6. κόλουρο τριγωνικό τραπεζόεδρο ή κόλουρο ρομβόεδρο ή στερεό του Dürer
Κόψτε δύο μικρά τετράεδρα από δυο απέναντι
κορυφές του ρομβόεδρου
7.
8. Edwin A. Abbot, 1884 Εσείς που έχετε την ευλογία της σκιάς
και του φωτός, εσείς που έχετε την τύχη
να έχετε δυο μάτια, να διαθέτετε την
γνώση της προοπτικής και τη μαγεία
των χρωμάτων, εσείς που μπορείτε να
δείτε μια γωνία και ν’ ατενίσετε
ολόκληρη την περιφέρεια του κύκλου,
εσείς που ζείτε στην ευτυχισμένη χώρα
των τριών διαστάσεων, πώς μπορείτε να
καταλάβετε πόσο δύσκολο είναι για
εμάς να ξεχωρίσουμε ο ένας το σχήμα
του άλλου;
9. Οπτική αναγνώριση στην
Επιπεδοχώρα
◦
Όλα τα πλάσματα στην Επιπεδοχώρα, έμψυχα
και άψυχα, ανεξάρτητα από το σχήμα τους,
φαίνονται σ’ εμάς ίδια: σαν ευθείες γραμμές
◦Ηχητική αναγνώριση
◦Ψηλάφηση
◦Ομίχλη
10. Ο τρισδιάστατος άνθρωπος μπορεί να παρατηρήσει την
Επιπεδοχώρα από διάφορες θέσεις της τρίτης διάστασης
11. Μπορούμε να παρατηρήσουμε ένα αντικείμενο από δυο διαφορετικές
θέσεις της τέταρτης διάστασης και να αποτυπώσουμε την παρατήρησή
μας σ’ ένα επίπεδο;
12. Maurice Princet (1875 – 1973), ο μαθηματικός του κυβισμού
Η ίδια τετραδιάστατη εικόνα μπορεί να μας δώσει πολλές διαφορετικές προοπτικές από
διάφορα σημεία. Αυτές οι προοπτικές είναι τρισδιάστατες και συνεπώς μπορούμε να τις
αναπαραστήσουμε. Φανταστείτε αυτές τις αναπαραστάσεις να διαδέχονται η μία την άλλη
Η. Poincare, Science et Hypothèse
13. La bande a Picasso
Guillaume Apollinaire
Max Jacob
Andre Salmon
Maurice Princet
14. Maurice de Vlaminck: Ήμουν παρών στη γέννηση του κυβισμού, στην
άνθησή του, στην παρακμή του. Ο Picasso ήταν ο μαιευτήρας, ο
Guillaume Apollinaire ήταν η μαμή κι ο Princet ο νονός.
Vlaminck
Derain
Alice Princet - Derain
15. Guillaume Apollinaire
◦ H γεωμετρία είναι για τις πλαστικές τέχνες
ότι και η γραμματική για την τέχνη του
συγγραφέα
◦ Η τέχνη των νέων ζωγράφων έχει ως
ιδεώδες το άπειρο σύμπαν και στην
τέταρτη διάσταση οφείλουμε αυτές τις νέες
προδιαγραφές της τελειότητας.
21. Ανεβαίνοντας τις διαστάσεις…
Ένα τετράγωνο είναι ένα σχήμα 2 διαστάσεων που έχει πλευρές
ίσα ευθύγραμμα τμήματα διάστασης 1, κάθετα μεταξύ τους
Ένας κύβος είναι ένα σχήμα 3 διαστάσεων που έχει πλευρές ίσα
τετράγωνα διάστασης 2, κάθετα μεταξύ τους.
Ένας υπερκύβος είναι ένα σχήμα 4 διαστάσεων που έχει πλευρές
ίσους κύβους διάστασης 3, κάθετους (;) μεταξύ τους.
30. Charles Howard Hinton (1853 – 1907)
1880-1886: Scientific Romances
◦ What is the fourth dimension? (Ghosts Explained)
◦ The Persian King
◦ Stella
◦ An unfinished communication
◦ Α plane world
◦ Α picture of our universe
Tesseract
George
Boole
Ανά – Κατά (w)
Δεξιά – Αριστερά (x)
Πάνω – Κάτω (y)
Εμπρός - Πίσω (z)
31. Robert A. Heinlein (1907-1988): And He Built a Crooked House 1941
THE HOUSE OF THE FUTURE!!!
COLOSSAL—AMAZING—
REVOLUTIONARY
SEE HOW YOUR GRANDCHILDREN
WILL LIVE!
Q. TEAL, ARCHITECT
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40. Η τέταρτη διάσταση ήταν κάτι για το οποίο
συζητούσες χωρίς πραγματικά να ξέρεις τι
είναι
49. z
Καθένα από αυτά τα έργα τέχνης μπορεί να
αποτελέσει πύλη εισόδου προς μια μαθηματική
δραστηριότητα και ταυτόχρονα να φέρει τους
μαθημτές σε επαφή με ένα σημαντικό έργο της
παγκόσμιας πολιτιστικής κληρονομιάς
51. Santa Maria
Maggiore Civita
Castellana
12ος αιώνας
San Clemente
11ος αιώνας
San Lorenzo
fuori le mura
13ος αιώνας
Santi Giovanni e
Paolo
13ος αιώνας
Μεσαιωνικές εκκλησίες της Ρώμης
52. Santa Maria
Maggiore Civita
Castellana
12ος αιώνας
San Clemente
11ος αιώνας
San Lorenzo
fuori le mura
13ος αιώνας
Santi Giovanni e
Paolo
13ος αιώνας
Δάπεδα από εκκλησίες της Ρώμης
53. • Ποιο κοινό στοιχείο έχουν τα διακοσμητικά μοτίβα στα
δάπεδα των τεσσάρων εκκλησιών;
• Περιγράψτε το με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια,
χρησιμοποιώντας αυστηρούς μαθηματικούς όρους
54. • Ένα ισόπλευρο τρίγωνο.
• Ενώνοντας τα μέσα των πλευρών του χωρίζεται σε τέσσερα όμοια ισόπλευρα
τρίγωνα.
• Τρία από αυτά έχουν από μία κορυφή του αρχικού τριγώνου.
• Καθένα από τα «ακριανά» τρίγωνα έχει υποστεί την ίδια διαδικασία.
• Αυτό έχει επαναληφθεί και στα νέα τρίγωνα που προκύπτουν.
55. • Ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα
• Περίμετρος
• Εμβαδόν
• Ομοιότητα
• Λόγος
• Λόγος εμβαδών
• Ακολουθία
56. Πόσες φορές έχει επαναληφθεί η ίδια διαδικασία σε καθένα από τα τέσσερα διακοσμητικά;
Πόσα τρίγωνα περιέχει κάθε γενιά;
Πόσα τρίγωνα θα είχε η πέμπτη γενιά αν την κατασκευάζαμε;
Μπορείτε να σκεφτείτε κάποιο μαθηματικό τύπο που να συνδέει το πλήθος των τριγώνων κάθε
γενιάς με το πλήθος των τριγώνων της προηγούμενης;
Πόσα τρίγωνα υπάρχουν συνολικά μετά
α) το πρώτο βήμα β) το δεύτερο βήμα γ) το τρίτο βήμα δ) το ν-ιοστό βήμα;
62. z
Το χαλί του Sierpinski
Ένα δεύτερο σύνολο, το χαλί του
Sierpiński κατασκευάζεται
εκκινώντας από ένα τετράγωνο
με την ακόλουθη διαδικασία:
Χωρίζουμε το τετράγωνο σε
εννέα ίσα μικρότερα τετράγωνα
και αφαιρούμε το μεσαίο.
Επαναλαμβάνουμε την ίδια
διαδικασία στο καθένα από τα
οκτώ τετράγωνα που απομένουν
κ.ο.κ.
63. z
Φράκταλ
Το τρίγωνο και το χαλί του Sierpiński είναι χαρακτηριστικά παραδείγματα των
μαθηματικών αντικειμένων που ονομάζονται φράκταλ. Ανάλογα αντικείμενα
μπορούμε να θεωρήσουμε και στο χώρο.
65. z
Μορφοκλασματική διάσταση
Αν σε κάθε νέα γενιά παράγονται Μ αντικείμενα από
κάθε αντικείμενο της προηγούμενης γενιάς και αν
κάθε νέο αντικείμενο έχει λόγο ομοιότητας λ ως
προς το προηγούμενο, ορίζουμε ως
μορφοκλασματική διάσταση του τελικού
αντικειμένου τον αριθμό D, τέτοιον ώστε Μ = λ−D
.
69. OΝόμος της παγκόσμιας έλξης
OΝόμοι της κίνησης
OΑπειροστικός λογισμός
OΦύση και διάδοση του φωτός
OΑπόδειξη των νόμων του Kepler
OΤροχιές των κομητών
OΜετάπτωση των ισημεριών
OΠαλίρροιες
OΣχήμα της Γης
70. William Blake
(1757 - 1827)
Άγγλος ποιητής, ζωγράφος, χαράκτης,
εικονογράφος και μυστικιστής.
Πολύπλευρος αλλά εκκεντρικός, χλευάστηκε από
τους σύγχρονούς του.
Σε μια εποχή θριάμβου για την επιστημονική
επανάσταση επέμεινε πεισματικά στο μυστικισμό και
την ιδιότυπη θεολογία του αμφισβητώντας έντονα
την ορθολογική μελέτη της φύσης.
Υπήρξε ιδιαίτερα επικριτικός εναντίον του Νεύτωνα
του Φράνσις Μπέικον και του Τζων Λοκ.
72. Γιατί κατά τη γνώμη σας ο Νεύτων παριστάνεται γυμνός;
Σε ποιο θρύλο της ιστορίας των μαθηματικών παραπέμπουν η
γυμνότητα του Νεύτωνα και το γεγονός ότι μελετά σκυμμένος και
ακουμπώντας στο έδαφος;
76. O Θα μπορούσε το τόξο που χάραξε ο
Νεύτων να είναι ημικύκλιο;
O Πώς χρησιμοποιεί ο Νεύτων τον διαβήτη;
O Ποιο θεώρημα της Ευκλείδειας γεωμετρίας
σχετίζεται με το σχήμα του Νεύτωνα;
77. O Πού βρίσκεται ο Νεύτων κατά τη
γνώμη σας;
O Να συγκρίνετε το αριστερό και το
δεξιό μέρος της εικόνας. Υπάρχει
κάποια αντίθεση;
O Ποιος είναι ο ρόλος του Νεύτωνα
ανάμεσα στα δύο μέρη της εικόνας;
78. Ο Blake που έζησε περίπου έναν αιώνα μετά τον
Νεύτωνα, δεν έκρυβε την αντίθεσή του προς τον
ορθολογισμό και τις ιδέες του διαφωτισμού.
Χαρακτηριστική είναι η φράση του, «Η τέχνη
είναι το δέντρο της ζωής, η επιστήμη είναι το
δέντρο του θανάτου». Θεωρούσε τη θεωρία του
φωτός του Νεύτωνα ως αντίθετη με την
πνευματική θέαση του κόσμου. Την χαρακτήριζε
μονόπλευρη σε αντίθεση με τη δική του τετραπλή
θέαση. Περιέγραφε τον επιστημονικό υλισμό ως
άγονο και αντίθετο προς το πνεύμα.
Στις ερωτήσεις που ακολουθούν να λάβετε υπόψη
σας και αυτό το στοιχείο.
79. Παρατηρήστε τη μύτη, το μάτι και το δεξιό χέρι του
Νεύτωνα. Περιγράψτε τα και εξηγήστε τι συμβολίζουν με
τον τρόπο που έχουν παρασταθεί.
80. Πώς ερμηνεύετε το γεγονός ότι τα
βράχια και τα φυτά βρίσκονται στην
πλάτη του Νεύτωνα ενώ μπροστά του
δεν υπάρχει τίποτα πέρα από τον
πάπυρό του;
Σχολιάστε το γεγονός ότι το πρόσωπο
είναι ασκητικό σε αντίθεση με το σώμα
όπου παριστάνονται και με κάποια
δόση υπερβολής οι έντονα
ανεπτυγμένοι μυς ενός
καλοθρεμμένου ανθρώπου.
81. Urizen: ήρωας της μυθολογίας του Blake, εκπρόσωπος της
παραδοσιακής σοφίας και λογικής
90. Αναζητήστε τα κοινά αντικείμενα στις δύο εικόνες. Ποια από
αυτά δικαιολογούν τον χαρακτηρισμό «γεωμετρία»;
Albrecht Dürer:
Μελαγχολία (1514)
Gregor Reisch
Margarita Philosophica (1503)
93. Γράψτε την ημερομηνία γέννησής σας και δημιουργήστε το
προσωπικό σας μαγικό τετράγωνο
94. Κόλουρο ρομβόεδρο Ρομβόεδρο
Κόψτε δύο μικρά τετράεδρα από δυο απέναντι κορυφές του ρομβόεδρου.
Πόσες έδρες θα έχει το νέο στερεό; Τι σχήμα θα έχουν;
95.
96. Κόψτε τέσσερα ίσα μικρά τετράεδρα από τις κορυφές του αρχικού τετραέδρου
για να δημιουργήσετε ένα κόλουρο τετράεδρο. Πόσες έδρες θα έχει το νέο
στερεό; Τι σχήμα θα έχουν οι έδρες;