1. คู่อันดับ
คู่อันดับ หมายถึง การนาสมาชิกของสองกลุ่มใด ๆ มาเข้าคู่กันสัญลักษณ์ (a , b) อ่านว่า
คู่อันดับเอบี โดยที่ a เป็นสมาชิกตัวที่ 1 หรือ ตัวหน้าและ b เป็นสมาชิกตัวที่ 2 หรือ ตัวหลัง
ตัวอย่างสิ่งของหรือสิ่งต่างๆ ที่เป็นคู่กันเสมอในชีวิตประจาวัน เช่นพ่อ คู่กับ แม่ ,ลุง คู่กับ ป้า ,
ดวงอาทิตย์ คู่กับ ดวงจันทร์ , ดอกไม้ คู่กับ ผีเสื้อ ซึ่งคู่อันดับสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ
แผนภาพได้ดังนี้
พ่อ แม่
ลุง ป้า
ดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์
ดอกไม้ ผีเสื้อ
ตัวอย่างที่ 1 พิจารณาข้อความต่อไปนี้สมุด 1 เล่ม ราคา 12 บาท , สมุด 2 เล่ม ราคา 24 บาท , สมุด 3
เล่ม ราคา 36 บาท , สมุด 4 เล่ม ราคา 48 บาท จงเขียนความสัมพันธ์ระหว่างจานวนสุมด (เล่ม) และ
ราคา (บาท) ในรูปของตาราง แผนภาพและคู่อันดับ
วิธีทา สามมารถเขียนในรูปตารางได้ดังนี้
จานวนสมุด (เล่ม) ราคา (บาท)
1 12
2 24
3 36
4 48
จากตาราง นาข้อมูลของจานวนสมุดและราคาสมุดมาเขียนแสดงความสัมพันธ์เป็นคู่ ๆ ใน
รูปแผนภาพ ได้ดังนี้

2. จานวนสมุด (เล่ม) ราคา (บาท)
และสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของคู่อันดับได้คือ (1,12), (2,24), (3,36), (4,48)
ตัวอย่างที่ 2 จากแผนภาพดังรูป จงเขียนคู่อันดับทั้งหมด
วิธีทำ คู่อันดับทั้งหมดได้แก่ ( a , 1 ) , ( a , 2 ) , ( a , 3 ) , ( b , 4 )
ตัวอย่างที่ 3 มีลูกเต๋า 2 ลูก คือ ลูกสีขาว และ ลูกสีดา ถ้าโยนลูกเต๋าทั้งสองลูก จงเขียนคู่อันดับ
แสดงการจับคู่ของจานวนที่ได้จากลูกเต๋าสีขาว กับจานวนที่ได้ จาก ลูกเต๋าสีดา เมื่อ
( 1 ) สมาชิกตัวที่หนึ่งของคู่อันดับเป็นจานวนที่ได้จากลูกเต๋าสีขาว
( 2 ) สมาชิกตัวที่หนึ่งของคู่อันดับเป็นจานวนที่ได้จากลูกเต๋าสีดา

3. การเท่ากันของคู่อันดับ
(a, b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d
เช่น การแสดงความสัมพันธ์ระหว่างจานวนฟองกับราคาไข่
ซื้อไข่ 1 ฟอง ราคา 2 บาท เขียนแทนด้วย ( 1 , 2 ) ซึ่งไม่เท่ากับ (2,1)
ซื้อไข่ 2 ฟอง ราคา 4 บาท เขียนแทนด้วย ( 2 , 4 ) ซึ่งไม่เท่ากับ (4,2)
ซื้อไข่ 3 ฟอง ราคา 6 บาท เขียนแทนด้วย ( 3 , 6 ) ซึ่งไม่เท่ากับ (6,3)
ซื้อไข่ 4 ฟอง ราคา 8 บาท เขียนแทนด้วย ( 4 , 8 ) ซึ่งไม่เท่ากับ (8,4)
การแสดงความสัมพันธ์ระหว่างราคาไข่กับจานวนฟอง
ไข่ราคา 2 บาท จานวน 1 ฟอง เขียนแทนด้วย ( 2 , 1 ) ดังนั้นจะได้ว่า
ไข่ราคา 4 บาท จานวน 2 ฟอง เขียนแทนด้วย ( 2 , 4 )
ไข่ราคา 6 บาท จานวน 3 ฟอง เขียนแทนด้วย ( 6 , 3 )
ไข่ราคา 8 บาท จานวน 4 ฟอง เขียนแทนด้วย ( 8 , 4 )

4. สรุปคู่อันดับ
1 คู่อันดับหมายถึงความสัมพันธ์ของการจับคู่ระหว่างสมาชิกสองตัว จากกลุ่ม 2 กลุ่ม
2 ความสัมพันธ์ดังกล่าว สามารถเขียนได้ 2 แบบคือ
แบบที่หนึ่ง : เขียนให้อยู่ในรูปของคู่อันดับโดยเขียนสัญลักษณ์แทนด้วยเครื่องหมายวงเล็บ
แล้วคั่นสมาชิกสองตัวด้วยเครื่องหมายจุลภาค
แบบที่สอง : เขียนให้อยู่ในรูปแผนภาพ
3 จานวนสมาชิกของกลุ่ม 2 กลุ่มที่นามาแสดงความสัมพันธ์ของคู่อันดับคู่อันดับไม่จาเป็นต้อง
เท่ากันก็ได้
แบบฝึกหัด
1. จากตารางจงเขียนเป็นแผนภาพแสดงการจับคู่ เขียนคู่อันดับแสดงการอ่าน และบอกความหมาย
จานวนวันที่ออมเงิน (วัน ) 1 2 3
จานวนเงินที่ออมได้ ( บาท ) 2 4 6
สมาชิกกลุ่มที่ 1 สมาชิกกลุ่มที่ 2
จานวนวัน จานวนเงิน
( 1,2 ) อ่านว่า...............................................หมายความว่า...........................................
( 2,4 ) อ่านว่า...............................................หมายความว่า..........................................
( 3,6 ) อ่านว่า...............................................หมายความว่า...........................................
2. ให้นักเรียนหาความสัมพันธ์ของสิ่งใดๆ แล้วเขียนให้อยู่ในรูปแบบของตาราง แผนภาพและคู่
อันดับ

5. กราฟ
กราฟ เป็นการเขียนคั่นดับอีกรูปแบบหนึ่งนอกเหนือจากการเขียนแบบวงเล็บ ( , ) และ
การเขียนแบบแผนภาพ กราฟประกอบด้วย แกนตั้ง ( แกน x) และแกนนอน (แกน y) ตัดกันเป็นมุม
ฉาก ณ จุดที่แกน x มีค่าเท่ากับศูนย์และแกน y ก็มีค่าเท่ากับศูนย์เช่นกัน ผลคือเกิดพื้นที่ 4 ส่วน
เรียกว่าจตุภาค คือ
จตุภาคที่ 1 จะอยู่ตรงมุมขวาบน ค่าของ x และ y มีค่าเป็นจานวนบวกทั้งคู่
จตุภาคที่ 2 จะอยู่ตรงมุมซ้ายบน ค่าของ x มีค่าเป็นจานวนลบ และ y มีค่าเป็นจานวนบวก
จตุภาคที่ 3 จะอยู่ตรงมุมซ้ายล่าง ค่าของ x และ y มีค่าเป็นจานวนลบทั้งคู่
จตุภาคที่ 4 จะอยู่ตรงมุมขวาล่าง ค่าของ x มีค่าเป็นจานวนบวก และ y มีค่าเป็นจานวนลบ
และเมื่อมีจุดอยู่บนกราฟ สามารถเขียนให้อยู่ในรูปคู่อันดับได้โดยลากเส้นจากจุดนั้นไปตั้งกับแกน
ทั้งสอง ระยะจากจุดตัดของแกนถึงจุดที่เส้นตั้งฉากกับแกน x เป็น สมาชิกตัวแรกของคู่อันดับ และ
ระยะจากจุดตัดของแกนถึงจุดที่เส้นตั้งฉากกับแกน y เป็น สมาชิกตัวหลังของคู่อันดับ ซึ่งเขียนแทน
ด้วย P(x , y) เรียก จุด P ว่ามีพิกัดเป็น (x , y)
หลักการเขียนกราฟของคู่อันดับ (a,b)
1. นับจากจุดกาเนิดไปตามแนวแกนนอนให้มีระยะทาง a หน่วย แทนสมาชิกตัวหน้าของคู่
อันดับ
2. จากจุด a บนแกนนอนที่ได้ในข้อที่ 1 นับตามแนวแกนตั้งขึ้นไปเป็นระยะทาง b หน่วยแทน
สมาชิกตัวหลังของคู่อันดับ

6. 3. จะได้จุดแทน (a,b) ตามต้องการ
หลักการอ่านกราฟของคู่อันดับ (a,b)
1. นับจากจุดกาเนิดไปตามแนวแกนนอนให้มีระยะทาง a หน่วย แทนสมาชิกตัวหน้าของคู่
อันดับ
2. จากจุด a บนแกนนอนที่ได้ในข้อที่ 1 นับตามแนวแกนตั้งขึ้นไปเป็นระยะทาง b หน่วยแทน
สมาชิกตัวหลังของคู่อันดับ
3. จะได้จุดแทน (a,b) ตามต้องการ จะอ่านว่า “คู่อันดับเอบี”
การขนานแกนของกราฟ
กราฟที่ขนานแกน X คือกราฟที่มีค่า b คงที่แต่ค่า a มีการเปลี่ยนแปลง
และกราฟที่ขนานแกน Y คือกราฟที่มีค่า a คงที่แต่ค่า b มีการเปลี่ยนแปลง
ตัวอย่างที่ 1 จากรูปที่กาหนดให้ จุด A เป็นกราฟของคู่อันดับใด
วิธีทา ตาแหน่งของจุด A อยู่ห่างจากแกนตั้ง 3 หน่วย และอยู่ห่างจากแกนนอน 2 หน่วย ดังนั้น
จุด A เป็นกราฟของคู่อันดับ ( 3 , 2 )
ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนกราฟคู่อันดับ (1,3) , (2,1) , (4,5) , (3,0) และ (0,4)
วิธีทา

7. แบบฝึกหัด
1.จงเขียนจุดของคู่อันดับต่อไปนี้ A(-5,0), B(-5,3),C(-3,3),D(-3,4),E(-2,2),F(-2,1),G(3,1),
H(6,3),I(6,2),J(4,0),K(4,-4),L(0,-4),M(2,-2), N(-2.-2),O(-2,-4),P(-5,-4),Q(-3,0) บนกราฟ
พร้อมทั้งลากเส้นเชื่อมจุด A-Q พร้อมทั้งอ่านจุดของคู่อันดับ
จุดของคู่อันดับ คาอ่าน / ความหมาย
A(-5,0) คู่อันดับ -5 , 0 / x = -5 , y = 0
C(-3,3)
E(-2,2)
G(3,1)
M(2,-2)
O(-2,-4)
Q(-3,0)

8. การนาคู่อันดับและกราฟไปใช้
ตัวอย่างที่ 1 จากกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณการใช้น้ามันของชาวจังหวัดเชียงใหม่ ใน
เดือนสิงหาคม ปี 2547 และราคาน้ามันเบนซินมีราคาลิตรละ 19 บาท จงตอบคาถามต่อไปนี้
(1) น้ามัน 9 ลิตร ราคาเท่าใด
(2) เงิน 209 บาท ซื้อน้ามันได้กี่ลิตร
วิธีทา สามารถเขียนกราฟใหม่ได้ดังนี้

9. (1) ตอบ จากตาแหน่งแสดงปริมาณน้ามัน 9 ลิตร ลากเส้นตรงให้ขนานกับแกนตั้งไป
ตัดกราฟและจากจุดที่ตัดกราฟลากเส้นตรงขนานแกนนอนไปตัดแกนที่แสดงราคาน้ามัน เป็นเงิน
171 บาทดังนั้น น้ามัน 9 ลิตร เป็นราคา 171 บาท
(2) ตอบ จากตาแหน่งแสดงราคาน้ามัน 209 ลิตร ลากเส้นตรงให้ขนานกับแกนนอนไปตัดกราฟและ
จากจุดที่ตัดกราฟลากเส้นตรงขนานแกนตั้งไปตัดที่แกนแสดงจานวนน้ามันเป็นปริมาณ 11 ลิตร
ดังนั้น เงิน 209 ลิตร จะซื้อน้ามันได้ 11 ลิตร
ตัวอย่างที่ 2 ปล่อยก้อนหินจากดาดฟ้าตึกแห่งหนึ่ง ระยะทางที่ก้อนหินตกจะเปลี่ยนไปตามเวลา
ดังแสดงด้วยตารางดังนี้
เวลา (วินาที) 0 1 2 3 4 5 6
ระยะทาง (เมตร) 0 5 20 45 80 125 180
ความสัมพันธ์ระหว่างเวลากับระยะทางเขียนเป็นคู่อันดับได้ดังนี้ (0,0), (1,5), (2,20), (3,45), (4,80),
(5,125), (6,180) เมื่อนาคู่อันดับมาเขียนกราฟจะพบว่า ทุกระยะเวลาที่เปลี่ยนไปจะมีระยะทางที่
ก้อนหินตกคู่กันเสมอจนกว่าก้อนหินจะตกถึงพื้น เขียนกราฟได้ดังนี้

10. จากกราฟจะพบว่า เมื่อทราบเวลาที่ก้อนหินตกผ่านไปจะหาระยะทางที่ก้อนหินตกได้เสมอหรือถ้า
ทราบระยะทางที่ก้อนหินตกจะหาเวลาที่ก้อนหินตกได้ เช่นกัน
1. เวลาตั้งแต่ก้อนหินเริ่มตกจนก้อนหินเคลื่อนที่ได้ทาง 60 เมตร ใช้เวลาเท่าไร
ตอบ จะพบว่าถ้าลากเส้นตรงจากตาแหน่ง 60 เมตร ให้ขนานแกนเวลาให้มาตัดเส้นกราฟและ
ลากเส้นตรงจากจุดที่ตัดกราฟให้ขนานกับแกนระยะทางจะไปตัดแกน
เวลาที่ 3.5 วินาที
ดังนั้น ก้อนหินตกเคลื่อนที่ได้ของ 60 เมตร เมื่อเวลาผ่านไป 3.5 วินาที
2. นับแต่ก้อนหินตกจนเวลาผ่านไป 5 วินาที ก้อนหินเคลื่อนที่ได้นานเท่าไร
ตอบ ลากเส้นตรงจากตาแหน่ง 5 วินาที ให้ขนานแกนระยะทางให้มาตัดเส้นกราฟและลากเส้น
ตรงจากจุดที่ตัดกราฟให้ขนานกับแกนเวลาจะไปตัดแกน
ระยะทางที่ 125 เมตร
ดังนั้น เมื่อเวลาผ่านไป 5 วินาที ก้อนหินจะเคลื่อนที่ได้ 125 เมตร
ตัวอย่างที่ 3 กราฟแสดงการเดินทางของรถยนต์ ก และรถยนต์ ข บนถนนสายเดียวกัน แสดงได้
ดังกราฟ
จากกราฟ จะพบว่า
(1) รถยนต์ ก ออกเดินทางเมื่อเวลา 6.00 น. ด้วยความเร็วคงที่ 80 กิโลเมตรต่อชั่วโมง
(2) รถยนต์ ข ออกเดินทางเมื่อเวลา 7.00 น. ด้วยความเร็วคงที่ 100 กิโลเมตรต่อชั่วโมง
(3) รถยนต์ทั้งสองคันแล่นทันกันเมื่อรถยนต์ ก แล่นไปได้นาน 5 ชั่วโมง
(4) รถยนต์ทั้งสองคันแล่นทันกันเมื่อแล่นได้ทาง 400 กิโลเมตร