2. Κοιτάξτε το σπίτι στη φωτογραφία αυτή . Διακρίνετε κάποια γνωστά σας σχήματα ? Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο Ένα τρίγωνο Ένα παραλληλόγραμμο Ίσως ένα τετράγωνο Ακόμα και ένα ημικύκλιο Όλα γνωστά σχήματα από την Ευκλείδεια Γεωμετρία
4. Όμως τι γίνεται με τα αντικείμενα του φυσικού κόσμου ; Μπορούν εύκολα να περιγραφούν με Ευκλείδεια σχήματα ;
5. «Γιατί η γεωμετρία συχνά περιγράφεται ως ‘ άχαρη ’ ή ‘ ξερή ’; Ένας λόγος είναι η ανικανότητά της στην περιγραφή του σχήματος ενός σύννεφου, ενός βουνού, μιας ακτογραμμής, ή ενός δένδρου . Τα σύννεφα δεν είναι σφαίρες, τα βουνά δεν είναι κώνοι ,οι ακτογραμμές δεν είναι κύκλοι, και οι φλούδες δεν είναι λείες, ούτε ο κεραυνός ταξιδεύει σε ευθεία γραμμή.» Benoit Mandelbrot, ο πατέρας της fractal γεωμετρίας , από το βιβλίο του The Fractal Geometry of Nature, 1982.
6. Αν και δεν έχουμε ακόμα ορίσει τι είναι ένα fractal, εδώ είναι μερικές fractal αναπαραστάσεις μερικών αντικειμένων που ο Mandelbrot είπε ότι δεν θα ήταν εύκολο να αναπαρασταθούν με την παραδοσιακή γεωμετρία. Αυτό μοιάζει περισσότερο με σύννεφο απ’ ότι αυτό ... Και αυτό μοιάζει πολύ περισσότερο με δένδρο απ’ ότι αυτό !
7.
8. Είναι σχήματα με εσωτερική δομή ανεξάρτητα από το βαθμό μεγέθυνσής τους. Τα Fractals έχουν λεπτομέρεια σε οσοδήποτε μικρή κλίμακα .
9. Ας ξεκινήσουμε με ένα ισόπλευρο τρίγωνο . Ο επαναληπτικός κανόνας μας είναι: Στάδιο 2 Συνεχίζουμε έτσι έως ... Αυτό το σχήμα καλείται Παρέμβυσμα του Sierpinski Για κάθε τρίγωνο , ενώνουμε τα μέσα των πλευρών και μετά αφαιρούμε το τρίγωνο που σχηματίζεται στο κέντρο. Τα Fractals συνήθως προσδιορίζονται με απλές περιοδικά επαναλαμβανόμενες διαδικασίες. Στάδιο 0 Στάδιο 1 Στάδιο n
10. Ανεπάρκεια της Παραδοσιακής Γεωμετρίας Αν και το σχήμα φαίνεται οικείο , το τρίγωνο του Sierpinski δεν είναι τρίγωνο ! Αυτοομοιότητα Μια εικόνα είναι αυτοόμοια αν ένα μέρος της περιέχει σε μικρότερη κλίμακα ένα ακριβές αντίγραφο της ίδιας της εικόνας . Αν επιλέξετε ένα τμήμα της εικόνας, και το μεγεθύνετε στο μέγεθος της εικόνας, θα δείτε ένα ακριβές αντίγραφο της εικόνας ! Τα Fractals είναι τόσο ακανόνιστα ώστε να είναι δυνατή η περιγραφή τους με την παραδοσιακή γεωμετρική γλώσσα. Τα Fractals έχουν κάποιο είδος αυτοομοιότητας . Μεγεθύνοντας επί 4 παίρνουμε ...
11. Ας δούμε ένα άλλο πολύ γνωστό fractal ΄την καμπύλη του Koch. Ο κανόνας επανάληψης γι’ αυτό το fractal είναι : Σε κάθε τμήμα , αφαιρούμε το μεσαίο τρίτο και το αντικαθιστούμε με ένα ανεστραμμένο V το οποίο έχει πλευρές του ιδίου μήκους με εκείνες των τμημάτων που αφαιρέσαμε . Στάδιο 1 Στάδιο 2 Στάδιο 3 Στάδιο 4 Στάδιο 0 Στάδιο 5
12. Αν ενώσουμε τρεις καμπύλες του Koch, παίρνουμε ... Την χιονονιφάδα του Koch!
13. Η αυτοομοιότητα δεν είναι αυτό που κάνει ένα σχήμα fractal! Αρκετά γεωμετρικά αντικείμενα παρουσιάζουν Αυτοομοιότητα. . Για παράδειγμα το τετράγωνο. Τα Fractals έχουν fractal διάσταση
14. Αν πάρετε ένα μικρό τετράγωνο . . . . . . Και το μεγεθύνετε κατά ένα παράγοντα 2 . . . . . . Έτσι θα πάρετε 4 αντίγραφα του αρχικού. Το τετράγωνο είναι αυτοόμοιο αλλά δεν είναι ένα fractal.
15. Αν πάρετε ένα μικρό τετράγωνο . . . . . . Και το μεγεθύνετε κατά ένα παράγοντα 3 . . . . . . Έτσι παίρνετε 9 αντίγραφα του αρχικού .
16. Έστω k ο παράγοντας κλίμακας Έστω Ν ο αριθμός των όμοιων σχημάτων που παίρνετε. Σημειώστε ότι για το τετράγωνο έχουμε : Με άλλα λόγια η διάσταση του τετραγώνου είναι 2
17. Για Αυτοόμοια Σχήματα ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΊΝΑΙ Ο ΕΚΘΕΤΗΣ ΣΤΟΝ ΟΠΟΙΟ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΥΨΩΣΟΥΜΕ ΤΟΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κ ΓΙΑ ΝΑ ΠΑΡΟΥΜΕ ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ Ν ΤΩΝ ΑΥΤΟΟΜΟΙΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
18. Ευθύγραμμο τμήμα Αρχικό Διευρυμένο k = παράγοντας κλιμάκωσης = 2 N = αριθμός όμοιων με το αρχικό = 2 ΔΙΑΣΤΑΣΗ =1
22. 3 Κύβος 2 Τρίγωνο 1 Ευθύγραμμο τμήμα 2 Τετράγωνο Σχήμα Τι μας λέει ο για το σχήμα ;
23. ( Σημειώστε ότι για να έχει νόημα , πρέπει το σχήμα να είναι αυτοόμοιο. Έτσι για αυτοόμοια σχήματα ο Αποτελεί τον ορισμό της διάστασής του . ( Αποδεικνύεται ότι αυτός ο ορισμός συμπίπτει με ένα πολύ περισσότερο γενικό ορισμό της διάστασης η οποία καλείται fractal διάσταση) Σωστά ο: μας λέει για τη διάσταση του σχήματος .
24. Τώρα ας θυμηθούμε τι ήταν τα k και Ν για τη μια πλευρά της Χιονονιφάδας του Koch : k = παράγοντας κλιμάκωσης = 3 N = αριθμός αυτοόμοιων με το αρχικό = 4
25. Έτσι κάθε πλευρά της χιονονιφάδας του Koch είναι 1.261- διάστατη . Αυτό είναι που την κάνει fractal – το γεγονός ότι η διάστασή της δεν είναι ακέραια. Ακόμα και σχήματα που δεν είναι αυτοόμοια μπορεί να είναι fractals. Το πιο φημισμένο από αυτά είναι το σύνολο του Mandelbrot
32. « Όποιος δε θα είναι στο μέλλον εξοικειωμένος με τα fractals, θα θεωρείται επιστημονικά αναλφάβητος» John Wheeler «Τα fractals αιχμαλωτίζουν την υφή της πραγματικότητας» Jeanne Mc Dermott
