คณิตศาสตร์ เรื่อง เซต สับเซตและพาวเวอร์เซต ที่มา : หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ เล่ม 1 สสวท.

1. สับเซต ( Sunsets ) และพาวเวอร์เซต ( Power set )
สับเซต
กำหนดให้ A = { 7, 8 } และ B = { 1, 3, 5, 7, 8} สมำชิกทั้งหมดของเซต A คือ 7 และ 8
ต่ำงก็เป็นสมำชิกของเซต B ในกรณีเช่นนี้เรียก เซต A ว่ำ เป็นสมำชิกของเซต B
เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมำชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมำชิกของเซต B
เขียนแทนด้วย A ⊂ B
เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ มีสมำชิกอย่ำงน้อยหนึ่งตัวของเซต A ที่ไม่เป็น
สมำชิกของเซต B เขียนแทนด้วย A ⊄ B
จำกเซต A และเซต B ในตัวอย่ำงข้ำงต้น สรุปได้ว่ำ A ⊂ B แต่ A ⊄ B
จำกกำรสังเกต ถ้ำ A ⊂ B แล้วสมำชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมำชิกของเซต B และถ้ำ
B ⊂ A แล้วสมำชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมำชิกของเซต A เมื่อพิจำรณำเซต A และเซต B
แล้วพบว่ำ A ⊂ B ในขณะเดียวกัน B ⊂ A จะได้ว่ำ A = B นั่นคือ
ถ้ำ A ⊂ B และ B ⊂ A แล้ว A = B
ในทำงตรงกันข้ำม เมื่อพิจำรณำเซต A และเซต B เมื่อ A = B จะได้ว่ำสมำชิกทุกตัวของเซต
A เป็นสมำชิกของเซต B นั่นคือ A ⊂ B และสมำชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมำชิกของเซต
A นั่นคือ B ⊂ A ทำให้ได้ว่ำ
ถ้ำ A = B แล้ว A ⊂ B และ B ⊂ A
ดังนั้นจึงได้ข้อสรุปว่ำ
A ⊂ B และ B ⊂ A ก็ต่อเมื่อ A = B
ข้อสังเกต
1) เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวเอง นั่นคือ ถ้ำเซต A เป็นเซตใดๆ แล้ว A ⊂ A
2) เซว่ำงเป็นสับเซตของเซตทุกเซต นั่นคือ ถ้ำเซต A เป็นเซตใดๆ แล้ว ∅ ⊂ B
เพาเวอร์เซต
เซตของสับเซตทั้งหมดของเซต A เรียกว่ำ เพำเวอร์เซตของเซต A เขียนแทนด้วน
สัญลักษณ์ P ( A )
ให้ A = { 1, 2, 3 }
เซตของสับเซตทั้งหมดของเซต A หรือเพำเวอร์เซตของเซต A คือ
P ( A ) = { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3 }, ∅ }

2. แผนภาพของเวนน์ – ออยเลอร์ ( Venn – Euler Diagram )
กำรเขียนแผนภำพแทนเซตจะช่วยให้ควำมคิดเกี่ยวกับเซตนั้นชัดเจนขึ้น แผนภำพที่ใช้
เขียนแทนเซตนี้เรียกว่ำ แผนภำพของ เวนน์ – ออยเลอร์ ชื่อของแผนภำพมำจำกชื่อของนัก
คณิตศำสตร์สองท่ำนคือเวนน์และออยเลอร์ ซึ่งจะเรียกแผนภำพเวนน์ – ออยเลอร์เพียงสั้นๆ ว่ำ
แผนภำพ กำรเขียนแผนภำพมักจะแทน U ด้วยรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ำหรือรูปปิดใดๆ ส่วนเซตอื่นๆ
ซึ่งเป็นสับเซตของ U นั้น อำจเขียนแทนด้วยวงกลม วงรี หรือรูปที่มีพื้นที่จำกัดใดๆ ดังรูป
รูป ก รูป ข
รูป ก และรูป ข แสดงว่ำ เซต A เซต B และเซต C ต่ำงก็เป็นสับเซตของ U
รูป ก แสดงว่ำ B ⊂ A และเซต A กับเซต C มีสมำชิกบำงส่วนร่วมกัน
รูป ข แสดงว่ำ เซต A เซต B และเซต C ไม่มีสมำชิกร่วมกันเลย
เซตที่ไม่มีสมำชิกร่วมกันเลยเรียกว่ำ เซตไม่มีส่วนร่วม ( disjoint sets )
จำนวนสมำชิกของเพำเวอร์เซตของเซตจำกัด = 2n
เมื่อ n เป็นจำนวนสมำชิกของเซตนั้น

3. Ex. กำหนดให้ A = { 1, 2, 3, 4 } และ B = { 3, 4, 5, 6 } จงเขียนแผนภำพแทนเซตทั้งสองเซตนี้
วิธีทา จำกสิ่งที่กำหนดให้เซต A และเซต B มีสมำชิกร่วมกันคือ 3 และ 4 เขียนแผนภำพ
แทนเซต A และเซต B ได้ดังนี้
ที่มา : หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ เล่ม 1 สสวท.