Το άπειρο στα Μαθηματικά

3. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
1. Πρόλογος
2. Ετυμολογία – συμβολισμός Σελ. 1
3. Η ιστορία του άπειρου – προσωκρατικοί φιλόσοφοι Σελ. 2
4. Τα παράδοξα του Ζήνωνα Σελ. 7
5. Αριστοτέλης Σελ. 9
6. Εύδοξος Σελ. 10
7. Τα Στοιχεία του Ευκλείδη Σελ. 12
8. Αρχιμήδης Σελ. 15
9. Άραβες και Ινδοί μαθηματικοί Σελ. 18
10. Το άπειρο στη Δυτική Ευρώπη Σελ. 20
11. Galileo Galilei - Johann Kepler Σελ. 21
12. Bonaventura Cavalieri Σελ. 22
13. Pierre de Fermat Σελ. 25
14. Gregorie de Saint-Vincent Σελ. 27
15. Isaac Newton Σελ. 28
16. G.W.Leibniz Σελ. 30
17. BrooK Taylor- Colin Maclaurin Σελ. 32
18. Leonhard Euler Σελ. 35
19. Baptiste Joseph Fourier Σελ. 39
20. Joseph-Louis Lagrange- Augustin-Louis Cauchy Σελ. 40
21. Karl Weierstrass Σελ. 40
22. Bernhard Riemann- Carl Friedrich Gauss Σελ. 41
23. Bernhard Bolzano Σελ. 43
24. Georg Cantor Σελ. 44
25. Τα παράδοξα των συνόλων Σελ. 50
26. Οι υπερβατικοί αριθμοί Σελ. 51
27. David Hilbert Σελ. 52
28. Το ξενοδοχείο του Hilbert Σελ. 53
29. G.Peano- A.Whitehead- E.Zermelo- A.Fraenkel Σελ. 56
30. Kurt Friedrich Gödel Σελ. 57
31. Paul Joseph Cohen Σελ. 58
32. Το υπέρ-λεξικό του Ian Stewart Σελ. 59

5. Περί απείρου …
Κάποια στιγμή σε ένα τμήμα της Α’ Λυκείου είχα την ιδέα να θέσω το ερώτημα με τι
ισούται ο αριθμός 0,999…
Το τι έγινε το περιγράφω παρακάτω.
Κάποιοι γνώριζαν ότι είναι ίσος με 1.
Το είπαν και τότε … ακούστηκαν διαμαρτυρίες.
Γιατί να είναι ίσος με ένα;
Αφού πάντα θα είναι κατά κάτι μικρότερος του 1.
Για παράδειγμα ο 0,9999999999999999999999999999999999999999999999999999
δεν είναι 1.
Σκέφτεσαι πεπερασμένα ήταν η απάντηση.
Τα εννιάρια συνεχίζονται εσύ τα σταμάτησες.
Έστω και αν έγραψες πολλά εντούτοις ο αριθμός αυτός δεν είναι ο 0,999…
Παρατήρησε τις τρεις τελίτσες, δηλώνουν ότι τα εννιάρια συνεχίζονται συνεχώς.
Κάποιος άλλος γνώριζε και την απόδειξη, έτσι έγραψε στον πίνακα :
Ονομάζω x 0,999...
= (1) , μετά πολλαπλασιάζω επί 10 και έχω 10x 9,999...
= (2).
Αφαιρώ από την (2) την (1) και έχω 9x 9
= , άρα x=1.
Πως γνωρίζεις όμως ότι οι κανόνες για την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό που
ισχύουν στους δεκαδικούς θα ισχύουν και για ένα τέτοιο αριθμό; Ήταν η ερώτηση
που αμέσως ακούστηκε.
Χρησιμοποιείς τις πράξεις σαν να ήταν ένας πεπερασμένος αριθμός, κάνεις και συ
λάθος.
Κάποιος άλλος, που είχε παρακολουθήσεις μαθήματα στον όμιλο μαθηματικών το
απόγευμα και γνώριζε για τις προόδους έγραψε :
Τον αριθμό τον γράφω ως άθροισμα δεκαδικών κλασμάτων … ορίστε :
9 9 9 1 1 1
0,999... 0,9 0,09 0,009 0,0009 ... ... 9( ...)
10 100 1000 10 100 1000
= + + + + = + + + = + + +

6. Περί απείρου …
Η τελευταία παρένθεση είναι άθροισμα απείρων όρων φθίνουσας γεωμετρικής
προόδου με πρώτο όρο
1
10
και λόγο
1
10
άρα με βάση τον τύπο που έχω διδαχθεί
ισχύει ότι :
1 1
1 1 1 1
10 10
...
1 9
10 100 1000 9
1
10 10
+ + + = = =
−
Άρα
1
0,999... 9 1
9
=  =
Σιγά την απόδειξη ακούστηκε … και εσύ τα ίδια έκανες.
Χρησιμοποίησες έναν τύπο που έχει μέσα του τα ίδια προβλήματα όπως πριν.
Πως γνωρίζουμε ότι μπορούμε να κάνουμε με ένα τέτοιο αριθμό πράξεις όπως με
απλούς ακεραίους.
Οι τρεις τελίτσες κάνουν την διαφορά.
Το άπειρο πλήθος των 9.
Τελικά πως μπορούμε να κάνουμε πράξεις με το άπειρο;
Ένας άλλος ανέφερε, ο Φυσικός μου είπε ότι
1
0
=  …
Σιγά μη μου πεις ότι θα ισχύει και  +  = 
Ή 0
 − =
Τελικά μεγάλο μπλέξιμο αυτό το άπειρο, καλύτερα να το ξεχάσουμε το μόνο που
προκαλεί είναι τσακωμούς …
Μήπως πρέπει να το δούμε όπως εξελίχθηκε, σαν έννοια;
Να διαβάσουμε …, αυτά τα προβλήματα που κουβεντιάζουμε σίγουρα θα τα έχουν
συναντήσει και οι Μαθηματικοί.
Η τελευταία πρόταση – παραίνεση ήταν η αφορμή να ασχοληθώ και εγώ με την
έννοια του άπειρου και να διαβάσω…
Ότι αποκόμισα το σημειώνω στις παρακάτω σελίδες. Το μόνο που μπορώ να πω με
σιγουριά είναι ότι είναι ένα δύσκολο θέμα… Η εκλαΐκευση κάποιων εννοιών μπορεί
να μπερδεύει αντί να ξεκαθαρίζει το θέμα. Αλλά είναι μία αρχή, καλύτερα να
ασχοληθείς, να ψάξεις, να γράψεις, να σβήσεις, παρά απλώς να κρύψεις ή
χειρότερα να κάνεις ότι δεν υπάρχουν ερωτήματα σε σχέση με την έννοια ΑΠΕΙΡΟ.
Καλό διάβασμα
Καλοκαίρι 2019.

7. 1
Γ. Λαγουδάκος
Περί απείρου …
Ετυμολογία - συμβολισμός
Η λέξη άπειρο (σύμβολο:  ) είναι σύνθετη από το στερητικό πρόθεμα "α-" και τη
λέξη "πέρας" που σημαίνει τέλος. Συνώνυμα , οι λέξεις ατελείωτος , απέραντος,
απεριόριστος, ατέρμων. Αντίθετα, οι λέξεις πεπερασμένος, περιορισμένος,
οριοθετημένος.
Στα μαθηματικά η λέξη συναντιέται για να
περιγράψει το πολύ μεγάλο – πέραν από κάθε
φαντασία αλλά και το απεριόριστα μικρό, το
απειροστό.
Το σύμβολο που επιλέχθηκε το 1655 από τον Άγγλο
μαθηματικό John Wallis (1616-1703) παραπέμπει στο
σύμβολο του ουροβόρου όφη , του φιδιού δηλαδή
που τρώει την ουρά του, εικόνα που αναφέρεται στο
αιώνιο – το ατελείωτο, σε μία κατάσταση συνεχούς
αναγέννησης.
Παρόμοια εικόνα υπάρχει και στη ταινία του Mobius. Η κατασκευή αυτή
δημιουργήθηκε από τον Γερμανό μαθηματικό Mobius το 1858 και είναι ένα
τρισδιάστατο σχήμα με μία μόνο πλευρά!. Η κατασκευή ενός τέτοιου στερεού
μπορεί να γίνει παίρνοντας μία λωρίδα χαρτιού, στη συνέχεια στρέφοντας το ένα
άκρο της κατά 180ο και μετά ενώνοντας τα δύο άκρα ώστε να δημιουργηθεί ένας
βρόχος. Ο Ολλανδός χαράκτης Mauritz Cornelis Escher (1898-1972) δημιούργησε το
παρακάτω έργο που απεικονίζεται ένα μυρμήγκι πάνω σε μία τέτοια ταινία. Το
μυρμήγκι συνεχώς – αιωνίως θα κινείται πάνω στην ταινία αυτή…
Παρατηρείστε την ομοιότητα ανάμεσα στην Möbius strip (ταινία του Möbius ) και
του συμβόλου του απείρου, καθώς και την ατελείωτη συνεχή κίνηση που επιτάσσει
η μορφή της στην περίπτωση που κάποιος θελήσει να κινηθεί πάνω στην μία και
μοναδική επιφάνεια της.

8. 2
Γ. Λαγουδάκος
Περί απείρου …
«Από αμνημόνευτους χρόνους, το άπειρο συγκινούσε τη ψυχή του ανθρώπου
περισσότερο από οποιοδήποτε άλλο ζήτημα. Είναι δύσκολο να βρει κανείς μια ιδέα
που να έχει ερεθίσει τόσο γόνιμα τη νόηση όσο η ιδέα του απείρου. Αλλά και καμία
άλλη έννοια δεν χρήζει οριστικής διασάφησης περισσότερο από αυτήν»
(D.Hilbert, «περί του απείρου»).
Η ιστορία του απείρου …
Η πρώτη μας αναφορά θα γίνει στον προσωκρατικό
φιλόσοφο Αναξίμανδρο τον Μιλήσιο (611-547 π.Χ.)
Αυτός δεν αναζητά την αρχή του κόσμου σε κανένα
από τα τέσσερα στοιχεία φωτιά, νερό, αέρα, γη αλλά
στο άπειρο που δεν είναι μείγμα υλικών στοιχείων
αλλά μια πρωταρχική αιτία δίχως όρια καθώς είναι
απεριόριστο στον χώρο και ποιοτικά ακαθόριστο. Σε
αυτή την πρωταρχική ουσία απέδωσε θεϊκές ιδιότητες,
χαρακτηρίζοντάς το ως αθάνατο, άφθαρτο, αγέννητο
και θείο.
Το άπειρο του Αναξίμανδρου είναι η αρχή του κόσμου,
η αρχή των πάντων, είναι αυτό που κρύβεται πίσω από
την απέραντη ποικιλία των πραγμάτων και τις διαφορετικές τους ιδιότητες. Έτσι το
άπειρο δεν σήμαινε μόνο το απείρως μεγάλο, αλλά επίσης το τελείως άτακτο, το
πολύπλοκο, αυτό που δεν προσδιορίζεται με τρόπο πεπερασμένο.
Σε αντίθεση με τον Αναξίμανδρο, ο Πυθαγόρας ο Σάμιος (580-
496 π.Χ.) έβλεπε το άπειρο σαν κάτι αποκρουστικό, γιατί είναι
ακατανόητο και αόριστο. Η φιλοσοφία του στηρίζεται στην
έννοια του αριθμού «τα των αριθμών στοιχεία των όντων
πάντων…είναι».
Στον κύκλο των Πυθαγορείων έγινε μία ανακάλυψη η οποία
είναι η αιτία να εισαχθεί το άπειρο στα Μαθηματικά.
Ανακαλύφθηκαν τα λεγόμενα ασύμμετρα τμήματα. Πρόκειται
για γεωμετρικά μεγέθη που ενώ είναι μπρος στα μάτια μας
εντούτοις όταν πρόκειται να τα ονοματίσουμε χρειαζόμαστε
άπειρα δεκαδικά ψηφία και πάλι το μόνο που έχουμε κάνει
είναι απλά μία καλή προσέγγιση του μέτρου τους.

9. 3
Γ. Λαγουδάκος
Περί απείρου …
Η ανακάλυψη της ασυμμετρίας οδήγησε στην αποτυχία της προσπάθειας των
Πυθαγορείων να συνδέσουν απευθείας τα γεωμετρικά μεγέθη με τους αριθμούς. Η
ανατροπή μιας ολόκληρης θεώρησης – τα πάντα είναι αριθμός - ήρθε εκ των έσω….
Σύμφωνα με τον μύθο ο Ίππασος ένα μέλος της σέχτας των Πυθαγορείων
παρατήρησε ότι η διαγώνιος ενός ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου είναι
μέγεθος ασύμμετρο σε σχέση με την κάθετη πλευρά του τριγώνου.
Υπάρχει μία αναφορά του τρόπου απόδειξης της ασυμμετρίας στα Αναλυτικά
πρότερα του Αριστοτέλη. Στην αρχή γίνεται η υπόθεση ότι η πλευρά και η
διαγώνιος του τετραγώνου είναι σύμμετρες οπότε καταλήγουμε στην αντίφαση ότι
τα άρτια γίνονται ίσα με τα περιττά, «οίον ότι ασύμμετρος η διαγώνιος δια το
γίνεσθαι τα περιττά ίσα τοίς αρτίοις συμμέτρου τεθείσης».
Η απόδειξη
Θα στηριχθούμε στην πρόταση :
(Π) « το τετράγωνο κάθε άρτιου αριθμού είναι αριθμός άρτιος και αντίστροφα, αν
δηλαδή το τετράγωνο ενός αριθμού είναι άρτιος τότε και ο αριθμός είναι άρτιος»
(άρτιος – ζυγός λέγεται ένας αριθμός, όταν είναι πολλαπλάσιος του 2)
1. Ας υποθέσουμε ότι ο αριθμός α που εκφράζει την
υποτείνουσα είναι ρητός και ότι η κάθετη πλευρά
είναι ίση με 1.
2. Έστω λοιπό ότι υπάρχουν φυσικοί αριθμοί μ,ν ώστε
μ
α
ν
= .
Ο λόγος αυτός υποθέτουμε ότι δεν μπορεί να απλοποιηθεί.
3. Υψώνουμε και τα δύο μέλη της ισότητας στο τετράγωνο και
έχουμε
2 2 2
2 2
α 1 1 2
2 2 2
2 2
μ μ
α 2 μ 2ν
ν ν
= + =
=  =  = (1)
4. Άρα ο αριθμός 2
μ είναι πολλαπλάσιος του 2, δηλαδή άρτιος οπότε σύμφωνα με
την πρόταση (Π) και ο μ είναι άρτιος. Ας τον συμβολίσουμε μ=2m.
5. Οπότε η (1) γράφεται 2 2 2 2
4m 2ν ν 2m
=  = . Άρα ο 2
ν είναι άρτιος άρα και ο ν
είναι άρτιος. Ας τον συμβολίσουμε ν=2n
6. Ο αριθμός α μπορεί πλέον να γραφεί στη μορφή
μ 2m m
α
ν 2n n
= = = πράγμα
άτοπο, διότι εξ αρχής είχαμε υποθέσει ότι το κλάσμα
μ
ν
είναι ανάγωγο ( δεν
μπορεί να απλοποιηθεί).
Στο άτοπο καταλήξαμε διότι θεωρήσαμε ότι ο α είναι ρητός, άρα είναι άρρητος.

10. 4
Γ. Λαγουδάκος
Περί απείρου …
Για πρώτη φορά στην ιστορία οι μαθηματικοί βρέθηκαν μπροστά σε ένα περίεργο
φαινόμενο!!!
Ένα ευθύγραμμο τμήμα με συγκεκριμένο μήκος τους προκαλούσε να το
υπολογίσουν με ακρίβεια, χρησιμοποιώντας τους γνωστούς αριθμούς, φυσικούς -
ρητούς.
Αλλά αλοίμονο …
Τα μαθηματικά που γνώριζαν δεν επαρκούσαν …
Ένας νέος αριθμός γεννήθηκε ο 2 και μαζί με αυτόν μια νέα ομάδα αριθμών, οι
άρρητοι αριθμοί…
Ο μύθος αναφέρει ότι ο Ίππασος χάθηκε … σε ναυάγιο!.
Το μυστικό του όμως διέρρευσε οπότε γεννήθηκε η αμφιβολία.
Μία σειρά από γεωμετρικά μεγέθη εμφανίστηκαν τα οποία δεν είχαν κοινή μονάδα
μέτρησης. Όπως για παράδειγμα η πλευρά και η διαγώνιος του κανονικού
πενταγώνου. Ένα άλλο παράδειγμα είναι η μέση ανάλογος δύο τμημάτων, ένα
τμήμα δηλαδή χ που συνδέεται με δύο άλλα – ας υποθέσουμε - μήκους 1 και 2 με
την ισότητα : 2
x 2
x 2
1 x
=  =
Τα τμήματα αυτά ενώ γεωμετρικά κατασκευάζονται – άρα υπάρχουν εν τούτοις
δεν εκφράζονται με τη βοήθεια των φυσικών αριθμών ή έστω ως κλάσματα. Με
άλλα λόγια: υπάρχουν ασύμμετρα ευθύγραμμα τμήματα.
Μια «ελάχιστη» μονάδα μήκους που θα χωρούσε ταυτόχρονα και στα δύο
ασύμμετρα τμήματα, λαμβανόμενη άπειρες φορές, θα μπορούσε να υπάρξει μόνο
σαν απειροστό. Οι Πυθαγόρειοι όμως δεν αποδέχονταν την επ’ άπειρον
διαιρετότητα, ήταν αδύνατον γι’ αυτούς να αντιμετωπίσουν επιτυχώς τους
άρρητους και ιδιαίτερα τους λόγους ασύμμετρων μεγεθών.
Για να είμαστε όμως δίκαιοι θα πρέπει να αναφέρουμε ότι οι Πυθαγόρειοι
αντιμετώπισαν την πρόκληση της προσέγγισης των περίεργων αυτών αριθμών με
μία σειρά από ευφάνταστες μαθηματικές τεχνικές.
Παρακάτω παραθέτουμε ολόκληρη την μέθοδο «δια επαναλήψεως διαδοχικών
προσεγγίσεων» όπως αυτή αναλύεται από τον Ε. Σταμάτη ( Πρακτικά Ακαδημίας
Αθηνών – έτος 1956 τόμος 31ος)
Προφανώς έχει χρησιμοποιηθεί σύγχρονος μαθηματικός συμβολισμός για να είναι
δυνατή η κατανόηση της μεθόδου από τον αναγνώστη.

11. 5
Γ. Λαγουδάκος
Περί απείρου …

12. 6
Γ. Λαγουδάκος
Περί απείρου …
Λίγα χρόνια αργότερα ο Αναξαγόρας ο Κλαζομένιος (500-
428 π.Χ.) αναφέρεται στην έννοια του απείρου αλλά και του
απειροστού. Γράφει ο Ευάγγελος Σταμάτης στο βιβλίο του
Προσωκρατικοί φιλόσοφοι - Αθήνα 1966. « Αθάνατον δόξα
απέκτησε κατά τους τελευταίους χρόνους ο Αναξαγόρας,
διότι είναι ο πρώτος, ο οποίος διατύπωσε το περίφημο
αξίωμα της συνέχειας στα μαθηματικά. Κατά το αξίωμα
αυτό δεν υπάρχει ελάχιστος αριθμός ούτε μέγιστος. Διότι
σε οποιοδήποτε μικρό αριθμό υπάρχει μικρότερος και σε
οποιοδήποτε μεγάλο αριθμό υπάρχει μεγαλύτερος.»
Την ίδια εποχή πρώτα ο Λεύκιππος (500 - 440 π.Χ.) και μετέπειτα οι Δημόκριτος
(460 - 370 π.Χ.), και Επίκουρος (341 - 271 π.Χ.), δεν αποδέχονταν την επ’ άπειρον
κατάτμηση των σωμάτων διότι αν ίσχυε κάτι τέτοιο το σώμα θα αποτελείτο από
άπειρα μέρη. Όμως ένα σύνολο από άπειρα μέρη θα πρέπει να είναι και το ίδιο
άπειρο, πράγμα που δεν συμβαίνει αφού το οποιοδήποτε υλικό σώμα είναι
πεπερασμένο. Ήταν οι πρώτοι που μίλησαν ότι υπάρχουν ελάχιστα υλικά σώματα ,
τα άτομα – τα άτμητα. Συγχρόνως μία αντίθεση ανάμεσα στο άπειρο – απειροστό
και το πεπερασμένο – διακριτό εμφανίστηκε. Η αντίθεση αυτή διατρέχει ολόκληρη
την ιστορία που θα διηγηθούμε …
Για να είμαστε όμως δίκαιοι … (όπως αναφέρει ο Ε. Σταμάτης) ο Λεύκιππος έκανε
την διάκριση , ότι « στα μαθηματικά είναι δυνατό ένας αριθμός ή ένα μέγεθος να
διχοτομείται επ’ άπειρο, αλλά στην ύλη αυτό δεν μπορεί να συμβαίνει».
Ο επόμενος πρωταγωνιστής της ιστορίας μας είναι ο Ζήνων ο
Ελεάτης (490 - 430 π.Χ.), μαθητής του Παρμενίδη. Λέγεται ότι είναι ο
πρώτος που χρησιμοποιεί την μέθοδο της εις άτοπο απαγωγής.
Κατέδειξε τις παραδοξότητες στις οποίες οδηγούμαστε αν
υιοθετήσουμε την άποψη ότι ο χώρος και ο χρόνος είναι επ’ άπειρον
διαιρετοί. Ουσιαστικά μέσω των παραδόξων που διατύπωσε,
αμφισβήτησε την ορθότητα των διαισθητικών αντιλήψεων σχετικά
με το άπειρο και το απειροστό .
Ας παρακολουθήσουμε τα παράδοξα με τα οποία τάραξε τον φιλοσοφικό στοχασμό.
Παράδοξα που κατά τον Ε.Τ.Βell στο έργο του οι Μαθηματικοί (Πανεπιστημιακές
Εκδόσεις Κρήτης) σχηματίζουν έναν σιδερένιο τοίχο, φραγμό σε κάθε πρόοδο.

13. 7
Γ. Λαγουδάκος
Περί απείρου …
Τα παράδοξα του Ζήνωνα
Ο Αχιλλέας και η χελώνα
Έχουμε τον Αχιλλέα, που τρέχει γρήγορα, και τη
χελώνα, που πάει αργά, απελπιστικά αργά και
συμμετέχουν σε ένα αγώνα δρόμου. Για να είναι
δίκαιος ο αγώνας δίνεται στη χελώνα ένα
προβάδισμα και αγώνας ξεκινά …
Αν παρακολουθήσουμε σε slow motion τον
αγώνα θα παρατηρήσουμε ότι ο Αχιλλέας στην
προσπάθεια του να περάσει τη χελώνα θα
πρέπει πρώτα να φθάσει στο σημείο που η
χελώνα ξεκίνησε. Στο ίδιο όμως χρονικό
διάστημα η χελώνα θα έχει προχωρήσει, οπότε και πάλι η χελώνα προηγείται.
Στο επόμενο διάστημα και πάλι ο Αχιλλέας για να φθάσει τη χελώνα θα πρέπει
πρώτα να φθάσει στο νέο σημείο που η χελώνα βρίσκεται, αλλά και πάλι η χελώνα
θα έχει μετακινηθεί έστω και λίγο. Πάλι η χελώνα προηγείται. Η διαδικασία αυτή θα
συνεχιστεί στο διηνεκές οπότε ποτέ ο Αχιλλέας δεν πρόκειται να προσπεράσει τη
χελώνα !
Μπορεί ο Αχιλλέας να πλησιάζει ολοένα και περισσότερο τη χελώνα όμως ποτέ δε
μπορεί να φτάσει την χελώνα, όσο ο χώρος διαιρείται σε όλο και πιο μικρά μέρη.
Η διχοτομία
Ας φανταστούμε να τρέχουμε ένα
αγώνα. Για να τερματίσουμε θα πρέπει
να φθάσουμε πρώτα στο μέσο της
διαδρομής μετά να φθάσουμε στο
ενδιάμεσο σημείο μεταξύ του μέσου
και του τερματισμού, μετά στο τρίτο
ενδιάμεσο μέσο και ούτω καθεξής…
Με τον τρόπο αυτό η διαδρομή χωρίζεται σε όλο και πιο μικρές διαδρομές αλλά
άπειρες σε αριθμό. Όμως κανείς δεν μπορεί να τρέξει άπειρο αριθμό διαδρομών.
Επομένως η κίνηση είναι αδύνατη!

14. 8
Γ. Λαγουδάκος
Περί απείρου …
Το στάδιο
Ας θεωρήσουμε τρεις σειρές σωμάτων Α,Β,Γ
όπου η πρώτη είναι σε στάση ενώ οι άλλες δύο
κινούνται με την ίδια ταχύτητα σε αντίθετες
κατευθύνσεις. Η αίσθηση που έχει κάποιος
που κινείται ακολουθώντας τη Β σειρά
σωμάτων είναι ότι χρειάζεται διπλάσιο χρόνο
για να περάσει την Α από ότι την Γ. Το ίδιο θα
ισχύει και για κάποιον που ακολουθεί την Γ
σειρά σωμάτων. Όμως ο χρόνος που
χρειάζονται τα σώματα Β και Γ για να φθάσουν
στα άκρα της Α είναι ο ίδιος. Άρα το διπλάσιο
του χρόνου είναι ίσο με το μισό του χρόνου.
Αυτό συμβαίνει διότι η ταχύτητα είναι σχετικό
μέγεθος, εξαρτώμενο από τον παρατηρητή και
το πώς αυτός κινείται σε σχέση με το
παρατηρούμενο.
Το βέλος
Ας υποθέσουμε ότι εκτοξεύουμε ένα βέλος.
Εάν ο χώρος αποτελείται από σημεία, τότε η
τροχιά του αναλύεται σε ένα άπειρο σύνολο
από «παγωμένες» εικόνες στις οποίες βλέπουμε
τη μύτη του βέλους να καταλαμβάνει διαδοχικά
κάθε σημείο ανάμεσα στο τόξο και στο στόχο.
Σε κάθε τέτοιο σημείο το βέλος είναι ακίνητο.
Πώς είναι δυνατόν η τροχιά του βέλους να
αποτελείται από μια ακολουθία από ακίνητες εικόνες;
Το παράδοξο του βέλους καταδεικνύει την κίνηση ως αδύνατη υπό την παραδοχή
πως ο χρόνος αποτελείται από σημειακές στιγμές, την παραδοχή δηλαδή ότι ο
χρόνος είναι διακριτός και όχι συνεχής
Αυτά είναι τα τέσσερα πιο γνωστά από τα σαράντα περίπου παράδοξα που
χρησιμοποιούσε κατά τη διδασκαλία του ο Ζήνων στην Αρχαία Αθήνα. Οι σύγχρονοι
του αλλά και ο Αριστοτέλης τον κατηγορούσαν ότι παραλογίζεται …και ονομάτιζαν
τα παράδοξά του ως σοφίσματα.

15. 9
Γ. Λαγουδάκος
Περί απείρου …
Όμως ήταν τόσο αφελής ο Ζήνωνας ώστε να πιστεύει ότι ο Αχιλλέας δεν θα έφθανε
την χελώνα ή ότι ο δρομέας δεν θα τερμάτιζε ή ότι το βέλος τελικά δεν θα έφθανε
ποτέ στο στόχο του; Ποιο ήταν το βαθύτερο νόημα στα όσα υποστήριζε;
Κατά τον Ε. Σταμάτη το βαθύτερο πρόβλημα το οποίο προκύπτει εκ των θεωριών
του Ζήνωνος είναι αν μπορούμε να χρησιμοποιούμε , ιδίως στα μαθηματικά, την
έννοια του απείρου. Τελικά με ποιες προϋποθέσεις μπορεί να γίνει το πέρασμα από
το πεπερασμένο στο άπειρο; Πως είναι δυνατόν να ολοκληρώσουμε άπειρο πλήθος
διαδικασιών σε πεπερασμένο χρόνο;
Από την άλλη ο Bell καταλήγει στο ότι « … όσοι μείνανε πίσω με τον Ζήνωνα,
προσέφεραν σχετικά λίγα πράγματα για την πρόοδο των Μαθηματικών, αν και οι
επίγονοί τους (;) κάνανε πολλά για να ταρακουνήσουν τα θεμέλιά τους.»
Το μόνο σίγουρο είναι ότι η αντίθεση ανάμεσα στο άπειρο και το πεπερασμένο το
συνεχές και το διακριτό απασχολούσε την μαθηματική κοινότητα από τότε και
έμελλε να την απασχολήσει για αρκετό καιρό ακόμα…
Φθάνουμε στον μεγαλύτερο διανοητή της αρχαιότητας
τον Αριστοτέλη από τα Στάγειρα της Χαλκιδικής (384 -
322 π.Χ.).
Για τον Αριστοτέλη η ανάγκη να διερωτηθούμε γύρω από
το άπειρο προέρχεται από την πίστη μας πως ο χρόνος
είναι δίχως πέρατα….άπειρος, από την αέναη παρουσία
της γέννησης και της φθοράς κάθε αισθητού
αντικειμένου, από το απεριόριστο της ανθρώπινης
σκέψης, από το απεριόριστο των αριθμών και τέλος από
τη δυνατότητα απεριόριστου αριθμού τμήσεων των
μεγεθών.
Οι διαδικασίες που μας εξοικειώνουν με την έννοια του απείρου είναι η αθροιστική
και η διαιρετική διαδικασία που μας οδηγούν στη θεώρηση πολύ μεγάλων και πολύ
μικρών ποσοτήτων.
Κατά τον Αριστοτέλη το άπειρο υπάρχει δυνάμει, ενεργεία άπειρο δεν υπάρχει.
Αλλά τι σημαίνει δυνάμει και τι ενεργεία άπειρο;
Πως διακρίνονται αυτές οι δύο έννοιες;
Το δυνάμει άπειρο είναι μια ακολουθία που δεν τελειώνει ποτέ, δηλαδή μία
διαδικασία που ποτέ δεν ολοκληρώνεται με καταμέτρηση, ένας αμέτρητος
κατάλογος από πεπερασμένα πράγματα που δεν μπορούν να καταμετρηθούν στην
πράξη. Το άπειρο, επομένως, υπάρχει δυνάμει και ποτέ δεν γίνεται ενεργεία
άπειρο.

16. 10
Γ. Λαγουδάκος
Περί απείρου …
Για παράδειγμα μπορούμε να εργασθούμε μέσα στο σύνολο των φυσικών αριθμών
όπου τα αντικείμενα θα είναι οι αριθμοί 1,2,3,…, όπου ο κάθε ένας τους προκύπτει
από τον προηγούμενό του προσθέτοντας πάντα μία μονάδα. Η αθροιστική
διαδικασία είναι αυτή που δημιουργεί το δυνάμει άπειρο ( πλήθος των φυσικών
αριθμών). Συγχρόνως δεν έχουμε το δικαίωμα να θεωρήσουμε το ίδιο το σύνολο
των φυσικών αριθμών σαν αντικείμενο σπουδής (ενεργεία άπειρο).
Ένα άλλο παράδειγμα σχετίζεται με τη δυνατότητα άπειρης διαίρεσης
πεπερασμένων μεγεθών. Σύμφωνα με τον Αριστοτέλη, τα μεγέθη μπορούν να
θεωρηθούν δυνάμει άπειρα, δεδομένου ότι μπορούν να τμηθούν επ’ άπειρον. Για
παράδειγμα, ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι ένα μέγεθος δυνάμει άπειρο,
δεδομένου ότι είναι άπειρα διαιρετό σε μία ακολουθία τμημάτων
ΑΒ ΑΒ ΑΒ
, , ,...
2 4 8
Η δυνητική αυτή άπειρη διαιρετότητα πεπερασμένων ευθύγραμμων τμημάτων
ορίζει κατά τον Αριστοτέλη το συνεχές. Με τον τρόπο αυτό δίνει απάντηση στα
παράδοξα του Ζήνωνα αφού θεωρεί ότι η πεπερασμένη απόσταση διανύεται σε
πεπερασμένο χρόνο κατά τρόπο συνεχή και όχι γεμάτο άπειρων διακριτών στιγμών
όπως θεωρεί η Ελεατική παράδοση.
Οι απόψεις του Αριστοτέλη για τη φύση του συνεχούς έτυχαν της γενικής αποδοχής
των μαθηματικών φιλοσόφων μέχρι και τον 18ο αιώνα.
Ο Εύδοξος ο Κνίδιος (406 - 355 π.Χ. περίπου) υπήρξε μαθητής
του Πλάτωνος και διευθυντής της Ακαδημίας των Αθηνών.
Στον Εύδοξο αποδίδεται η θεωρία για τα ασύμμετρα μεγέθη
που αναπτύσσεται στο 5ο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη
αλλά και η μέθοδος της εξάντλησης που έχει εφαρμογή στον
υπολογισμό εμβαδών και όγκων.
Όπως θα δούμε στο παράδειγμα που ακολουθεί ο Εύδοξος
απέφυγε να αναφερθεί σε έννοιες όπως άπειρο ή απειροστό.
Ποτέ δεν θεώρησε στη μέθοδο της εξάντλησης ότι η
διαδικασία συνεχίζεται για άπειρο αριθμό βημάτων, ώσπου να εξαντληθεί πλήρως
το αρχικό μέγεθος. Στη σκέψη του υπήρχε πάντοτε μια ποσότητα που έμενε, μόνο
που η ποσότητα αυτή μπορούσε να γίνει οσοδήποτε μικρή. Συγχρόνως εργαζόμενος
με εις άτοπο απαγωγή κατέληγε στα αποτελέσματα που ήθελε.
Όλη η διαδικασία στηρίζεται στην παρακάτω πρόταση που την συναντάμε στα
Στοιχεία του Ευκλείδη.
Βιβλίο Χ πρόταση 1η

17. 11
Γ. Λαγουδάκος
Περί απείρου …
Δηλαδή .
Έστω δύο άνισα μεγέθη. Αν από το μεγαλύτερο αφαιρέσουμε ένα μέγεθος
μεγαλύτερο από το μισό του και από αυτό που μένει ένα μέγεθος μεγαλύτερο από
το μισό του και αν την διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται συνεχώς θα μείνει ένα
μέγεθος το οποίο θα είναι μικρότερο από το μικρότερο αρχικό μέγεθος.
Ας προσπαθήσουμε να παρακολουθήσουμε την σκέψη του Ευδόξου
όταν εφαρμόζει την μέθοδο της εξάντλησης στο πρόβλημα του
υπολογισμού του εμβαδού χωρίου που περικλείεται από την
παραβολή 2
y x
= τον οριζόντιο άξονα και τις ευθείες x 0
= και
Στην αρχή χωρίζει το διάστημα [0,1] σε ν ίσα διαστήματα πλάτους 1/ν.
Φέρνοντας τις ευθείες x=1/ν , x=2/ν , … , x=1 μπορούμε να
σχηματίζουμε ν ορθογώνια πλάτους 1/ν που το άθροισμα των
εμβαδών τους είναι μεγαλύτερο του ζητούμενου και είναι ίσο με :
2 2 2 2 2 2
ν 3 3
1 1 1 2 1 ν 1 ν(ν 1)(2ν 1)
Ε ( ) ( ) ... ( ) (1 2 ... ν )
ν ν ν ν ν ν ν 6ν
+ +
=  +  + +  =  + + + =
Αλλά και ν-1 ορθογώνια πλάτους 1/ν που το άθροισμα των εμβαδών
τους είναι μικρότερο του ζητούμενου και ίσο με :
2 2 2 2 2 2
ν 3 3
1 1 1 2 1 ν 1 1 (ν 1)ν(2ν 1)
ε ( ) ( ) ... ( ) (1 2 ... (ν 1) )
ν ν ν ν ν ν ν 6ν
− − −
=  +  + +  =  + + + − =
Είναι προφανές ότι το ζητούμενο εμβαδόν είναι Ε με ν ν
ε Ε Ε
  .
Στη συνέχεια «μαντεύει» με μηχανικές μεθόδους την τιμή του Ε και προσπαθεί να
αποδείξει ότι είναι πράγματι αυτή δουλεύοντας με τη μέθοδο της εις άτοπο
απαγωγής.
Στο παράδειγμα μας «μαντεύει» ότι το ζητούμενο εμβαδόν είναι ίσο με 1/3.
Υποθέτει ότι δεν ισχύει αυτό, οπότε μπορεί να είναι Ε>1/3 ή Ε<1/3. Θα αποδείξουμε
ότι και στις δύο περιπτώσεις καταλήγουμε σε άτοπο.
Πράγματι, αν Ε>1/3 τότε υπάρχει τιμή του ν ώστε να ισχύει ν ν
1
Ε
3
Ε ε
2
−
−  (1)
Επειδή όμως ν ν
1
ε Ε Ε
3
   θα είναι
ν
ν ν
ν
Ε Ε
1
Ε Ε ε
1
3
ε
3

 −  −
−  −
(2)
Από (1),(2) καταλήγουμε σε άτοπο. Με παρόμοιο τρόπο καταλήγουμε σε άτοπο και
στην περίπτωση όπου δεχθούμε ότι Ε<1/3.
Άρα Ε=1/3.

18. 12
Γ. Λαγουδάκος
Περί απείρου …
Παρατηρείστε ότι στην προηγούμενη αποδεικτική διαδικασία ποτέ δεν θεωρούμε
άπειρο αριθμό βημάτων δηλαδή ν →  , αλλά απλώς θεωρούμε το ν μία ποσότητα
που μπορεί να γίνει οσοδήποτε μικρή θέλουμε.
Πρόκειται και εδώ για μία διαδικασία καταμέτρησης (άθροισμα εμβαδών) που ενώ
ο κατάλογος των προσθετέων τείνει στο άπειρο, στη πράξη παραμένει πάντα
πεπερασμένος. Άλλο ένα παράδειγμα δυνάμει απείρου.
Κάτι εκπληκτικό συνέβη το 300π.χ.
Ο «πρύτανης του πανεπιστημίου της
Αλεξάνδρειας » ο Ευκλείδης (325 – 265 π.χ.),
συγκέντρωσε όλα τα επιτεύγματα της ελληνικής
μαθηματικής επιστήμης σε δεκατρία βιβλία και
συνέγραψε τα λεγόμενα Στοιχεία.
Όμως ο τρόπος που έγραψε το βιβλίο αυτό,
είναι ο ίδιος που μέχρι σήμερα θεωρούμε ως
ο ιδανικός τρόπος συγγραφής οποιουδήποτε
επιστημονικού πονήματος. Αρχικά έδινε τους όρους (ορισμούς), μετά τον απολύτως
αναγκαίο αριθμό αξιωμάτων (αιτήματα), μετά τις λεγόμενες κοινές έννοιες
αναπόδεικτες ως προφανείς προτάσεις και ακολούθως προτάσεις που
αποδεικνύονται από τα προηγούμενα , τα λεγόμενα θεωρήματα ,τελειώνοντας
κάθε φορά την αποδεικτική διαδικασία με τις περίφημες εκφράσεις του :
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι όταν επρόκειτο για κατασκευή,
ὅπερ ἔδει δεῖξαι, όταν επρόκειτο για απόδειξη.
Μελετώντας τα Στοιχεία διαπιστώνουμε ότι ενώ όταν δίνει ορισμούς ή όταν
παρουσιάζει τα αναγκαία αιτήματα χρησιμοποιεί τη λέξη «άπειρο».
Για παράδειγμα :
Στον 23ο ορισμό :
κγ΄ [23]. Παράλληλοί εἰσιν εὐθεῖαι, αἵτινες ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι καὶ
ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον ἐφ' ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ μηδέτερα
συμπίπτουσιν ἀλλήλαις.
Στο 5ο αίτημα :
ε΄ [5]. Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ
αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο
εὐθείας ἐπ' ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ' ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν
ἐλάσσονες.

19. 13
Γ. Λαγουδάκος
Περί απείρου …
Στα θεωρήματα αποφεύγει να χρησιμοποιήσει τον όρο ενώ συγχρόνως με τρόπο
ιδιαίτερα ευφυή αποδεικνύει προτάσεις στις οποίες υποκρύπτεται η έννοια του
άπειρου.
Για παράδειγμα :
Πρότασις λε΄ 35 Βιβλίον IX
Ἐὰν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, ἀφαιρεθῶσι δὲ ἀπό τε
τοῦ δευτέρου καὶ τοῦ ἐσχάτου ἴσοι τῷ πρώτῳ, ἔσται ὡς ἡ τοῦ δευτέρου
ὑπεροχὴ πρὸς τὸν πρῶτον, οὕτως ἡ τοῦ ἐσχάτου ὑπεροχὴ πρὸς τοὺς πρὸ
ἑαυτοῦ πάντας.
Στην πρόταση αυτή αποδεικνύεται το άθροισμα των όρων γεωμετρικής προόδου. Aς
την απολαύσουμε χρησιμοποιώντας σύγχρονο συμβολισμό.
Έστω 1 2 ν ν 1
α ,α ,...,α ,α + οι ν+1 πρώτοι όροι μιας γεωμετρικής προόδου, τότε από τον
ορισμό της γεωμετρικής προόδου θα είναι :
3
2 ν ν 1
1 2 ν 1 ν
α
α α α
...
α α α α
+
−
= = = = από όπου με βάση ιδιότητας των αναλογιών ισοδύναμα
έχουμε :
3 2
2 1 ν ν 1 ν 1 ν
1 2 ν 1 ν
α α
α α α α α α
...
α α α α
− +
−
−
− − −
= = = = ή ισοδύναμα θα είναι :
2 1 3 2 ν 1 ν
2 1
1 1 2 ν
(α α ) (α α ) ... (α α )
α α
α α α ... α
+
− + − + + −
−
=
+ + +
ή μετά από πράξεις θα είναι :
2 1 ν 1 1
1 1 2 ν
α α α α
α α α ... α
+
− −
=
+ + +
από την τελευταία ισότητα έχουμε ότι :
ν 1 1 1
1 2 ν
2 1
(α α ) α
α α ... α
α α
+ − 
+ + + =
−
ισότητα που δίνει το άθροισμα των ν πρώτων όρων
γεωμετρικής προόδου.
Ο γνωστός μας τύπος προκύπτει ως εξής :
ν ν
ν 1 1 1 1 1
1 2 ν 1
2
2 1
1
(α α ) α α λ α λ 1
α α ... α α
α
α α λ 1
1
α
+ −   − −
+ + + = = = 
− −
−
Ας δούμε ένα παράδειγμα .
Να υπολογιστεί το άθροισμα :
1 1 1 1
...
2 4 8 1073741824
+ + + +

20. 14
Γ. Λαγουδάκος
Περί απείρου …
Επειδή 1073741824=230 , ουσιαστικά θα υπολογίσουμε το άθροισμα :
2 3 30
1 1 1 1
Σ ...
2 2 2 2
= + + + +
Εφαρμόζοντας τον τύπο που μόλις αποδείξαμε έχουμε ότι :
31
30
1 1
1 1
2 2
Σ ... 1 1 0,0000000009
1 1 2 2
4 2
−
=  = = − = −
−
Ας φανταστούμε τη διαδικασία της άθροισης των διαδοχικών
όρων της προόδου να συνεχίζεται δυνάμει άπειρο, τότε το
άθροισμα θα είναι ίσο με 1.
Στο διπλανό σχήμα παρουσιάζεται η γεωμετρική επίλυση του
προβλήματος.
Δηλαδή είμαστε σε θέση με τον τρόπο απόδειξης του Ευκλείδη και
χρησιμοποιώντας το άπειρο ως δυνάμει άπειρο να καταλήξουμε στο γνωστό μας
τύπο του αθροίσματος των απείρων όρων μιας φθίνουσας γεωμετρικής προόδου.
Αν ν 1
α 0
+ → τότε
2
1
α
λ
α
1 1 1 1 1
1 2
2 2
2 1
1 1
(0 α ) α α α α
α α ...
α α
α α 1 λ
1 1
α α
=
−  −
+ + = = = =
− −
− −
Επόμενο παράδειγμα η απόδειξη της απειρίας των πρώτων αριθμών.
Πρότασις κ΄ 20 Βιβλίον IX
Οἱ πρῶτοι ἀριθμοὶ πλείους εἰσὶ παντὸς τοῦ προτεθέντος πλήθους πρώτων
ἀριθμῶν.
Η απόδειξη με σύγχρονο συμβολισμό είναι η παρακάτω :
* Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν ν πρώτοι αριθμοί οι 1 2 3 ν
π ,π ,π ,...,π
* Ο στόχος μας είναι να αποδείξουμε ότι υπάρχει και άλλος πρώτος αριθμός πέραν
των ν που υπάρχουν στην λίστα μας.
* Σχηματίζουμε τον αριθμό 1 2 ν
π π π ... π 1
=    +
* Ο αριθμός αυτός είναι μεγαλύτερος του 1, οπότε σύμφωνα με το θεμελιώδες
θεώρημα της αριθμητικής μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων.

21. 15
Γ. Λαγουδάκος
Περί απείρου …
* Έστω q ένας πρώτος παράγοντας του αριθμού π .
* Ο αριθμός q μπορεί να είναι κάποιος από τους 1 2 3 ν
π ,π ,π ,...,π ;
* Η απάντηση είναι πως όχι διότι ο π διαιρούμενος με κάθε ένα από τους
1 2 3 ν
π ,π ,π ,...,π δίνει υπόλοιπο 1.
* Αυτό σημαίνει ότι ο q είναι ένας πρώτος που δεν συμπεριλαμβάνεται στη λίστα
των αρχικών ν πρώτων αριθμών.
* Άρα υπάρχουν τελικά άπειροι πρώτοι αριθμοί.
Παρατηρείστε ότι ο Ευκλείδης δεν χρησιμοποιεί στην πρότασή του τη λέξη
άπειρος αλλά λέει ότι υπάρχουν περισσότεροι πρώτοι αριθμοί από αυτούς που
περιέχονται σε κάθε δεδομένη συλλογή πρώτων αριθμών.
Τελικά φθάσαμε στον μεγαλύτερο αρχαίο Έλληνα Μαθηματικό
τον Αρχιμήδη τον Συρακούσιο (287-212 π.Χ.). Ο οποίος
χρησιμοποίησε την μέθοδο της εξάντλησης για τον τετραγωνισμό
της παραβολής και τον υπολογισμό του αριθμού π. Σε πάρα
πολλά έργα του η έννοια του απείρου κρύβεται, πιστός όμως στην
Αριστοτέλεια λογική προτιμά να μη χρησιμοποιεί απείρως μεγάλα
ή απείρως μικρά μεγέθη, αλλά μεγέθη οσοδήποτε μεγάλα ή
οσοδήποτε μικρά.
Στο έργο του Κύκλου μέτρησης ξεκίνησε εγγράφοντας και
περιγράφοντας σε δεδομένο κύκλο κανονικό εξάγωνο. Μετά
διπλασιάζοντας συνεχώς τον αριθμό των πλευρών των
περιγεγραμμένων και εγγεγραμμένων κανονικών
πολυγώνων έφθασε μέχρι να κατασκευάσει κανονικά
πολύγωνα με 96 πλευρές. Με αυτά τα πέντε βήματα 6γωνο-
12γωνο-24γωνο-48γωνο-96γωνο ήταν σε θέση να
υπολογίσει το μήκος αλλά και το εμβαδόν του κύκλου, αφού
η τιμή των δύο μεγεθών βρίσκεται ανάμεσα στις αντίστοιχες
τιμές (περίμετρο και εμβαδόν) των εγγεγραμμένων και
περιγεγραμμένων πολυγώνων. Μετά χρησιμοποιώντας την
εις άτοπο απαγωγή ( όπως και ο Εύδοξος) ανακάλυψε ότι η
τιμή του π βρίσκεται μεταξύ του 3,1408 και του 3,1429.
Στο ίδιο έργο υποστηρίζει ότι η τετραγωνική ρίζα του 3 βρίσκεται ανάμεσα
στο 265⁄153 (περίπου 1,7320261) και στο 1351⁄780 (περίπου 1,7320512).Ας
σημειώσουμε ότι η πραγματική τιμή είναι περίπου 1,7320508 !

22. 16
Γ. Λαγουδάκος
Περί απείρου …
==
Στο έργο του Ψαμμίτης αναφέρεται στο πώς μπορεί κανείς να γράψει μεγάλους
αριθμούς και να δουλέψει με αυτούς. Με τον τρόπο αυτόν θα ήταν σε θέση μέχρι
και υπολογίσει τους κόκκους της άμμου ολόκληρου του σύμπαντος.
Στο έργο του τετραγωνισμός της παραβολής υπολογίζει το εμβαδόν του χωρίου
που ορίζεται από μία παραβολή και μία ευθεία, εφαρμόζοντας ουσιαστικά την
μέθοδο της εξάντλησης με τρόπο παρόμοιο αυτόν του Ευδόξου.
Ας δούμε τον τρόπο σκέψης του :
( Τα αποσπάσματα που χρησιμοποιούνται παρακάτω είναι από το βιβλίο του
Ευάγγελου Σταμάτη «Αρχιμήδους τετραγωνισμός παραβολής» Αθήνα 1946)
1. Καταρχήν αποδεικνύει την πρόταση (21η πρόταση ):
Δηλαδή :
Στην παραβολή ΑΒΓ φέρουμε τον άξονα της ΔΒ ( Δ μέσο
της ΑΓ) και μετά τις παράλληλες προς τον άξονα από τα
μέσα Κ και Ε των ΔΓ και ΑΔ αντίστοιχα που τέμνουν την
παραβολή στα σημεία Η και Ζ. Αποδεικνύει ότι καθένα
από τα τρίγωνα ΑΖΒ και ΒΗΓ είναι ίσο με το
1
8
του ΑΒΓ.
Οπότε (ΖΑΒ)+(ΒΗΓ)=
1
4
(ΑΒΓ).

23. 17
Γ. Λαγουδάκος
Περί απείρου …
Τη διαδικασία αυτή την συνεχίζει … και καταλήγει στο γεγονός ότι το εμβαδόν του
χωρίου που περικλείεται από την παραβολή και την χορδή ΑΓ θα είναι ίσο με το
άθροισμα :
ε (ΑΒΓ)
2 3 2 3
1 1 1 1 1 1
Ε (ΑΒΓ) (ΑΒΓ) (ΑΒΓ) (ΑΒΓ) ... ε ε ε ε ...
4 4 4 4 4 4
=
= + + + + = + + + +
2. Μετά αποδεικνύει ότι (22η πρόταση) :
Δηλαδή για την πρόοδο 2 ν
1 1 1
ε, ε, ε,..., ε
4 4 4
θα ισχύει ότι :
2 3 ν ν
1 1 1 1 1 1 4
(ε ε ε ε ... ε) ε ε
4 4 4 4 3 4 3
+ + + + + +  =
Οπότε για το άθροισμα Σ των ν όρων της προόδου θα ισχύει : ν
4 1 1
Σ ε ε
3 3 4
= − 
3. Στη συνέχεια διατυπώνει την πρόταση (24η πρόταση) :

24. 18
Γ. Λαγουδάκος
Περί απείρου …
Δηλαδή αποδεικνύει ότι το εμβαδόν Ε του χωρίου
που περικλείεται από την παραβολή και χορδής
της ΑΓ είναι ίση με τα
4
3
του εμβαδού του
τριγώνου ΑΒΓ.
Η απόδειξη στηρίζεται στην απαγωγή εις άτοπο
αποδεικνύοντας ότι οι υποθέσεις
4
Ε ε
3
 και
4
Ε ε
3
 οδηγούν σε αντιφάσεις.
Θα μπορούσε κάποιος να ισχυριστεί ότι στο ίδιο αποτέλεσμα θα καταλήγαμε και αν
στην σχέση ν
4 1 1
Σ ε ε
3 3 4
= −  παρατηρούσαμε ότι για μεγάλη τιμή του ν ο όρος
ν
1 1
ε
3 4
−  μηδενίζεται οπότε
4
Σ ε
3
= .
Όμως ο Αρχιμήδης όπως και όλοι οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί δεν κάνουν χρήση
της έννοιας του απείρου και οι αποδείξεις τους στηρίζονται σε πεπερασμένο
πλήθος επαναλαμβανόμενων διαδικασιών που τους επιτρέπουν χρησιμοποιώντας
την μέθοδο εις άτοπο απαγωγής να καταλήξουν στο ζητούμενο.
Μετά τον Αρχιμήδη υπάρχουν αξιόλογοι μαθηματικοί όπως ο Απολλώνιος ο
Περγαίος, ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος , ο Ήρων ο Αλεξανδρινός, ο Νικόμαχος ο
Γερασηνός, ο Διόφαντος και ο Πάππος από την Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου όπου
ήταν το κέντρο του πολιτισμού του Αρχαίου τότε κόσμου. Οι Ρωμαίοι που
κυριάρχησαν μετέπειτα διακρίνοντο από ένα πνεύμα πιο χρησιμοθηρικό και τα
μαθηματικά πήραν ένα δρόμο εφαρμογής σε προβλήματα κατασκευών, οδοποιίας
κ.τ.λ. Με τη πτώση της Ρωμαϊκής αυτοκρατορίας έχουμε μία μετατόπιση προς την
Ανατολή της ανάπτυξης των μαθηματικών. Πρώτα στο Βυζάντιο και μετέπειτα σε
Περσία , Ινδία και αραβικές χώρες ( 800-1200 μ.Χ.) Στην περίοδο αυτή συναντάμε
μαθηματικούς που εξετάζουν την έννοια του άπειρου στα κείμενα τους. Οι πιο
χαρακτηριστικές περιπτώσεις είναι :
Ο Ινδός μαθηματικός Brahmagupta (598-670 μ.Χ.). Χρησιμοποιεί το μηδέν σαν ένα
οποιοδήποτε αριθμό στον πολλαπλασιασμό και στην διαίρεση. Δεν διστάζει να
γράψει κλάσματα με παρονομαστή το μηδέν. Ενώ ο Bhaskara (1114-1185 m.X. )
θεωρεί ότι ένα κλάσμα με παρονομαστή το μηδέν λέγεται άπειρη ποσότητα.
Ο Άραβας μαθηματικός – Φυσικός Al-Haithman (965 – 1039 μ.Χ.) από τη Βασόρα
του σημερινού Ιράκ. Κύρια ασχολήθηκε με την Οπτική όπου το επτάτομο έργο του
«Οπτική» μεταφράστηκε στα Λατινικά και μελετήθηκε στην Ευρώπη τους
επόμενους αιώνες.

25. 19
Γ. Λαγουδάκος
Περί απείρου …
Για το αντικείμενο που εξετάζουμε είναι γνωστός ότι υπολόγισε τον όγκο του
στερεού που προκύπτει από την περιστροφή της παραβολής x=ky2 γύρω από την
ευθεία x=kb2 (που είναι κάθετη στον άξονα της παραβολής) και ότι είναι ίσος με τα
8/15 του όγκου του κυλίνδρου ακτίνας kb2 και ύψους b. Η απόδειξη γίνεται με την
μέθοδο της εξάντλησης.
Για τους απαιτούμενους υπολογισμούς χρησιμοποίησε τον αναδρομικό τύπο :
κ κ κ κ κ 1 κ 1 κ 1 κ κ κ κ κ κ
(1 2 3 ... ν ) (ν 1) (1 2 ... ν ) 1 (1 2 ) ...(1 2 ... ν )
+ + +
+ + + +  + = + + + + + + + + + +
Παρουσιάζοντάς τον και γεωμετρικά με τη βοήθεια του επόμενου σχήματος.
Τα μαθηματικά ξανάρθαν στην Ευρώπη χάρις των προσπαθειών μιας ομάδας
λογίων, των λεγόμενων μεταφραστών. Στις αρχές του 12ου αιώνα σημαντικά
ελληνικά επιστημονικά έργα τις περισσότερες φορές στην αραβική άρχισαν να
μεταφράζονται. Μεγάλο μέρος του έργου συντελέστηκε στο Τολέδο της Ισπανίας
όπου είχε κατακτηθεί από τους Χριστιανούς. Η εβραϊκή κοινότητα που ανθούσε
στην περιοχή μετέφραζε από τα αραβικά στα ισπανικά και ακολούθως χριστιανοί
μετέφραζαν στα λατινικά. Με τον τρόπο τα έργα των Ευκλείδη , Αρχιμήδη,
Αριστοτέλη, Πτολεμαίου, αλλά και η άλγεβρα του al-Khwarizmi καθώς και άλλων
σπουδαίων Αράβων μαθηματικών έγιναν γνωστά στη Δύση.
Η έννοια του άπειρου που υπήρχε στα γραπτά των αρχαίων Ελλήνων – Ινδών και
Αράβων μαθηματικών κάνει την εμφάνισή της στη Μεσαιωνική Δύση και συγκινεί …

26. 20
Γ. Λαγουδάκος
Περί απείρου …
« να θυμόμαστε πως βρισκόμαστε ανάμεσα σε άπειρα και μη διαιρετά μεγέθη που
υπερβαίνουν την κατανόησή μας, τα μεν πρώτα επειδή είναι υπερβολικά μεγάλα, τα
δε δεύτερα επειδή είναι υπερβολικά μικρά. Φαίνεται όμως πως η ανθρώπινη λογική
προτιμά να αποφεύγει τον ίλιγγο που της προκαλούν »
Galileo Galilei (Two New Sciences)
Το άπειρο στη Δυτική Ευρώπη …
Από τα πρώτα μαθηματικά συγγράμματα που διαδίδονται
ευρέως στη μεσαιωνική Ευρώπη είναι το Liber Abaci. Πρόκειται
για βιβλίο αριθμητικής, που συνέγραψε ο Λεονάρντο της
Πίζας (1175-1240), γνωστός και ως Λεονάρντο Πιζάνο (Leonardo
Pisano) ή Φιμπονάτσι (Fibonacci). Με το βιβλίο αυτό αλλά και με
τα βιβλία Practica Geometriae, και Liber quadratorum εισάγεται
στην Ευρώπη το Ινδοαραβικό δεκαδικό σύστημα αρίθμησης.
Στις αρχές του 14ου αιώνα ο Levi Ben Gerson ( 1288-1344) συγγράφει το Maasei
Hoshev ( Η τέχνη του υπολογιστή) (1321) όπου εισάγει την μέθοδο της
μαθηματικής επαγωγής και παρουσιάζει προβλήματα αθροισμάτων.
Για παράδειγμα στο βιβλίο εμφανίζονται οι ισότητες :
ν(ν 1)
1 2 3 ... ν
2
+
+ + + + = , 2 3 2
(1 2 ... ν) ν (1 2 ... (ν 1))
+ + + = + + + + −
και 3 3 3 2
1 2 ... ν (1 2 ... ν)
+ + + = + + +
Τελειώνοντας την σύντομη αναφορά μας στα μεσαιωνικά Μαθηματικά της Δυτικής
Ευρώπης θα αναφερθούμε στον Nicole Oresme (1325 - 1382). Μελετώντας την
κίνηση ήταν ο πρώτος που ανέπτυξε την ιδέα να αναπαριστά τη σχέση ανάμεσα στη
ταχύτητα και το χρόνο γραφικά. Στο βιβλίο του Tractatus de configurationibus
qualitatum et motuum ( Πραγματεία για τη σχηματογραφία των ποιοτήτων και των
ταχυτήτων – 1350) εργάζεται με τη βοήθεια γεωμετρικού διαγράμματος που
αποτελείται από κατακόρυφες γραμμές. Στην περίπτωση της ταχύτητας η γραμμή
της βάσης παριστάνει τον χρόνο, ενώ κάθε κατακόρυφη γραμμή την ταχύτητα στην
αντίστοιχη χρονική στιγμή.
Υπάρχει το πρόβλημα στο οποίο μελετά την περίπτωση ενός αντικειμένου όπου η
ταχύτητά του κατά το πρώτο 1/2 του χρόνου είναι ίση με 1, μετά κατά το επόμενο
1/4 του χρόνου είναι 2, το επόμενο 1/8 είναι 3 το επόμενο 1/16 είναι 4 κ.ο.κ. Αυτό
που τον ενδιαφέρει είναι να υπολογίσει τη συνολική απόσταση που καλύπτει το
κινητό.

27. 21
Γ. Λαγουδάκος
Περί απείρου …
Με τη βοήθεια ενός σχήματος όπως το διπλανό υπολογίζει το
άθροισμα : ν
1 1 1 1
1 2 3 ... ν ...
2 4 8 2
 +  +  + +  +
Το αποτέλεσμά που δίνει είναι ότι η ολική απόσταση είναι ακριβώς
τετραπλάσια αυτής που διανύθηκε στο πρώτο μισό της χρονικής
περιόδου. Άρα η συνολική απόσταση είναι 2.
Σε διάφορα σημεία του έργου του παρουσιάζονται αθροίσματα
που εντυπωσιάζουν ακόμα και ένα σύγχρονο μελετητή,
αθροίσματα όπως :
• ν 1
1 1 1
1 2 3 ... ν ... 4
2 4 2 −
+  +  + +  + =
• ν 1 ν 1
1 1 1 1 1 1
2 (1 ... ...) 1 2 3 ... ν ...
2 4 2 2 4 2
− −
+ + + + + + = +  +  + +  +
• ν
1 3 2 3 3 3 ν 3 4
... ...
4 16 64 4 3
   
+ + + + + =
Το 17ο αιώνα συναντάμε δύο σημαντικότατες προσωπικότητες των
επιστημών. Τον Galileo Galilei (1564-1642) και τον Johann Kepler
(1554-1630). Με τις μελέτες τους στην κίνηση των σωμάτων στο
πεδίο της γήινης βαρύτητας ο πρώτος και στην κίνηση των
πλανητών ο δεύτερος, οδήγησαν στην ανάπτυξη ενός νέου
μαθηματικού εργαλείου, του διαφορικού και ολοκληρωτικού
λογισμού. Τα νέα μαθηματικά ασχολούνται με την μεταβολή και
αναγκαστικά συναντούν έννοιες όπως απειροστό και άπειρο.
Ο Γαλιλαίος στο βιβλίο του «Δύο νέες επιστήμες» επισημαίνει
αντιφάσεις που σχετίζονται με την ισοδυναμία συνόλων με άπειρο πλήθος
στοιχείων. Συγκεκριμένα καταγράφοντας τα σύνολα των φυσικών αριθμών και των
τετραγώνων τους δηλαδή
Ν { ,2,3, ,5,6,7,8, ,10,11,12,13,14,15, ,17,18,19,20,21,22,23,24
1 4 9 16 2
, }
5,...
= ,
Α {1,4,9,16,25,36,...}
= διαπιστώνει την αντίφαση ότι ενώ το δεύτερο σύνολο
εμφανώς περιέχεται στο πρώτο εντούτοις πρόκειται για δύο σύνολα με το ίδιο
πλήθος στοιχείων αφού εύκολα μπορούμε να καταλήξουμε στην αντιστοίχιση :
2 2 2 2 2
1 2 3 4 ν
... ....
1 1 2 4 3 9 4 16 ν
    
= = = =
, συμπέρασμα που έρχεται σε
αντίθεση με την βασική Ευκλείδεια κοινή έννοια : τὸ ὅλον τοῦ μέρους μεῖζον [ἐστιν].

28. 22
Γ. Λαγουδάκος
Περί απείρου …
Με τέτοια περίεργα παράδοξα κατέληξε ότι :
« … δεν είναι δυνατόν με το πεπερασμένο μυαλό μας να συλλάβουμε το άπειρο …
είναι παράλογο να μεταφέρουμε στο άπειρο τις ιδιότητες του πεπερασμένου …
οι σχέσεις ίσος, μεγαλύτερος και μικρότερος έχουν εφαρμογή μόνο για
πεπερασμένες ποσότητες και όχι για το άπειρο...»
Στην δεκαετία 1609-1619 ο Κέπλερ διατυπώνει τους τρεις νόμους του
για την κίνηση των πλανητών δηλαδή :
1. Οι πλανήτες κινούνται γύρω από τον Ήλιο σε ελλειπτικές τροχιές
στις οποίες ο Ήλιος αποτελεί την μία από τις δύο εστίες.
2. Το διάνυσμα Ήλιος – πλανήτης διαγράφει ( καθώς κινείται ο
πλανήτης στην ελλειπτική τροχιά) ίσες επιφάνειες σε ίσα
χρονικά διαστήματα.
3. Το τετράγωνο του χρόνου μιας πλήρους περιστροφής ενός
πλανήτη ( γύρω από τον Ήλιο) είναι ανάλογο με τον κύβο του μέγιστου
ημιάξονα της ελλειπτικής τροχιάς.
Για να καταλήξει στα συμπεράσματα αυτά επεξεργάστηκε χιλιάδες παρατηρήσεις
του Σουηδού αστρονόμου Tycho Brahe που τον διαδέχθηκε ως «μαθηματικός παρά
τον αυτοκράτορα» στην Πράγα το 1601. Συγχρόνως για να υπολογίσει τροχιές και
εμβαδά έπρεπε να ανακαλύψει μία πρωτόλεια μορφή ολοκληρωτικού λογισμού.
Στον Κέπλερ αποδίδεται ο υπολογισμός του εμβαδού
του κύκλου με τη βοήθεια πολλών μικρών κυκλικών
τομέων που αναδιατάζοντάς τους – όπως φαίνεται
στο διπλανό σχήμα – εύκολα μπορούμε να
καταλήξουμε στον γνωστό τύπο του εμβαδού του
κύκλου. Πρόκειται για έναν πρωτότυπο τρόπο
εφαρμογής της μεθόδου της εξάντλησης.
Για την μελέτη μας σημαντικό ρόλο παίζει ένας
μαθητής του Γαλιλαίου ο Bonaventura Cavalieri
(1598-1647). Γεννήθηκε στο Μιλάνο και
εργάστηκε ως καθηγητής στο πανεπιστήμιου της
Μπολόνιας. Η μεγαλύτερη συνεισφορά του στα
μαθηματικά είναι το βιβλίο Geometria
Indivisibilibus ( Γεωμετρία των αδιαιρέτων).

29. 23
Γ. Λαγουδάκος
Περί απείρου …
Στο έργο του αυτό καταλήγει σε δύο προτάσεις
1. αν (κινούμενη) οριζόντια γραμμή τέμνει δύο
επίπεδα σχήματα έτσι, ώστε οι τομές να έχουν το
ίδιο μήκος, τότε τα δύο σχήματα έχουν το ίδιο
εμβαδόν.
2. αν (κινούμενη) οριζόντια επιφάνεια τέμνει δύο
στερεά σχήματα έτσι ώστε οι τομές να έχουν το
ίδιο εμβαδόν, τότε τα δύο στερεά έχουν το ίδιο
όγκο.
Σε παρόμοια συμπεράσματα καταλήγουμε και αν τα μήκη ή τα εμβαδά των τομών
αντί για ίσα να έχουν σταθερό λόγο.
Ας απολαύσουμε την τεχνική του … σε δύο κλασικά προβλήματα.
Το πρόβλημα του υπολογισμού του εμβαδού της έλλειψης.
Ας θεωρήσουμε τον κύκλο 2 2 2
x y α
+ = και την έλλειψη
2 2
2 2
x y
1
α β
+ = με α>β . Μία κινούμενη χορδή κάθετη στην
διάμετρο ΑΒ του κύκλου τέμνει τις δύο κωνικές τομές στα
σημεία Ε και Η. Ονομάζουμε x την τετμημένη του σημείου Γ
τότε : 2 2 1/2
ΓΗ (α x )
= − και 2 2 1/2
β
ΓΕ (α x )
α
=  − , παρατηρείστε
ότι
ΓΗ α
ΓΕ β
= , οπότε με βάση την πρώτη αρχή του θα είναι :
2
κύκλου
έλλειψης κύκλου έλλειψης έλλειψης
έλλειψης
Ε α β β
Ε Ε Ε πα Ε αβπ
Ε β α α
=  =   =   =
Η σχέση που υπάρχει ανάμεσα στον όγκο μιας σφαίρας και του όγκου του
κυλίνδρου που την περιβάλει.
Θα δείξουμε ότι « ο όγκος μιας σφαίρας είναι ίσος με τα 2/3
του όγκου του μικρότερου κυλίνδρου που την περιβάλλει»
Την σχέση αυτή πρώτος την απόδειξε ο Αρχιμήδης.
Και λέγεται ότι του έκανε τόσο μεγάλη εντύπωση που ζήτησε να
χαράξουν στην ταφόπετρά του ένα σχήμα σαν το διπλανό.

30. 24
Γ. Λαγουδάκος
Περί απείρου …
Βήμα 1ο
Θεωρούμε τον μισό κύλινδρο
στον οποίο μπορεί να εγγραφεί
σφαίρα ακτίνας ρ και τον κώνο
που μπορεί να εγγραφεί σε
αυτόν.
Βήμα 2ο
Στο διπλανό σχήμα έχουμε τον
κώνο και την μισή σφαίρα που
εγγράφεται στον κύλινδρο
διαστάσεων ρxρ.
Θεωρούμε μία τυχαία επιφάνεια
που τέμνει τα στερεά.
Οι χρωματισμένες με κόκκινο
επιφάνειες έχουν το ίδιο
εμβαδόν διότι :
Εμβαδόν δακτυλίου :
2 2 2 2
πρ πα π(ρ α )
− = −
Εμβαδόν κύκλου :
Πυθαγόρειο θεώρημα
2 2 2
πr π(ρ α )
= −
Βήμα 3ο
Άρα σύμφωνα με την αρχή του Cavalieri το στερεό που προκύπτει αφαιρώντας από
τον κύλινδρο τον κώνο και η μισή σφαίρα έχουν το ίδιο όγκο.
Δηλαδή ισχύει ότι :
σφάιρας σφαίρας
2 2
κυλίνδρου κώνου
σφαίρας
3 3
σφαίρας
V V
1
V V (πρ ) ρ (πρ ) ρ
2 3 2
V
2 4
πρ V πρ
3 2 3
− =   −  = 
=  =
Οπότε : 3 2
σφαίρας κυλίνδρου
4 2 2
V πρ (πρ 2ρ) V
3 3 3
= =   = 
Το καινούργιο που πρόσφερε ο Cavalieri είναι ότι θεωρούσε την κινούμενη γραμμή
ή επίπεδο έχοντας την αντίληψη της συνέχειας – δηλαδή ότι τα μεγέθη αυτά
σαρώνουν το επίπεδο ή τον χώρο. Μετά αθροίζοντας όλα τα άπειρα εμβαδά –
όγκους μπορούμε να υπολογίσουμε τα μεγέθη που θέλουμε.
Μία ιδιοφυής τεχνική που συνεισέφερε στην πρόοδο των Μαθηματικών.

31. 25
Γ. Λαγουδάκος
Περί απείρου …
Χαρακτηρίζεται ως ο πρίγκηπας των ερασιτεχνών μαθηματικών. Ο
Pierre de Fermat (1601-1665) , ήταν Γάλλος νομικός και ερασιτέχνης
μαθηματικός. Εργάστηκε σε πολλούς τομείς των μαθηματικών όπως στη
θεωρία αριθμών και των πιθανοτήτων. Επινόησε μία διαφορετική
τεχνική μαθηματικής επαγωγής, την λεγόμενη «κατάβαση εις άπειρο».
Για το θέμα που μας απασχολεί θα σταθούμε σε δύο χαρακτηριστικά
παραδείγματα της μαθηματικής ευφυίας του Fermat. Την χάραξη της
εφαπτομένης σε σημείο μιας παραβολής, ορίζοντας την λεγόμενη
υφαπτομένη του και τον τετραγωνισμό της παραβολής εισάγοντας
τεχνική ολοκλήρωσης που γενικεύεται σε μία σειρά από συναρτήσεις.
1ο πρόβλημα : χάραξη εφαπτομένης παραβολής
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε την παραβολή
2
( ) : 2
=
C y px και το σημείο της ( , )
o o
A x y .
Αν ( ,0)
o
B x τότε ο Fermat ορίζει ως
υφαπτομένη την απόσταση ΖΒ=α όπου Ζ
το σημείο τομής της εφαπτομένης και του
άξονα χ΄χ.
Ο συλλογισμός του ήταν ο παρακάτω :
Για το γειτονικό σημείο Γ του Α έχουμε ότι o
x x 
 = + και  = +
o
y x k από τα όμοια
τρίγωνα 
  έχουμε

=  =
y y
 



  
.
Άρα (1 )


= + =  +
y
y y y

 
 
 
, δηλαδή : ( , (1 ))
 +  +
o
x y



Θεωρώντας ότι το Γ ανήκει στην παραβολή έχουμε :
2 2 2 2 2
(1 ) 2 ( ) ( ) 2 ( )
 + =  +  + = + 
o o
y p x y p x
 

    

2
2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
=
+ + = + 
o
y px
o
y y y p x p

  
      2 2 2 2
2 2p

 
    

+ = 
2 2 2
2 2 0
+ = →
y y p
 
     έχουμε
2
2 2
2 2
=  =
y
y p
p


  
Οπότε έχουμε ότι
2
2
( ,0) ( ,0) ( ,0) ( ,0)
 − = − = − = −
o
o o o o
y px
x x x x
p p


Επομένως η εφαπτομένη ΖΑ μπορεί να προσδιοριστεί ως ευθεία που διέρχεται από
δύο γνωστά σημεία τα ( , )
 o o
x y και ( ,0)
− o
Z x οπότε θα έχει εξίσωση :
0
( ) ( ) : 0 ( ) ( )
2

−
  − =  +  =  +
+
o o
o o o
y y
y x x y x x
x x x
 
 
2
2
2
( )
=
 =  +
y p
o
y
y x x
y
p
 


( )
  =  + o
y y p x x


32. 26
Γ. Λαγουδάκος
Περί απείρου …
2ο πρόβλημα : τετραγωνισμός παραβολής
Όπως έχουμε ήδη δει, πάρα πολλοί μαθηματικοί ασχολήθηκαν με το πρόβλημα
αυτό και δώσαν καταπληκτικές λύσεις. Το διαφορετικό της μεθόδου του Fermat
ήταν ότι υπολόγισε το εμβαδόν του χωρίου που βρίσκεται κάτω από την καμπύλη
n
y x
= , όπου n θετικός ακέραιος με τη βοήθεια ενός αθροίσματος ορθογωνίων που
οι βάσεις τους αποτελούν μία φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο.
Παρατηρείστε στο διπλανό σχήμα πως θεώρησε τα σημεία πάνω στον άξονα x’x με
τετμημένες 2 3
α, αr, αr , αr ,... με 0<r<1.
Μετά σχημάτισε τα γνωστά … μας ορθογώνια και
υπολόγισε το άθροισμα των εμβαδών τους, ως εξής :
n 2 n 2 3 2 n
(α αr) α (αr αr ) (αr) (αr αr ) (αr ) ...
−  + −  + −  + =
n 1 n 1 n 1 n 1 2n 2
α (1 r) α r (1 r) α r (1 r) ...
+ + + + +
 − +   − +   − + =
n 1 n 1 2n 2
α (1 r)(1 r r ...)
+ + +
 − + + + = n 1
n 1
1
α (1 r)
1 r
+
+
 −  =
−
n 1
2 n
1
α (1 r).
(1 r)(1 r r ... r )
+
 − =
− + + + +
n 1
2 n
α
(1 r r ... r )
+
+ + + +
Ο Fermat σκέφτηκε ότι για να προσαρμοστεί καλύτερα
το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων προς το πραγματικό εμβαδόν κάτω από
την καμπύλη, πρέπει να μικρύνει πολύ το πλάτος κάθε ορθογωνίου. Για να γίνει
αυτό πρέπει ο λόγος r να πλησιάζει προς το 1. Όσο πλησιέστερα μάλιστα τόσο το
καλύτερο.
Όταν λοιπόν συμβεί αυτό (r 1
→ ) τότε κάθε όρος του παρονομαστή θα τείνει στο 1
οπότε καταλήγουμε στον τύπο
n 1
α
E
n 1
+
=
+
.Ο τύπος αυτός είναι ο πρώτος γενικός
τύπος εμβαδού για μία σειρά από καμπυλόγραμμα σχήματα !!!.
Στην εποχή που εξετάζουμε οι μαθηματικοί είχαν ήδη από το 1614 ένα
δυνατό εργαλείο για τους υπολογισμούς τους. Στο Εδιμβούργο της
Σκωτίας ένας γαιοκτήμονας ο John Napier (1550-1617) δημοσίευσε το
βιβλίο Mirifici logarithmorum canonis descriptio ( Κατασκευή του
υπέροχου κανόνα των λογαρίθμων). Το 1624 σε συνεργασία με τον
μαθηματικό Henry Briggs δημοσιεύθηκαν νέοι πίνακες λογαρίθμων
στο βιβλίο Arithmetica logarithmica. Οι πίνακες αυτοί έδωσαν τους
λογαρίθμους με βάση το 10 όλων των ακεραίων από το 1 μέχρι το
20.000 και από το 90.000 μέχρι το 100.000 με ακρίβεια δεκατεσσάρων
δεκαδικών ψηφίων !!!. Το κενό μεταξύ 20.000 και 90.000 συμπλήρωσε
αργότερα ο Adriaan Vlacq (1600-1667) και ολοκληρωμένοι πια οι
πίνακες εκδόθηκαν για δεύτερη φορά το 1628.

33. 27
Γ. Λαγουδάκος
Περί απείρου …
Η τεχνική της ολοκλήρωσης όπως παρουσίασε ο Fermat έλυνε το πρόβλημα του
τετραγωνισμού μιας σειράς καμπυλών, όμως για την υπερβολή
1
y
x
= δεν μπορεί
να εφαρμοστεί ο τύπος του Fermat αφού τότε έχουμε n=-1 και ο παρονομαστής του
τύπου γίνεται 0 !!
Τη λύση στο πρόβλημα αυτό την έδωσε ένας από τους λιγότερο γνωστούς
σύγχρονους του Fermat μαθηματικούς ο Βέλγος Ιησουίτης Gregorie de Saint-
Vincent (1584-1667) ο οποίος ανάλωσε τον χρόνο του μελετώντας διάφορα
προβλήματα τετραγωνισμού .
Στο έργο του Opus geometricum quadraturae circuli et sectiorum coni (Γεωμετρικό
εγχειρίδιο για τον τετραγωνισμό του κύκλου και τις τομές του κώνου, 1647)
παρουσιάζει την παρακάτω παρατήρηση.
Αν δουλέψουμε με παρόμοιο τρόπο όπως και
ο Fermat θα κατασκευασθούν ορθογώνια τα
οποία όμως θα έχουν ίσα εμβαδά !!
Αυτό σημαίνει ότι όσο η απόσταση από το 0
αυξάνει γεωμετρικά οι αντίστοιχες επιφάνειες
αυξάνουν κατά ίσα μεγέθη δηλαδή αυξάνουν
αριθμητικά.
Άρα η σχέση μεταξύ του εμβαδού και
της απόστασης είναι λογαριθμική !!!
Δηλαδή αν ονομάσουμε Α(t) το εμβαδό που
περικλείεται από την γραφική παράσταση της
y=1/x τον άξονα x’x και τις ευθείες π.χ. x=1 και x=t>1 τότε θα είναι : Α(t)= λογ(t) (1).
Ο τύπος αυτός εγκαινιάζει τη χρήση της λογαριθμικής συνάρτησης ενώ μέχρι
εκείνη την εποχή οι λογάριθμοι χρησιμοποιούντο καθαρά ως υπολογιστική τεχνική.
Το ζήτημα που προέκυπτε ήταν ποια είναι η κατάλληλη βάση για το λογάριθμο του
τύπου (1).;
Στην Αγγλία του 17ου αιώνα συναντάμε δύο σπουδαίους μαθηματικούς. Τον John
Wallis (1616-1703) που όπως προαναφέραμε είναι αυτός που πρώτος υιοθέτησε το
σύμβολο  για το άπειρο και τον Isaac Barrow ( 1630-1677) καθηγητή στο Trinity
College του Cambridge.
Ο Barrow είναι ο πρώτος που κατέλαβε την έδρα Lucasian Professorship of
Mathematics όπου μεταξύ των άλλων ασχολήθηκε και με το πρόβλημα της χάραξης
εφαπτομένης σε τυχαίο σημείο μιας καμπύλης. Τις μελέτες του τις παρουσίασε στο
βιβλίο Lectiones opticae et geometricae. Μαθητής του ήταν ένας από τους
μεγαλύτερους μαθηματικούς που υπήρξαν ποτέ, ο Isaac Newton ( 1642-1727) και
σε αυτόν το 1669 παραχώρησε την έδρα του στο πανεπιστήμιο, αναγνωρίζοντας τις
δυνατότητες του.

34. 28
Γ. Λαγουδάκος
Περί απείρου …
Για το θέμα που μας απασχολεί ο Newton θεωρείται από τους
θεμελιωτές του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού.
Ένα από τα βασικά προβλήματα που συναντάμε στον διαφορικό
λογισμό είναι η χάραξη της εφαπτομένης μιας καμπύλης σε τυχαίο
σημείο της. Μέχρι τώρα έχουμε δει κάποιες λύσεις. Το διαφορετικό
όμως που εισήγαγε ο Newton στην Μαθηματική σκέψη είναι η
κίνηση … , τα μαθηματικά που ανέπτυξε έχουν την δυναμική της
κινούμενης εικόνας σε αντίθεση με τα παλιά που συγκρίνονται ως
κάτι το ακίνητο, το στατικό…
Ας παρακολουθήσουμε την σκέψη του …
Ο Newton θεωρούσε ότι μία καμπύλη παράγεται από τη συνεχή κίνηση ενός
σημείου. Οπότε τετμημένη και τεταγμένη του σημείου είναι ποσότητες
μεταβλητές (σε συνάρτηση του χρόνου).
Κάθε μεταβλητή ποσότητα την ονόμαζε ρέον (fluent) και το ρυθμό μεταβολής του
ρέοντος, ροή (fluxion).
Οπότε η τετμημένη είναι ρέον (την συμβόλιζε με x) και ο ρυθμός μεταβολής της
(την συμβόλιζε με x
•
) είναι η ροή. Όμοια η τεταγμένη y είναι ρέον και ο ρυθμός
μεταβολής της y
•
, ροή.
Επίσης εισάγει και μία άλλη έννοια που την ονομάζει στιγμή (moment) του ρέοντος
και είναι ένα απειροελάχιστο ποσό κατά το οποίο ένα ρέον αυξάνει κατά τη
διάρκεια ενός απείρως μικρού χρονικού διαστήματος . Άρα η στιγμή του ρέοντος
x είναι το γινόμενο x
•
.
Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε την κλίση μιας
διάσημης καμπύλης του (φύλλου του Καρτέσιου) folium
Descartes 3 3
(C): x y 3axy 0
+ − = στο τυχαίο σημείο της M(x,y)
Θεωρoύμε ένα γειτονικό σημείο του Μ το Μ’(x x , y y
• •
+ + ).
Το σημείο αυτό ανήκει στην καμπύλη άρα θα ισχύει ότι :
3 3
(x x ) (y y ) 3a(x x )(y y ) 0
• • • •
+ + + − + + = 
3 2 2 3 3 2 2 3
x 3x x 3x(x ) (x ) y 3y (y ) 3y(y ) (y ) 3axy 3axy 3yx 3(x )(y ) 0
• • • • • • • • • •
+ + + + + + + − − − − =
Επειδή ισχύει ότι 3 3
x y 3axy 0
+ − = έχουμε :
2 2 3 2 2 3
3x x 3x(x ) (x ) 3y (y ) 3y(y ) (y ) 3axy 3ayx 3a(x )(y ) 0
• • • • • • • • • •
+ + + + + − − − =
Διαιρούμε όλους τους όρους με και έχουμε :
2 2 3 2 2 2 3 2
3x x 3x(x) (x) 3y y 3y(y) (y) 3axy 3ayx 3axy 0
• • • • • • • • • •
+ + + + + − − − =
Στην τελική έκφραση αγνοούμε όλους τους όρους που περιέχουν τον ως
παράγοντα, οπότε καταλήγουμε στην ισότητα :

35. 29
Γ. Λαγουδάκος
Περί απείρου …
2 2
3x x 3y y 3axy 3ayx 0
• • • •
+ − − = , διαιρούμε με x
•
, άρα 2 2 y y
3x 3y 3ax 3ay 0
x x
• •
• •
+ − − =
λύνουμε ως προς
y
x
•
•
και καταλήγουμε στην ισότητα :
2
2
y 3ay 3x
3y 3ax
x
•
•
−
=
−
Ουσιαστικά με σύγχρονο συμβολισμό ισχύει ότι :
2
2
dy
y dy 3ay 3x
dt
dx dx 3y 3ax
x
dt
•
•
−
= = =
−
!
Στη συνέχεια ο Newton εξέτασε το αντίστροφο πρόβλημα δηλαδή …
πως είμαστε σε θέση να βρίσκουμε την αρχική ή παράγουσα συνάρτηση όταν
γνωρίζουμε την παράγωγο ( να βρεθεί η ρέουσα όταν είναι γνωστή η ροή;)
Στις μέρες μας η διαδικασία εύρεσης της ρέουσας μιας δεδομένης ροής ονομάζεται
ολοκλήρωση ή αντιπαραγώγιση και το αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης μιας
δεδομένης συνάρτησης είναι το αόριστο ολοκλήρωμα ή η αντιπαράγωγος ,
( ο όρος αόριστο ολοκλήρωμα αναφέρεται στο γεγονός ότι υπάρχουν πολλές
συναρτήσεις με την ίδια παράγωγο, αφού όλες οι συναρτήσεις που προκύπτουν με
παράλληλη κατακόρυφη μετατόπιση έχουν την ίδια κλίση σε κάθε σημείο τους με
κοινή τετμημένη) .
Μία σειρά από κανόνες παραγώγισης και αντιπαραγώγισης διατυπώθηκαν.
Οι δύο διαδικασίες αντιμετωπίστηκαν ως αντίστροφες, όπως οι πράξεις του
πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης
Με τον τρόπο αυτό όπως σημείωσε κάποτε ο Άγγλος μαθηματικός Augustus de
Morgan η ολοκλήρωση έγινε η μνήμη της παραγώγισης.
Το βασικό πρόβλημα στον ολοκληρωτικό λογισμό είναι ο
υπολογισμός του εμβαδού που ορίζεται από μία οποιαδήποτε
καμπύλη. Έχουμε ήδη αναφέρει μερικές προσπάθειες
τετραγωνισμού οποιασδήποτε επιφάνειας. Η μέθοδος που
υιοθετήθηκε ήταν αυτή της προσέγγισης του ζητούμενου
εμβαδού ως άθροισμα μεγάλου πλήθους ορθογωνίων, πολύ
μικρού πλάτους…
«Δίνεται η εντύπωση ότι στον ολοκληρωτικό λογισμό (τετραγωνισμός επιφάνειας)
και το διαφορικό λογισμό (κλίση οποιασδήποτε καμπύλης σε ένα δοσμένο σημείο
της) έχουμε δύο τελείως διαφορετικές μελέτες .
Η πρώτη στηρίζεται στο όριο ενός αθροίσματος τα στοιχεία του οποίου
αυξάνονται και καθένα από αυτά τείνει στο μηδέν, και η δεύτερη στηρίζεται στο
όριο ενός πηλίκου διαφορών.
Μία πραγματικά σημαντική ανακάλυψη όμως που έγινε στο δεύτερο μισό του
17ου αιώνα έδειξε ότι οι δύο αυτές φαινομενικά ανόμοιες μελέτες συνδέονται
μεταξύ τους.»
Απόσπασμα από το βιβλίο : «ΜΕΓΑΛΕΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ του Howard Eves εκδόσεις Τροχαλία»

36. 30
Γ. Λαγουδάκος
Περί απείρου …
Ο Newton παρατήρησε πως η ανακάλυψη του Fermat
ότι η έκφραση
n 1
x
n 1
+
+
που αποδίδει το εμβαδό της επιφάνειας που βρίσκεται κάτω
από την καμπύλη n
y x
= από το σημείο χ=0 μέχρι ένα οποιαδήποτε σημείο χ,
είναι η ίδια με αυτή που εμφανίζεται και στην αντιπαραγώγιση της συνάρτησης
n
y x
= .
Οπότε διατύπωσε, χωρίς να δώσει αυστηρή απόδειξη, το παρακάτω θεώρημα που
είναι γνωστό ως : θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού.
Αν δοθεί η συνάρτηση y=f(x) ορίζουμε μία νέα συνάρτηση
t
α
A(t) f (x)dx
=  που
εκφράζει το εμβαδόν της επιφάνειας που βρίσκεται κάτω από την γραφική
παράσταση της f από μία σταθερή τιμή χ=α μέχρι τη μεταβλητή τιμή t τότε :
« η παράγωγος της συνάρτησης A(t) είναι η συνάρτηση f(t) ή η συνάρτηση f(t)
είναι μία αντιπαράγωγος συνάρτηση της A(t).»
Ας δώσουμε ένα παράδειγμα :
“Ποιο είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση
της 2
y x
= από χ=0 ως χ=1.”
Η συνάρτηση
t
0
A(t) f (x)dx
=  αποδίδει το εμβαδόν που περικλείεται από την
γραφική παράσταση της f τον άξονα χ’χ και τις ευθείες χ=0 και χ=t.
Σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα ισχύει ότι 2
A'(x) f (x) x
= = άρα
3
x
A(x) c
3
= +
Για χ=0 προφανώς θα είναι Α(0)=0 άρα c=0 , οπότε
3
x
A(x)
3
= άρα
1
A(1)
3
= δηλαδή
το ζητούμενο εμβαδόν είναι ίσο με 1/3 τ.μ.
Για να είμαστε δίκαιοι ιστορικά θα πρέπει να αναφέρουμε ότι
παράλληλα με τον Newton ένας άλλος σπουδαίος μαθηματικός ο
G.W.Leibniz 1646-1716 ανέπτυξε την έννοια της παραγώγου με
τρόπο παρόμοιο.
Αναζητώντας κατάλληλο συμβολισμό εισήγαγε τα σύμβολα d και
 για να αναπαραστήσει τις γενικεύσεις των εννοιών της
διαφοράς και του αθροίσματος. Τα σύμβολα αυτά προέρχονται
από τις λέξεις differentia και summa. Οπότε αν θεωρήσουμε την
μεταβλητή y το dy νοείται ως η πραγματική διαφορά μεταξύ δύο

37. 31
Γ. Λαγουδάκος
Περί απείρου …
γειτονικών τιμών της y και το y
 ως το πραγματικό άθροισμα όλων των τιμών της
μεταβλητής y από μία ορισμένη σταθερή τιμή έως τη δοθείσα. Το 1684 σε ένα
σύντομο άρθρο στο Γερμανικό επιστημονικό περιοδικό Acta eruditorum
παρουσιάζονται οι βασικές ιδέες του διαφορικού λογισμού του Leibniz.
Θεωρεί μία καμπύλη και ένα σημείο της A με τεταγμένη
y. Στο σημείο αυτό φέρνει την εφαπτομένη που έχει
υφαπτομένη ΓΒ=a. Θεωρεί ένα πεπερασμένο σταθερό
τμήμα ΑΔ=dx τότε ως dy ορίζει το τμήμα ΕΔ ώστε από τα
όμοια τρίγωνα ΑΓΒ και ΑΔΕ να ισχύει
dy y
ady ydx
dx a
=  =
Στην συνέχεια διατυπώνει τους παρακάτω κανόνες για
την χρήση των διαφορικών του :
dc 0 / c σταθερά
= = , d(v y) dv dy
 =  , d(cy) cdy
=
d(vy) vdy ydv
= + , 2
v vdy ydv
d( )
y y
−
= , n n 1
dy ny dy
−
= , n n 1
1 n
d( ) dy
y y +
= − ,
n n m
m m
n
d( y ) y dy
m
−
= .
Για να δείξει τη χρησιμότητα των ιδεών του πραγματεύεται τον υπολογισμό
μεγίστων και ελαχίστων παρατηρώντας :
Το dy είναι θετικό όταν το y αυξάνεται και αρνητικό όταν το y μειώνεται.
Επίσης αφού ο λόγος
dy
dx
εκφράζει την κλίση της εφαπτομένης και το dx είναι
πάντα θετικό όταν το y δεν αυξάνεται ούτε ελαττώνεται τότε dy 0
= η μεταβλητή y
θα παρουσιάζει ακρότατο και η εφαπτομένη θα είναι οριζόντια.
Ακόμα σημειώνει ότι το dy αυξάνει όταν το d(dy) είναι θετικό και αντίστοιχα το dy
μειώνεται όταν το d(dy) είναι αρνητικό. Στην πρώτη περίπτωση η καμπύλη έχει τα
κοίλα άνω ενώ στην δεύτερη κάτω.
Στα σημεία όπου η αύξηση είναι ελάχιστη ή μέγιστη τότε υπάρχει σημείο καμπής.
Ο Leibniz κατόρθωσε να δημιουργήσει ένα διαφορικό λογισμό που κυριάρχησε στα
επόμενα χρόνια σε ολόκληρη την Ευρώπη. Ο ίδιος έλεγε:
«Το μυστικό της ανάλυσης είναι η καθιέρωση κατάλληλης ορολογίας και
συμβολισμού και η τέχνη της καλής χρήσης των συμβόλων.»
Ας βρούμε την κλίση του Descartes folium κάνοντας χρήση των συμβόλων και των
κανόνων του Leibniz.
Ισχύει ότι :
3 3 3 3 3 3
:dx
2 2 2 2
2
2 2
2
x y 3axy 0 d(x y 3axy) 0 dx dy d(3axy) 0
3x dx 3y dy 3ad(xy) 0 3x dx 3y dy 3a(ydx xdy) 0
dy dy dy 3ay 3x
3x 3y 3ay 3ax 0
dx dx dx 3y 3ax
+ − =  + − =  + − = 
+ − =  + − + = 
−
+ − − =  =
−