«Η ιστορία των μαθηματικών ως πηγή ιδεών για ερευνητικές εργασίες στο Λύκειο».

1. Η Ιστορία των Μαθηματικών
ως πηγή ιδεών για
ερευνητικές εργασίες στο
Λύκειο
Γιάννης Θωμαΐδης
Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών
Νομού Κιλκίς

2. “Ερευνητικές Εργασίες & Μαθηματικά
στο Λύκειο”
Ένα κεντρικό ερώτημα:
Μπορεί ένα αμιγώς μαθηματικό θέμα να
ελκύσει το ενδιαφέρον των μαθητών και
να γίνει αντικείμενο ερευνητικής
εργασίας στο Λύκειο;

3. 3 παραδείγματα από το μακρινό 1999
• Μ. Μυστακίδου, Μ. Νασιούλα & Α.
Σπηλιοπούλου: Ο τύπος του Ήρωνα. 1ο Λύκειο
Ηλιούπολης, Θεσσαλονίκη, Μάιος 1999.
• Λ. Αλεξανδρίδου & Κ. Γκούμα: Η έννοια του
λογάριθμου και οι εφαρμογές της. 1ο Λύκειο
Ηλιούπολης, Θεσσαλονίκη, Μάιος 1999.
• Ε. Καραγιάννη & Χ. Κουκουρίκου: Τι είναι οι
κωνικές τομές; Ορισμός, ιστορία και βασικές
εφαρμογές τους. 1ο Λύκειο Ηλιούπολης,
Θεσσαλονίκη, Μάιος 1999.

4. Μερικές βασικές προϋποθέσεις
Με δεδομένο ότι η πλειοψηφία των μαθητών
εκδηλώνει αρνητική στάση για το μάθημα των
Μαθηματικών, ή ενδιαφέρεται στο βαθμό που
αυτό εμφανίζεται ως “αναγκαίο κακό” για την
εισαγωγή στην τριτοβάθμια εκπαίδευση, είναι
φανερό ότι μια πρόταση ερευνητικής εργασίας
με μαθηματικό περιεχόμενο θα πρέπει να
διαθέτει στοιχεία που αναιρούν τα αρνητικά
χαρακτηριστικά του μαθήματος.

5. Ένα από αυτά μπορεί να είναι το στοιχείο του
“απροσδόκητου” ή της “έκπληξης”, που
προκαλεί αρχικά την περιέργεια, κινητοποιεί
το ενδιαφέρον, τη συζήτηση και καθιστά
αναγκαία κάποια ερευνητική δραστηριότητα.
Το στοιχείο αυτό απουσιάζει από την τυπική
διδασκαλία των Μαθηματικών, στην οποία
κυριαρχεί η αυθεντία του δασκάλου, η απόλυτη
βεβαιότητα για την αλήθεια, η ομοιομορφία της
τυποποιημένης και συμβολικής γλώσσας, η
απουσία οποιασδήποτε αμφισβήτησης.

6. ΘΕΜΑ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
Σχεδίασμα της βιογραφίας μιας ιστορικής
μαθηματικής προσωπικότητας
Το θέμα αυτό βάζει στο στόχαστρο ορισμένες αντιλήψεις
που καλλιεργεί η παραδοσιακή διδασκαλία των
Μαθηματικών:
• Τα Μαθηματικά είχαν πάντοτε την τελειοποιημένη και
οριστική μορφή με την οποία εμφανίζονται στα σχολικά
βιβλία.
• Οι μαθηματικές έννοιες δημιουργήθηκαν από κάποιες
απρόσιτες διάνοιες που εργάζονταν απομονωμένες στα
“φρούρια” της Άλγεβρας, της Γεωμετρίας και της
Ανάλυσης.
• Αυτοί που δημιουργούν τα Μαθηματικά είναι
αλάνθαστοι.

7. Τι διδάσκει η Ιστορία των Μαθηματικών;
Υπάρχουν, αντίθετα, πολλές περιπτώσεις μαθηματικών
του παρελθόντος με τα εξής χαρακτηριστικά:
• Πραγματοποίησαν πολυάριθμες και πολύ σημαντικές
ανακαλύψεις στα Μαθηματικά και τις εφαρμογές τους.
• Είχαν εξαιρετικά ισορροπημένη προσωπική και
κοινωνική ζωή.
• Διατηρούσαν ευρύτατο πλέγμα σχέσεων και
επικοινωνίας με τους επιστήμονες και την πολιτική
εξουσία της εποχής τους.
• Έγραψαν υπέροχα διδακτικά βιβλία, που δεν είναι
καθόλου συμβατά με τα σημερινά κριτήρια αυστηρότητας.
• Έκαναν λάθη, τα οποία θα μπορούσε σήμερα να
διαπιστώσει ακόμη και ένας μαθητής της Α΄ Λυκείου.
Leonhard Euler (1707 – 1783)

8. Το έργο των ομάδων
•Η πρώτη ομάδα θα μελετήσει ορισμένα γεγονότα της παιδικής και
εφηβικής ηλικίας που έπαιξαν καθοριστικό ρόλο στην επιστημονική
εξέλιξη του Euler.
• Η δεύτερη ομάδα θα μελετήσει την ιδιάζουσα σχέση που ανέπτυξε με
σπουδαία επιστημονικά ιδρύματα και κορυφαίους ηγεμόνες του 18ου
αιώνα.
• Η τρίτη ομάδα θα καταγράψει τις επιστημονικές ανακαλύψεις και τους
πολυάριθμους μαθηματικούς όρους που φέρουν το όνομά του.
• Η τέταρτη ομάδα θα μελετήσει τον τρόπο που προσέγγιζε στα βιβλία
του ορισμένες βασικές μαθηματικές έννοιες που διδάσκονται σήμερα
στο Γυμνάσιο και το Λύκειο, και θα προσδιορίσει λάθη που του
αποδίδουν οι σύγχρονοι ιστορικοί των Μαθηματικών.
• Η ολομέλεια θα επιχειρήσει στο τέλος μια σύνθεση, όπου οι
εκπρόσωποι των ομάδων θα συνεργαστούν για να συντάξουν ένα
σχεδίασμα της βιογραφίας του Leonhard Euler.

9. ΘΕΜΑ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
Δημιουργία ενός ερμηνευτικού – ετυμολογικού
λεξικού επιλεγμένων μαθηματικών όρων
Το θέμα αυτό βάζει στο στόχαστρο ένα από τα
αίτια που καθιστούν τα Μαθηματικά δυσνόητα και
αποκρουστικά σε πολλούς μαθητές.
Πέρα από τις δυσκολίες κατανόησης που
προκαλεί η εκτεταμένη και πυκνή συμβολική
γλώσσα, συμβαίνει πολύ συχνά να υπάρχει
μεγάλη αναντιστοιχία ανάμεσα στον ορισμό μιας
μαθηματικής έννοιας και τον όρο που
χρησιμοποιούμε για να την εκφράσουμε.
Δύναμη Ημίτονο Λογάριθμος

10. Το έργο των ομάδων
Εισάγουμε στη δραστηριότητα ένα στοιχείο “παιχνιδιού”,
χωρίζοντας τους μαθητές σε δύο βασικές ομάδες και
αναθέτοντας ρόλους:
Η πρώτη ομάδα (ας υποθέσουμε ότι αποτελείται από
αδιάφορους/μέτριους μαθητές) αναζητά μερικούς
μαθηματικούς όρους που θεωρεί ότι είναι δυσνόητοι και
δημιουργεί έναν κατάλογο.
Τον κατάλογο αυτό παραλαμβάνει η δεύτερη ομάδα (ας
υποθέσουμε ότι αποτελείται από “καλούς” μαθητές) η
οποία αναλαμβάνει να τους ερμηνεύσει έτσι ώστε να
γίνουν κατανοητοί από όλους.
Σε μια κοινή συνεδρίαση, οι ομάδες αποφασίζουν για ένα
σύντομο κείμενο που θα ερμηνεύει – ετυμολογεί κάθε όρο
και επιλέγουν τα μέλη μιας τρίτης, κοινής ομάδας που θα
αναλάβει να συντάξει ένα αντίστοιχο λεξικό.

11. Αναζήτηση όρων με κοινά γνωρίσματα
• Διάμετρος κύκλου στη Γεωμετρία, αλλά και διάμετρος
συνόλου στην Άλγεβρα – Ανάλυση.
• Διάκεντρος δύο κύκλων στη Γεωμετρία.
• Διάμεσος τριγώνου στη Γεωμετρία, αλλά και διάμεσος
ενός δείγματος παρατηρήσεων στη Στατιστική.
• Στη Στατιστική χρησιμοποιούμε επίσης τους όρους
διακύμανση ή διασπορά, διακριτή μεταβλητή, διαλογή
παρατηρήσεων και διάγραμμα συχνοτήτων.
• Διατέμνουσα τριγώνου στη Γεωμετρία.
• Διαγώνιος πολυγώνου και πολυέδρου στη Γεωμετρία,
αλλά και διαγώνιος πίνακας στη Γραμμική Άλγεβρα και
διαγώνια μέθοδος απόδειξης στην Ανάλυση.
• Διάστημα της αριθμητικής ευθείας στην Άλγεβρα –
Ανάλυση.
• Διακρίνουσα εξίσωσης 2ου βαθμού στην Άλγεβρα

12. ΘΕΜΑ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
Γιατί μαθαίνουμε μαθηματικές θεωρίες;
Ένα πολύ ενδιαφέρον και μάλλον προκλητικό
ερώτημα που θα μπορούσε να θέσει κάποιος
μαθητής της Α΄ Λυκείου, με ανεπτυγμένη κριτική
σκέψη, είναι το εξής:
Στο Δημοτικό και το Γυμνάσιο μάθαμε (και
αποδείξαμε) ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε
τριγώνου είναι 180ο. Γιατί στο βιβλίο Ευκλείδειας
Γεωμετρίας της Α΄ Λυκείου χρειάζονται 83 σελίδες
μέχρι να αποδείξουμε πάλι αυτό που ήδη
γνωρίζουμε για να μπορέσουμε να το
χρησιμοποιήσουμε;

13. Η έννοια της απόδειξης στο πλαίσιο μιας
μαθηματικής θεωρίας
Η μαθηματική απόδειξη δεν επαληθεύει “γεγονότα”,
αλλά προτάσεις της μορφής “αν – τότε”.
Ο μαθηματικός δεν αποδεικνύει ένα γεγονός Β, αλλά
μια συνεπαγωγή “Αν Α, τότε Β”.
Π.χ. δεν αποδεικνύουμε ότι όλα τα τρίγωνα έχουν
άθροισμα γωνιών 180ο. Αυτό είναι συνέπεια ορισμένων
υποθέσεων, δηλαδή των αξιωμάτων της Ευκλείδειας
Γεωμετρίας. Αν υποθέσουμε διαφορετικά αξιώματα
καταλήγουμε σε διαφορετικά συμπεράσματα.
Η βεβαιότητα των Μαθηματικών δεν βρίσκεται στα
γεγονότα, αλλά στην εξαγωγή συμπερασμάτων.

14. Το έργο των ομάδων
• Κάθε ομάδα αναλύει τη λογική δομή μιας “νησίδας”
προτάσεων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.
•Οι ομάδες συνεργάζονται και καταγράφουν κοινά
χαρακτηριστικά και προηγούμενες προτάσεις στις
οποίες στηρίζονται οι αποδείξεις των προτάσεων κάθε
νησίδας.
• Δημιουργείται ένα γράφημα ή διάγραμμα ροής που
απεικονίζει την αλληλουχία των προτάσεων της
Ευκλείδειας Γεωμετρίας.

15. Σε κάθε τρίγωνο απέναντι Κάθε πλευρά τριγώνου Να κατασκευαστεί
από την μεγαλύτερη είναι μικρότερη από το τρίγωνο όταν
πλευρά βρίσκεται η άθροισμα των δύο δίνονται οι τρεις
μεγαλύτερη γωνία και άλλων και μεγαλύτερη πλευρές του
αντιστρόφως από τη διαφορά τους
Ευκλείδειο αίτημα
Κάθε εξωτερική γωνία Σε κάθε τρίγωνο το Καὶ ἐὰ ν εἰ ς δύ ο εὐ θεί ας εὐ θεῖ α
τριγώνου είναι άθροισμα δύο ἐ μπί πτουσα τὰ ς ἐ ντὸ ς καὶ ἐ πὶ
μεγαλύτερη καθεμιάς οποιωνδήποτε γωνιών τὰ αὐ τὰ μέ ρη γωνί ας δύ ο ὀ ρθῶ ν
των απέναντι είναι μικρότερο από ἐ λά σσονας ποιῇ , ἐ κβαλλομέ νας
τὰ ς δύ ο εὐ θεί ας ἐ π' ἄ πειρον
εσωτερικών γωνιών δύο ορθές γωνίες συμπί πτειν, ἐ φ' ἃ μέ ρη εἰ σὶ ν αἱ
τῶ ν δύ ο ὀ ρθῶ ν ἐ λά σσονες.
Αν δύο ευθείες τεμνόμενες Αν δύο παράλληλες Το άθροισμα των
από τρίτη σχηματίζουν τις ευθείες τέμνονται από εσωτερικών
εντός εναλλάξ γωνίες ίσες, τρίτη, τότε σχηματίζουν γωνιών κάθε
τότε είναι παράλληλες τις εντός εναλλάξ τριγώνου είναι
γωνίες ίσες ίσο με δύο ορθές