,
d’= e, dan e’ = d dan seterusnya
sehingga persamaan matrik
transformasinya adalah :
Ty = x
0 1
=
1 0


Refleksi ditulis dengan notasI :
A(a,c)
y=x
A’(c,a)
Dengan notasi
matrik :
 x′ 
 x  0 1  x 
 y ′ = Ty = x  y  = 1 0   y 
 
  
 

19. • Refleksi terhadap garis y = - x
Menghasilkan persamaan :
a’= -c, dan c’ = -a,
b’= -c, dan c’’ = -b,
d’= -e, dan e’ = -d dan seterusnya,
sehingga persamaan matrik
transformasinya adalah :
Ty =− x
0 -1
=
-1 0 


Refleksi ditulis dengan notasI :
A(a,c)
y =- x
A’(-c,-a)
Dengan notasi
matrik :
 x′ 
 x  0 -1   x 
 y′ = Ty =− x  y  = -1 0   y 
 
  
 

20. • Refleksi terhadap garis y = h
Sumbu x digeser sejauh h,
menghasilkan persamaan :
a’= a, dan c’ = 2h-c,
b’= b, dan c’ = 2h-c,
d’= d, dan e’ = 2h-e,
sehingga notasi persamaan matrik
transformasinya adalah :
 x′  1 0   x  0 
 y′ = 0 -1  y  + 2h 
  
   

21. Bukti :
Sumbu-x dipindahkan sejauh h sehingga sumbu-x yang baru
adalah y = h. Maka koefisien setiap titik berubah menjadi (x’,
y’) dengan:  x  0   x 
 x′
 y′ =  y  −  h  =  y − h 
      

Kemudian titik tersebut direfleksikan pada sumbu-x yang baru
x
menjadi : ′′  1 0   x   x 
 y ′′ = 0 -1  y − h  = − y + h 
  

 

Tahap terakhir, menggeser sumbu-x yang baru ke sumbu-x
semula dengan memakai translasi diperoleh:
 x′′′   x  0   x 
 y′′′ = − y + h  + h  = − y + 2h 
  
   

 x  0  1 0   x  0 
= +  =
  y  +  2h 
- y  2h  0 -1    

22. • Refleksi terhadap garis x = k
Sekarang yang digeser adalah
sumbu y sejauh k, menghasilkan
persamaan :
a’= 2k-a, dan c’ = c,
b’= 2k-b, dan c’ = c,
d’= 2k-d, dan e’ = e,
sehingga notasinya adalah :
A(a,c)
Dengan notasi
matrik :
x=k
A’(2k-a,c)
 x′  -1 0   x  2k 
 y ′ =  0 1   y  +  0 
  
   

23. Contoh Soal :
Tentukan bayangan jajaran-genjang ABCD dengan titik
sudut A(-2,4), B(0,-5) C(3,2) dan D(1,11) jika direfleksikan
terhadap sumbu-x, kemudian dilanjutkan dengan refleksi
terhadap sumbu-y.
Jawab :
Penyelesaian soal tersebut dilakukan dengan dua tahap
yaitu mencari bayangan jajaran-genjang ABCD dari
refleksi terhadap sumbu-x, kemudian bayangan yang
terjadi direfleksikan terhadap sumbu-y.

24. Refleksi terhadap sumbu-x adalah sebagai berikut :

25. Selanjutnya titik A’, B’, C’ dan D’ direfleksikan pada sb-y

26. Hasil akhir diperoleh jajaran-genjang A’’B’’C’’D’’ dengan
titik sudut A’’(2,-4), B’’(0,5), C’’(-3,-2) dan D’’(-1,-11).
Coba pikirkan :
Bagaimana cara mendapatkan matrik transformasi pada
suatu sistem yang mengalami refleksi lebih dari satu
kali tetapi penyelesaiannya hanya dengan
mengunakan satu tahap saja ?

27. Perputaran (rotasi)
• Rotasi adalah perpindahan obyek dari titik P ke
titik P’, dengan cara diputar dengan sudut θ
y
P’(x’,y’)
θ
x’ = x cos(θ) - y sin(θ)
y’ = x sin(θ) + y cos(θ)
P(x,y)
x

28. • Untuk memudahkan perhitungan, maka dibuat notasi
dalam bentuk matrik :
 x′   cos θ -sinθ   x 
 y′ = sinθ cosθ   y 
  
 
dengan :
- sin θ dan cos θ adalah fungsi linier dari θ
- x’ kombinasi linier dari x dan y
- y’ kombinasi linier dari x dan y

29. Bukti :
Titik A berpindah ke titik A’ sejauh α.
Dalam koordinat kutub, titik A(a,b) ditulis : A(r cos θ, r sin θ).
Sedangkan A’(a’,b’) ditulis : A’(r cos (θ + α), r sin (θ + α)).
Maka, diperoleh :
Matrik transformasi
untuk titik yang dirotasi
terhadap titik pusat O (0,0)

30.  Penskalaan (dilatasi)
• Merupakan transformasi suatu titik atau sistem
terhadap suatu acuan yang menyebabkan jarak titik
atau sistem berubah dengan perbandingan tertentu.
(Perpindahan titik P ke titik P’ dengan jarak titik P’
sebesar m kali titik P)
y
P’(x’,y’)
my.y
P(x,y)
mx.x
x
x’ = mx x
y’ = my y

31. • Dalam bentuk matrik dituliskan :
 x ′   mx 0   x 
 y′  =  0 m   y 
y 
  
• Transformasi ini tidak mengalami perubahan bentuk,
hanya mengalami perubahan ukuran karena jarak
titik-titik penyusun berubah dengan perbandingan
tertentu terhadap acuan.

32. • Dikenal suatu istilah faktor dilatasi k yang menyebabkan perbesaran atau perkecilan suatu sistem.
• Jika nilai k (bilangan nyata):
 k> 1 : hasil dilatasi diperbesar
 -1<k<1 : hasil dilatasi diperkecil
 k = 1 : hasil dilatasi sama dengan aslinya.
• Contoh :
Gambar disamping dilakukan
dilatasi dengan faktor k = 2.
Carilah titik-titik A’, B’ C’ dan
D’ !

33. • Jawab :
Transformasi dapat dilakukan dengan :
Jadi hasil dilatasi
terhadap titik O(0,0):
A’(4,6), B’(10,6)
C’(12,10), D’ (6,10)
Notasi :
(0,k)
A(a,b)
A’(ka,kb)

34. Shear
• Pergeseran pada suatu sistem dengan terjadinya
perubahan bentuk disebut transformasi shear.
• Biasanya digunakan dalam memanipulasi grafik pada
komputer. Untuk memberi kesan lain pada obyek
jika dilihat dari sudut pandang berbeda.
• Ada dua macam transformasi shear yaitu shear
terhadap sumbu-x dan shear terhadap sumbu-y

35. • Shear terhadap sumbu-x
Perubahan terjadi pada absis titik-titik pada ujung
sistem yang tidak terletak pada sumbu-x dengan
faktor shear k (k : bilangan nyata)

37. • Shear terhadap sumbu-y
Perubahan terjadi pada absis titik-titik pada ujung
sistem yang tidak terletak pada sumbu-y dengan
faktor shear k (k : bilangan nyata)

39. Contoh soal :
Tentukan titik koordinat bayangan dari sebuah bangun
segitiga ABC dengan A(2,0), B(6,0), C(0,4) jika segitiga
tersebut di shear terhadap sumbu-x dengan faktor
shear k=3 serta sketsakan bayangan yang terbentuk.
Jawab :
Sketsa bayangan :

41. Koordinat Homogen
• Koordinat homogen adalah representasi koordinat 2
dimensi dengan 3 vektor
x
 
 
y
 


Koordinat homogen
Rotasi
cos θ - sinθ
= sinθ
cosθ

 0
0

Skala
a 0 0
= 0 b 0 


0 0 1 


x
 
 
y
 
 
1
 
0
0

1

Translasi
1 0 Tx 


=  0 1 Ty 
0 0 1 



42. Komposisi Transformasi
• Komposisi transformasi adalah menggabungkan
beberapa tranformasi, sehingga dapat menghasilkan
bentuk transformasi yang lebih kompleks
• Dapat dilakukan 3 transformasi dalam sebuah matrik
tunggal :
- operasi yang dilakukan adalah perkalian matrik
- ketika mentransformasikan suatu titik, tidak ada
penangan khusus : matrik . Vektor
- transformasi gabungan : matrik . matrik

43. • Macam komposisi transformasi :
 Rotasi sebagai titik perubahan :
Translasi – Rotasi – Translasi
 Skala sebagai titik perubahan :
Translasi – Skala – Translasi
 Perubahan sistem koordinat :
Translasi – Rotasi – Skala

49. Latihan :
1. Jika titik (a,b) direfleksikan terhadap sumbu-y, kemudian
dilanjutkan dengantransformasi sesuai matrik -2 1
 1 2
menghasilkan titik (1, -8).


Tentukan nilai a dan b.
2. Tentukan matrik yang bersesuaian dengan dilatasi pusat (0,0)
dan faktor skala 3 dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis y
= x.
3. Buktikan bahwa :
merupakan matrik transformasi untuk titik yang dirotasi
terhadap titik P(m,n)