Περιβαλλοντικό πρόγραμμα 3ου Γυμνασίου Βριλησσίων. Τα μαθηματικά στη φύση!

1. Περιβαλλοντική ομάδα της πρώτης Γυμνάσιου
2015/16
3ο Γυμνάσιο Βριλησσίων

2. Συνάντηση της ομάδας

3. Σύνταξη συμβολαίου της ομάδας

4. Δημιουργία μέσου επικοινωνίας

5. Τα θέματα που μελετήσαμε
 Η ακολουθία Fibonacci στην Φύση
 Ο αριθμός φ και η χρυσή τομή
 Ο ναυτίλος
 Η γεωμετρία των Fractal στη Φύση
 Οι κηρύθρες των Μελισσών
 Ο κύκλος ζωής των τζιτζικιών

6. Fibonacci & Κουνέλια
Το πρόβλημα του Fibonacci έχει ως εξής:
 Σε ένα σπίτι στο χωριό γεννιέται ένα ζευγάρι κουνέλια. Τα
κουνέλια αυτά χρειάζονται 2 μήνες για να μεγαλώσουν και να
αρχίσουν να γεννούν. Έτσι μετά από δύο μήνες το ζευγάρι
αυτό γεννά ένα νέο ζευγάρι στην αρχή κάθε μήνα. Τα νέα
ζευγάρια μεγαλώνουν και αναπαράγονται κι αυτά με τον ίδιο
τρόπο. Πόσα ζευγάρια κουνέλια θα έχουμε μετά από 3 μήνες ,
4 μήνες , 6 μήνες , μετά από ένα χρόνο;

7. Το πρόβλημα ζωγραφισμένο και η λύση
Το πλήθος των ζευγαριών των κουνελιών στην αρχή κάθε
μήνα είναι 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .. Παρατηρούμε δηλαδή
την ακολουθία Fibonacci

8. Ακολουθία Fibonacci
 Η ακολουθία Φιμπονάτσι: είναι μια σειρά από αριθμούς που
ο καθένας από αυτούς ισούται με το άθροισμα των δύο
προηγούμενων αριθμών:
1, 1 , 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,
2584, 4181, 6765, 10946 …
 Η ακολουθία έχει αποδειχθεί εξαιρετικά χρήσιμη στην
Επιστήμη. Επίσης αξίζει να σημειωθεί πως ο λόγος (δηλαδή
το πηλίκο) δύο διαδοχικών αριθμών της ακολουθίας όσο οι
αριθμοί μεγαλώνουν προσεγγίζει όλο και περισσότερο τον
γνωστό «χρυσό λόγο» που είναι ίσος με τον άρρητο
αριθμό φ=1,61803…(φ προς τιμήν του Έλληνα γλύπτη
Φειδία).

9. Μετρήστε τα πέταλα των λουλουδιών

11. Αριθμοί Fibonacci
 Τους αριθμούς αυτούς μπορούμε να τους βρούμε στη διάταξη των
φύλλων ενός φυτού, στο μοτίβο των πετάλων ενός λουλουδιού, στο
άνθος της αγκινάρας, σε ένα κουκουνάρι, στο φλοιό ενός ανανά στην
ανάπτυξη των βελόνων αρκετών ειδών ελάτου, καθώς επίσης και στη
διάταξη των πετάλων στις μαργαρίτες και τα ηλιοτρόπια.
 Μερικά κωνοφόρα δένδρα παρουσιάζουν τη σειρά αριθμών στη δομή
της επιφάνειας των κορμών τους, ενώ τα φοινικόδεντρα στους
δακτυλίους των κορμών τους.
 Τα “λέπια” του κουκουναριού ή του ανανά σχηματίζουν δύο σειρές από
καµπύλες όπου η κάθε µία έχει αντίθετη κατεύθυνση. Αν μετρηθούν οι
σπείρες τότε παρατηρείτε ότι στην µία υπάρχουν 8 ενώ στην άλλη 13,
που είναι οι αριθµοί Fibonacci
 Η 23η Νοεμβρίου έχει καθιερωθεί ως Ημέρα Fibonacci ως αναγνώριση
της αξίας των εισφορών του για τα μαθηματικά.

12. Ηλιοτρόπια
 Τα ηλιοτρόπια διαθέτουν ακτινική συμμετρία και την
ενδιαφέρουσα μορφή αριθμητικής συμμετρίας την
ακολουθία Fibonacci. Η ακολουθία Fibonacci είναι 1, 2,
3, 5, 8, 13, 21, 24, 55, 89, 144 κ.ο.κ. (κάθε νέος αριθμός
προσδιορίζεται με την πρόσθεση των δύο
προηγούμενων αριθμών μαζί). Κάπως έτσι
σχηματίζονται και οι σπείρες στους ηλίανθους. Αν
αντέχετε, μπορείτε να μετρήσετε!

13. Τι είναι η χρυσή αναλογία και τι η χρυσή τομή;
618033989,1
ΓΑ
ΑΒ
ΓΒ
ΓΑ
Το σημείο Γ χωρίζει το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ στη χρυσή αναλογία:
δηλαδή η διαίρεση όλου του τμήματος ΑΒ με το μεγαλύτερο τμήμα ΓΑ
να δίνει το ίδιο πηλίκο
με τη διαίρεση του μεγάλου τμήματος ΓA με το μικρό τμήμα ΓB.
Το σημείο Γ ονομάζεται χρυσή τομή του τμήματος ΑΒ.
A BΓ

14. Τι είναι ο χρυσός αριθμός και ποιες «όμορφες»
ιδιότητες έχει;
2
15
618033989,1Φ)1

 
1ΦΦ)3 2

2
15
618033989,0
Φ
1
)2

 
Ο αριθμός Φ=1,618033989… ονομάζεται χρυσός αριθμός και
συμβολίζεται με Φ προς τιμή του μεγάλου γλύπτη Φειδία.
ΟΜΟΡΦΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

1
1
1
1
1
1
1
1Φ)4




 11111Φ)5

15. Τι είναι το χρυσό ορθογώνιο και τι σχέση έχει με
τον Παρθενώνα;
Χρυσό ορθογώνιο είναι εκείνο στο
οποίο: αν διαιρέσουμε το μήκος της
μεγαλύτερης πλευράς του με το
μήκος της μικρότερης πλευράς του
παίρνουμε πηλίκο ίσο με τον χρυσό
αριθμό Φ=1,618033989…
1,618033989…
1
•Το χρυσό ορθογώνιο εμφανίζεται συνέχεια
στην κατασκευή του Παρθενώνα.
• Οι αρχαίοι Έλληνες το θεωρούσαν
απαραίτητο για ένα αντικείμενο ώστε αυτό
να φαίνεται «όμορφο».
• Η χρησιμοποίησή του σε καλλιτεχνικά
δημιουργήματα και κατασκευές οδηγούσε
σε «άριστα» και «ωραία» αποτελέσματα.

16. Κοχύλι-ναυτίλος
 Εκτός από τα φυτά, και ο ναυτίλος εμφανίζει αριθμούς Fibonacci. Το
κέλυφος του ναυτίλου αναπτύσσεται σε ένα “σπιράλ Fibonacci” εξαιτίας
της προσπάθειας του κελύφους να διατηρήσει την ίδια αναλογική μορφή
καθώς μεγαλώνει προς τα έξω. Αυτό το πρότυπο ανάπτυξης του
επιτρέπει να διατηρήσει το ίδιο σχήμα καθ ‘όλη τη διάρκεια ζωής του.
 Είναι ευμεγέθη μαλάκια που φέρουν 4 βράγχια, με πολυπληθείς
πλοκάμους χωρίς βεντούζες. Το όστρακό τους (που μοιάζει με του
σαλιγκαριού) είναι σπειροειδές που διαιρείται εσωτερικά με εγκάρσια
διαφράγματα σε πολλούς θαλάμους, που συνδέονται μεταξύ τους με
σιφώνιο. Το ζώο παραμένει στους δύο πρώτους θαλάμους ενώ τους
υπόλοιπους μπορεί να γεμίσει με νερό ή αέρα και έτσι να μετακινείται
γρήγορα καθ΄ ύψος.

18. Ευκλείδης
 Το έργο του « Στοιχεία», αποτελείται από 13 βιβλία. Εκεί, οι ιδιότητες των
γεωμετρικών αντικειμένων και των ακεραίων αριθμών προκύπτουν από
ένα σύνολο αξιωμάτων, εμπνέοντας την αξιωματική μέθοδο των
μοντέρνων μαθηματικών.
 Ένα από τα επιτεύγματα του Ευκλείδη ήταν ότι τα παρουσίασε σε ένα
ενιαίο, λογικά συμπαγές πλαίσιο.
 Η γεωμετρία που περιέγραψε στα Στοιχεία του στηρίζεται στην πρόταση:
«Έστω μία ευθεία ε και ένα σημείο Α όχι πάνω σε αυτήν την ευθεία. Τότε
υπάρχει μόνο μία ευθεία, παράλληλη της ε, που διέρχεται από το Α.(5ο
αίτημα) ονομάστηκε Ευκλείδεια, ενώ τα Στοιχεία σήμερα θεωρούνται
ένα από τα σημαντικότερα μαθηματικά έργα όλων των εποχών.
 Όταν ο Πτολεμαίος Α΄ του ζήτησε έναν πιο εύκολο τρόπο από τα
Στοιχεία του για να μάθει Γεωμετρία η απάντηση του μεγάλου
μαθηματικού ήταν: «Δεν υπάρχει βασιλική οδός για τη Γεωμετρία».

19. Μη ευκλείδειες γεωμετρίες (1)Lobachevski
 Κορυφαίος Ρώσος μαθηματικός,
θεμελιωτής της υπερβολικής γεωμετρίας.
Το μεγάλο έργο του Λομπατσέφσκι, το
οποίο ανέτρεψε αντιλήψεις εδραιωμένες
επί δύο χιλιάδες χρόνια, ήταν ότι
εμπνεύστηκε και καλλιέργησε μια
γεωμετρία μη ευκλείδεια.
Προσπαθώντας να αποδείξει το «πέμπτο
αίτημα» του Ευκλείδη, ότι από ένα
σημείο εκτός ευθείας είναι δυνατόν να
αχθεί μια και μόνο παράλληλη σ' αυτή,
έφθασε στο αντίθετο συμπέρασμα, ότι
δηλαδή από το συγκεκριμένο σημείο
περνάνε περισσότερες παράλληλες.

20. Μη ευκλείδειες γεωμετρίες (2) Riemann
 Η μη ευκλείδεια γεωμετρία του
Riemann είναι περισσότερο
μαθηματική δημιουργία.
 Ο Riemann υποστήριξε ότι η
γραμμή δεν έχει όρια και αφού
δεν μας λέει η εμπειρία μας για
την ύπαρξη παραλλήλων, όλες οι
ευθείες συναντιούνται.
 Το έργο του Riemann άνοιξε νέες
ερευνητικές περιοχές
συνδυάζοντας την Ανάλυση με τη
Γεωμετρία

21. Ευκλείδεια Γεωμετρία στη φύση;
 Στην Ευκλείδεια γεωμετρία τα σχήματα είναι απλά και οι διαστάσεις
τους ακέραιοι αριθμοί. Το πρόβλημα με την Ευκλείδεια γεωμετρία είναι
ότι είναι «αφαιρετική»... η φύση και τα φαινόμενα δεν είναι Ευκλείδεια
(τα φύλλα ενός δέντρου δεν είναι τρίγωνα, οι ακτογραμμές δε είναι
ευθείες, ένα δέντρο δεν είναι κύλινδρος κλπ)!
 Η ανεπάρκεια της κλασικής Ευκλείδειας γεωμετρίας να περιγράψει τα
σχήματα που συναντάμε στο φυσικό κόσμο, οδήγησε τους
μαθηματικούς στα μέσα του 20ου αιώνα να αναζητήσουν μια άλλη
γεωμετρία ικανή να περιγράψει τα σχήματα αυτά. Ο Πολωνός-Γάλλος
μαθηματικός Benoit Mandelbrot εισήγαγε τον όρο «Γεωμετρία της
Φύσης» θέλοντας με αυτό τον όρο να ονομάσει μια γεωμετρία που
μπορεί να περιγράψει κάποια από τα χαρακτηριστικά των ακτογραμμών
των ηπείρων, των δασών, των ορέων, του κυκλοφορικού συστήματος,
ακόμη και της εγκεφαλικής δομής.

22. Τι είναι το fractal
• Με τον διεθνή όρο fractal, («κλασματικά σχήματα» ή «μορφοκλασματικές
καμπύλες») στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες
ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο
βαθμό μεγέθυνσης, κι έτσι συχνά αναφέρεται σαν «απείρως περίπλοκο».
• Το fractal παρουσιάζεται ως «μαγική εικόνα» που όσες φορές και να
μεγεθυνθεί οποιοδήποτε τμήμα του θα συνεχίζει να παρουσιάζει ένα εξίσου
περίπλοκο σχέδιο με μερική ή ολική επανάληψη του αρχικού.
Χαρακτηριστικό επομένως των fractals είναι η λεγόμενη αυτό-ομοιότητα
(self-similarity) σε κάποιες δομές τους, η οποία εμφανίζεται σε διαφορετικά
επίπεδα μεγέθυνσης
• Ο όρος προτάθηκε από τον Μπενουά Μάντελμπρο (Benoît Mandelbrot) το
1975 και προέρχεται από τη λατινική λέξη Fractus που σημαίνει
«σπασμένος», «θρυμματισμένος» «κατακερματισμένος».

23. Η έννοια της αυτοομοιότητας
• Αυτοόμοιο είναι ένα αντικείμενο του οποίου τα μέρη από τα οποία
αποτελείται μοιάζουν(είναι όμοια) με το σύνολο(Το αντικείμενο).
• Αυτή η επανάληψη των ακανόνιστων λεπτομερειών ή σχηματισμών,
συμβαίνει προοδευτικά σε μικρότερες κλίμακες και είναι δυνατόν να
συνεχίσουν απεριόριστα έτσι ώστε, κάθε τμήμα ενός τμήματος όταν
μεγεθυνθεί να μοιάζει βασικά με το συνολικό αντικείμενο.
• Ουσιαστικά ένα αυτοόμοιο αντικείμενο παραμένει αναλλοίωτο σε
αλλαγές κλίμακας. Το φαινόμενο αυτό είναι εύκολο να παρατηρηθεί στις
νιφάδες του χιονιού, στο φλοιό των δέντρων και στις ακτογραμμές.

24. Αυτοομοιότητα
 Μια φτέρη αποτελείται από φύλλα καθένα από τα
οποία αποτελείται από πολλά μικρότερα. Και αυτά
ακόμα τα μικρά φύλλα αποτελούνται από ακόμα
μικρότερα που διατηρούν την ίδια δομή με τη φτέρη.

25. •Έχει ασυνήθιστη εμφάνιση που στην πραγματικότητα είναι μία
μόνο από τις πολλές περιπτώσεις της fractal συμμετρίας στη
φύση.
•Στη γεωμετρία, φράκταλ ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα
που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο βαθμό μεγέθυνσης,
ή πιο απλά το κάθε μέρος ενός πράγματος έχει το ίδιο
γεωμετρικό μοτίβο ως σύνολο.
Μπρόκολο Romanesco

26. Διαφορές ανάμεσα στην ευκλείδεια γεωμετρία
και τη fractal γεωμετρία
 έχουν την ιδιότητα της αυτό-ομοιότητας(self-similarity), δηλαδή τα
μέρη από τα οποία αποτελούνται μοιάζουν με το σύνολο. Αυτό σημαίνει
ότι αν κόψουμε μικρά μέρη τους και τα μεγεθύνουμε τότε τα μέρη αυτά
θα μοιάζουν με το όλον. Κάποιες φορές η ομοιότητα αυτή είναι κατά
προσέγγιση (αυτοόμοια), και άλλες φορές είναι ακριβής (ακριβώς
αυτοόμοια).
 είναι ανεξάρτητα από κλίμακα (κλιμάκωση-scaling) και σε αντίθεση
με τα ευκλείδεια σχήματα δεν έχουν ένα χαρακτηριστικό μέγεθος
μέτρησης. Ουσιαστικά ένα αυτό-όμοιο αντικείμενο παραμένει
αναλλοίωτο σε αλλαγές κλίμακας, δηλαδή αν εξεταστεί σε διαφορετικές
κλίμακες θα προκύψουν τα ίδια θεμελιώδη στοιχεία (διατηρεί τις ίδιες
λεπτομέρειες ακόμα και όταν η κλίμακα αλλάζει).
 η διάστασή τους μπορεί να είναι και ρητός αριθμός σε αντίθεση με
την ευκλείδεια γεωμετρία στην οποία η διάσταση ενός γεωμετρικού
σχήματος είναι πάντα ακέραιος αριθμός.

27. Προσπαθήσαμε να απαντήσουμε στην ερώτηση:
«Πόσο μεγάλη είναι η ακτογραμμή της Βρετανίας;».
 Η ερώτηση δεν είναι τόσο
απλοϊκή, αφού η απάντηση
εξαρτάται από την κλίμακα του
χάρτη που χρησιμοποιούμε για
να μετρήσουμε την
ακτογραμμή!
 Όσο πιο πολλές λεπτομέρειες
έχει ο χάρτης τόσο πιο μεγάλη
τιμή για την ακτογραμμή
προκύπτει. Ο λόγος αυτής της
παράξενης ιδιότητας είναι ότι η
ακτογραμμή είναι ένα
γεωμετρικό αντικείμενο
μορφοκλασματικής μορφής

28. Δημιουργίες Fractals

29.  «Τα σύννεφα δεν είναι σφαίρες, τα βουνά δεν είναι
κώνοι, οι ακτές δεν είναι κύκλοι και ο φλοιός του
δέντρου δεν είναι ομαλός, ούτε η αστραπή ταξιδεύει
σε μια ευθεία γραμμή!»
Benoit Mandelbrot
(The Fractal Geometry of Nature)

30. ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ
ΜΕΛΙΣΣΑ...
• Η μέλισσα είναι έντομο από την
τάξη υμενόπτερα, που θεωρείται
από όλα γενικά τα έντομα το πιο
σπουδαίο από οικονομικής άποψης
για τον άνθρωπο.
•Η μέλισσα ζει στη Γη το λιγότερο 15
εκατομμύρια χρόνια και θεωρείται
από τους πιο παλιούς κατοίκους
της, που εξακολουθεί να υπάρχει
ακόμη και σήμερα.

31. ΟΙ ΚΕΡΗΘΡΕΣ
Οι μέλισσες για εκατομμύρια χρόνια
έχουν προσαρμοστεί να χτίζουν με τον
πιο αποδοτικό τρόπο και ταυτόχρονα
οικονομικό σε κερί. Οι μέλισσες
προσαρμόστικαν σε αυτό το γεωμετρικό
σχήμα διότι τους επιτρέπει να
αποθηκεύουν μεγάλες ποσότητες
μελιού σπαταλόντας πολύ μικρές
ποσότητες κεριού , σε αντίθεση με τα
άλλα γεωμετρικά σχήματα που δεν
έχουν αυτά τα χαρακτηριστικά.

32. ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΤΩΝ ΚΕΛΙΩΝ
Το σχήμα των κελιών είναι εξάγωνα,
που σημαίνει ότι από αρχιτεκτονικής
και μαθηματικής πλευράς είναι ότι
πιο τελειότερο θα μπορούσε να
επιλεγεί για να κερδηθεί χώρος και
αντοχή στις κηρήθρες. Σύμφωνα με
έρευνες επιστημόνων το εξάγωνο
είναι ένα πολύ «ισχυρό» γεωμετρικό
σχήμα με τις απαραίτητες
προδιαγραφές που επιτρέπει στις
μέλισσες, το τέλειο αποτέλεσμα.

33. Με το λογισμικό geogebra διαπιστώσαμε ότι
από τα κανονικά πολύγωνα με το ίδιο εμβαδόν
το εξάγωνο έχει τη μικρότερη περίμετρο

34. Η ζωή των τζιτζικιών
 Τα περιοδικά τζιτζίκια, ειδικότερα τα
Magicicada septendecim, έχουν το μεγαλύτερο
κύκλο ζωής από όλα τα άλλα έντομα.
Ο μοναδικός αυτός κύκλος ζωής αρχίζει κάτω
από το έδαφος, όπου οι νύμφες ρουφούν
υπομονετικά το χυμό από τις ρίζες των δέντρων.
Κατόπιν, ύστερα από 17 χρόνια αναμονής, τα
ενήλικα τζιτζίκια βγαίνουν από το έδαφος,
μαζεύονται και προσωρινά κατακλύζουν το
τοπίο. Μέσα σε λίγες εβδομάδες ζευγαρώνουν,
γεννούν τα αβγά τους και πεθαίνουν.
Το ερώτημα που προβλημάτιζε τους βιολόγους
ήταν γιατί ο κύκλος ζωής του τζιτζικιού είναι
τόσο μακρύς. Σημαίνει, άραγε, κάτι, το γεγονός
ότι αυτός ο κύκλος ζωής είναι πρώτος αριθμός
ετών;

35. Eνα μέρος του συνόλου Mandelbrot

36. Όμορφα Fractals

37. Το παράδοξο του ισόπλευρου τριγώνου

38. Ώρες εξερεύνησης + δημιουργίας

39. Επίσκεψη στο μουσείο Ηρακλειδών

41. Δημιουργία αφίσας

42. Εικαστικές δημιουργίες με το τρίγωνο
SIERPINSKI

44. Επίσκεψη στο μουσείο Παλαιοντολογίας-
Γεωλογίας

45. Βόλτα στη φύση

46. Η ΟΜΑΔΑ «ΦΥΣΗ+ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

47. Η ΟΜΑΔΑ
 ΒΕΝΕΤΗ ΜΑΡΙΑ
 ΒΛΑΧΟΔΙΟΝΥΣΟΠΟΥΛΟΥ ΜΑΡΙΑΝΝΑ
 ΒΟΥΒΑΚΗ ΑΝΤΩΝΙΑ-ΜΑΡΙΑ
 ΓΙΑΜΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ
 ΓΚΕΚΑΣ ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ
 ΓΚΟΛΙΟΥ ΑΡΙΑΔΝΗ
 ΓΛΑΡΑΚΗ ΦΩΤΕΙΝΗ
 ΔΕΔΕ-ΚΡΙΚΕΛΑ ΡΟΖΑΛΙΑ
 ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΥ ΦΩΤΕΙΝΗ
 ΖΩΓΡΑΦΙΔΟΥ ΧΡΥΣΑ
 ΚΑΡΑΜΑΝΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ
 ΚΟΥΤΣΙΟΥΜΠΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ
 ΛΙΤΣΗ ΧΡΗΣΤΟΣ
 ΝΤΑΣΗ ΑΤΖΕΛΑ
 ΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΛΕΝΗ
 ΠΑΡΡΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ
 ΠΑΤΡΙΚΙΑΔΗΣ ΣΑΒΒΑΣ
 ΠΟΥΝΕΝΤΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ
 ΡΙΖΟΣ ΑΓΓΕΛΟΣ
 ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
 ΣΤΕΦΑΝΙΤΣΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ
 ΤΣΟΓΚΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ
 ΧΡΥΣΙΚΟΣ ΕΡΡΙΚΟΣ
 ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ
 ΚΑΛΑΘΑ ΧΡΙΣΤΙΝΑ

48. Ευχαριστούμε
για την
προσοχή σας