Ένα εισαγωγικό φυλλάδιο στην έννοια του ακροτάτου μίας συνάρτησης (θεωρείται γνωστή η έννοια της μονοτονίας) με μερικά λυμένα παραδείγματα καθώς και κάποια γνωστά αποτελέσματα.

1. Συναρτήσεις - Ακρότατα
15 Ιουλίου 2015
1 Εισαγωγή - Ορισμός
Μία δεύτερη έννοια που μας ενδιαφέρει για τη μελέτη του γραφήματος μίας συ-
νάρτησης είναι αυτή του ακροτάτου (ολικού ή τοπικού). Γενικά μία συνάρτηση
f παρουσιάζει (τοπικό) ακρότατο σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της αν
όλη η γραφική παράσταση της συνάρτησης (κοντά στο x0) είναι είτε πάνω είτε
κάτω από το σημείο (x0,f(x0)). Δηλαδή, εποπτικά, η γραφική παράσταση της
συνάρτησης παρουσιάζει κάποιες κορυφές ή κάποια βυθίσματα στα σημεία στα
οποία εμφανίζονται (τοπικά) ακρότατα. Παραθέτουμε τώρα τους αυστηρούς
μαθηματικούς ορισμούς:
Ορισμός. ΄Εστω f A → R μία συνάρτηση και x0 ∈ A. Λέμε ότι η συνάρ-
τηση f παρουσιάζει ολικό μέγιστο ή απλά μέγιστο στο x0 όταν:
f(x) ≤ f(x0), για κάθε x ∈ A
Τότε λέμε ότι η f παρουσιάζει μέγιστο στο x0, το f(x0).
Ορισμός. ΄Εστω f A → R μία συνάρτηση και x0 ∈ A. Λέμε ότι η συνάρ-
τηση f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο ή απλά ελάχιστο στο x0 όταν:
f(x) ≥ f(x0), για κάθε x ∈ A
Τότε λέμε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x0, το f(x0).
Ορισμός. ΄Εστω f A → R μία συνάρτηση και x0 ∈ A. Λέμε ότι η συ-
νάρτηση f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x0 όταν υπάρχει ένα δ > 0 τέτοιο
ώστε:
f(x) ≤ f(x0), για κάθε x ∈ A ∩ (x0 − δ,x0 + δ)
Τότε λέμε ότι η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x0, το f(x0).
Ορισμός. ΄Εστω f A → R μία συνάρτηση και x0 ∈ A. Λέμε ότι η συ-
νάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x0 όταν υπάρχει ένα δ > 0 τέτοιο
ώστε:
f(x) ≥ f(x0), για κάθε x ∈ A ∩ (x0 − δ,x0 + δ)
Τότε λέμε ότι η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x0, το f(x0).
1

2. (αʹ) Ολικό Μέγιστο (βʹ) Ολικό Ελάχιστο
(γʹ) Τοπικά Ακρότα-
τα
(δʹ) Ολικά και Τοπικά
Ακρότατα
Σχήμα 1: Παραδείγματα ακροτάτων
2 Πώς βρίσκουμε ένα ακρότατο;
Ως τώρα έχουμε διακρίνει και ορίσει το διαφορετικά είδη των ακροτάτων (τοπικά
- ολικά, μέγιστα - ελάχιστα). Εδώ θα δώσουμε μία πρώτη μέθοδο εύρεσης
ενός ακροτάτου. Αυτή η μέθοδος δεν είναι γενικά εύκολη στο χειρισμό της
και βασίζεται στην ίδια φιλοσοφία με την εύρεση της μονοτονίας μέσω του
ορισμού. Μία γενικότερη μέθοδο που μπορεί να εφαρμοστεί σε ένα μεγάλο
εύρος συναρτήσεων θα μελετήσουμε παρακάτω.
Από τα παραπάνω καταλαβαίνουμε ότι μπορούμε, προς το παρόν, να βρούμε
ακρότατα συναρτήσεων όπως οι πολυωνυμικές, οι ρητές, οι τριγωνομετρικές
κ.λπ., δηλαδή συναρτήσεις για τις οποίες έχουμε γνωστές ανισότητες (x2
>
0,ηµx ≤ 1 κ.λπ.) ή συναρτήσεις με πεδίο ορισμού κάποιο κλειστό διάστημα.
Μερικά παραδείγματα θα φωτίσουν την κατάσταση:
Παράδειγμα. Δίνεται η συνάρτηση f R → R με f(x) = 1
x2+1
. Να βρείτε
ένα μέγιστο της f.
Γνωρίζουμε ότι x2
≥ 0, συνεπώς, διαδοχικά έχουμε:
x2
≥ 0 ⇒ x2
+ 1 ≥ 1 ⇒
1
x2 + 1
≤ 1 ⇒ f(x) ≤ 1
Βρήκαμε ένα φράγμα για την f. Αρκεί τώρα να βρούμε και ένα x0 ∈ R έτσι
ώστε f(x0) = 1. Παρατηρούμε ότι f(0) = 1, συνεπώς, με βάση τα προηγούμενα
έχουμε ότι:
f(x) ≤ f(0) για κάθε x ∈ R
επομένως, βάσει του ορισμού, η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο 0 το f(0) = 1.
Παράδειγμα. Δίνεται συνάρτηση f R → R με f(x) = ηµx. Να βρεθεί ένα
μέγιστο και ένα ελάχιστο της f. Πόσα ακρότατα έχει συνολικά;
2

3. Από την τριγωνομετρία ξέρουμε ότι −1 ≤ ηµx ≤ 1. Επίσης γνωρίζουμε ότι οι
λύσεις των εξισώσεων ηµx = 1 και ηµx = −1 είναι οι:
x = 2kπ +
π
2
, k ∈ Z
x = 2kπ +
3π
2
, k ∈ Z
αντίστοιχα.
Επομένως η συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο σε κάθε αριθμό x1 της μορφής
2kπ + π
2 και ελάχιστο σε κάθε αριθμό x2 της μορφής 2kπ + 3π
2 . Δηλαδή η f
έχει άπειρα ολικά μέγιστα και ολικά ελάχιστα.
Παράδειγμα. Δίνεται συνάρτηση f [0,1] → R με f(x) = 3x + 2. Να
βρεθεί ένα μέγιστο και ένα ελάχιστο της f.
Παρατηρούμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0,1] (άσκηση), οπότε αν
επιλέξουμε ένα x ∈ [0,1] θα ισχύει:
x ∈ [0,1] ⇒ 0 ≤ x ≤ 1
f
⇒ f(0) ≤ f(x) ≤ f(1)(⇒ 2 ≤ f(x) ≤ 5)
Δηλαδή η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο 0, το f(0) = 2 και ολικό μέγιστο
στο 1, το f(1) = 5.
Παρατήρηση. Στο τελευταίο παράδειγμα είδαμε ότι μία γνησίως αύξουσα συ-
νάρτηση, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα, παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή
στα άκρα του πεδίου ορισμού της. Αυτό το αποτέλεσμα γενικεύεται για κάθε
γνησίως μονότονη συνάρτηση ορισμένη σε κλειστό διάστημα με το ακόλουθο
θεώρημα:
Θεώρημα. ΄Εστω f [a,b] → R μία γνησίως αύξουσα συνάρτηση. Τότε
ισχύει η ακόλουθη σχέση:
f(a) ≤ f(x) ≤ f(b)
δηλαδή η f παίρνει ελάχιστη και μέγιστη τιμή στα άκρα a και b του πεδίου ορι-
σμού της αντίστοιχα. ΄Εστω f [a,b] → R μία γνησίως φθίνουσα συνάρτηση.
Τότε ισχύει η ακόλουθη σχέση:
f(b) ≤ f(x) ≤ f(a)
δηλαδή η f παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή στα άκρα a και b του πεδίου
ορισμού της αντίστοιχα.
Απόδειξη. ΄Εστω f [a,b] → R μία γνησίως αύξουσα συνάρτηση και έστω ένα
τυχαίο x ∈ [a,b]. Τότε ισχύει ότι:
x ∈ [a,b] ⇒ a ≤ x ≤ b
f
⇒ f(a) ≤ f(x) ≤ f(b)
3

4. Δηλαδή η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο a το f(a) και ολικό μέγιστο στο
b το f(b).
Στην περίπτωση της γνησίως φθίνουσας συνάρτησης εργαζόμαστε ανάλογα
(άσκηση).
Παρατήρηση. Για να ισχύει το παραπάνω θεώρημα πρέπει η συνάρτηση f
να ικανοποιεί και τις δύο ιδιότητες, δηλαδή να είναι γνησίως μονότονη και να
είναι ορισμένη σε κάποιο κλειστό διάστημα. Για παράδειγμα, η συνάρτηση
f (0,1] → R με f(x) = x δεν παρουσιάζει ελάχιστη τιμή στο 0, διότι δεν
ορίζεται το f(0). Αντίθετα παίρνει μέγιστη τιμή στο 1 το f(1) = 1.
4