Manajemen Perawatan - 05 - Probabilitas

1. 1
Probabilistik dan
Stokastik
Teknik Industri
Universitas Brawijaya

2. Terminologi
Variabel acak (random variable)
adalah sebuah fungsi yang
dinotasikan sebuah bilangan nyata
(real number) untuk setiap elemen
dalam satu ruang sampel (sample
space)
X(i) ∈ ζ dengan X(i) ∈ ℜ
Di mana
X(i) : variabel acak
ζ : ruang sampel
ℜ : bilangan nyata
2

3. Terminologi
Percobaan acak (random trial)
adalah sebuah nilai informasi yang
menginterpretasikan keluaran
(chance outcome) yang muncul dalam
studi investigasi ilmiah melalui
pengamatan (observation) dan
eksperimen (experiment) yang dapat
dilakukan berulang-ulang dalam
kondisi yang sama
3

4. Terminologi
Sampel (sample) adalah sebuah
atau beberapa elemen yang
menjadi anggota dari ruang sampel
(member of sample space) atau bagian
dari populasi (selection of population)
Ruang sampel (sample space)
adalah himpunan semua
kemungkinan keluaran (possible
outcome) percobaan acak (random
trial)
4

5. Terminologi
Populasi (population) adalah
himpunan semua objek, percobaan,
pengamatan, data, keluaran, atau
nilai yang memiliki kesamaan
kondisi umum (common state) dalam
rentang (range) tertentu dengan
parameter identik
5

6. Terminologi
Kejadian (event) adalah bagian dari
ruang sampel (sample space)
sebagai keluaran dari beberapa
percobaan (random trial)
A ⊂ ζ
Di mana
A : Kejadian
ζ : ruang sampel
6

7. Terminologi
Probabilitas (probability) adalah
tingkat kemungkinan kemunculan
keluaran bagian dari kejadian
(event) yang diamati.
0 < P(A) < 1
dengan P(∅) = 0 dan P(ζ) = 1
Di mana
A : Kejadian
ζ : ruang sampel
7

8. Terminologi
Proses stokastik (stochastic
process) adalah proses dinamis
dengan perubahan state yang
bersifat probabilistik terhadap waktu
Proses hitung (counting process)
proses kemunculan sejumlah
kejadian hingga waktu tertentu.
N(t) = counting process dengan t > 0
8

9. Terminologi
Pengelompokkan proses stokastik
9

10. Terminologi
Proses Stokastik
Bernoulli Process
Poisson Process
Nonhomogeneous Poisson
Process
Compound Poisson Process
Renewal Process
Birth-Death Process
10

11. 11
Non-Homogeneous Poisson
Process (NHPP)
Poisson Process
Renewal Counting
Process
Homogeneous
Continuous Time
Markov Chain
Homogeneous
Discrete Time
Markov Chain
Semi-Markov
Process
Markov Regenerative
Process
Non-Homogeneous
Continuous Time
Markov Chain
ompound Poisson
rocess
Bernoulli Process

12. Ukurandata
Nominal
Ordinal
Interval
Rasio
12

13. MacamVariabel
Berdasarkan kebebasan
Variabel bebas (independent
variable)
Variabel terikat (dependent variable)
Berdasarkan kontinyuitas
Variabel diskrit (discrete variable)
Variabel kontinyu (continuous
variable)
13

14. OperasiKejadian
Himpunan kosong (null set)
A = ∅
Himpunan bagian (subset atau
inclusion)
A ⊂ B
Bagian (Element)
A ⊂ B
Irisan (intersection)
A ∩ B
Gabungan (union)
A ∪ B
14

15. KomplemenKejadian
Komplemen kejadian (complement
of event) adalah semua keluaran
dalam ruang sampel (sample space)
yang tidak menjadi anggota dari
kejadian (event)
A ∩ A’ = ∅ dan A ∪ A’ = ζ
Di mana
A : Kejadian
A’ : Komplemen kejadian
ζ : ruang sampel
15

16. KejadianBebasEkslusif
Bebas ekslusif (mutually exclusive
atau disjoint) merupakan tidak
terdapatnya keluaran yang menjadi
anggota ganda dalam dua atau
beberapa kejadian (event) berbeda
A ∩ B = ∅
Di mana
A : Kejadian A
B : Kejadian B
16

17. AksiomaKejadian
A ∩ ∅ = ∅
A ∪ ∅ = A
A ∩ A’ = ∅
A ∪ A’ = ζ
ζ ’ = ∅
∅’ = ζ
(A’)’ = A
(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
17
ζ
A B

18. PenghitunganKeluaranSampel
Permutasi : banyaknya
kemungkinan keluaran n sampel
dari N dengan memperhatikan
susunan atau urutan
Kombinasi : banyaknya
kemungkinan keluaran n sampel
dari N tanpa memperhatikan
susunan atau urutan
18
)!(
!
nN
N
PnN
−
=
)!(!
!
nNn
N
n
N
−
=






19. PenghitunganKeluaranSampel
Permutasi dalam lingkaran
Permutasi kejadian terbatas
Kombinasi partisi atau
pengelompokkan
19
)!1( −n
!!...!!
!
321 knnnn
N
!!...!!
!
321 knnnn
N

20. ProbabilitasKejadian
Probabilitas kejadian tunggal
Probabilitas kejadian gabungan
Probabilitas kejadian kondisional
20
N
n
AP =)(
)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪
)(
)(
)|(
BP
BAP
BAP
∩
=

21. ProbabilitasKejadian
Probabilitas irisan dua kejadian
independen (mutually independent)
Probabilitas gabungan kejadian
bebas eksklusif (mutually exclusive)
21
)().()( BPAPBAP =∩
)(...
)()()...( 2121
n
n
AP
APAPAAAP
++
+=∪∪∪

22. 22
Akhir Perkuliahan…Akhir Perkuliahan…
…… Ada Yang DitanyakanAda Yang Ditanyakan