Stat prob05 descriptivestatistic_statisticmeasure

STATISTIKA DESKRIPTIF :
Ukuran Numerik
ARIF RAHMAN
1

Statistika Deskriptif
Bidang statistika yang merangkum dan
menyajikan data dalam ukuran numerik
atau format tabulasi dan grafis, sehingga
memudahkan untuk menginterpretasikan
dan menganalisa data tersebut.
Menunjukkan fitur dasar data ilmiah
(scientific data) dalam format yang teratur
(manageable form) dan ringkasan yang
lebih sederhana (simpler summary).
2

Statistika Deskriptive
Rekapitulasi, menyajikan data mentah
atau yang telah diolah dalam bentuk daftar
(list) atau tabulasi (table)
Grafis, menyajikan ilustrasi data dalam
bentuk peta (chart), grafik (graph) atau
diagram
Ukuran Numerik, menyajikan statistik data
dalam ukuran pemusatan (center tendency)
atau sebaran (dispersion)
3

Ukuran Numerik
Ukuran Numerik menunjukkan nilai statistik
dari data sampel atau ukuran parameter dari
data populasi dalam bentuk :
Pemusatan Sebaran
 Mean Variance
 Median Standard Deviation
 Mode Range
Skewness & Kurtosis
Quartile, Decile, Percentile
4

Pemusatan dan Sebaran: Populasi dan Sampel
5

Mean
Rata-rata (mean) adalah ukuran numerik
yang menunjukkan rerata (average) dari
sejumlah data.
Berdasarkan teorema limit sentral (central
limit theorem), sebagai parameter dari
distribusi normal populasi dinotasikan
dengan µ, sedangkan sebagai statistik
sampel dinotasikan dengan x.
 Peringatan : Mean untuk menghitung rerata dari data
(variabel acak) bukan frekuensi.
7

Mean
Terdapat beberapa ukuran mean :
 Rata-rata Hitung (Arithmetic Mean)
 Rata-rata Berbobot (Weighted Arithmetic Mean)
 Rata-rata Terpenggal (Trimmed Mean)
 Rata-rata Ukur (Geometric Mean)
 Rata-rata Harmoni (Harmonic Mean)
 Rata-rata Akar Kuadrat (Root Mean Square)
8

Arithmetic Mean
9
n
x
n
xxx
x
n
i
i
n
∑=
=
+++
=
1
21 
N
x
N
xxx
N
i
i
n
∑=
=
+++
=
1
21 
µ
Di mana :
ẍ = arithmetic mean
xi = data ke-i
i = indeks urutan data
n = banyaknya data
Di mana :
µ = arithmetic mean
xi = data ke-i
N = banyaknya data
POPULASI SAMPEL

Weighted Arithmetic Mean
10
∑
∑
=
=
=
+++
+++
=
n
i
i
n
i
ii
n
nn
w
xw
www
xwxwxw
x
1
1
21
2211
.
...


Di mana :
ẍ = weighted arithmetic mean
xi = data ke-i
n = banyaknya data

Trimmed Mean
11
ban
x
x
bn
ai
i
−−
=
∑
−
+=1
Di mana :
ẍ = trimmed mean
xi = data ke-i
n = banyaknya data
a = banyaknya data sebelah kiri (left tail) yang dihilangkan
b = banyaknya data sebelah kanan (right tail) yang dihilangkan

Geometric Mean
12
n
n
i
i
n
n
x
xxxG
∏=
=
=
1
21. 
Di mana :
G = geometric mean
xi = data ke-i
n = banyaknya data
( ) ( )
( )
( )
n
x
n
xxx
xxxG
n
i
i
n
n
n
∑=
=
=
=
1
21
21
log
.log
.loglog



Harmonic Mean
13
∑=
=
+++
=
n
i i
n
x
n
xxx
n
H
1
21
1
111

Di mana :
H = harmonic mean
xi = data ke-i
n = banyaknya data

Root Mean Square
14
n
x
n
xxx
RMS
n
i
i
n
∑=
=
+++
=
1
2
22
2
2
1 
Di mana :
RMS= root mean square
xi = data ke-i
n = banyaknya data

Median
Median adalah ukuran numerik yang
menunjukkan nilai tengah yang membagi
sejumlah data menjadi dua bagian yang
sama banyak.
Untuk memperoleh median, maka data
diurutkan terlebih dahulu dari yang terkecil
hingga terbesar.
 Peringatan : Tidak ada median untuk data nominal yang
tidak mempunyai tingkatan atau urutan.
15

Median
16
( )
( ) ( )
genapjika,
2
ganjiljika,
12/2/
2/1
n
xx
Me
nxMe
nn
n
+
+
+
=
=
Di mana :
Me = median
xi = data ke-i
n = banyaknya data
N(x)= banyaknya data x
P(x)= probabilitas data x
%50)()(
2
)()(
≈≥=≤
≈≥=≤
MexPMexP
n
MexNMexN

Mode
Modus (mode) adalah ukuran numerik yang
menunjukkan data yang sering muncul atau
mempunyai frekuensi paling banyak.
Untuk memperoleh modus, maka data
dikelompokkan berdasarkan nilai yang
sama, selanjutnya dihitung frekuensinya.
Data yang frekuensi atau anggotanya
paling banyak adalah modus.
 Peringatan : Terkadang modus bisa lebih dari satu.
Penentuan rentang kelas dapat mempengaruhi frekuensi.
17

Mode
18
terbanyak)(jika, xfxMo =
Di mana :
Mo = mode
x = data
f(x)= frekuensi data
n = banyaknya data

Hubungan Empiris Mean, Median & Mode
19
).(3 MexMox −=−
Mo Mox xMe Me

Variance
Varians (variance) adalah ukuran numerik
dari rata-rata kuadrat penyimpangan data
terhadap ukuran pemusatan data.
Berdasarkan teorema limit sentral (central
limit theorem), sebagai parameter dari
distribusi normal populasi dinotasikan
dengan σ2
, sedangkan sebagai statistik
sampel dinotasikan dengan s2
dengan
derajat kebebasan (df) = n-1
20

Variance
21
N
x
N
xx
n
i
i
n
∑=
−
=
−++−
=
1
2
22
12
)(
)()(
µ
µµ
σ

Di mana :
s2
= variance
xi = data ke-i
n = banyaknya data
1
)(
1
)()(
1
2
22
12
−
−
=
−
−++−
=
∑=
n
xx
n
xxxx
s
n
i
i
n
Di mana :
σ2
= variance
xi = data ke-i
N = banyaknya data
POPULASI SAMPEL

Variance
22
Di mana :
s2
= variance
xi = data ke-i
n = banyaknya data
( )
)1(
2
11
2
2
−






−
=
∑∑ ==
nn
xxn
s
n
i
i
n
i
i
Variance gabungan beberapa himpunan
∑
∑
=
=
= k
i
i
k
i
ii
n
sn
s
1
1
2
2
.

Standard Deviation
Simpangan baku (standard deviation)
adalah ukuran numerik yang menunjukkan
penyimpangan data terhadap ukuran
pemusatan data tanpa memperhatikan arah
penyimpangannya.
Dalam formulasi matematis, standard
deviation adalah akar pangkat dua dari
variance
23

Standard Deviation
24
2
1
2
2 2
1
)(
−
−
=
=
∑=
n
xx
ss
n
i
i
Di mana :
s = standard deviation
xi = data ke-i
n = banyaknya data
Di mana :
σ = standard deviation
xi = data ke-i
N = banyaknya data
2
1
2
2 2
)(
N
x
n
i
i∑=
−
=
=
µ
σσ
POPULASI SAMPEL

Standard Deviation
25
Di mana :
xi = data ke-i
n = banyaknya data
( )
2
2
11
2
)1( −






−
=
∑∑ ==
nn
xxn
s
n
i
i
n
i
i

Absolute Deviation
Simpangan absolut (absolute deviation)
rata-rata absolut penyimpangan data
terhadap ukuran pemusatan data
27

Absolute Deviation
28
n
xx
n
xxxxxx
MAD
n
i
i
n
∑=
−
=
−++−+−
=
1
21 
Di mana :
MAD= absolute deviation
xi = data ke-i
n = banyaknya data

Range
Rentang (range) adalah ukuran numerik
yang menunjukkan rentang sebaran data
mulai data terkecil hingga data terbesar.
Untuk memperoleh range, harus dicari data
terkecil dan data terbesar terlebih dahulu.
Selisih antara data terkecil dengan data
terbesar adalah besaran range.
29

Range
30
minmax xxR −=
Di mana :
R = range
xmax = data terbesar
xmin = data terkecil

Interquartile Range
Rentang antar kuartil (interquartile range)
rentang sebaran data antara kuartil 1
hingga kuartil 3.
Rentang semi antar kuartil (semi-
interquartile range) adalah setengah dari
rentang antar kuartil
31

Interquartile Range
32
IQRSIQR
QQIQR
.2
1
13
=
−=
Di mana :
IQR= intequartile range
SIQR= semi-intequartile range
Q1 = kuartil ke-1
Q3 = kuartil ke-3

Percentile Range
Rentang persentil (percentile range) adalah
ukuran numerik yang menunjukkan rentang
sebaran data antara persentil 10 hingga
persentil 90.
33

Percentile Range
34
1090 PPPR −=
Di mana :
PR= percentile range
P10 = persentil ke-10
P90 = persentil ke-90

Hubungan Empiris Beberapa Ukuran Sebaran
35
σσ
σσ
3
2
5
4
.6745,0
.7979,0
≈=
≈=
SIQR
MAD
Di mana :
σ = standard deviation
MAD = absolute deviation
SIQR = semi-interquartile range

Skewness
Kemiringan atau kemenjuluran (skewness)
derajat ketidaksimetrian distribusi atau
kecondongan miring kurva distribusi,
karena ketiga ukuran pemusatan (mean,
median, mode) tidak berimpit.
36

Skewness
37
( )
( )3
2
3
.3
s
m
s
Mex
s
Mox
skewness
=
−
=
−
=
MoMeẍ Mo Me ẍ
ẍ
Skewness = 0 Skewness > 0Skewness < 0
Positive or right skew
Mo
Me
SymmetricNegative or left skew
Di mana :
Mo= mode
Me= median

Kurtosis
Keruncingan (kurtosis) adalah ukuran
numerik yang menunjukkan derajat
kecuraman puncak distribusi dan biasanya
relatif terhadap distribusi normal.
38

Kurtosis
39
( )
( )22
4
1090
132
1
.
s
m
PP
QQ
kurtosis
=
−
−
=
Di mana :
Q = quartile
P = percentile
Leptokurtik Mesokurtik Platikurtik
Kurtosis > 0,263 Kurtosis = 0,263 Kurtosis < 0,263
Runcing Normal Landai
 Normal = 0,263
 Normal = 3

Quartile, Decile & Percentile
Kuartile (quartile), adalah nilai yang
membagi sejumlah data observasi menjadi
empat bagian yang sama.
Desil (decile), adalah nilai yang membagi
sejumlah data observasi menjadi sepuluh
bagian yang sama.
Persentil (percentile), adalah nilai yang
membagi sejumlah data observasi menjadi
seratus bagian yang sama.
40

41
%80)(%;70)(%;75)(,
%30)(%;20)(%;25)(,
%50)()()()(,
873837
321312
50525052
≈≤≈≤≈≤≤≤
≈≤≈≤≈≤≤≤
≈≤=≤=≤=≤===
DxPDxPQxPDQD
DxPDxPQxPDQD
MexPPxPDxPQxPMePDQ
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , . . . , xn
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9
Q2Q1 Q3
P1 P99P50P5 P10 P25 P75 P90 P95

42
APROKSIMASI
n = banyaknya data observasi
u = urutan data untuk aproksimasi
uB = pembulatan ke bawah urutan data
uA = pembulatan ke atas urutan data
Penentuan aproksimasi besaran u
Median  u = (n+1)/2
Qi  u = i.(n+1)/4
Di  u = i.(n+1)/10
Pi  u = i.(n+1)/100
Interpolasi aproksimasi
Approximation = xUB +
(u – uB)
. (xUA – xUB)
1

Contoh Data Tunggal atau Individu
43
Daftar data observasi setelah diurutkan :
1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 9
Rata-rata :
441,5
10
931
533,3
10
388,4931
5
10
931
2
222
9
1
3
1
1
1
10
=
×××
=
=
+++
=
=×××=
=
+++
=




RMS
H
G
x

44
1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 9
Modus = 5

45
1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 9
Median =
5 + 5
=5
Q2 =
D5 = 2
P50 =

46
1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 9
APROKSIMASI MEDIAN
n = 10
Median  (n+1)/2 = (10+1)/2 = 5,5
Median = x5 +
(5,5 – 5)
x (x6 – x5)
1
= 5 + 0,5 x (5 – 5)
= 5

47
1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 9
Q2 = 5
Q1 = 4 Q3 = 7

48
1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 9
APROKSIMASI QUARTILE
n = 10
Qi  i.(n+1)/4
Q1  1.(10+1)/4 = 2,75
Q2  2.(10+1)/4 = 5,5  Median
Q3  3.(10+1)/4 = 8,25
Q1 = 3,75
Q2 = 5
Q3 = 7
Q1 = x2 +
(2,75 – 2)
x (x3 – x2)
1
= 3 + 0,75 x (4 – 3)
= 3,75
Q3 = x8 +
(8,25 – 8)
x (x9 – x8)
1
= 7 + 0,25 x (7 – 7)
= 7

49
1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 9
D5 = 5
D4 = 4,5
D3 = 4D1 = 2 D7 = 6 D9 = 8
D2 = 3,5 D6 = 5 D8 = 7

50
1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 9
APROKSIMASI DECILE
n = 10
Di  i.(n+1)/10
D1  1.(10+1)/10 = 1,1
D5  5.(10+1)/10 = 5,5  Median
D9  9.(10+1)/10 = 9,9
D1 = 1,2
D5 = 5
D9 = 8,8
D1 = x1 +
(1,1 – 1)
x (x2 – x1)
1
= 1 + 0,1 x (3 – 1)
= 1,2
D9 = x9 +
(9,9 – 9)
x (x10 – x9)
1
= 7 + 0,9 x (9 – 7)
= 8,8

51
1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 9
Sebaran :
( ) ( )
( ) ( )
819
261,2
110
5951
111,5
110
5951
2
22
22
2
=−=
=
−
−++−
=
=
−
−++−
=
R
s
s



52
1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 9
( )
( )
0
261,2
55.3
.3
=
−
=
−
=
s
Mex
skewness
( )
( )
25,0
)28(
)47.(
.
2
1
1090
132
1
=
−
−
=
−
−
=
PP
QQ
kurtosis

Data Berkelompok
Terkadang data observasi telah diolah
menjadi data berkelompok terutama dalam
tabel distribusi frekuensi.
Subgrup adalah pengelompokkan data
observasi yang diambil dari kelompok
(waktu, area, batch, lot, lini) yang sama
Kelas adalah pengelompokkan data
observasi sesuai kategori, level (faktor)
atau interval yang sama.
53

Membuat Distribusi Frekuensi
Data tunggal dapat diolah menjadi data
berkelompok dengan cara :
Menghitung rentang data observasi (R).
Menentukan banyaknya kelas (k)
berdasarkan banyaknya data observasi (n).
Misalnya menggunakan aturan Sturges
...
54
)100/log(3,31
atau)log(3,31
2
nk
nk
+=
+=

55
Perbedaan penentuan
banyaknya kelas

Menentukan lebar kelas (w) berdasarkan
rentang data (R) dan banyaknya kelas (k).
Untuk data diskrit sebaiknya menggunakan
poin. Jika menggunakan interval, perlu
dipastikan bahwa anggota dalam masing-
masing kelas berimbang.
...
56
k
R
w ≈

57
Kelas f fr Fr
0<x<1,4
1,4<x<2,8
2,8<x<4,2
4,2<x<5,6
5,6<x<7,0
Perbedaan anggota kelas pada penentuan interval
kelas yang salah pada data diskrit
Kelas f fr Fr
0 – 1
2 – 3
4 – 5
6 – 7
Anggotanya 0 dan 1 
Anggotanya 2 
Anggotanya 5 

Memilih data observasi terkecil (xmin) atau
yang sedikit lebih kecil sebagai batas
bawah kelas pertama (L1), selanjutnya
ditambahkan dengan lebar kelas (w) untuk
mendapatkan batas atas kelas pertama
(U1).
...
58
diskritdatauntuk
kontinyudatauntuk
11
11
UL
UxL
−
<≤

Pada kelas berikutnya, menentukan batas
bawah kelas (Li) berdasarkan batas atas
kelas sebelumnya (Ui-1), selanjutnya
ditambahkan dengan lebar kelas (w) untuk
mendapatkan batas atas kelas (Ui).
...
59
diskritdatauntuk1
kontinyudatauntuk
1
1
+=
=
−
−
ii
ii
UL
UL

Ulangi penentuan batas bawah kelas (Li)
dan batas atas kelas (Ui) untuk semua
kelas hingga data observasi terbesar (xmax)
tercakup.
Kelompokkan data observasi sesuai
kelasnya dan menandainya dengan turus
(tally). Hitung banyaknya data di masing-
masing kelas sebagai frekuensi (fi)
...
60

Berdasarkan frekuensi (fi) dan banyaknya
data observasi (n), hitung frekuensi
kumulatif (fki),frekuensi relatif (fri) dan
frekuensi relatif kumulatif (Fri) di masing-
masing kelas.
61
∑=
i
i ffk
1 n
f
fr i
i =
n
fk
frFr i
i
i == ∑1

62
Kelas Turus f fk fr Fr
0<x<1,4
1,4<x<2,8
2,8<x<4,2
4,2<x<5,6
5,6<x<7,0
Distribusi Frekuensi Data Kontinyu
Kelas Turus f fk fr Fr
0 – 1
2 – 3
4 – 5
6 – 7
Distribusi Frekuensi Data Diskrit

Arithmetic Mean
63
n
xf
n
xfxfxf
x
k
i
ii
kk
∑=
=
+++
=
1
2211
.
... 
Di mana :
xi = data tengah (midpoint atau classmark) kelas ke-i
i = indeks urutan kelas
n = banyaknya data = Σfi
k = banyaknya kelas

Median
64
)(
)( 12
ii
i
i
n
i LU
f
fk
LMe −
−
+= −
Di mana :
Me = median
n = banyaknya data
Li = batas bawah kelas lokasi median
Ui = batas bawah kelas lokasi median
fi = frekuensi kelas lokasi median
fki-1= frekuensi kumulatif kelas sebelum lokasi median
2
)(ˆ 1 ii
i
LU
L
+
= −
2
)(ˆ 1++
= ii
i
LU
U
Distribusi Frekuensi
Data Diskrit :

Mode
65
)(
)()(
)(
11
1
ii
iiii
ii
i LU
ffff
ff
LMo −
−+−
−
+=
+−
−
Di mana :
Mo = mode
Li = batas bawah kelas lokasi mode
Ui = batas bawah kelas lokasi mode
fi = frekuensi kelas lokasi mode
fi-1 = frekuensi kelas sebelum lokasi mode
fi+1 = frekuensi kelas sesudah lokasi mode
2
)(ˆ 1 ii
i
LU
L
+
= −
2
)(ˆ 1++
= ii
i
LU
U
Data Diskrit :

Variance
66
Di mana :
s2
= variance
xi = data tengah kelas ke-i
k = banyaknya kelas
1
).(
1
).().(
1
2
22
112
−
−
=
−
−++−
=
∑=
n
xxf
n
xxfxxf
s
k
i
ii
kk
( )
)1(
..
2
11
2
2
−






−
=
∑∑ ==
nn
xfxfn
s
k
i
ii
k
i
ii
atau

Standard Deviation
67
Di mana :
xi = data tengah kelas ke-i
k = banyaknya kelas
2
1
2
2 2
1
).(
−
−
=
=
∑=
n
xxf
ss
k
i
ii ( )
2
2
11
2
)1(
..
−






−
=
∑∑ ==
nn
xfxfn
s
k
i
ii
k
i
ii
atau

68
)(
)( 14
.
ii
i
i
nj
ij LU
f
fk
LQ −
−
+= −
Di mana :
n = banyaknya data
Li = batas bawah kelas lokasi
Ui = batas bawah kelas lokasi
fi = frekuensi kelas lokasi
fki-1= frekuensi kumulatif kelas sebelum lokasi
2
)(ˆ 1 ii
i
LU
L
+
= −
2
)(ˆ 1++
= ii
i
LU
U
Data Diskrit :
)(
)( 110
.
ii
i
i
nj
ij LU
f
fk
LD −
−
+= −
)(
)( 1100
.
ii
i
i
nj
ij LU
f
fk
LP −
−
+= −

Contoh Data Berkelompok
70
5,163
80
240.2100.380.2
... 2211
=
+++
=
+++
=


n
xfxfxf
x kk
Perhitungan arithmetic mean

71
Perhitungan Median
636,163)150170(
22
)25(
150
)(
)(
2
80
12
=−
−
+=
−
−
+= −
ii
i
i
n
i LU
f
fk
LMe

72
Perhitungan Mode
308,162)150170(
)1722()1422(
)1422(
150
)(
)()(
)(
11
1
=−
−+−
−
+=
−
−+−
−
+=
+−
−
ii
iiii
ii
i LU
ffff
ff
LMo

73
193,305
180
)5,163240.(2)5,163100.(3)5,16380.(2
1
).().().(
222
22
22
2
112
=
−
−++−+−
=
−
−++−+−
=


n
xxfxxfxxf
s kk
Perhitungan variance

74
470,17
193,3052
2 2
=
=
= ss
Perhitungan standard deviation

75
Perhitungan Quartile
294,185)170190(
17
)47(
170
857,142)130150(
14
)11(
130
)(
)(
4
80.3
3
4
80.1
1
14
.
=−
−
+=
=−
−
+=
−
−
+= −
Q
Q
LU
f
fk
LQ ii
i
i
nj
ij

76
Perhitungan Decile
206)190210(
10
)64(
190
120)100130(
6
)5(
110
)(
)(
10
80.9
9
10
80.1
1
110
.
=−
−
+=
=−
−
+=
−
−
+= −
D
D
LU
f
fk
LD ii
i
i
nj
ij

77
( )
( )
02342,0
470,17
636,1635,163.3
.3
−=
−
=
−
=
s
Mex
skewness
( )
( )
24673,0
)120206(
)857,142294,185.(
.
2
1
1090
132
1
=
−
−
=
−
−
=
PP
QQ
kurtosis
Perhitungan skewness dan kurtosis

78
Terima kasih ...Terima kasih ...
... Ada pertanyaan ???... Ada pertanyaan ???

Stat prob05 descriptivestatistic_statisticmeasure

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Stat prob05 descriptivestatistic_statisticmeasure

Similar to Stat prob05 descriptivestatistic_statisticmeasure (20)

More from Arif Rahman

More from Arif Rahman (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (19)

Stat prob05 descriptivestatistic_statisticmeasure