1. Ο ΑΡΙΘΜΟΣ
Φ.
Τάξη Α’
Σχολικό Έτος 2012-2013
ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ PROJECT 2012-2013
Ο ΑΡΙΘΜΟΣ
Φ
O ΑΡΙΘΜΟΣ Φ ΚΑΙ Η ΑΡΜΟΝΙΑ ΣΤΗ ΦΥΣΗ.
ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΧΡΥΣΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Φ.

2. ΣΕΛΙΔΑ
1

3. ΜΕΡΟΣ Α
Ο ΑΡΙΘΜΟΣ Φ ΚΑΙ Η ΑΡΜΟΝΙΑ ΣΤΗ ΦΥΣΗ.
Εισαγωγή.
1 Η Χρυσή αναλογία και ο αριθμός Φ.
1.1 Τομή ευθυγράμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο.
1.2 O αριθμός Φ και οι ιδιότητές του.
2
Η Θεία αναλογία στους αριθμούς.
2.1. Leonardo Pisano Bigollo (Fibonacci)
2.2. Ο Fibonacci και το πρόβλημα των κουνελιών.
2.3. H ακολουθία Fibonacci .
2.4 Ιδιότητες της ακολουθίας Fibonacci .
3 Ο Χρυσός Κανόνας στα γεωμετρικά σχήματα.
3.1 Χρυσά Ορθογώνια.
3.2 Χρυσά Τρίγωνα.
3.3 Κανονικό πεντάγωνο.
3.4 Κανονικό δεκάγωνο.
3.5 Χρυσά πολύεδρα.
3.5.1 Κανονικό δωδεκάεδρο.
3.5.2 Κανονικό εικοσάεδρο.
3.6 Λογαριθμικές σπείρες.
3.6.1 Χρυσή Σπείρα από χρυσά ορθογώνια.
3.6.2 Χρυσή Σπείρα από χρυσά τρίγωνα.
4
Ο αριθμός Φ στα φυτά.
4.1 Η ακολουθία Fibonacci και τα πέταλα των λουλουδιών.
4.2 Φυλλοταξία.
4.3 Χρυσές σπείρες στο μίσχο των λουλουδιών.
4.4 Ο αριθμός Φ στα φρούτα.
4.5 Ο αριθμός Φ στα λαχανικά.
ΣΕΛΙΔΑ
2

4. 5 Ο αριθμός Φ στο ζωικό βασίλειο.
5.1 Χρυσές σπείρες στα οστρακοειδή.
5.2 Ο αριθμός Φ στα έντομα.
5.2.1 Ο αριθμός Φ στο γενεαλογικό δέντρο των μελισσών.
5.3 Ο αριθμός Φ στα πτηνά.
5.4 Ο αριθμός Φ στα θηλαστικά .
5.5 Ο αριθμός Φ στους υπόλοιπους κατοίκους της θάλασσας.
6 Ο αριθμός Φ στο ανθρώπινο σώμα.
6.1 Χρυσές αναλογίες στο χέρι.
6.2 Χρυσοί λόγοι στον κορμό.
6.3 Θείες αναλογίες στο ανθρώπινο πρόσωπο.
6.4 Ο αριθμός Φ στα δόντια.
6.5 Μήκη του ιδανικού ανθρώπινου σώματος.
6.6 Ο αριθμός Φ στους καρδιακούς παλμούς του ανθρώπου.
6.7 Ο αριθμός Φ στο ανθρώπινο DNA.
Τέλος Α Μέρους.
ΣΕΛΙΔΑ
3

5. ΜΕΡΟΣ Β
ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΧΡΥΣΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Φ.
Εισαγωγή.
1 Ο αριθμός Φ στην αρχιτεκτονική.
1.1 Ο Φ στην αρχιτεκτονική των αρχαίων χρόνων.
1.1.1 Ο αριθμός Φ στην πρόσοψη του Παρθενώνα .
1.1.2 Ο αριθμός Φ στα Αρχαία θέατρα.
1.1.2.Α Το Θέατρο της Επιδαύρου.
1.1.2 Β Το Αρχαίο Θέατρο της Δωδώνης.
1.1.3 Χρυσή Τομή στην Μεγάλη πυραμίδα του Χέοπα.
1.2. Ο αριθμός Φ στα Μεσαιωνικά κτίρια.
1.2.1 Χρυσές αναλογίες στους μεσαιωνικούς καθεδρικούς ναούς.
1.2.2 Ο αριθμός Φ στο Taj Mahal.
1.2.3 Το «Χρυσό» κάστρο του Windsor.
1.2.4 Το Σινικό Τοίχος.
1.3. Ο αριθμός Φ στην σύγχρονη αρχιτεκτονική.
1.3.1 Farnsnorth House του Μies van de Roche.
1.3.2 O Charles-Édouard Jeanneret (Le Corbusier).
1.3.2.Α Η Villa Stein
1.3.2.Β Τo Unite d' Habitation de Marseill.
1.3.3 Χρυσές αναλογίες στο έργο του Josep Luis Sert.
1.4 Ο αριθμός Φ στην μεταμοντέρνα αρχιτεκτονική.
1.4.1 Το «χρυσό» έργο του Μario Botta.
1.4.2 Ο αριθμός Φ κτήριο του ΟΗΕ στην Νέα Υόρκη - UN BUILDING.
1.4.3 Ο αριθμός Φ στον πύργο τηλεπικοινωνιών του Τορόντο (CN Tower).
ΣΕΛΙΔΑ
4

6. 2 Ο αριθμός Φ στη ζωγραφική.
2.1 Χρυσές αναλογίες στα έργα του Leonardo Da Vinci.
2.1.1 Η «Μόνα Λίζα» .
2.1.2 Το «κεφάλι ενός γέρου» .
2.1.3. O «Άγιος Ιερώνυμος» (Saint Jerome) .
2.1.4 O «Βιτρούβιος άντρας» .
2.1.5. Η «Μαντόνα των βράχων» .
2.1.6 Η «Λύδα και ο κύκνος».
2.2 O ι τρεις Μadonnes.
2.3 Η πεντάλφα του Henry Cornelius Agrippa.
2.4 H Αγία Οικογένεια του Michelangelo.
2.5 H «Σταύρωση» του Raphael.
2.6 «Το Μυστήριο του Μυστικού Δείπνου» του Dali.
2.7 “Bathers at Asnières” (Οι Λουόμενοι ) του George-Pierre Seurat.
2.8 «The Golden Stairs» του Edward Burne Jones.
2.9 «Composition in red yellow and blue-piet» του Mondrian.
2.10 Η Αυτοπροσωπογραφία του Rembrandt.
2.11 «Το πορτρέτο του Luca Pacioli» από τον Jacopo de Darbari.
2.12 Η παρέλαση του Seurat.
2.13 Norham Castle at Sunrise.
3 Ο αριθμός Φ στην γλυπτική.
3.1. Η Αφροδίτη της Μήλου.
3.2 Ο Δορυφόρος του Πολύκλειτου.
3.3 Ο Δαυίδ του Μιχαήλ-Άγγελου.
3.4 Ο Αρλεκίνος των Huan Gris και Zak Lipsits.
ΣΕΛΙΔΑ
5

7. 4 Ο αριθμός Φ στη μουσική.
4.1 Η χρυσή τομή στην κλασική μουσική και στα έργα του Μοτσαρντ.
4.2 Η χρυσή αναλογία στην Μέταλ μουσική. Χρυσή τομή και Lateralus.
4.3. Οι μουσικές συχνότητες και η ακολουθία Fibonacci.
4.4 Μουσικά όργανα που βασίζονται στην χρυσή τομή.
4.4.1. Το βιολί
4.4.2. Το πιάνο.
5 Ο αριθμός Φ στον κινηματογράφο.
5.1 Ο αριθμός Φ στην ταινία «Ο Κώδικας ντα Βίντσι».
5.2 Ο αριθμός Φ στις ταινίες «James Bond».
6 Ο αριθμός Φ στα αυτοκίνητα.
7 Ο αριθμός Φ στον αμυντικό εξοπλισμό.
8 Ο αριθμός Φ στη μόδα.
8.1 Χρυσοί λόγοι στον κόσμο της υψηλής μόδας.
8.2 Ο κώδικας της Μόδας.
9 Ο αριθμός Φ στο χρηματιστήριο.
9.1 Μια Χρυσή περιήγηση στη ΓΟΥΟΛ ΣΤΡΙΤ.
9.2 Κυματική Θεωρία του Elliott (Elliott Wave Theory / EWT).
9.2.1 Ο Σχηματισμός Πέντε Κυμάτων.
9.2.2 Κύκλοι κυμάτων.
9.3 Η Ανάλυση Fibonacci στη μαθηματική θεμελίωση της Κυματικής Θεωρίας του Elliott.
10 Ο αριθμός Φ στις αποστάσεις των μνημείων στην αρχαία Ελλάδα.
11 Ο αριθμός Φ στην Ελληνική Γλώσσα.
12 Ο αριθμός Φ στη φωτογραφία.
13 Ο αριθμός Φ στην οδοντιατρική.
14 Ο αριθμός Φ στα λογότυπα.
Τέλος Β Μέρους.
ΣΕΛΙΔΑ
6

8. ΜΕΡΟΣ Α
ΣΕΛΙΔΑ
7

9. EΙΣΑΓΩΓΗ
Έχετε αναρωτηθεί ποτέ γιατί στο ξεφύλλισμα
<<Μ’ΑΓΑΠΑ- ΔΕΝ Μ’ΑΓΑΠΑ>>
μία κίτρινης
μαργαρίτας το ότι ΣΕ ΑΓΑΠΑ
έχει σχεδόν
εξασφαλιστεί ή τουλάχιστον παίζει με μεγάλες
πιθανότητες;
Αυτό συμβαίνει γιατί οι κίτρινες μαργαρίτες έχουν 21
φύλλα.
Το να έχει ένα άνθος 21 φύλλα δεν είναι ασυνήθιστο.
Δεν είναι τυχαία τα όμορφα σχέδια των λουλουδιών.
Υποστηρίζεται σήμερα, ότι ο Πυθαγόρας παρατήρησε ότι τα φυτά και τα ζώα δεν μεγαλώνουν
τυχαία, αλλά σύμφωνα με ακριβείς μαθηματικούς κανόνες.
Οι αρχαίοι Έλληνες βρήκαν ότι τα σχέδια των λουλουδιών βασίζονται σε γεωμετρική αναλογία.
Αυτή η χρυσή αναλογία θεωρείται θεϊκή και η εφαρμογή της οδηγεί σε κατασκευές με
«άριστα», «αρμονικά» και «ωραία» αποτελέσματα.
ΣΕΛΙΔΑ
8

10. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
ΣΕΛΙΔΑ
9

11. 1.1 Τομή ευθυγράμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο.
Οι Αρχαίοι Έλληνες γεωμέτρες από νωρίς σκέφτηκαν ότι για να συγκρίνουν ικανοποιητικά δύο
μεγέθη χρειάζεται κάποιο τρίτο.
Ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που διαίρεσε ένα ευθύγραμμο τμήμα σε μέσο και άκρο λόγο.
Δηλαδή , χώρισε μια γραμμή σε δύο άνισα τμήματα, έτσι ώστε ο αριθμός που παίρνουμε αν
διαιρέσουμε το μήκος του μεγάλου τμήματος με το μήκος του μικρού να ισούται με τον
αριθμό που παίρνουμε αν διαιρέσουμε το μήκος ολόκληρης της γραμμής με το μήκος του
μεγάλου.
 

 1, 618033988749......
 
Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ=α είναι μεγαλύτερο από το ΒΓ=β τόσες φορές όσες όλο το ΑΓ=α+β
από το ΒΓ, δηλαδή,
 
  


     2   2     2   2  0
 


Η λύση της παραπάνω εξίσωσης ως προς α μας δίνει ότι

1 5

2
Συνεπώς,
  1  5
 
 1, 618033988749... όπου 1,618033988749... είναι και ο αριθμός Φ.
 
2
Την αναλογία αυτή ο Ευκλείδης την ονομάζει «Τομή σε μέσο και άκρο λόγο», συγκεκριμένα
στο σύγκραμα του «ΣΤΟΙΧΕΙΑ» το θέτει ως εξής:
«Να διαιρεθεί ευθύγραμμο τμήμα σε δύο μέρη τέτοια, ώστε το ορθογώνιο που έχει βάση το
δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα και ύψος το μικρότερο από τα δύο τμήματα, να είναι ισοδύναμο
προς το τετράγωνο που έχει πλευρά το άλλο τμήμα»
Μεταγενέστερα , η «Τομή σε μέσο και άκρο λόγο» ονομάστηκε «Θεία Αναλογία» (divina
proportiore) κατά την περίοδο της Αναγέννησης και «Χρυσή Τομή» περίπου στο 1835 από τον
Γερμανό μαθηματικό Martin Ohmn , αδερφό του γνωστού φυσικού .
ΣΕΛΙΔΑ 10

12. ΣΕΛΙΔΑ 11

13. 1.2 O αριθμός Φ και οι ιδιότητές του.
Η διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο θεωρούνταν η πιο τέλεια
αισθητικά, από την αρχαιότητα. Κατά την «Τομή σε μέσο και άκρο λόγο» προκύπτει ο αριθμός
1,618033988749 . . . .
Τι το ιδιαίτερο έχει, λοιπόν, αυτός ο αριθμός; Σε τι διαφέρει από τους άλλους; Όπως ο π
(3,141592...) εκφράζει το πιο τέλειο γεωμετρικό σχήμα, τη σφαίρα, έτσι και ο 1,618033988749
. . . . είναι ο αριθμός της ομορφιάς.
Ο μοναχός του 15ου αιώνα Luca Pacioli, επηρεασμένος από την αντίληψη της εποχής ότι οι
νέες γνώσεις της επιστήμης έπρεπε να ενταχθούν στο εκκλησιαστικό δόγμα, τον ονόμασε «Η
θεία αναλογία». Η ονομασία του «χρυσός αριθμός» αποδίδεται στον Leonardo da Vinci και
αιώνες μετά, στις αρχές του 20ου αιώνα, ο Αμερικανός μαθηματικός Mark Barr τον
προσδιόρισε με το ελληνικό γράμμα Φ, προς τιμήν του γλύπτη Φειδία, ο οποίος με βάση
αυτόν τον αριθμό δημιουργούσε τα έργα του.
Ο Χρυσούς Αριθμός Φ είναι μέγεθος ή αριθμός εν δυνάμει και κατά τον Πλάτωνα βρίσκεται
στον υπερουράνιο τόπο. Οι Αρχαίοι χρησιμοποιούσαν κατά τις μετρήσεις τον αριθμό αυτό.
Στους θεωρητικούς αριθμούς χρησιμοποιούσαν την τιμή Φ=1,62, την οποίαν θεωρούσαν
«Ουράνια Τιμή» ή «αριθμό εν τοις νοητοίς» και προέρχεται από το λόγο 81:50=1,62.
Η «θεία αναλογία» είναι μία από τις μεγαλύτερες ανακαλύψεις της Γεωμετρίας. Φαίνεται ότι
ήδη ίσχυε και ο Πυθαγόρας διατύπωσε κάτι το κοινά χρησιμοποιούμενο και αποδεκτό. Τα
οφέλη από αυτή την διατύπωση του Πυθαγόρα είναι πάρα πολλά. Θεμελιώθηκε η χρυσή
αναλογία σαν αριθμός ώστε να μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε κατασκευές στα μεταγενέστερα
χρόνια γιατί οι αρχαίοι Έλληνες ήδη γνώριζαν, αναπτύχθηκε η θεωρία περί αναλογιών
τμημάτων και πλευρών που οδήγησε στην διατύπωση πληθώρας θεωρημάτων και το
κυριότερο ότι διατυπώθηκε η θεωρία των ιδεών.
Η κυριότερη διαπίστωση είναι ότι το αποτέλεσμα είναι άρρητος αριθμός αφού περιέχει τον

1 5 
αριθμό 5   
 .

2 


Άρρητος είναι ένας αριθμός που δεν μπορούμε να εκφράσουμε ως κλάσμα δύο
ακέραιων. Αυτό δείχνει ότι δεν είναι δυνατόν ένα μικρότερο ευθύγραμμο τμήμα να χωράει σε
ένα μεγαλύτερό του ακριβώς. Συνεπώς υπάρχουν και κάποιοι αριθμοί που η λειτουργία τους
είναι έξω από το ανθρώπινα αντιληπτό και πεδίο ορισμού τους είναι το ιδεατό.
Έτσι ανακαλύφθηκε και η έννοια της ιδέας, την οποία ερεύνησε ο Πλάτων και διατύπωσε την
θεωρία των ιδεών. Είναι φανερό ότι ήξεραν τα πάντα για την χρήση του αριθμού φ γιατί και το
πεντάγραμμα που ήταν το σύμβολο της σχολής των πυθαγορείων υπόκειται σε αυτή την
αναλογία.
ΣΕΛΙΔΑ 12

14. Σε μαθηματικούς όρους, χρυσός αριθμός είναι εκείνος που αν του προσθέσουμε το 1 θα μας
δώσει το ίδιο αποτέλεσμα το οποίο θα έχουμε και αν τον υψώσουμε στο τετράγωνο. Δηλαδή,
αν ο χρυσός αριθμός ήταν το 5, θα έπρεπε να είχαμε το ίδιο αποτέλεσμα είτε κάναμε τον
πολλαπλασιασμό 5 επί 5 είτε κάναμε την πρόσθεση 5 συν 1, που δεν ισχύει.
Στην πραγματικότητα υπάρχουν δύο χρυσοί αριθμοί, ένας θετικός (1,618033...) και ένας
αρνητικός (-1,618033...), αλλά ο πρώτος, δηλαδή ο Φ έχει κλέψει όλη τη δόξα. Όντως, για τον
Φ ισχύει ότι αντίστροφός του και το τετράγωνό του έχουν το ίδιο δεκαδικό μέρος
1
 0, 618033988749...   1, 618033988749... 2  2, 618033988749...

άρα ισχύει ότι
1
 1   και 2  1  

Από τη πρώτη σχέση προκύπτει ότι   1 
1

σύμφωνα με την οποίο μπορούμε να
εκφράσουμε το ως άπειρο διαδοχικό κλάσμα
  1
1
1
 1
 ...  1  1 
1

1
1

1
1
 ...
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

ΣΕΛΙΔΑ 13

15. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
ΣΕΛΙΔΑ 14

16. 2.1 Leonardo Pisano Bigollo (Fibonacci)
Ο Ιταλός Leonardo Pisano Bigollo αναγνωρίζεται σήμερα ως ο
μεγαλύτερος μαθηματικός του μεσαίωνα γνωστός στην ιστορία
των μαθηματικών με πολλά ονόματα όπως Leonardo of Pisa
(Pisano σημαίνει "από την Pisa") και Fibonacci (το οποίο σημαίνει
"γιός του Bonacci").
Ο Fibonacci γεννήθηκε στην δεκαετία του 1.170 . Ηταν ο γιος
ενός ιταλού τελωνιακού υπάλληλου από την πόλη της Πίζας και
μεγάλωσε σε μια αποικία στη Βόρεια Αφρική, την πόλη Bugia,
κατά τη διάρκεια του Μεσαίωνα.
Leonardo Pisano Bigollo
(1170 -1250)
Εκείνη την περίοδο οι Ιταλοί ήταν από τους ικανότερους
εμπόρους του δυτικού κόσμου και χρειάζονταν την αριθμητική
για την παρακολούθηση των εμπορικών συναλλαγών τους. Όμως , οι μαθηματικοί
υπολογισμοί που απαιτούνταν γίνονταν με το ρωμαϊκό σύστημα αρίθμησης (I, II, III, IV, V, VI,
κλπ.), σύστημα που είναι δύσκολο στην πρόσθεση, την αφαίρεση, τον πολλαπλασιασμός και
την διαίρεση .
Ο Fibonacci επηρεάστηκε σημαντικά από τους Μαυριτανούς αλλά και από τα ταξίδια που
έκανε αργότερα σε όλο το μήκος της Μεσογειακής ακτής. Έτσι γνώρισε πολλούς εμπόρους και
έμαθε τα αριθμητικά συστήματα τα οποία χρησιμοποιούσαν για τις συναλλαγές και τους
λογαριασμούς τους και σύντομα διαπίστωσε τα πλεονεκτήματα του Ινδό-αραβικού
αριθμητικού συστήματος, το οποίο είναι το αριθμητικό δεκαδικό σύστημα που
χρησιμοποιούμε σήμερα .
Το 1202 έκδωσε το διάσημο βιβλίο του « Liber Abaci » (που σημαίνει "το βιβλίο του άβακα"
αν και δεν είχε καμιά σχέση με τον άβακα).
Με το « Liber Abaci » έδειξε την ανωτερότητα του
Ινδό-αραβικού αριθμητικού συστήματος από το
ρωμαϊκό και έγινε από τους πρώτους που το
εισήγαγαν στην Ευρώπη .
Στον μαθηματικό κλάδο έμεινε γνωστός για την
συμβολή του στον διαφορικό και ολοκληρωτικό
λογισμό και για τους αριθμούς του, οι οποίοι
ήταν το αποτέλεσμα ενός μαθηματικού
προβλήματος για εκτροφή κουνελιών που έθεσε
στο « Liber Abaci ». Μια ακολουθία αριθμών για
τους οποίους η φύση παρουσιάζει ιδιαίτερη προτίμηση , γεγονός που ακόμα και σήμερα δεν
είναι πλήρως κατανοητό.
ΣΕΛΙΔΑ 15

17. Πέθανε το 1240 .Άγαλμά του υπάρχει στο νεκροταφείο, δίπλα στον καθεδρικό ναό της Pisa,
κοντά στον περίφημο πύργο. Το όνομά του έχει δοθεί σε δύο δρόμους, στην Pisa και στην
Φλωρεντία.
Μια σελίδα του « Liber Abaci ».
ΣΕΛΙΔΑ 16

18. 2.2 Ο Fibonacci και το πρόβλημα των κουνελιών.
Το πρόβλημα που μελέτησε ο Fibonacci και τον οδήγησε μάλλον τυχαία στον ορισμό της
Ακολουθίας του, αφορούσε την αναπαραγωγή των κουνελιών . Το ερώτημα που έθεσε στο
βιβλίο του « Liber Abaci » ήταν το εξής:
«Αν δεχτούμε ότι τα κουνέλια ζευγαρώνουν στην ηλικία του ενός μήνα και ο χρόνος κυήσεως
είναι ένα μήνας πόσα κουνέλια θα έχουμε σε ένα χρόνο αν ξεκινήσουμε με ένα νεογέννητο
ζευγάρι κουνελιών (ένα αρσενικό και ένα θηλυκό);»
Για να μελετήσει αυτό το πρόβλημα έκανε τις εξής συμβάσεις:

Τα κουνέλια ποτέ δεν πεθαίνουν.

Η ηλικία γονιμοποίησης για κάθε ζευγάρι είναι ένας μήνας , οπότε και ξεκινούν το
ζευγάρωμα.

Ο χρόνος κύησης είναι ένας μήνας και κάθε ζευγάρι γεννά πάντα στον ένα μήνα άλλο
ένα ζευγάρι.
Ας δούμε λοιπόν βήμα προς βήμα πόσα κουνέλια θα έχουμε σε ένα χρόνο:
1.
Στο τέλος του πρώτου μήνα το ζευγάρι ζευγαρώνει , αλλά τα ζευγάρια είναι ακόμα ένα.
2.
Στο τέλος του δεύτερου μήνα το θηλυκό γεννά ένα νέο ζευγάρι , έτσι έχουμε δύο ζευγάρια
κουνελιών.
3.
Στο τέλος του τρίτου μήνα το αρχικό ζευγάρι γεννά ξανά ένα νέο ζευγάρι κουνελιών ενώ το
δεύτερο ζευγαρώνει και συνεπώς τα ζευγάρια μας είναι τρία.
4.
Στο τέλος του τέταρτου μήνα το αρχικό ζευγάρι γέννησε ακόμα ένα ζευγάρι αλλά και το
δεύτερο ζευγάρι γέννησε και αυτό ένα ζευγάρι και έτσι έχουμε στον αγρό πέντε ζευγάρια .
5.
Έτσι , στο τέλος του πέμπτου μήνα θα έχουμε 8 ζευγάρια , τον επόμενο δεκατρία κ.τ.λ.
ΣΕΛΙΔΑ 17

19. Συνεπώς, το πλήθος των ζευγαριών των κουνελιών στην αρχή κάθε μήνα θα είναι:
1,1,2,3,5,8,13,21,34, …
Παρατηρήστε ότι κάθε αριθμός στην Ακολουθία είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων.
Αυτό είναι λογικό να συμβαίνει μια και στην αρχή κάθε μήνα έχουμε τα ζευγάρια που είχαμε
τον προηγούμενο μήνα και επιπλέον τόσα νεογέννητα ζευγάρια όσα και ενήλικα ζευγάρια
γονέων έχουμε. Επομένως , αν αναλογιστούμε ότι ένα ζευγάρι γίνονται γονείς από τον
δεύτερο μήνα και μετά ,το πλήθος των γονέων-ζευγαριών (ίσο όπως είπαμε με το πλήθος των
νεογέννητων ζευγαριών) είναι ίσο με το πλήθος των ζευγαριών που είχαμε τον προπροηγούμενο μήνα.
Θα παρατηρήσει κανείς ότι το πρόβλημα με τα κουνέλια που μελέτησε ο Fibonacci δεν είναι
και τόσο ρεαλιστικό : Τα κουνέλια φυσικά κάποτε πεθαίνουν και δεν υπάρχει κανένας λόγος τα
νεογέννητα κουνέλια να είναι πάντοτε ζευγάρι (αρσενικό- θηλυκό) , ούτε και να ζευγαρώνει
πάντα το θηλυκό με το δίδυμο αδερφό του.
ΣΕΛΙΔΑ 18

20. 2.3 H ακολουθία Fibonacci .
Ο Fibonacci ξεκινώντας από ένα πρόβλημα αναπαραγωγής κουνελιών κατέληξε στην
αριθμητική ακολουθία
1, 1 , 2, 3, 5, 8, 13, 21,34,55,89, 144, 233, 377, 610 ,987, 1597, 2584,4181, ..
της οποία ο κάθε όρος είναι ίσος με το άθροισμα των δύο προηγούμενων , η οποία
ονομάστηκε Ακολουθία Fibonacci .
Η ακολουθία Fibonacci δημιουργεί μία ακολουθία αριθμών που ονομάζονται αριθμοί
Fibonacci και ορίζονται από τον εξής αναδρομικό τύπο:
a  a 1  a 2 όπου a1  a2 1
Σύμφωνα με τα παραπάνω , θεωρώντας ως πρώτο και δεύτερο όρο της ακολουθίας
Fibonacci τον αριθμό 1 οι υπόλοιποι όροι της ακολουθίας προκύπτουν ως εξής:
1
1
2=1+1,
3=2+1,
5=3+2,
8=5+3,
13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597
ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΙΖΕΙ ΕΠ’ ΑΠΕΙΡΟΝ.
ΣΕΛΙΔΑ 19

21. Μια σελίδα του « Liber Abaci ».από την Biblioteca Nazionale di Firenze στην οποία
παρουσιάζονται (στα δεξιά) οι αριθμοί της ακολουθίας Fibonacci.
ΣΕΛΙΔΑ 20

22. 2.4 Ιδιότητες της ακολουθίας Fibonacci .
Το 1753, ο μαθηματικός Robert Simpson του Πανεπιστημίου της Γλασκόβης ανακάλυψε, ότι
ο λόγος δύο διαδοχικών αριθμών της ακολουθίας Fibonacci προσεγγίζει την αποκαλούμενη
Χρυσή Τομή με μεγάλη ακρίβεια καθώς προχωράμε σε μεγαλύτερους όρους της ακολουθίας.
Αυτή η ιδιότητα ανακαλύφθηκε το 1611 από το Γερμανό μαθηματικό και αστρονόμο
Johannes Kepler (1571-1630), αλλά πέρασαν πάνω από εκατό χρόνια πριν αποδειχθεί η σχέση
μεταξύ της ακολουθίας και του Χρυσού Λόγου από τον Σκωτσέζο μαθηματικό Ρόμπερτ Σίμσον.
Μια άλλη ιδιότητα της Fibonacci είναι ότι κάθε δύο διαδοχικοί όροι της είναι πρώτοι μεταξύ
τους (πρώτοι μεταξύ τους είναι δύο αριθμοί που ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους είναι η
μονάδα ).
Ακόμα, οι αριθμοί Fibonacci εμφανίζονται στο τρίγωνο του Pascal. Παρατηρώντας το σχήμα
θα δείτε ότι το άθροισμα των αριθμών κάθε μιας διαγωνίου δίνει έναν αριθμό Fibonacci.
ΣΕΛΙΔΑ 21

23. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3
ΣΕΛΙΔΑ 22

24. 3.1 Χρυσά Ορθογώνια.
Ένα ορθογώνιο τετράπλευρο του οποίου στο οποίο ο λόγος της
μεγάλης πλευράς του προς τη μικρή είναι ίσος με τον λόγο τη μικρής
προς την διαφορά των πλευρών ονομάζεται χρυσό ορθογώνιο ή
ορθογώνιο Fibonacci. Ένα ορθογώνιο τετράπλευρο του οποίου ο
λόγος των πλευρών είναι ίσος με 1/Φ ονομάζεται «Χρυσό»
ορθογώνιο.
Πως κατασκευάζουμε ένα χρυσό ορθογώνιο
1. Ξεκινούμε από το τετράγωνο ΑΒΓΔ και παίρνουμε τα μέσα Μ,Ν των απέναντι πλευρών του
ΔΓ,ΑΒ.
2. Με κέντρο Ν και ακτίνα ΝΓ (που είναι διαγώνιος του παραλληλογράμμου ΜΝΒΓ γράψαμε
τόξο που τέμνει την προέκταση της ΑΒ στο Ε.
3. Φέρνουμε την κάθετη της ΑΕ στο Ε που τέμνει την προέκταση της ΔΓ στο Ζ. Το ΔΖΕΑ είναι το
ζητούμενο ορθογώνιο.
Βημα
Βήμα 2
Βήμα 3
Χρυσό Ορθογώνιο
Κάθε «Χρυσό» ορθογώνιο έχει μία ξεχωριστή ιδιότητα:
Αν αφαιρέσουμε από την μία πλευρά το μεγαλύτερο δυνατό τετράγωνο απομένει ένα
καινούργιο ορθογώνιο που είναι επίσης «Χρυσό» κοκ …
ΣΕΛΙΔΑ 23

25. 3.2 Χρυσά τρίγωνα.
Χρυσό Τρίγωνο λέγεται κάθε ισοσκελές τρίγωνο στο οποίο ο λόγος της μεγάλης πλευράς προς
τη μικρότερη είναι ίσος με Φ.
Υπάρχουν δύο ειδών χρυσά τρίγωνα και τα δύο ισοσκελή, ένα αμβλυγώνιο και ένα οξυγώνιο.
Στο αμβλυγώνιο τρίγωνο, ο λόγος της βάσης του προς μια από τις ίσες πλευρές του είναι ίσος
με το Φ, ενώ στο οξυγώνιο ισχύει το αντίστροφο: ο λόγος μιας από τις ίσες πλευρές του προς
την βάση του είναι ίσος με το Φ.
Χρυσό ισοσκελές
Χρυσό αμβλυγώνιο
Τα δύο τρίγωνα συνδέονται μεταξύ τους γιατί διαιρώντας σε μέσο και άκρο λόγο μια από τις
ίσες πλευρές στο οξυγώνιο ή την βάση στο αμβλυγώνιο προκύπτουν δύο μικρότερα χρυσά
τρίγωνα ένα αμβλυγώνιο ή ένα οξυγώνιο αντίστοιχα. Αυτό είναι πιο κατανοητό αν σκεφτούμε
ότι το αμβλυγώνιο έχει γωνίες 36ο, 36ο και 108ο ενώ το οξυγώνιο έχει γωνίες 72ο, 72ο και 36ο.
Αν διαιρέσουμε την πλευρά ΑΓ του χρυσού οξυγώνιου τριγώνου ΑΒΓ σε
 
μέσο και άκρο λόγο

  τότε προκύπτει το χρυσό αμβλυγώνιο
 
τρίγωνο ΑΔΒ.
Αν διαιρέσουμε την βάση ΒΓ του χρυσού
αμβλυγώνιου τριγώνου σε μέσο και άκρο λόγο
 

  τότε προκύπτει το χρυσό οξυγώνιο
 
τρίγωνο ΑΔΒ.
ΣΕΛΙΔΑ 24

26. 3.3 Κανονικό πεντάγωνο.
Στο κανονικό πεντάγωνο η χρυσή τομή παίζει ένα μεγάλο ρολό.
Κάθε διατομή των γωνιών τέμνει τις άλλες γωνίες σε αναλόγια χρυσής
τομής.
Ακόμα, η αναλόγια του μήκους του μικρότερου τμήματος προς το
τμήμα που οριοθετείται από 2 γωνίες ισούται με Φ.
Το κανονικό πεντάγωνο περιλαμβάνει 10 χρυσά τρίγωνα 5 οξυγώνια και 5
αμβλυγώνια.
Τα τρίγωνα αυτά σχηματίζουν το σύµβολο της σχολής των Πυθαγορείων ,ένα αστέρι µε πέντε
κορυφές εγγεγραμμένες σε ένα κανονικό πεντάγωνο. Οι διαγώνιοι (ή αλλιώς
βραχίονες του αντίστοιχου πεντάκτινου αστέρα) του κανονικού πενταγώνου που
σχηµατίζουν το αστέρι τέμνουν η μία την άλλη βάσει της χρυσής αναλογίας αφού κάθε σηµείο
τοµής των διαγωνίων διαιρεί τις διαγωνίους σε δύο τµήµατα άνισα που έχουν λόγο Φ=
1,618033988749894848204586834 , αυτός ο λόγος είναι το πηλίκο της διαγωνίου προς το
µμεγαλύτερο τµήµα αλλά και του µμεγαλύτερου τµήµατος προς το µικρότερο.
Ακόμα, οι διαγώνιοι του κανονικού πενταγώνου επιπλέον τέµνονται µεταξύ τους έτσι ώστε να
σχηµατίζουν ένα µικρότερο αντεστραμμένο κανονικό πεντάγωνο, στο οποίο αν φέρουµε τις
διαγωνίους σχηµατίζεται ένα µικρότερο αστέρι κ.ο.κ. Το όλο σχήµα τώρα εµφανίζει ορισµένες
συναρπαστικές ιδιότητες που αποτέλεσαν τη βάση της κορυφαίας αισθητικής αρµονίας στο
χώρο των κατασκευών και της διακοσµητικής γενικά.
ΣΕΛΙΔΑ 25

27. Για παράδειγμα στο κανονικό πεντάγωνο με πλευράς 1 του σχήματος ισχύει ότι:
 Το μήκος του κόκκινου ευθύγραμμου τμήματος α είναι Φ.
 Tο μήκος του μπλε ευθύγραμμου τμήματος β είναι
1
 1  .

 Tο μήκος του κίτρινου ευθύγραμμου τμήματος γ είναι 1.
 Tο μήκος του πράσινου ευθύγραμμου τμήματος δ, είναι
2
2
1
2
   1     1  2    1  2  1     2  


 Επίσης, οι λόγοι
   1
   
   
Τέλος, η χρυσή αναλόγια σε ένα κανονικό πεντάγωνο μπορεί να επαληθευτεί από το θεώρημα
του Πτολεμαίου στο τετράπλευρο που σχηματίζεται εάν αφαιρέσουμε μια από τις κορυφές.
ΣΕΛΙΔΑ 26

28. 3.4 Κανονικό δεκάγωνο.
Είναι φανερό ότι το κανονικό δεκάγωνο θα διαιρείται από τις ακτίνες του σε δέκα χρυσά
τρίγωνα .
ΣΕΛΙΔΑ 27

29. 3.5 Χρυσά πολύεδρα.
Ο Χρυσός Λόγος παίζει κρίσιμο ρόλο στις διαστάσεις και στις ιδιότητες συμμετρίας κάποιων
Πλατωνικών στερεών . Συγκεκριμένα ανάμεσα στα πέντε Πλατωνικά στερεά, υπάρχουν και δύο που
συνδέονται με το κανονικό πεντάγωνο και την χρυσή τομή. Είναι το κανονικό δωδεκάεδρο που οι έδρες
του είναι κανονικά πεντάγωνα, και το δυϊκό του, το κανονικό εικοσάεδρο που ανά πέντε ισόπλευρα
τρίγωνα ενώνονται για να σχηματίσουν ένα σχεδόν σφαιρικό πολύεδρο.
ΣΕΛΙΔΑ 28

30. 3.5.1 Κανονικό δωδεκάεδρο.
Στη στερεοτυπία δωδεκάεδρο είναι το πολύεδρο που έχει δώδεκα έδρες. Το κανονικό
δωδεκάεδρο ανήκει στα Πλατωνικά στερεά, που έχει για έδρες συνολικά δώδεκα κανονικά
πεντάγωνα, που ενώνονται ανά τρία σε κάθε κορυφή του.
Η σχέση του δωδεκαέδρου με τον αριθμό Φ συναντάται και στα γεωμετρικά χαρακτηριστικά
του . Συγκεκριμένα στην απόσταση των κορυφών του από το κέντρο του, την απόσταση των
εδρών του από το κέντρο του και την απόσταση των ακμών του από το κέντρο του. Ο
συμβολισμός του αριθμού Φ στους τύπους των τριών αυτών γεωμετρικών χαρακτηριστικών,
όπως είδαμε, γίνεται με το γράμμα φ.
Γεωμετρικά χαρακτηριστικά κανονικού δωδεκάεδρου
Αν
είναι το μήκος της ακμής του δωδεκαέδρου, τότε:
Ακτίνα περιγεγραμμένης
σφαίρας
(απόσταση κορυφών από
το κέντρο)
Ακτίνα εγγεγραμμένης
σφαίρας
(απόσταση εδρών από το
κέντρο)
Απόσταση ακμών από το
κέντρο
Συνολική επιφάνεια
Όγκος
ΣΕΛΙΔΑ 29

31. 3.5.2 Κανονικό εικοσάεδρο.
Στη στερεομετρία εικοσάεδρο λέγεται το πολύεδρο το οποίο έχει είκοσι έδρες. Το κανονικό
εικοσάεδρο ανήκει στα Πλατωνικά στερεά, που έχει για έδρες συνολικά είκοσι ισόπλευρα
τρίγωνα, που ενώνονται ανά πέντε σε κάθε κορυφή του.
Η σχέση του εικοσαέδρου με τον αριθμό Φ συναντάται στην απόσταση των κορυφών του από
το κέντρο του, την απόσταση των εδρών του από το κέντρο του και την απόσταση των ακμών
του από το κέντρο του. Ο συμβολισμός του αριθμού Φ στους τύπους των τριών αυτών
γεωμετρικών χαρακτηριστικών γίνεται με το γράμμα φ.
Γεωμετρικά χαρακτηριστικά κανονικού εικοσαέδρου
Αν
είναι το μήκος της ακμής του εικοσαέδρου, τότε:
Ακτίνα περιγεγραμμένης σφαίρας
(απόσταση κορυφών από το κέντρο)
Ακτίνα εγγεγραμμένης σφαίρας
(απόσταση εδρών από το κέντρο)
Απόσταση ακμών από το κέντρο
Συνολική επιφάνεια
Όγκος
ΣΕΛΙΔΑ 30

32. 3.6 Λογαριθμικές σπείρες.
Οι πραγματικά ενδιαφέρουσες εφαρμογές του Φ ξεκινούν από την κατασκευή ενός άλλου
γεωμετρικού σχήματος, που ονομάζεται Λογαριθμική Σπείρα ή Χρυσή Σπείρα.
Η μοναδική ιδιότητα της λογαριθμικής σπείρας είναι το γεγονός ότι το σχήμα της δεν αλλάζει
όσο κι αν μεγαλώνει το μέγεθός της. Αυτό το χαρακτηριστικό είναι γνωστό ως αυτο-ομοιότητα.
Εντυπωσιασμένος από την ιδιότητα αυτή, ο Ιάκωβος Μπερνουγι έγραψε ότι η λογαριθμική
σπείρα
«μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως σύμβολο, είτε της σθεναρότητας είτε της συνέχειας στην
εναντιότητα, ή του ανθρώπινου σώματος, το οποίο μετά από όλες τις αλλαγές, ακόμη και μετά τον
θάνατο, θα επανέλθει στον ακριβή και τέλειο εαυτό»
Έτσι ζήτησε να χαραχτεί στον τάφο του αυτό το σχήμα μαζί με την επιγραφή: «Eadem mutato
resurgo» (αν και αλλαγμένος, ανυψώνομαι πάλι ίδιος).
Υπάρχουν δύο είδη χρυσών σπειρών. Η μία βασίζεται σε διαδοχικά χρυσά ορθογώνια που το
ένα περιέχει το άλλο και η άλλη σε διαδοχικά χρυσά οξυγώνια τρίγωνα, που και εδώ, το ένα
περιέχει το άλλο.
Υπάρχει ακόμα μια ιδιότητα στη λογαριθμική σπείρα. Αυξανόμενη με συσσώρευση από το
εσωτερικό της, η λογαριθμική σπείρα αναπτύσσεται όσο αυξάνεται η απόσταση μεταξύ των
«σπειρών» της, καθώς απομακρύνεται από την πηγή, γνωστή ως πόλος. Πιο συγκεκριμένα,
γυρίζοντας σε ίσες γωνίες αυξάνει την απόσταση από τον πόλο σε ίσους λόγους. Εάν
μπορούσαμε, με τη βοήθεια ενός μικροσκοπίου, να μεγεθύνουμε τις σπείρες που είναι
αόρατες στο γυμνό μάτι στο μέγεθος του σχήματος, θα ταίριαζαν απόλυτα στη μεγαλύτερη
σπείρα. Η ιδιότητα αυτή την ξεχωρίζει από μια κοινή σπείρα ,γνωστή ως Αρχιμήδεια σπείρα.
Ονομάστηκε έτσι από τον μεγάλο Έλληνα μαθηματικό Αρχιμήδη, ο οποίος την περιέγραψε
εκτεταμένα στο βιβλίο του «Περί Ελίκων».
Σαν αποτέλεσμα ενός λάθους, το οποίο σίγουρα θα προκαλούσε θλίψη στον Ιάκωβο
Μπερνουγί, ο τεχνίτης που κατασκεύασε την ταφόπλακά του, χάραξε πιθανότατα την
Αρχιμήδεια σπείρα.
ΣΕΛΙΔΑ 31

33. 3.6.1 Χρυσή Σπείρα από χρυσά ορθογώνια.
Η σπείρα αυτή μας θυμίζει αρκετά την σπείρα του Fibonacci. Και πραγματικά, οι δύο
σπείρες είναι περίπου ίδιες. Θα δούμε όμως, ότι υπάρχει μια ουσιαστική διαφορά στην
κατασκευή της χρυσής σπείρας. Τώρα ξεκινάμε από ένα χρυσό ορθογώνιο, και προχωράμε
προς τα μέσα, «κόβοντας» τετράγωνα, πορεία δηλαδή ακριβώς αντίστροφη από αυτή που
είχαμε στην κατασκευή της σπείρας του Fibonacci. (Αν θυμόμαστε, ξεκινούσαμε από ένα
τετράγωνο, και το επεκτείναμε προς τα έξω σχηματίζοντας διαδοχικά ορθογώνια.) Αλλά ας
δούμε την κατασκευή βήμα προς βήμα:
Βήμα 1ο: Ξεκινάμε με ένα χρυσό ορθογώνιο. Φέρνουμε μια κάθετη γραμμή για να το
χωρίσουμε σε τετράγωνο και ένα μικρότερο χρυσό ορθογώνιο.
Βήμα 2ο: Το μικρότερο ορθογώνιο που σχηματίστηκε από το βήμα 1, το χωρίζουμε και αυτό
με τον ίδιο τρόπο σε ένα τετράγωνο και ένα ακόμα πιο μικρό χρυσό ορθογώνιο.
Βήμα 3ο: Επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα βήματα αρκετές φορές, ώστε να πάρουμε έναν
σχηματισμό με πολλά διαδοχικά τετράγωνα που μικραίνουν συνεχώς, στο εσωτερικό του
χρυσού ορθογωνίου.
Βήμα 4ο: Τέλος διαγράφουμε τεταρτοκύκλια στα τετράγωνα που σχηματίστηκαν. Το
αποτέλεσμα είναι μία χρυσή σπείρα που με μεγάλη ικανοποίηση διαπιστώνουμε ότι
προσεγγίζει ακόμα καλύτερα την σπείρα στο κέλυφος του ναυτίλου, από ότι η σπείρα του
Fibonacci.
Βήμα 1
Βήμα 2
Βήμα 3
Βήμα 4
ΣΕΛΙΔΑ 32

34. 3.6.2 Χρυσή Σπείρα από χρυσά τρίγωνα.
Η διαδικασία είναι ανάλογη με την προηγούμενη κατασκευή. Σχεδόν ή μόνη διαφορά είναι
ότι ξεκινάμε με ένα χρυσό οξυγώνιο τρίγωνο το οποίο το διαιρούμε συνεχώς σε άλλα
μικρότερα χρυσά τρίγωνα ,ένα οξυγώνιο και ένα αμβλυγώνιο .
Βήμα 1
Βήμα 2
Βήμα 3
Βήμα 5
Βήμα 6
Βήμα 7
Βήμα 4
Βήμα 8
Στο βήμα 1 η διαίρεση του χρυσού τριγώνου σε δύο μικρότερα χρυσά τρίγωνα γίνεται
απλώς με το να πάρουμε τμήμα στην μία πλευρά του, αρχίζοντας από την κορυφή, που είναι
ίσο με τη βάση του τριγώνου.
Η διαίρεση αυτή επαναλαμβάνεται στα επόμενα βήματα, σε κάθε νέο σχηματιζόμενο
οξυγώνιο χρυσό τρίγωνο έως ότου καταλήξουμε στο βήμα 7.
Τελικά, στο βήμα 8 διαγράφουμε τόξα κύκλων με κέντρα τις κορυφές των χρυσών
οξυγωνίων τριγώνων, και ακτίνα μία πλευρά τους.
ΣΕΛΙΔΑ 33

35. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4
ΣΕΛΙΔΑ 34

36. 4.1 Η ακολουθία Fibonacci και τα πέταλα των λουλουδιών.
Όπως προαναφέραμε ο αριθμός Φ εμφανίζεται στον αριθμό των πετάλων των λουλουδιών.
Συγκεκριμένα, παρατηρώντας τα πέταλα των λουλουδιών θα ανακαλύψουμε ότι το
αγριόκρινο έχει 3 πέταλα , κάποια φυτά του γένους ranunculus έχουν 5 ή 8 πέταλα , οι άσπρες
μαργαρίτες καθώς και ορισμένοι κατιφέδες έχουν 21 πέταλα , το τριαντάφυλλο και η
καλέντουλα είναι άνθη τα οποία έχουν 34 πέταλα αλλά και ότι οι περισσότερες μαργαρήτες
και οι ηλίανθοι έχουν 34, 55 ή 89 πέταλα.
Οι αριθμοί αυτοί δεν είναι παρά ο 2ος , ο 3ος , 4ος , 8ος , 9ος , 10ος , 11ος και 12ος όρος της
ακολουθίας Fibonacci.
Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι ο αριθμός των πετάλων ενός λουλουδιού ταυτίζεται με έναν όρο
της ακολουθίας Fibonacci .
‘Όμως υπάρχουν και άνθη που δεν ακολουθούν τον παραπάνω κανόνα . Για παράδειγμα ένα
άνθος μπορεί να έχει 55 φύλλα ή 89 φύλλα , όπως το εκατόφυλλο τριαντάφυλλο, ή 4 φύλλα
όπως το τετράφυλλο τριφύλλι.
Αυτά τα λουλούδια αποτελούν εξαίρεση του κανόνα ; Για να απαντήσετε σε αυτό το ερώτημα
αρκεί να σκεφτείτε γιατί τα τετράφυλλα τριφύλλια είναι πολύ σπάνια, μπορεί γιατί το 4 δεν
είναι όρος της ακολουθίας Fibonacci.
Συγκεκριμένα , υπάρχουν δύο κατηγορίες φυτών οι οποίες δεν ακολουθούν τον παραπάνω τον
κανόνα.
Υπάρχουν φυτά των οποίων ο αριθμός των πετάλων είναι το διπλάσιο ενός όρου της
ακολουθίας Fibonacci ή φυτά που ο αριθμός των πετάλων τους είναι όρος της σειράς Lucas
(2,1,3,4,7,11,18,29,46 κ.τ.λ.) η οποία είναι μια «παραλλαγή» της ακολουθίας Fibonacci
ΣΕΛΙΔΑ 35

37. Παρακάτω σας δίνουμε μια λίστα από λουλούδια μαζί με τον αριθμό των πετάλων τους:
Λουλούδια
Αριθμός
πετάλων
Calla lily
1
Euphorbia
2
Trillium
Φωτογραφία
3
( ή δύο σετ από
3)
ΣΕΛΙΔΑ 36

38. Κρίνος
3
( ή δύο σετ από
3)
iris
Βιολέτα
5
( ή δύο σετ από
5)
Buttercup
ΣΕΛΙΔΑ 37

39. Wild rose
5
( ή δύο σετ από
5)
Larkspur
Columbine
(aquilegia)
ΣΕΛΙΔΑ 38

40. vinca
Delphinium
8
Coreopsis
ΣΕΛΙΔΑ 39

41. Mayweed
13
Ragwort
Cineraria
Aster
21
ΣΕΛΙΔΑ 40

42. Pyrethrum
34
Plantain
Helenium
55
ΣΕΛΙΔΑ 41

43. Michaelmas
μαργαρίτα
89
ΣΕΛΙΔΑ 42

44. 4.2 Φυλλοταξία.
Η χρυσή τομή διαφαίνεται μέσα από τα φύλλα και τα κλαδιά, όπως στις βελόνες αρκετών
ειδών έλατου, τα φύλλα της λεύκας, της κερασιάς, της μηλιάς, της δαμασκηνιάς, της
βελανιδιάς και της φιλύρας, στη διάταξη των πετάλων της μαργαρίτας και του ηλιοτρόπιου.
Με τον όρο φυλλοταξία εννοούμε στην βοτανική την διάταξη των φύλλων και των κλώνων
στην ανάπτυξη ενός φυτού. Δηλαδή, τον τρόπο με τον οποίο σχηματίζεται, αναπτύσσεται ένα
φυτό.
Σε ένα φυτό οι νέοι βλαστοί αυξάνονται συνήθως από έναν οφθαλμό, ένα σημείο όπου ένα
φύλλο αναπηδά από τον βασικό μίσχο του φυτού. Με αυτό τον τρόπο διατάσσονται τα κλαδιά
σύμφωνα με τον αριθμό Φ.
Εάν το κεντρικό στέλεχος του φυτού γίνεται αντικείμενο
λεπτομερούς ανάλυσης, μπορεί να θεωρηθεί, ότι καθώς
το φυτό μεγαλώνει προς τα πάνω, τα φύλλα ή τα κλαδιά
φυτρώνουν μακριά από το στέλεχος σε μια σπειροειδή
πορεία.
Με άλλα λόγια, σε ένα υπέρ-απλουστευμένο
παράδειγμα, το φυτό μεγαλώνει μια ίντσα, και να ένα
φύλλο ή κλαδί – βλαστός βγαίνει από τον κορμό.
Στη συνέχεια, το φυτό μεγαλώνει άλλη μια ίντσα, και
για άλλη μια φορά ένα φύλλο ή κλαδί – βλαστός βγαίνει
από τον κορμό, αλλά αυτή τη φορά από διαφορετική κατεύθυνση από ό, τι το πρώτο. Για άλλη
μια φορά, το φυτό μεγαλώνει προς τα πάνω και ένα άλλο φύλλο ή κλαδί /βλαστός
αναπτύσσεται έξω από τον κορμό και για άλλη μια φορά διαπιστώνουμε ότι το φύλλο ή κλαδί
/ βλαστός έχει φυτρώσει σε μια διαφορετική κατεύθυνση.
Αν επρόκειτο να συνδέσετε τις άκρες των φύλλων ή των
κλαδιών – βλαστών που έχουν αναπτυχθεί από τον κορμό, θα
διαπιστώναμε ότι δημιουργούν ένα πολύ συγκεκριμένο
σπειροειδές σχήμα γύρω από τον κεντρικό κορμό.
Στον μεγαλύτερο αριθμό των φυτών, ένα συγκεκριμένο κλαδί ή
φύλλο θα μεγαλώσει από τον κορμό περίπου κατά 137,5 μοίρες
γύρω από τον βλαστό σε σχέση με το προηγούμενο κλαδί.
Με άλλα λόγια, όταν ένα κλαδί αναπτύσσεται έξω από το φυτό,
το φυτό μεγαλώνει αναλογικά και στη συνέχεια βγάζει ένα άλλο
κλαδί που περιστρέφεται κατά 137,5 μοίρες σε σχέση με την
κατεύθυνση που είχε το πρώτο κλαδί του.
ΣΕΛΙΔΑ 43

45. Σχεδόν όλα τα φυτά χρησιμοποιούν με αυτό τον τρόπο ένα σταθερό τόξο περιστροφής, που
είναι οι 137,5 μοίρες.
Η γωνία αυτή προκύπτει από την ακολουθία Fibonacci . Για παράδειγμα αν πάρουμε δύο
συνεχόμενους όρους της ακολουθίας, τον 55 και τον 89 και πολλαπλασιάσουμε τον λόγο τους
επί 3600 προκύπτει ότι
55
 3600  222, 4720
89
Όμως,
55 1
    1 άρα    1  3600
89 
222, 4720
και
360o  222, 472o  136,7o
Με άλλα λόγια
360o  (2  )  137,5
Ωστόσο, πιστεύεται ότι η πλειονότητα του συνόλου των φυτών που κάνουν χρήση είτε της
περιστροφής των 137,5 μοιρών ή μιας περιστροφής πολύ κοντά σε αυτή, έχουν ως το βασικό
αριθμό στα φύλλα τους ή τα διασπαρμένα κλαδιά τους, στέλνοντας έξω κάθε φύλλο ή κλαδί,
μετά την περιστροφή γύρω από τις 137,5 μοίρες περίπου σε σχέση με το προηγούμενο κλαδί.
Στην περίπτωση του φυλλώματος
μπορεί να σχετίζεται με τη
μεγιστοποίηση του χώρου που είναι
διαθέσιμος για την ανάπτυξη κάθε
φύλλου ή το φώς πρέπει να πέφτει
πάνω στο κάθε φύλλο. Η φύση
προφανώς δεν προσπαθεί να
χρησιμοποιήσει την ακολουθία
Fibonacci, αυτή εμφανίζεται ως το δεύτερον αποτέλεσμα μιας πολύ
βαθύτερης φυσικής διαδικασίας. Τα φύλλα, τα πέταλα και οι σπόροι
οργανώνονται στα φυτά ακολουθώντας ένα συγκεκριμένο μοτίβο γιατί έτσι,
καθώς αναπτύσσονται, αξιοποιούν με τον καλύτερο δυνατό τρόπο το
διαθέσιμο χώρο. Αν κατανείμουμε τα φύλλα στο μίσχο σύμφωνα με το χρυσό
αριθμό, όλα θα επωφελούνται στο μέγιστο βαθμό από το φως του ήλιου,
χωρίς να κρύβει το ένα το άλλο. Τα λουλούδια, χάρη στο χρυσό αριθμό,
προσελκύουν όσο το δυνατόν καλύτερα τα έντομα που μεταφέρουν τη γύρη.
ΣΕΛΙΔΑ 44

46. 4.3 Χρυσές σπείρες στο μίσχο των λουλουδιών.
Παρατηρούμε και ανακαλύπτουμε τους αριθμούς Fibonacci με την μορφή σπειρών πάνω στον
μίσχο, τα πέταλα, ή ακόμα και στα κλαδιά.
Η παραπάνω φωτογραφία δείχνει ροδέλες που βρίσκονται σε μια σειρά, ξεκινώντας
από ένα κέντρο. Κάθε ροδέλα αγγίζει τη προηγούμενη, και κάθε περικάλυμμα γύρω
από το κέντρο αγγίζει το προηγούμενο περικάλυμμα. Κανένα μοντέλο δεν είναι
προφανές στην αρχή, αλλά μετά από μια σειρά αναδιπλώνεται, σε ένα μοτίβο και οι
σπείρες αναδύονται. Το σχήμα εξαρτάται από την ακτίνα του περικαλύμματος και
της ακτίνας των ροδελών.
Το άνθος του ηλίανθου είναι ένα παράδειγμα που παρατήρησε το 1868 ο βοτανολόγος
Γουίλιαμ Hofmeister.
Οι σπόροι του ηλίανθου κατανέμονται κυκλικά. Η σπείρα είναι προς τα έξω ενώ έχει διπλή
κατεύθυνση, δηλαδή και όπως κινούνται οι δείκτες του ρολογιού και αντίστροφα από το
κέντρο του λουλουδιού. Ο αριθμός των σπειρών στο κάθε φυτό δεν είναι ίδιος. Γιατί γενικά
είναι είτε 21 και 34, είτε 34 και 55, είτε 55 και 89 ή 89 και 144. Ο αριθμός των σπειρών ενός
ηλίανθου και προς τις δύο κατευθύνσεις είναι δύο διαδοχικοί αριθμοί στην ακολουθία
Fibonacci και ο λόγος τους προσεγγίζει το Φ.
ΣΕΛΙΔΑ 45

47. Ο Hofmeister παρατήρησε ότι το primordia [το σχήμα όπου κάθε ροδέλα αντιστοιχεί με έναν
σπόρο] σχηματίζεται κατά προτίμηση, όπου υπάρχει ο περισσότερος χώρος που είναι
διαθέσιμος γι 'αυτό.
Επίσης, μπορεί να σχηματιστεί όπου επικοινωνεί αποτελεσματικότερα το περικάλυμμα με το
υπόλοιπο φυτό και αυτό μπορεί να εξεταστεί γεωμετρικά.
Το συγκεκριμένο μοτίβο μπορεί επίσης να τροποποιηθεί από την υγρασία και τα θρεπτικά
συστατικά καθώς και τις συνθήκες που επηρεάζουν το μέγεθος του σχηματιζόμενου σπόρου.
Παρόμοια διάταξη σπειρών με τον ηλίανθο εμφανίζεται στο μίσχο πολλών φυτών όπως για
παράδειγμα στη μαργαρίτα της φωτογραφίας όπου εμφανίζονται 21 σπείρες αριστερόστροφα
και 34 δεξιόστροφα αλλά και στα κουκουνάρια.
Όλα τα κουκουνάρια αναπτύσσονται σε σπείρες, ξεκινώντας από τη βάση όπου ήταν ο μίσχος,
και πηγαίνοντας κυκλικά μέχρι να φτάσουμε στην κορυφή.
ΣΕΛΙΔΑ 46

48. 4.4 Ο αριθμός Φ στα φρούτα.
Η χρυσή τομή εμφανίζεται σε πολλά είδη φρούτων είτε μέσω των αριθμών
Fibonacci είτε με την μορφή σπειρών.
Για παράδειγμα, εάν ξεφλουδίσουμε και κόψουμε μια μπανάνα
στην μέση θα παρατηρήσουμε ότι χωρίζεται σε τρία τμήματα,
όπου το 3 είναι όρος της ακολουθίας Fibonacci.
Με ανάλογο τρόπο οι αριθμoί
Fibonacci παρατηρούνται και στο μήλο
εφόσον η οριζόντια διατομή του το
χωρίζει το μήλο σε 5 κομμάτια .
Ένα ακόμα φρούτο που συνδέεται με τον αριθμό Φ είναι το αστερόφρουτο ή καραμπόλα από
τη Μαλαισία. Αν κόψουμε ένα αστερόφρουτο στη μέση θα παρατηρήσουμε ότι η οριζόντια
διατομή του σχηματίζει ένα κανονικό πεντάγωνο.
Ένα ακόμα ενδιαφέρον παράδειγμα που
αξίζει να αναφέρουμε είναι ο ανανάς.
Οι κλίμακες του ανανά είναι
διαμορφωμένες σε σπείρες και επειδή είναι
χονδρικά εξαγωνικό σχήμα, τρεις χωριστές
δέσμες ελίκων μπορούν να παρατηρηθούν.
Ένα σετ πέντε παράλληλων σπειρών
ανεβαίνει σε μια ρηχή γωνία προς τα δεξιά,
ένα δεύτερο σύνολο παράλληλων ελίκων
ανεβαίνει πιο απότομα προς τα αριστερά και το τρίτο σετ από δεκατρείς παράλληλες σπείρες
ανεβαίνει πολύ απότομα προς τα δεξιά.
ΣΕΛΙΔΑ 47

49. 4.5 Ο αριθμός Φ στα λαχανικά.
Η χρυσή αναλογία εκτός από τα φρούτα εμφανίζεται και στα λαχανικά.
Ενδεικτικά ενδιαφέρουμε το παραδείγματα του Romanesque Broccoli, μια διασταύρωση
μπρόκολου και κουνουπιδιού μια διασταύρωση. Αν παρατηρήσουμε το Romanesque Broccoli
προσεκτικά θα δούμε πως κάθε ανθύλλιό του είναι μια μικρότερη έκδοση ολόκληρου του
μπρόκολου και έτσι είναι εύκολο να βρούμε τις σπείρες που σχηματίζονται.
Επίσης, χαρακτηριστικός είναι ο τρόπος με τον οποίο εμφανίζεται ένα πεντάγωνο στο
περίγραμμα του κουνουπιδιού. Κοιτώντας το προσεκτικά βλέπουμε ότι δημιουργείται το
κέντρο του από μικρότερα ανθύλλια. Γύρω από το κέντρο του θα δούμε πως
σχηματίζονται σπείρες και από τις δύο κατευθύνσεις.
ΣΕΛΙΔΑ 48

50. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5
ΣΕΛΙΔΑ 49

51. 5.1 Χρυσές σπείρες στα οστρακοειδή.
Το Φ ξεπροβάλει και μέσα από τη γεωμετρία της
ίδιας της Φύσης. Τα λεγόμενα χρυσά σπειροειδή,
που βασίζονται στο Φ, απαντώνται στις σπείρες
οστρακοειδών όπως ο "Ναυτίλος".
Η σπείρα του Fibonacci και η σπείρα στο κέλυφος του ναυτίλου.
.
Ι. Ορθογώνια
Fibonacci
II. H σπείρα
Fibonacci
III. Τομή από το
κέλυφος του
ναυτίλου
Το κέλυφος των σαλιγκαριών ακολουθεί και αυτό την ακολουθία Fibonacci. Η μόνη διαφορά
μεταξύ των δύο είναι ότι το κέλυφος του ναυτίλου αναπτύσσεται σε τρισδιάστατες σπείρες,
ενώ το κέλυφος των σαλιγκαριών αναπτύσσεται σε δισδιάστατες σπείρες.
ΣΕΛΙΔΑ 50

52. 5.2 Ο αριθμός Φ στα έντομα.
Το σώμα ενός μυρμηγκιού χωρίζεται κι αυτό σε ανάλογα ευθύγραμμα
τμήματα σύμφωνα με την χρυσή αναλογία.
Σε μια πεταλούδα τα σημεία που μοιάζουν με μάτι σχηματίζουν ευθύγραμμα τμήματα που
απεικονίζουν το μήκος και το πλάτος της με χρυσή τομή
O αριθμός φ εμφανίζεται και στην αράχνη .Όχι μόνο το
σώμα της ίδιας της αράχνης αλλά και ο ιστός της είναι και
αυτό παράδειγμα της χρυσής τομής. Όπως φαίνεται στην
εικόνα ο ιστός υπακούει στην αναλογία του αριθμού φ.
Οι λόγοι όμως που η αράχνη σχεδιάζει αυτό το μοτίβο και
από που εμπνεύστηκε ή πως συνεχίζει στις επόμενες
γενιές είναι άγνωστοι.
ΣΕΛΙΔΑ 51

53. 5.2.1 Ο αριθμός Φ στο γενεαλογικό δέντρο των μελισσών.
Το γενεαλογικό δέντρο του κηφήνα σε ένα μελίσσι είναι μια ακολουθία Fibonacci!
Το εν λόγω έντομο γεννιέται από ένα μη γονιμοποιημένο αβγό της βασίλισσας, δηλαδή έχει
μητέρα αλλά όχι και πατέρα. Αντιθέτως, τόσο η βασίλισσα (η μοναδική που μπορεί να κάνει
αβγά) όσο και οι εργάτριες γεννιούνται από αβγά που έχουν γονιμοποιηθεί από αρσενικό.
Αυτές, λοιπόν, έχουν και πατέρα και μητέρα.
Επομένως, το γενεαλογικό δέντρο του κηφήνα διαμορφώνεται ως εξής, έχει:
• 1 μητέρα,
• 2 παππούδες (αρσενικό και θηλυκό),
• 3 προπαππούδες (δύο από την οικογένεια της γιαγιάς και μία του παππού),
• 5 προ-προπαππούδες,
• 8 προ-προ-προπαππούδες και ούτω καθεξής.
Το 1966, ο Νταγκ Γιανέγκα, από το Μουσείο Έρευνας στην Εντομολογία του Πανεπιστημίου
της Καλιφόρνιας, ανακάλυψε ότι αν μετρήσεις τις μέλισσες σε μια κυψέλη οπουδήποτε στον
κόσμο θα παρατηρήσεις ότι η αναλογία των θηλυκών προς τις αρσενικές μέλισσες καταλήγει
πάντα σε έναν αριθμό!!!!
Ο αριθμός αυτός είναι ο 1,618 ή ο γνωστός αριθμός φ!!!
Επίσης στα μελίσσια, ο πληθυσμός των εργατριών μελισσών σε σχέση με τους κηφήνες,
αναπτύσσεται με βάση την Ακολουθία Fibonacci, και ο λόγος τους τείνει στη « χρυσή
αναλογία».
ΣΕΛΙΔΑ 52

54. 5.3 Ο αριθμός Φ στα πτηνά.
O αριθμός Φ εντοπίζεται και στο Βασίλειο των πτηνών όπως για παράδειγμα στους
παπαγάλους
και στα φτερά του Blue heron.
Χρυσές αναλογίες εμφανίζονται επίσης στο σώμα του πιγκουίνου .
ΣΕΛΙΔΑ 53

55. Αυτό, όμως, που προκαλεί ιδιαίτερο ενδιαφέρον είναι ότι ο αριθμός Φ εμφανίζεται και στον
τρόπο που πετάνε ορισμένα ήδη γερανών , όπως για παράδειγμα οι πετρίτες.
Οι πετρίτες είναι από τα πιο γρήγορα πουλιά στη
γη, καθώς ζυγιάζονται και ορμούν προς τον στόχο
τους με ταχύτητες έως και 200 μίλια την ώρα.
Θα μπορούσαν όμως να πετούν ακόμα πιο
γρήγορα εάν απλώς πετούσαν σε ευθεία αντί να
ακολουθούν μια σπειροειδή τροχιά προς το θύμα
τους. Ο λόγος που επιλέγουν αυτό τον τρόπο
επίθεσης, είναι επειδή τα μάτια του γερακιού
βρίσκονται στις δύο πλευρές του κεφαλιού τους,
για να εκμεταλλευτούν την οξύτατη όρασή τους,
πρέπει να κινούν το κεφάλι τους κατά 40 μοίρες
προς τη μια πλευρά ή προς την άλλη. Κάτι τέτοιο όμως θα επιβράδυνε την ταχύτητά τους
σημαντικά. Για το λόγο αυτό τα γεράκια κρατούν το κεφάλι τους ίσιο και ακολουθούν μια
λογαριθμική σπείρα. Η λογαριθμική σπείρα όμως έχει μία χαρακτηριστική ιδιότητα. Είναι
«ισογώνια». Εάν χαράξουμε μια ευθεία γραμμή από τον πόλο προς οποιοδήποτε σημείο
επάνω στην καμπύλη, η ευθεία τέμνει την καμπύλη ακριβώς προς την ίδια γωνία. Έτσι, τα
γεράκια εκμεταλλεύονται την ισογώνια ιδιότητα της σπείρας και διατηρούν το στόχο τους στο
οπτικό τους πεδίο ενώ μεγιστοποιούν την
ταχύτητά τους.
ΣΕΛΙΔΑ 54

56. 5.4 Ο αριθμός Φ στα θηλαστικά .
Η ανάπτυξη σε μια σπειροειδή μορφή στον κόσμο των ζώων δεν περιορίζεται μόνο σε
θαλάσσια όστρακα. Παραδείγματα καμπυλών με βάση λογαριθμική σπείρα μπορεί να δει
κανείς τους χαυλιόδοντες των ελεφάντων και των εξαφανισμένων μαμούθ, τα νύχια
λιονταριών » κτλ
Τα ζώα όπως οι κατσίκες , οι αντιλόπες και τα κριάρια έχουν κέρατα σε σπειροειδή μορφή που
σχετίζεται ε τη χρυσή αναλογία.
ΣΕΛΙΔΑ 55

57. Ο αριθμός Φ εμφανίζεται, στις ραβδώσεις που
σχηματίζονται από τις ρίγες της τίγρης αλλά και τα
χαρακτηριστικά του προσώπου της δημιουργούν
ευθύγραμμα τμήματα που σχετίζονται με τη χρυσή
αναλογία .
Παρόμοια και τα χαρακτηριστικά του προσώπου ενός
κοάλα διακρίνουμε λόγους χρυσής τομής. Οι διαστάσεις
και τις θέσεις των οφθαλμών, της μύτης και του στόματος
συνδέονται με χρυσές αναλογίες .
Οι διαστάσεις του ραχιαίου πτερύγιου είναι χρυσή τμήματα (κίτρινο και
πράσινο). Το πάχος του τμήματος της ουράς του δελφινιού αντιστοιχεί στην
ίδια χρυσή τομή της γραμμής από το κεφάλι μέχρι την ουρά .
ΣΕΛΙΔΑ 56

58. 5.5 Ο αριθμός Φ στους υπόλοιπους κατοίκους της θάλασσας.
Όπως και με τα ζώα της ξηράς παρατηρείται το ίδιο φαινόμενο και με τα ζώα του υπόγειου
κόσμου . Όλα τα ζώα του θαλάσσιου κόσμου υπόκεινται στον αριθμό Φ.
Χαρακτηριστικό παράδειγμα μορφής θαλάσσιας ζωής, πέρα του ναυτίλου , του οποίου η
ανατομία διέπεται από την χρυσή τομή είναι ο αστερίας το σώμα του οποίου σχηματίζει ένα
κανονικό πεντάγωνο.
Χρυσές αναλογίες εμφανίζονται και στο χελιδονόψαρο
ενώ μπορούμε να διακρίνουμε την χρυσή αναλογία και στον ιππόκαμπο και συγκεκριμένα
στις ραβδώσεις του.
ΣΕΛΙΔΑ 57

59. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6
ΣΕΛΙΔΑ 58

60. 6.1 Χρυσές αναλογίες στο χέρι.
Υπάρχουν πολλές εφαρμογές της Χρυσής Αναλογίας στο ανθρώπινο σώμα. Σχεδόν όλα τα μέρη
του σώματός μας είναι κατασκευασμένα σύμφωνα με αυτήν. Από το κεφάλι μέχρι και τις
πατούσες εμφανίζεται ο αριθμός Φ.
Τα εκατοστά των οστών του χεριού μας αντιστοιχούν στους όρους της ακολουθίας. Έχοντας
αυτό σαν δεδομένο το νύχι του μεσαίου δαχτύλου μας ισούται με ένα. Επιπροσθέτως, η
παλάμη δημιουργεί τη χρυσή αναλογία σε σχέση με το υπόλοιπο χέρι.
6.2 Χρυσοί λόγοι στον κορμό.
Το ύψος ενός ανθρώπου προς την απόσταση από το κεφάλι μέχρι και την άκρη του μεσαίου
δαχτύλου του αποτελεί ένα χρυσό ευθύγραμμο τμήμα. Η απόσταση από το κεφάλι μέχρι και
την άκρη του μεσαίου δαχτύλου προς την απόσταση από το κεφάλι μέχρι και τους αγκώνες,
αποτελεί επίσης και αυτό ένα χρυσό ευθύγραμμο τμήμα. Η απόσταση από το κεφάλι μέχρι και
τους αγκώνες προς την απόσταση από το κεφάλι μέχρι και τους ώμους, αποτελεί και αυτό ένα
χρυσό ευθύγραμμο τμήμα. Η απόσταση από το κεφάλι μέχρι και τους ώμους προς την
απόσταση από την κορυφή του κεφαλιού μέχρι την άκρη του πιγουνιού, αποτελεί εξίσου ένα
χρυσό ευθύγραμμο τμήμα. Επίσης η απόσταση μεταξύ ζωτικών οργάνων (πχ εγκέφαλοςκαρδιά, στομάχι, γεννητικά όργανα κ.λπ.) εμπεριέχει και αυτή αναλογίες Φ.
ΣΕΛΙΔΑ 59

61. 6.3 Θείες αναλογίες στο ανθρώπινο πρόσωπο.
Το ανθρώπινο πρόσωπο παρουσιάζει πολλές χρυσές αναλογίες. Το κεφάλι αποτελεί ένα χρυσό
ορθογώνιο με την ευθεία που ορίζουν τα
μάτια να το χωρίζει στη μέση. Το στόμα και η
μύτη είναι το καθένα τοποθετημένο στη
χρυσή τομή του ευθύγραμμου τμήματος που
ορίζεται ανάμεσα στα μάτια και στην άκρη
του πιγουνιού. Εκτός όμως από τα χρυσά
ευθύγραμμα τμήματα που δημιουργούνται,
εμφανίζονται και πολλά χρυσά ορθογώνια.
Επιπλέον, παρατηρώντας το ανθρώπινο αυτί,
θα δούμε πως η σπείρα που δημιουργείται
μας θυμίζει την χρυσή σπείρα.. Τέλος,
αναφορικά με τις διαστάσεις στα δόντι μας,
παρατηρείται ότι τα δύο μπροστινά δόντια
είναι εγγεγραμμένα σε ένα χρυσό ορθογώνιο,
με μία χρυσή αναλογία του ύψους προς το
πλάτος τους. Επιπλέον, η αναλογία του
πλάτους από το πρώτο δόντι προς το πλάτος του δευτέρου είναι επίσης χρυσή. Τέλος, αν
χαμογελάσουμε, θα παρατηρήσουμε πως το πλάτος του χαμόγελου προς το πλάτος που
υπάρχει μέχρι το τρίτο δόντι, είναι ίση με Φ.
6.4 Ο αριθμός Φ στα δόντια.
Στα δόντια μας, παρατηρείται ότι τα δύο μπροστινά δόντια είναι εγγεγραμμένα σε ένα χρυσό
ορθογώνιο, με μία χρυσή αναλογία του ύψους προς το πλάτος τους. Επιπλέον, η αναλογία του
πλάτους από το πρώτο δόντι προς το πλάτος του δευτέρου είναι επίσης χρυσή. Τέλος, αν
χαμογελάσουμε, θα παρατηρήσουμε πως το πλάτος του χαμόγελου προς το πλάτος που
υπάρχει μέχρι το τρίτο δόντι, είναι ίση με Φ.
ΣΕΛΙΔΑ 60

62. 6.5 Μήκη του ιδανικού ανθρώπινου σώματος.
Από όσα είπαμε στις παραγράφους 1 έως 4 μπορούμε να προσδιορίσουμε μερικά από τα μήκη
του ιδανικού ανθρώπινου σώματος βάση του αριθμού της χρυσής τομής ως εξής:
• Από τη γραμμή των φρυδιών μέχρι την κάτω άκρη της μύτης = α [ όπου α σταθερά ]
• Από τη γραμμή των φρυδιών έως την κορυφή της κεφαλής = α Φ
• Από την κάτω άκρη της μύτης ως την κορυφή της κεφαλής = α Φ²
• Από την κάτω άκρη της μύτης ως τη βάση του λαιμού = α Φ
• Το συνολικό ύψος λαιμού και κεφαλής = α Φ³
Αν υποθέσουμε ότι ένα κανονικό ανθρώπινο σώμα είναι 1,80 m τότε
τα ιδανικά μήκη των προαναφερθέντων μερών είναι:
• Το τμήμα από τη γραμμή των φρυδιών έως το κάτω άκρη της μύτης
είναι 6,2 cm
• Το ύψος από τη γραμμή των φρυδιών ως την κορυφή της κεφαλής
είναι ίσο με 10 cm
• Το ύψος από την κάτω άκρη της μύτης ως την κορυφή της κεφαλής είναι 16,2 cm
• Το τμήμα από την κάτω άκρη της μύτης μέχρι τη βάση του λαιμού ισούται με 10 cm
• Το συνολικό ύψος του λαιμού και της κεφαλής ισούται με 26,3 cm
• Το συνολικό ύψος του τμήματος που ορίζεται από τη βάση του λαιμού ως και τις θηλές του
στήθους είναι ίσο με 16,2 cm
• Το τμήμα από τις θηλές του στήθους ως την κορυφή της κεφαλής ισούται με 42,5 cm
• Το συνολικό μήκος του τμήματος από τη μέση (ομφαλός) μέχρι την κορυφή της κεφαλής
είναι ίσο με 68,8 cm
• Το συνολικό μήκος του τμήματος από το πέλμα του ποδιού έως και τη μέση (ομφαλός )
ισούται με 111,2 cm
Στην περιγραφή του, ο Πολλίωνας αναφέρει: «Στο ανθρώπινο σώμα, το κέντρο είναι ο
ομφαλός. Επομένως, αν ένας άντρας ξαπλώσει με το πρόσωπο προς τα πάνω, τα χέρια και τα
πόδια του αναπτυγμένα, και σχεδιάσουμε έναν κύκλο με κέντρο τον ομφαλό, τα δάχτυλα των
χεριών και των ποδιών θα αγγίξουν την περιφέρεια του κύκλου. Μπορούμε επίσης να
περικλείσουμε το σώμα με ένα ορθογώνιο σχήμα». Αν διαιρέσουμε τη μια πλευρά του
ορθογωνίου (το ύψος του ανθρώπου) με την ακτίνα του κύκλου (την απόσταση από τον
ομφαλό μέχρι την άκρη των δαχτύλων), θα έχουμε το χρυσό αριθμό. Έτσι, για να ανακαλύψει
κάποιος κατά πόσο ανταποκρίνεται στο πρότυπο της αισθητικής τελειότητας, δεν έχει παρά να
πάρει μια μεζούρα.
ΣΕΛΙΔΑ 61

63. 6.6 Ο αριθμός Φ στους καρδιακούς παλμούς του ανθρώπου.
Η ανθρώπινη καρδιά χτυπά με περίπου 60 σφυγμούς το λεπτό σε κατάσταση ηρεμίας και με
έως και 120 σφυγμούς σε κατάσταση άγχους ή έντονης κίνησης. Η πίεση του αίματος
μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια της καρδιακής λειτουργίας. Φθάνει τη μέγιστη τιμή της στην
αριστερή καρδιακή κοιλία τη στιγμή της συστολής. Στις αρτηρίες κατά τη διάρκεια της
κοιλιακής συστολής η πίεση του αίματος φθάνει τη μέγιστη τιμή των 115 - 125 mm στήλης
υδραργύρου. Τη στιγμή της χαλάρωσης του καρδιακού μυός (διαστολή) η πίεση μειώνεται
μέχρι τα 70 - 80 mm στήλης υδραργύρου. Ο λόγος της μέγιστης προς την ελάχιστη πίεση
ισούται κατά μέσο όρο με 1,6, δηλαδή, πολύ κοντά στη χρυσή αναλογία.
Είναι αυτή η σύμπτωση τυχαία ή μήπως απεικονίζει κάποια αντικειμενική κανονικότητα της
αρμονικής οργάνωσης της καρδιακής δραστηριότητας;
Η καρδιά χτυπά συνεχώς από τη στιγμή της γέννησης του ανθρώπου ως τη στιγμή του θανάτου
του. Και η δραστηριότητά της πρέπει να είναι η βέλτιστη και να υπόκειται στους νόμους
αυτοοργάνωσης των βιολογικών συστημάτων. Και καθώς η χρυσή αναλογία είναι ένα από τα
κριτήρια των αυτό-οργανωμένων συστημάτων μπορούμε φυσικά να υποπτευθούμε ότι η
καρδιακή λειτουργία υπόκειται στο νόμο της χρυσής τομής. Μπορούμε να κρίνουμε την
καρδιακή λειτουργία με τη χρήση ενός ηλεκτροκαρδιογραφήματος, της καμπύλης που
απεικονίζει τους διαφορετικούς κύκλους της καρδιακής λειτουργίας.
Στο καρδιογράφημα μπορούμε να επιλέξουμε δύο τμήματα διαφορετικής διάρκειας που
αντιστοιχούν στη συστολική (t1) και τη διαστολική (t2) καρδιακή δραστηριότητα.
Αποδεικνύεται ότι υπάρχει η βέλτιστη «χρυσή» παλμική συχνότητα για τον άνθρωπο αλλά και
για άλλα θηλαστικά. Εδώ οι διάρκειες της συστολής, της διαστολής και του πλήρους καρδιακού
κύκλου (Τ) βρίσκονται σε χρυσή αναλογία: T / t2 = t2 / t1 Οπότε, λόγου χάρη, για τον άνθρωπο
η «χρυσή συχνότητα» είναι 63 παλμοί το λεπτό.
Σε ένα ηλεκτροκαρδιογράφημα , απεικονίζονται 3 είδη κυμάτων των καρδιακών παλμών : τα
κύματα P, το σύμπλεγμα κυμάτων QRS και τα κύματα Τ. Έχει παρατηρηθεί , ότι σε ένα
ηλεκτροκαρδιογράφημα ήρεμων καρδιακών παλμών σχηματίζεται Χρυσή Τομή , όπως
φαίνεται παρακάτω .
ΣΕΛΙΔΑ 62

64. Έχει προταθεί ότι , αν υπάρχει σχέση Χρυσής Τομής σε έναν καρδιακό παλμό στο Τ τμήμα του
ηλεκτροκαρδιογραφήματος , αναπαριστά μία κατάσταση υγείας, ειρήνης και αρμονίας.
Ο συγκεκριμένος τομέας χρειάζεται περισσότερη μελέτη και επιστημονική υποστήριξη , αλλά
αποτελεί μία ενδιαφέρουσα προοπτική για μία άλλη πιθανή εμφάνιση του Φ στη ζωή.
Ακόμα, στην ακολουθία Fibonacci , ο λόγος κάθε επόμενου ζευγαριού αριθμών τείνει προς το
Φ , όσο συνεχίζουμε.
1/0 = ΑΠΕΙΡΟ
1/1 = 1
2/1 = 2
3/2 = 1.5
5/3 = 1.666…
8/5 = 1.6
13/8 = 1.625
Αν σχεδιαστεί η γραφική παράσταση των λόγων αυτών , το πρώτο της μέρος παρουσιάζει μια
ομοιότητα με ένα ηλεκτροκαρδιογράφημα , όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα.
ΣΕΛΙΔΑ 63

65. 6.7 Ο αριθμός Φ στο ανθρώπινο DNA.
Το μόριο του DNA βασίζεται στη χρυσή τομή. Αποτελείται από δύο αλληλένδετες έλικες. Ένα
τμήμα μίας ολοκληρωμένης διπλής έλικας του DNA , βασίζεται στη χρυσή τομή. Το μήκος της
είναι 34 angstrom ή 34 1010 m (1 angstrom = 1,0 1010 m ) και το πλάτος της 21 angstrom
αντίστοιχα για κάθε πλήρη κύκλο της διπλής έλικας21 και 34 είναι δύο διαδοχικοί αριθμοί
Fibonacci και η αναλογία τους 1,6190476 προσεγγίζει κατά πολύ το Φ=1,6180339.
Επιπλέον, παρατηρούμε ότι και η κάθετη διατομή της διπλής έλικας του DNA σχηματίζει ένα
δεκάγωνο. Συνεπώς, η δομική μονάδα της ζωής , το DNA, δομείται χρησιμοποιώντας το Φ και
την Χρυσή Τομή.
Διατομή DNA
Δεκάγωνο
Πεντάγωνο και Φ
ΣΕΛΙΔΑ 64

66. ΤΕΛΟΣ Α ΜΕΡΟΥΣ
Κλείνοντας θα θέλαμε να τονίσουμε πως είναι καθήκον μας και δικαίωμα μας να μελετάμε και
να καταλαβαίνουμε τον κόσμο και ο αριθμός Φ αποτελεί αναμφισβήτητα ένα χρήσιμο
εργαλείο.
Ο μεγάλος γάλλος μαθηματικός Henri Poincare κάποτε είπε σχετικά:
« Ο επιστήμονας δεν μελετά τη φύση επειδή είναι
χρήσιμο, αλλά επειδή αυτό τον ευχαριστεί. Και τον
ευχαριστεί επειδή η φύση είναι όμορφη. Εάν η φύση
δεν ήταν όμορφη, τότε δεν θα άξιζε τον κόπο να την
γνωρίσουμε. Και εάν δεν άξιζε τον κόπο να την
γνωρίσουμε, τότε δεν θα άξιζε να ζούμε»
ΣΕΛΙΔΑ 65

67. ΜΕΡΟΣ Β
ΣΕΛΙΔΑ 66

68. ΕΙΣΑΓΩΓΗ
ΚΟΙΤΑΞΤΕ ΠΡΟΣΕΧΤΙΚΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΕΙΚΟΝΑ!
Αν σας βάζανε να διαλέξετε ένα ανάμεσα σε αυτά τα ορθογώνια ποιο θα διαλέγατε;
Μήπως το δεύτερο; Σύμφωνα με έρυνες η περισσότεροι άνθρωποι θα επέλεγαν το δεύτερο ορθογώνιο
και αυτή η επιλογή δεν είναι τυχαία. Συμβαίνει επειδή το δεύτ5ερο ορθογώνιο είναι φτιαγμένο
σύμφωνα με τη χρυσή αναλογία και επομένως προσελκύει το ανθρώπινο μάτι και προκαλεί εντύπωση.
Ίσως αυτός να είναι και ο λόγος που ο αριθμός Φ εμφανίζεται , σκόπιμα ή μη , στα μεγαλύτερα
έργα τέχνης του πολιτισμού μας από τους αρχαίους χρόνους μέχρι και σήμερα αλλά και σε
πολλές πτυχές της καθημερινότητας μας .
ΣΕΛΙΔΑ 67

69. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
ΣΕΛΙΔΑ 68

70. 1.1 Ο Φ στην αρχιτεκτονική των αρχαίων χρόνων.
1.1.1 Ο αριθμός Φ στην πρόσοψη του Παρθενώνα .
Η χρυσή τομή ή αλλιώς ο χρυσός αριθμός είναι ο αριθμός της αρμονίας και της ομορφιάς.
Ξεκίνησε κατά τον 5ο αιώνα , γνωστός και ως ο χρυσός αιώνας της Ελλάδας. Οι ‘Έλληνες εκείνη
την εποχή ήταν ευρέως γνωστοί λόγω των πανέμορφων και λαμπρών δημιουργημάτων της
τέχνης και της αρχιτεκτονικής.
Ο Παρθενώνας είναι ένα υπέρλαμπρο παράδειγμα, γεμάτος χρυσά ορθογώνια και
προσαρμόζεται σχεδόν ακριβώς στο χρυσό ορθογώνιο. Οι αναλογίες του είναι με πολύ
προσοχή μελετημένες και οι σχέσεις τους δίνουν ένα απροσδόκητα αισθητικό αποτέλεσμα.
Μάλιστα πρέπει να αναφερθούμε και στις περίφημες καμπυλότητές του, δηλαδή στο σύνολο
του κτίσματος δεν υπάρχει σχεδόν καμία ευθεία γραμμή. Οι οριζόντιες επιφάνειες κυρτώνουν
ενώ οι κάθετες είναι γυρτές προς το εσωτερικό του κτηρίου.
H χρυσή τομή ονομάζεται και η σχέση 4:9 . Για
παράδειγμα το πλάτος του στυλοβάτη προς το
μήκος του, η διάμετρος των κιόνων προς το
μεταξόνιο (1,905μ:4,296μ), το ύψος του ναού προς
το πλάτος του (13,72μ:30,88=4:9), το πλάτος του
κυρίως ναού προς το μήκος του. Ενώ το πλάτος του
ναού προς το ύψος έχουν μια σχέση 16:81, δηλ.
42:92.
ΣΕΛΙΔΑ 69

71. Η πρόσοψη του Παρθενώνα αποτελεί κορυφαίο παράδειγμα εφαρμογής του Φ.
Είχε φτιαχτεί χρησιμοποιώντας δύο μεγάλα ορθογώνια πλευράς
μικρότερο.
5 και τέσσερα το
Η αναλογία του μήκους του κτηρίου προς το ύψος της πρόσοψης ισούται με Φ, η χρυσή
τομή. Ακόμα, υπάρχει ένας άρτιος αριθμός στυλοβατών κατά μήκος του μετώπου, οι
οποίοι είναι οκτώ, και ένας περιττός αριθμός κατά μήκος των πλευρών, που είναι δεκαεπτά.
Οι συνηθισμένοι δωρικοί ναοί έχουν έξι κίονες
στο πλάτος και δεκατρείς στο μήκος. Αυτό όμως
δεν ισχύει στον Ναό του Παρθενώνα εφόσον
έχει οκτώ κίονες στο πλάτος και δεκαεπτά στο
μήκος. Αν συγκρίνετε το μέγεθός του (69,54
μέτρα μήκος, 30,78 μέτρα πλάτος, 20 μέτρα
ύψος) με διάφορα σύγχρονα κτήρια θα δείτε
την τεράστια διαφορά που προκαλεί η οπτική
εντύπωση. Το οπτικό αποτέλεσμα είναι
εντυπωσιακό αρμονικό αλλά και απροσδόκητο
πολλές φορές .
Αυτό συμβαίνει γιατί ο Παρθενώνας δείχνει εντυπωσιακά μεγαλύτερος απ’ότι το πραγματικό
του μέγεθος χωρίς όμως να βαραίνει τον χώρο.
Για αυτούς τους λόγους ο Παρθενώνας είναι γνωστός ως το ‘’τέλειο κτήριο’’.
ΣΕΛΙΔΑ 70

72. 1.1.2 Ο αριθμός Φ στα Αρχαία θέατρα.
1.1.2.Α Το Θέατρο της Επιδαύρου
Το θέατρο της Επιδαύρου είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα αρχαίων θεάτρων που είναι
ασυνήθιστα μελετημένα ως προς την κατασκευή τους.
Κατασκευάστηκε στο τέλος του
4ου αιώνα π.Χ. ενώ το πάνω
διάζωμα προστέθηκε στα τέλη του
3ου π.Χ αιώνα. Αν παρατηρήσουμε
την παραπάνω εικόνα θα
διαπιστώσουμε ότι η ορχήστρα
του είναι τέλειος κύκλος ενώ το
κοίλον του σχηματίζει ημισφαίριο.
Το κάτω διάζωμα αποτελείται από
34 σειρές καθισμάτων και το
πάνω από 21 δηλαδή 55 σειρές
συνολικά.
Το άθροισμα των πρώτων 10 αριθμών (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) δίνει 55 το άθροισμα των
πρώτων 6 δίνει 21(1+2+3+4+5+6) και το άθροισμα των 4 τελευταίων(7+8+9+10) δίνει
34.Βλέπουμε λοιπόν ότι ο χρυσός αριθμός Φ εμφανίζεται και στο θέατρο της Επιδαύρου αφού
η αναλογία των δύο διαζωμάτων 21 προς 34 ισούται με 0,618(αριθμός Φ) αλλά και η αναλογία
του κάτω διαζώματος προς το σύνολο των σειρών 34 προς 55 ισούται με 0,618 (αριθμός Φ)
αποτελεί απόδειξη ενδελεχούς αρχιτεκτονικής και μαθηματικής Μελέτης.
ΣΕΛΙΔΑ 71

73. 1.1.2 Β Το Αρχαίο Θέατρο της Δωδώνης.
Η Αρχαία Δωδώνη υπήρξε λατρευτικό κέντρο
του Δία και της Διώνης. Υπήρξε, επίσης,
γνωστό μαντείο του αρχαίου ελληνικού
κόσμου. Προσδιορίζεται γεωγραφικά σε
απόσταση περίπου 2 χλμ. από τον οικισμό της
Δωδώνης και κείται σε κλειστή, επιμήκη
κοιλάδα, στους πρόποδες του όρους Τόμαρος,
σε υψόμετρο 600 μ.
Το Αρχαίο θέατρο της Δωδώνης χτίστηκε τον 3ο αιώνα π.Χ. επί βασιλείας Πύρρου και
ακολουθεί το σχέδιο που έχουν όλα τα ελληνικά θέατρα. Χωρούσε 18.000 θεατές και ήταν το
μεγαλύτερο της εποχής του. Κατά την τέλεση των Ναΐων προς τιμήν του Νάιου Δία, εκτός από
τους αγώνες στο στάδιο γίνονταν και θεατρικοί αγώνες.
Το θέατρο της ωδίνης χωριζόταν σε τρία διαζώματα (µε 19 σειρές εδωλίων το κάτω, 15 το
µεσαίο και 21 το επάνω) και εννέα κερκίδες.
Παρατηρούμε ότι:
19 
15 34

 1, 619  
21 21
και
19  15  21 55


19  15
34
Γεγονός που μας δείχνει ότι οι Αρχαίοι Έλληνες ήταν πολύ προχωρημένοι! Είχαν την γνώση για
το πώς να χτίσουν ένα αισθητικό και λαμπρό κτήριο, έκαναν μελέτες και υπήρχε διαχρονική
συνέχεια σε τέτοιες κατασκευές.
ΣΕΛΙΔΑ 72

74. 1.1.3 Χρυσή Τομή στην Μεγάλη πυραμίδα του Χέοπα.
Αναφορές του Ηρόδοτου δείχνουν πως η
μεγάλη πυραμίδα του Χέοπα έχει να μας
πει πολλά για τον αριθμό Φ . Στα
λεγόμενα του αρχαίου πατέρα της
ιστορίας , άλλωστε έχουν στηριχθεί και
σύγχρονα συγγράμματα όπως του
Martin Gadner , που αναφερόμενος στην
πυραμίδα του Χέοπα στο βιβλίο του : “
Fads and Fallacies in the Name of
science” τονίζει πως :
«Ο Ηρόδοτος δηλώνει ότι η πυραμίδα κατασκευάστηκε έτσι ώστε το εμβαδόν κάθε πλευράς
να είναι ίσο με το εμβαδόν ενός τετραγώνου , η πλευρά του οποίου ισούται με το ύψος της
πυραμίδας» .
Παράλληλα βέβαια φαίνεται πως υπάρχουν και απόψεις που αντικρούουν την ύπαρξη του Φ
στην κατασκευή της πυραμίδας , απόψεις που όπως φαίνεται δεν βρίσκουν σύμφωνο τον
Γάλλο συγγραφέα Μιντχάτ Τζ . Γκαζαλέ που πιστεύοντας τον Ηρόδοτο γράφει στο βιβλίο του
Gnomon : «Ο Ηρόδοτος έμαθε από τους Αιγύπτιους ιερείς ότι το τετράγωνο του ύψους της
μεγάλης πυραμίδας ισούται με το εμβαδόν της τριγωνικής κάθετης πλευράς .
Το α είναι το μέσο της βάσης , το β είναι το ύψος της τριγωνικής πλευράς και το υ
είναι το ύψος της πυραμίδας . Εάν ο Ηρόδοτος είχε δίκιο τότε υ x υ = β x α . Η γεωμετρία
δείχνει πως ο λόγος β/α ισούται με το χρυσό λόγο .
Στην πραγματικότητα η β βάση της Μεγάλης πυραμίδας δεν είναι τέλειο τετράγωνο , αφού τα
μήκη των πλευρών είναι διαφορετικά από 755,43 έως 756 ,08 . Ο μέσος όρος των μηκών είναι
775,79 πόδια . Τα ύψος της πυραμίδας είναι υ + 481,4 πόδια , το ύψος της τριγωνικής πλευράς
β είναι 612,01 , επομένως β/α = 612,01 / 376 ,90 = 1,62 το οποίο βρίσκεται κοντά στο χρυσό
λόγο .
ΣΕΛΙΔΑ 73

75. ΣΕΛΙΔΑ 74

76. 1.2. Ο αριθμός Φ στα Μεσαιωνικά κτίρια.
1.2.1 Χρυσές αναλογίες στους μεσαιωνικούς καθεδρικούς ναούς.
Πολλοί καθεδρικοί ναοί τον μεσαίωνα ήταν περίπλοκες κατασκευες βασισμένες στην χρυσή
τομή.
Για παράδειγμα, ο Καθεδρικός ναός του Αγίου Παύλου στο Λονδίνο εμφανίζει , όπως
βλέπουμε και στην παρακάτω φωτογραφίες, χρυσές αναλογίες και χρυσές σπείρες στον Θόλο
του.
Ακόμα, ο αριθμός Φ εμφανίζεται και στην Παναγία των
Παρισίων. Στη δυτική πρόσοψη της εκκλησίας
παρουσιάζεται έντονα η χρήση χρυσών ευθύγραμμων
τμημάτων.
Η δίπλα εικόνα παρουσιάζει το ναό, ο οποίος φέρει τα
τμήματα, των οποίων ο λόγος ισούται µε Φ.
ΣΕΛΙΔΑ 75

77. Επιπλέον, ο ιστορικός Frederik Macody Lund στο βιβλίο του « Ad Quadratum» (1919)
ισχυρίζεται πως ο χρυσός λόγος χρησιμοποιήθηκε και για την κατασευή του Cathedral of
Chartres .
και στον καθεδρικό ναό Notre Dam of Laon όπως φαίνεται και στο σχήμα.
Ο αριθμός Φ εμφανίζεται και στο Northern rose window του
καθεδρικού ναού στο Amiens με τη μορφή ενός χρυσού
πενταγώνου (δεξιά) όπως και στο Παράθυρο της
Αναγέννησης (αριστερά).
ΣΕΛΙΔΑ 76

78. 1.2.2 Ο αριθμός Φ στο Taj Mahal.
Παρατηρούμε ότι ο αριθμός Φ εμφανίζεται με τη
μορφή αναλογιών ανάλογες με αυτές που
εμφανίζονται στις πυραμίδες και στο σημαντικότερο
επίτευγμα αρχιτεκτονικής στις ανατολικές χώρες, στο
Taj Mahal . Εικάζεται ότι ο κήπος του είναι ένα χρισό
ορθογώνιο και ακόμα ότι εμφανίζονται χρυσά
ορθογώνια στην είσοδο του . Επίσης, παρατηρούνται
πεντάγραμμα και χρυσά τρίγωνα στην δομή του
κτιρίου.
Το Taj Mahal είναι ένα μαυσωλείο στην Ινδία που
χτίστηκε σύμφωνα με τον αυτοκράτορα Shah Jahah
στη μνήμη της συζύγου του. Χάρη στις χρυσές
αναλογίες που εμφανίζει προκαλεί δέος στους
επισκέπτες εδώ και αιώνες.
ΣΕΛΙΔΑ 77

79. 1.2.3 Το «Χρυσό» κάστρο του Windsor.
Χρυσοί λόγοι κάνουν την εμφάνιση τους και στο κάστρο του Windor στο Ηνωμένο Βασίλειο που
χτίστηκε τον 11ο αιώνα. Είναι άγνωστος ο κατασκευαστής του, αλλά ξέρουμε ότι κατοικήθηκε
από πολλούς βασιλιάδες της εποχής εκείνης.
ΣΕΛΙΔΑ 78

80. 1.2.4 Το Σινικό Τοίχος.
Ο χρυσός λόγος εμφανίζεται και στο σινικό
τείχος το οποίο κατασκευάστηκε από το
τέλος του 14ου μέχρι και τις αρχές του 17ου
αιώνα κατά τη διάρκεια της δυναστείας
Μίνκγ , προκειμένου να προστατευθεί η
Κίνα από τις επιδρομές των μογγολικών και
των τουρκικών φυλών.
ΣΕΛΙΔΑ 79

81. 1.3. Ο αριθμός Φ στην σύγχρονη αρχιτεκτονική.
1.3.1 Farnsnorth House του Μies van de Roche.
Ο Γερμανοαμερικανός αρχιτέκτονας Μies van de Roche (1886-1969) έμεινε γνωστός για τις
δημιουργίες του σε πολλές από τις οποίες χρησιμοποίησε τη χρυσή τομή.
Για παράδειγμα στο Farnsnorth House που σχεδίασε το 1946 λέγεται ότι οι λόγοι ανάμεσα
στους γυάλινους τοίχους πλησιάζουν το ½ και ότι ο λόγος του πλάτους προς το μήκος του είναι
1:1,75 , δηλαδή περίπου ίσος με Φ.
ΣΕΛΙΔΑ 80

82. 1.3.2 O Charles-Édouard Jeanneret (Le Corbusier).
Ο Charles-Édouard Jeanneret γνωστός και ως Le Corbusier ήταν Ελβετός αρχιτέκτονας,
διάσημος για τη συνεισφορά του σε αυτό που καλείται σήμερα μοντερνισμός ή πρώιμος
μοντερνισμός.
Ο Le Corbusier ήταν ένας από τους ισχυρότερους
υποστηρικτές της εφαρμογής της χρυσής αναλογίας
στην τέχνη και την αρχιτεκτονική και αρχικά
φαινόταν ότι ήταν αρνητικός σχετικά με την
εφαρμογή του χρυσού λόγου στην τέχνη ,όμως
αργότερα άλλαξε γνώμη καθώς μετά το 1927
άρχισε να χρησιμοποιεί την τεχνική αυτή. Η αγάπη
του
αργότερα για την χρυσή τομή τον έκανε να
επινοήσει ένα νέο σύστημα μέτρησης με βάση τη
σειρά Fibonacci , το Modulor . Το modulor
κατασκευάστηκε μεταξύ του 1943 και 1955 την
εποχή εκείνη που τα μαθηματικά ήταν πολύ
διαδεδομένα και που πίστευαν ότι έδιναν λύση σε όλο το σύμπαν υποτείνετε ότι ήταν η
ιδανική αναλόγια στον άνθρωπο η οποία μπορούσε να εφαρμοστεί στα πάντα, για
παράδειγμα στην αρχιτεκτονική και στη μηχανική.
Για να βγάλει τις διαστάσεις του modulor, o Le Corbusier, βασιζόμενος στο
έργο του Βιτρούβιου διαίρεσε το συνολικό ύψος ενός ανθρώπου, από τα
πόδια ως την παλάμη του σηκωμένου χεριού του, σε 2 ίσα μέρη στο ύψος
του αφαλού και αποδείχτηκε ότι το συνολικό ύψος διαιρείται σύμφωνα με
τη χρυσή τομή στο ύψος του καρπού του χεριού που κρέμεται (86:140). Ο
modulor man έχει παραμορφωμένα χέρια τα οποία τηρούν την χρυσή
αναλόγια και μοιάζει με την μασκότ της michelin.
Ο καλλιτέχνης υποστήριζε ότι το modulor θα έδινε λύση σε όλα τα πράγματα από το χερούλι
της τουαλέτας έως το μακρινό διάστημα. Έλεγε πως σε ένα
κόσμο μαζικής παράγωγης τα προϊόντα με modulor θα ήταν
τα ιδανικά. Η αναλόγια φαίνεται σε όλα τα έργα του ακόμα
και στα κτήρια που ηγήθηκε της κατασκευής, για παράδειγμα
στη villa stein.
ΣΕΛΙΔΑ 81

83. 1.3.2.Α Η Villa Stein
Ένα από τα κτήρια που κατασκεύασε o Le Corbusier βασιζόμενος στην
χρυσή αναλογία είναι η βίλλα Stein η οποία χτίστηκε το 1927 στο
Grarches της Γαλλίας. Στο έργο αυτό διακρίνεται το χρυσό ορθογώνιο.
Οι εξωτερικοί τοίχοι είναι επίπεδοι και το πάτωμα του σπιτιού έχει
αναλογίες Φ αφού είναι φτιαγμένο σε χρυσό ορθογώνιο. Επιπρόσθετα,
κάθε βάση-πάτωμα και κάθε οροφή έχει το χρυσό ορθογώνιο, δηλαδή
τον Χρυσό Λόγο.
ΣΕΛΙΔΑ 82

84. ΣΕΛΙΔΑ 83

85. 1.3.2.Β Τo Unite d' Habitation de Marseill .
Ένα ακόμα κτίριο του Le Corbusier είναι το Unite d'
Habitation de Marseill . Το Unite d' Habitation de Marseill
φτιάχτηκε όλο με χρυσές αναλογίες και είναι
χαρακτηριστικό παράδειγμα εφαρμογής του modulor.
ΣΕΛΙΔΑ 84

86. 1.3.3 Χρυσές αναλογίες στο έργο του Joseph Luis Sert.
Ο Καταλανός αρχιτέκτονας και πολεοδόμος και μαθητής του Le Corbusier Joseph Luis Sert
(1902-1983) χρησιμοποίησε το modulor στα έργα του. Χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελούν
το Sert’s House στο Cambribge .
και το Joan Miro Foundation στην Barcelona .
ΣΕΛΙΔΑ 85

87. 1.4 Ο αριθμός Φ στην μεταμοντέρνα αρχιτεκτονική.
1.4.1 Το «χρυσό» έργο του Μario Botta.
Ο Σουηδός αρχιτέκτονας Mario Botta βασίστηκε σε γεωμετρικά
σχήματα για να φτιάξει τα έργα του. Σε ένα σπίτι που σχεδίασε στο
Origlio η αναλογία μεταξύ του κεντρικού τμήματος και των
πλευρικών τμημάτων του σπιτιού είναι χρυσή.
ΣΕΛΙΔΑ 86

88. 1.4.2 Ο αριθμός Φ κτήριο του ΟΗΕ στην Νέα Υόρκη - UN BUILDING.
Τα σημερινά γραφεία των Ηνωμένων Εθνών (ΟΗΕ)
βρίσκονται στην Νέα Υόρκη, στο Μανχάταν από την
ανατολική πλευρά του ποταμού. Καλύπτει μια έκταση
72843.4 τετραγωνικών μέτρων. Χρίστηκε το 1952 από
τους Oscar Niemeyer, Le Corbusier, Harrisonτ και
Abramovitz.Τ ο συνολικό του ύψος είναι 155 μέτρα
και το κόστος του 65 εκατομμύρια δολάρια.
Το κτίριο αυτό υπακούει στο χρυσό λόγο. Όταν το
παρατηρήσουμε προσεκτικά θα δούμε ότι πολλά
παράθυρα έχουν την χρυσή αναλογία όταν
συγκρίνουμε το πλάτος με το ύψος. Αλλά η πιο
προφανής παρατήρηση είναι ότι αν συγκρίνουμε το
πλάτος κάθε ορόφου προς το ύψος κάθε 10 οροφών
μας δίνει φ.
Τα σημερινά γραφεία των Ηνωμένων Εθνών (ΟΗΕ) βρίσκονται στην Νέα Υόρκη, στο Μανχάταν
από την ανατολική πλευρά του ποταμού. Καλύπτει μια έκταση 72843.4 τετραγωνικών μέτρων.
Χρίστηκε το 1952 από τους Oscar Niemeyer, Le Corbusier, Harrisonτ & Abramovitz. Το
συνολικό του ύψος είναι 155 μέτρα και το κόστος του 65 εκατ. Δολάρια. Το κτίριο αυτό
υπακούει στο χρυσό λόγο. Όταν το παρατηρήσουμε προσεκτικά θα δούμε ότι πολλά
παράθυρα έχουν την χρυσή αναλογία όταν συγκρίνουμε το πλάτος με το ύψος. Αλλά η πιο
προφανής παρατήρηση είναι ότι αν συγκρίνουμε το πλάτος κάθε ορόφου προς το ύψος κάθε
10 οροφών μας δίνει φ.
ΣΕΛΙΔΑ 87

89. 1.4.3 Ο αριθμός Φ στον πύργο τηλεπικοινωνιών του Τορόντο(CN Tower)
Ο αριθμός Φ εντοπίζεται σε πολλά σύγχρονα αρχιτεκτονικά θαύματα . Ο πύργος
τηλεπικοινωνιών του Τορόντο στον Καναδά , γνωστός ως CΝ Tower φαίνεται να ακολουθεί την
χρυσή αναλογία Φ καθώς το συνολικό του ύψος διαιρεμένο με το ύψος όπου βρίσκεται το
κατάστρωμα παρατήρησης μας δίνει τον αριθμό Φ με μεγάλη ακρίβεια. Φυσικά το γεγονός
αυτό δεν αποτελεί σύμπτωση καθώς η ομάδα αρχιτεκτόνων που σχεδίασε τον ψηλότερο
πύργο του κόσμου με επικεφαλής τον John Andrews ,επέλεξε την χρυσή τομή ώστε να κάνει
τον πύργο όσο πιο αισθητικά σωστό ήταν δυνατόν
Στις παρακάτω εικόνες είναι εμφανές το που εντοπίζεται ο αριθμός Φ στον πύργο
(1)
(2)
(1) Συνολικό ύψος / Ύψος καταστρώματος παρατήρησης = 553,33 / 342 = 1.618 =Φ
(2) Ολόκληρο το ευθύγραμμο τμήμα προς το λευκό μας δίνει τον αριθμό 1,618 = Φ
ΣΕΛΙΔΑ 88

90. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
ΣΕΛΙΔΑ 89

91. 2.1 Χρυσές αναλογίες στα έργα του Leonardo Da Vinci.
2.1.1 Η «Μόνα Λίζα» .
Ο διάσημος ζωγράφος τελείωσε τον πίνακα γύρω στο 15031519 και είναι ένας από τους πιο μυστηριώδες πίνακες. Στον
πίνακα μπορούμε να συναντήσουμε σε πολλά σημεία τον
αριθμό φ. Αν μετρήσουμε την απόσταση από τα δάχτυλα της
Μόνα Λίζα μέχρι την κορυφή του μετώπου είναι 1,618 .Το ίδιο
συμβαίνει και αν μετρήσουμε την απόσταση από τα δάχτυλα
μέχρι την βάση του λαιμού. Παρατηρούμε επίσης ότι ο Davinci
ζωγράφισε την μορφή της κατά τέτοιον τρόπο ώστε να χωράει
τέλεια σε χρυσό ορθογώνιο, αλλά και ο υπόλοιπος πίνακας
γύρω από το πρόσωπο να είναι χωρισμένος και αυτός σε ένα
χρυσό ορθογώνιο. Επίσης μπορούµε να βγάλουµε ένα
ορθογώνιο του οποίου η βάση να εκτείνεται από το δεξιό
καρπό της γυναίκας στον αριστερό και το µήκος του να φτάνει στην κορυφή του κεφαλιού.
Επιπλέον, αν σχεδιάσουμε κι άλλα ορθογώνια στο κεντρικό, τότε βλέπουμε πως τα άκρα τους
καταλήγουν σε σημαντικά σημεία του προσώπου της : στο πιγούνι, στη µύτη, στο µάτι και στη
γωνία από το µυστηριώδες της στόµα .
Η εικόνα αριστερά παρουσιάζει τις χρυσές αναλογίες που
διέπει το δημοφιλέστερο έργο του Davinci. Υπάρχουν
όμως πολλές αντικρουόμενες απόψεις για τον
συγκεκριμένο πίνακα. Πολλοί υποστηρίζουν ότι δεν
εντοπίζεται σε κανένα σημείο ο αριθμός φ ενώ άλλοι πως
εντοπίζεται μόνο γύρω από το πρόσωπο το χρυσό
ορθογώνιο. . Ωστόσο , δεν υπάρχει καμία ένδειξη που να
αναφέρει ξεκάθαρα που ακριβώς θα έπρεπε να χαραχτεί
αυτό το ορθογώνιο. Ένας άλλος ισχυρισμός στηρίζει την
άποψη ότι για να τελειώσει τον πίνακα χρησιμοποίησε τα
χαρακτηριστικά του προσώπου του λόγω της έλλειψης
μοντέλου. Αυτό αποδεικνύεται από μία σύγκριση που
έγινε μεταξύ αυτού του
πορτρέτου και μίας αυτοπροσωπογραφίας του DaVinci, όπου οι αναλογίες των
προσώπων είναι παρόμοιες. Αξίζει να σημειώσουμε ότι οι ίδιες αναλογίες έχουν
χρησιμοποιηθεί και σε άλλους πίνακες όπως το κεφάλι ενώ γέρου. Καταλήγουμε στο
συμπέρασμα ότι ο αριθμός φ ενδέχεται να υπάρχει στον πίνακα της Μόνα Λίζα χωρίς να το
έχουμε εξακριβώσει.
ΣΕΛΙΔΑ 90

92. 2.1.2 Το «κεφάλι ενός γέρου» .
Το σχέδιο «κεφάλι ενός γέρου» βρίσκεται στην Gallerie dell'Accademia στη Φλωρεντία .
Το σχέδιο παρουσιάζει ένα κεφάλι που έχει επικαλυφθεί από ένα τετράγωνο το οποίο
χωρίζεται σε ορθογώνια. Το ορθογώνιο στη μέση αριστερά αποδεικνύει ότι ο Λεονάρντο
χρησιμοποίησε ορθογώνια για τον προσδιορισμό των διαστάσεων στους πίνακες κι ότι πολύ
πιθανόν έχει εξετάσει την εφαρμογή του Χρυσού Λόγου στην τέχνη του. Ωστόσο δεν είναι
ούτε εδώ είναι ξεκάθαρο για το που ακριβώς πρέπει να χαραχτεί το τετράγωνο.
ΣΕΛΙΔΑ 91

93. 2.1.3. O «Άγιος Ιερώνυμος» (Saint Jerome) .
Το συγκεκριμένο έργο είναι ημιτελές και υπάρχει αβεβαιότητα για το αν έχει χρησιμοποιηθεί ο
αριθμός Φ. Απεικονίζει τον Ηρακλή με ένα λιοντάρι να ξαπλώνει στο πόδι του . Σε μερικά
βιβλία , όπως από τον Ντέιβιντ Μπεργαμίνι , αναφέρεται ότι γύρω από την κεντρική
φιγούρα ταιριάζει απόλυτα ένα χρυσό ορθογώνιο. αυτό όμως δεν είναι αποδεκτό από
όλους τους ερευνητές των έργων τέχνης υποστηρίζοντας ότι το σώμα του δεν χωράει σε ένα
χρυσό ορθογώνιο. Αυτό φαίνεται πιο έντονα στην αριστερή Πλευρά του πίνακα όπου το
μπράτσο του εκτείνεται πολύ πέρα από την πλευρά του ορθογωνίου.
ΣΕΛΙΔΑ 92

94. 2.1.4 O «Βιτρούβιος άντρας» .
Ο Άνθρωπος του Βιτρούβιου είναι ένα διάσηµο σχέδιο µε συνοδευτικές σημειώσεις του
Λεονάρντο Ντα Βίντσι, που φτιάχτηκε περίπου το 1490 σε ένα από τα ημερολόγια του.
Απεικονίζει µία γυµνή αντρική φιγούρα σε δύο αλληλοκαλυπτόµενες θέσεις µε τα µέλη του
ανεπτυγμένα και συγχρόνως εγγεγραμμένη σε ένα κύκλο και ένα τετράγωνο. Το σχέδιο και το
κείμενο συχνά ονομάζονται Κανόνας των Αναλογιών και στηρίζεται στο "χρυσό κανόνα" του
Φιµπονάτσι. Σύµφωνα µε τις σημειώσεις του Ντα Βίντσι στο συνοδευτικό κείμενο, το σχέδιο
έγινε ως µελέτη των αναλογιών του (ανδρικού) ανθρώπινου σώµατος όπως περιγράφεται σε
µια πραγματεία του Ρωµαίου αρχιτέκτονα Βιτρούβιου, που είχε γράψει για το ανθρώπινο
σώµα:
• µια παλάµη έχει πλάτος τεσσάρων δακτύλων
• ένα πόδι έχει πλάτος τέσσερις παλάµες
• ένας πήχης έχει πλάτος έξι παλάµες
• το ύψος ενός ανθρώπου είναι τέσσερις πήχεις
(και άρα 24 παλάµες)
• µια δρασκελιά είναι τέσσερις πήχεις
• Το µήκος των χεριών ενός άντρα σε διάταση
είναι ίσο µε το ύψος του
• η απόσταση από την γραµµή των µαλλιών ως
την κορυφή του στήθους είναι το 1/7 του ύψους
του άνδρα
• η απόσταση από την κορυφή του κεφαλιού ως
τις θηλές είναι το 1/4 του ύψους του άνδρα
• το µέγιστο πλάτος των ώµων είναι το 1/4 του
ύψους του άνδρα
• η απόσταση από το αγκώνα ως την άκρη του
χεριού είναι το 1/5 του ύψους του άνδρα
• η απόσταση από τον αγκώνα ως την µασχάλη
είναι το 1/8 του ύψους του άνδρα
• το µήκος του χεριού είναι 1/10 του ύψους ενός άνδρα
• η απόσταση από την άκρη του πηγουνιού ως την µύτη είναι το 1/3 του µήκους του
προσώπου
• η απόσταση της γραµµής των µαλλιών ως τα φρύδια είναι το 1/3 του µήκους του προσώπου
• το µήκος του αυτιού είναι το 1/3 του µήκους του προσώπου.
Το ίδιο το σχέδιο συχνά χρησιμοποιείται ως ένα υπονοούµενο σύµβολο της ουσιώδους
συµµετρίας του ανθρώπινου σώµατος, και κατά προέκταση του σύµπαντος ως σύνολο.
Το ανθρώπινο σώμα έχει δομηθεί και αναπτύσσεται σε αναλογίες φ. Ο ομφαλός είναι φυσικά
τοποθετημένος στο κέντρο του ανθρώπινου σώματος, και αν σε έναν άνδρα ξαπλωμένο με το
πρόσωπο στραμμένο επάνω και τα χέρια και τα πόδια του ανοιχτά, με τον ομφαλό του ως
κέντρο εγγράψουμε ένα κύκλο, θα ακουμπήσει τα δάχτυλα των χεριών και τα δάχτυλα των
ποδιών του. Δε γίνεται, όμως, μόνο μέσω ενός κύκλου, η περιγραφή ενός ανθρώπινου
σώματος, όπως φαίνεται τοποθετώντας τον σε ένα τετράγωνο. Μετρώντας από τα πόδια ως
την κορυφή του κεφαλιού και έπειτα κατά μήκος των χεριών σε πλήρη έκταση, βρίσκουμε την
τελευταία μέτρηση ίση με την πρώτη. ‘Έτσι οι γραμμές σε ορθή γωνία μεταξύ τους,
περικλείοντας την φιγούρα σχηματίζουν ένα τετράγωνο. Τέλος εάν διαιρέσουμε τη μία πλευρά
του (το ύψος του ανθρώπου) με την ακτίνα του κύκλου ( την απόσταση ομφαλού-δακτύλων),
θα έχουμε το χρυσό αριθμό.
ΣΕΛΙΔΑ 93

95. 2.1.5. Η «Μαντόνα των βράχων» του Leonardo Da Vinci.
O λόγος του ύψους προς το πλάτος πίνακα είναι περίπου 1,64, ο οποίος συγκλίνει προς το χρυσό
αριθμό φ. Επίσης, κάποιοι υποστήριξαν πως μέσα στον πίνακα γύρω από τη φιγούρα της Μαντόνας
σχηματίζεται ένα χρυσό τρίγωνο .
Υπάρχουν δύο εκδοχές της «Μαντόνας των Βράχων» η μία βρίσκεται στο Λούβρο και η άλλη στην
Εθνική Πινακοθήκη του Λονδίνου.
Στον πίνακα που εκτίθεται στο Λούβρο ο λόγος του ύψους
προς το πλάτος είναι περίπου 1,64 και στο δεύτερο
πίνακα ο ίδιος λόγος είναι 1,58. Και οι δύο λόγοι
συγκλίνουν προς το χρυσό αριθμό φ. Επίσης, κάποιοι
υποστήριξαν πως μέσα στον πίνακα γύρω από τη φιγούρα
της Μαντόνας σχηματίζεται ένα χρυσό τρίγωνο .Όμως η
χρονολόγηση και η αυθεντικότητα των δύο πινάκων
έφερε κάποιους ισχυρισμούς για την ύπαρξη του Χρυσού
Λόγου. Ειδικοί οι οποίοι μελέτησαν τους δύο πίνακες,
ισχυρίζονται πως η Μαντόνα του Λούβρου έχει
ολοκληρωθεί από τον Λεονάρντο, σε αντίθεση με την
Μαντόνα στην Εθνική Πινακοθήκη του Λονδίνου η οποία
θεωρείται πως μπορεί να ήταν μια «συλλογική
προσπάθεια». Επιπρόσθετα η Μαντόνα του Λούβρου
τελειοποιήθηκε μεταξύ του 1483 - 1486, η Μαντόνα στο
Λονδίνο γύρω στο 1506.
Αυτές οι ημερομηνίες μπορεί να έχουν κάποια ιδιαίτερη
σημασία διότι ο Λεονάρντο συνάντησε τον Λούκα
Πατσιόλι, ιταλό μαθηματικό από τον οποίο διδάχτηκε τη
χρυσή αναλογία πρώτη φορά το 1496. Αυτό σημαίνει πως η πρώτη εκδοχή της Μαντόνας των Βράχων
ολοκληρώθηκε 10 χρόνια προτού ο Λεονάρντο γνωρίσει από έγκυρη πηγή την «Θεία Αναλογία». Ο
ισχυρισμός ότι ο Λεονάρντο χρησιμοποίησε το Χρυσό Λόγο στη «Μαντόνα των Βράχων» εκφράζει την
πεποίθηση ότι ο καλλιτέχνης υιοθέτησε αυτή την αναλογία πριν ακόμα ξεκινήσει τη συνεργασία του με
τον Πατσιόλι.
O λόγος του ύψους προς το πλάτος πίνακα είναι περίπου 1,64, ο οποίος συγκλίνει προς το χρυσό
αριθμό φ. Επίσης, κάποιοι υποστήριξαν πως μέσα στον πίνακα γύρω από τη φιγούρα της Μαντόνας
σχηματίζεται ένα χρυσό τρίγωνο .
ΣΕΛΙΔΑ 94

96. 2.1.6 Η «Λύδα και ο κύκνος» του Leonardo Da Vinci.
Η Λήδα και ο κύκνος είναι ένα μοτίβο από την αρχαία ελληνική μυθολογία σύμφωνα με την οποία η
Λήδα ήταν γυναίκα του βασιλιά της Σπάρτης Τυνδάρεως την οποία ο Δίας βίασε ή παρέσυρε στο
κρεβάτι με αποτέλεσμα να γεννηθούν δύο παιδιά ο Κάστορας και η Κλυταιμνήστρα .Στις μέρες μας
διασώζεται μωσαϊκό του 3 αιώνα προ χριστού στην Κύπρο που απεικονίζει την Λήδα με έναν κύκνο .
Ο πίνακας του Λεονάρντο ντα Βίντσι <<Η Λήδα και ο Κύκνος>> φτιάχτηκε το 1508 και στην εποχή
μας θεωρείται χαμένος ή κατεστραμμένος επομένως δεν υπάρχουν και κριτικές του συγκεκριμένου
πίνακα . Τελευταία φορά που εμφανίστηκε ο πίνακας ήταν το 1625 και ανήκε στην βασιλική οικογένεια
και βρίσκονταν στο παλάτι Fontainebleau .
Ο αριθμός Φ λέγεται πως εμφανίζεται στο πίνακα με τη μορφή σπειρών στις μπούλκλες της κοπέλας
που απεικονίζει.
ΣΕΛΙΔΑ 95

97. 2.2 Oι τρεις Μadonnes.
Τον 13ο αιώνα τρεις καλλιτέχνες εργάστηκαν συμπεριλαμβάνοντας στα έργα τους αναλογίες
που προσεγγίζουν τον χρυσό λόγο.
Ο Ιταλός ζωγράφος και αρχιτέκτονας Giotto di Bondone (1267-1337) ζωγράφισε την Ognissanti
Madonna η οποία είναι γνωστή και ως Madonna in Glory ''Η ένδοξη Παναγία''. Επιπλέον και ο
πίνακας αλλά και τα κεντρικά νούμερα μπορούν να χαραχτούν με Χρυσά Ορθογώνια.
Παρόμοια και του καλλιτέχνη Duccio di Buoninsegna (1255-1319) η Madonna Rucellai αλλά και
του Φλωρεντιανού ζωγράφου Cenni de Pepo's (1240-1302) η Santa Trinita Madonna μπορούν
να χαραχτούν επίσης με Χρυσά Ορθογώνια. Τέλος, είναι προς σκέψη το γεγονός ότι αυτοί οι
τρείς ζωγράφοι δεν συμπεριέλαβαν την Χρυσή Αναλογία στους πίνακες τους αλλά αυτοί
καθοδηγήθηκαν από την υποσυνείδητη ιδιότητα της Χρυσής Αναλογίας και επίσης το γεγονός
ότι οι τρείς Παναγίες είχαν κατασκευαστεί αιώνες πριν από την κυκλοφορήσει του The Divine
Ratio το οποίο έφερε στον κόσμο την αναλογία.
Ognissanti Madonna
Madonna Rucellai
Santa Trinita Madonna
ΣΕΛΙΔΑ 96

98. 2.3 Η πεντάλφα του Henry Cornelius Agrippa.
Η πιο φημισμένη πεντάλφα είναι αυτή του Henry Cornelius Agrippa που απεικονίζει έναν
άνθρωπο στο κέντρο να εκτείνει τα πόδια και τα χέρια του στον κύκλο που περικλείει την
πεντάλφα. Τα άκρα φέρουν πλανητικά σύμβολα και το κέντρο το σύμβολο της σελήνης.
Το συγκεκριμένο έργο αποτελεί παραλλαγή του Βιτρούβιου Άνδρα του Λεονάρντο ντα Βίντσι,
συμβολίζοντας την σχέση του ανθρώπου με το σύμπαν, παραπέμποντας στην Θεϊκή Αναλογία,
η οποία κρύβεται και στο Βιτρούβιο Άνδρα, αλλά και στην Πεντάλφα που είναι χαρακτηριστικό
παράδειγμα της Θεϊκής Αναλογίας.
Αυτή αποτελεί την πιο φημισμένη πεντάλφα, της οποία το πεντάστερο σχήμα μπορεί να
χωριστεί σε έξι μικρότερα σχήματα, πέντε ισοσκελή τρίγωνα και ένα τέλειο πεντάγωνο. Εάν
υποθέσουμε πως οι ισοσκελείς πλευρές των τριγώνων έχουν μήκος ίσο με 1 εκατοστό και πως
κάθε πλευρά του πενταγώνου έχει μήκος ίσο με x, τότε η πράξη 1 + x μας δίνει ως αποτέλεσμα
τον χρυσό αριθμό Φ.
ΣΕΛΙΔΑ 97

99. 2.4 H Αγία Οικογένεια του Michelangelo.
Φαίνεται και πως ο Μιχαήλ Άγγελος γνώριζε τις αναλογίες του αριθμού Φ Στο συγκεκριμένο
έργο του, The Holy Family (H Αγία Οικογένεια) ή αλλιώς Doni Tondo , όπου Tondo ονομάζεται
η τεχνική που ζωγραφίζει ο καλλιτέχνης σ’ ένα κύκλο όπως κι η κυκλική μορφή του πίνακα.
Χάρη στην κυκλική του μορφή, σχηματίζεται ένα Χρυσό Πεντάγραμμο ή αλλιώς χρυσό αστέρι ,
το οποίο αποτελείται από έξι χρυσά τρίγωνα και το τρίγωνο στην κορυφή περιέχει το πρόσωπο
της Μαρίας, όπως φαίνεται και στην παρακάτω εικόνα.
Λέγεται πως ο Michelangelo χρησιμοποίησε ένα χρυσό πεντάλφα σ’ αυτόν τον πίνακα αφού
ήθελε να δείξει πως είναι χριστιανικό σύμβολο. Ο πίνακας αυτός δημιουργήθηκε γύρω στο
1507 και βρίσκεται στο Uffizi της Φλωρεντίας .Ζωγραφίστηκε με λάδι και τέμπερες και έχει
διαστάσεις 120 cm.
ΣΕΛΙΔΑ 98

100. 2.5 H «Σταύρωση» του Raphael.
Ο Ραφαήλ γεννήθηκε στο Ουρμπίνο της Ιταλίας. Το εξαιρετικό ταλέντο του φάνηκε από τη
νεανική του ηλικία. Το 1504 μελέτησε στη Φλωρεντία τους μεγάλους αναγεννησιακούς
ζωγράφους, από τους οποίους
επηρεάστηκε, και εκεί
διαμόρφωσε το δυναμικό του
σχέδιο και τη μελετημένη
σύνθεση. Χαρακτηριστικά των
έργων του είναι η συμμετρία, η
αρμονία, οι εξιδανικευμένες
μορφές, η χάρη στη γυναικεία
κίνηση, η θρησκευτικότητα κ.ά.
Το έργο ονομάζεται «Σταύρωση
Γκαβάρι», γιατί δημιουργήθηκε
από τον νεαρό τότε Ραφαήλ.
Στην Σταύρωση οι φιγούρες
σκιαγραφούν ένα χρυσό
τρίγωνο που μπορεί να
χρησιμοποιηθεί για να εντοπίσουμε ένα από τα χρυσά αστέρια ή χρυσά πεντάγραμμα.
ΣΕΛΙΔΑ 99

101. 2.6 «Το Μυστήριο του Μυστικού Δείπνου» του Dali.
Τον 20ο αιώνα το έργο του Dali «Το μυστήριο του Μυστικού Δείπνου» (The Sacrament of the
Last Supper) είναι πλαισιωμένο σε ένα χρυσό ορθογώνιο.
Ακόμα, το τραπέζι έχει τοποθετηθεί ακριβώς στην χρυσή τομή του πλάτους του πίνακα και τα
παράθυρα στο βάθος του πίνακα φαίνεται να αποτελούν μέρος ενός χρυσού δωδεκάεδρου
ΣΕΛΙΔΑ100

102. 2.7 “Bathers at Asnières” (Οι Λουόμενοι ) του George-Pierre Seurat.
Ο Georges Pierre Seurat ήταν Γάλλος μετά- ιμπρεσιονιστής καλλιτεχνης. Είναι γνωστός για την
πρωτότυπη τεχνική του ,γνωστή και ως ποιντιλισμος. Το μεγάλης κλίμακας έργο του A Sunday
Afternoon on the Island of La Grande Jatte (1884–1886) άλλαξε την πορεία της μοντέρνας
τέχνης ιδρύοντας τον νέο-ιμπρεσιονισμό. Είναι ένας από τους καλλιτέχνες σύμβολα του 19ου
αιώνα.
Ένας πολύ γνωστός πίνακάς του είναι οι λουόμενοι, Bathers at Asnières. Ο πίνακας αυτός
είναι ζωγραφισμένος με λαδοκαμβά και είναι ο ένας από τους δυο τεράστιους πινάκες του
ζωγράφου.
Ο πίνακας έχει το κάτι εντυπωσιακό .Είναι φτιαγμένος με χρυσή αναλογία καλλιτέχνης
εκμεταλλεύτηκε την "μαγεία’’ του χρυσού λόγου και δημιούργησε αυτό το αριστούργημα της
σύγχρονης τέχνης.
Όπως φαίνεται και στις φωτογραφίες ο πίνακας έχει λεπτομέρειες οι οποίες δεν είναι τυχαίες.
Για παράδειγμα , παρατηρήσουμε ότι οι τρείς φιγούρες είναι εγγεγραμμένες σε χρυσά
ορθογώνια . Ο ζωγράφος έχει χρησιμοποιήσει τον χρυσό λόγο ως βοηθό στα έργα του. Έτσι το
έχει εφαρμόσει για να φαίνεται πιο όμορφο, να δίνει δηλαδή την αίσθηση του τέλειου.
ΣΕΛΙΔΑ101

103. 2.8 «The Golden Stairs» του Edward Burne Jones.
Ο Edward Burne Jones,που δημιούργησε το “The Golden Stairs” σχεδίασε σχολαστικά την
παραμικρή λεπτομέρεια χρησιμοποιώντας τη χρυσή
τομή. Η χρυσή τομή εμφανίζεται στα σκαλιά και στο
δακτύλιο της τρομπέτας που μεταφέρεται από την
τέταρτη γυναίκα από την κορυφή. Τα μήκη των
φορεμάτων από τη ζώνη κάτω από το στήθος στο κάτω
στρίφωμα βρίσκει το σημείο Φ στα γόνατα τους. Το
πλάτος της εσωτερικής πόρτας στο πίσω μέρος του από
την κορυφή της σκάλας είναι μια χρυσή τομή του
πλάτους της κορυφής του ανοίγματος του φεγγίτη.
ΣΕΛΙΔΑ102

104. 2.9 «Composition in red yellow and blue-piet» του Mondrian.
Ο Μόντριαν πίστευε ότι τα μαθηματικά και η τέχνη είναι συνδεδεμένα. Ο ίδιος σ’ αυτόν τον
πίνακα χρησιμοποίησε απλά γεωμετρικά σχήματα και τα τρία βασικά χρώματα (μπλε,
κόκκινο, κίτρινο).
Η άποψή του ήταν ότι κάθε σχήμα είναι πιθανό να δημιουργηθεί με βασικά γεωμετρικά
σχήματα, όπως και κάθε χρώμα είναι συνδυασμός των τριών βασικών χρωμάτων. Το
χρυσό ορθογώνιο είναι ένα απ ό τα βασικά σχήματα που εμφανίζεται στην τέχνη του .
Για παράδειγμα, σ’ αυτόν τον πίνακα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι η αναλογία του
μήκους και του πλάτους για κάποια ορθογώνια είναι η χρυσή αναλογία.
ΣΕΛΙΔΑ103

105. 2.10 Η Αυτοπροσωπογραφία του Rembrandt
Ο Rembrandt ήταν ακόμα ένας καλλιτέχνης ο οποίος βασίστηκε στην χρυσή τομή, το οποίο
παρατηρούμε στην παρακάτω αυτοπροσωπογραφία του (Self-Portrait).
Οι χρυσές αναλογίες παρουσιάζονται στην τριγωνική σύνθεση μέσα στην οποία βρίσκεται η
κεντρική φιγούρα του πίνακα. Αν τραβήξουμε µία γραμμή κάθετα από την κορυφή του
τριγώνου έως και την βάση του, την χωρίζει σε δύο ευθύγραμμα τμήματα που ο λόγος τους
είναι ίσος με Φ.
O πίνακας είναι ένα παράδειγμα τριγωνικής σύνθεσης-κρατώντας ένα περίπλοκο θέμα που
περιλαμβάνει τρεις ευθείες γραμμές. Τα άνισα μήκη των πλευρών τους προσθέτουν λίγη
διαφορετικότητα. Η κάθετη γραμμή από την κορυφή του τριγώνου στη βάση τέμνει τη βάση
στο σημείο της χρυσής τομής.
ΣΕΛΙΔΑ104

106. 2.11 « Το πορτρέτο του Luca Pacioli» από τον Jacopo de Darbari.
Στο παρακάτω πορτραίτο του Luca Pacioli , ο Jacopo de Darbari τον αναπαριστά να διδάσκει
Γεωμετρία σ’ ένα μαθητή. Ακόμα , στα δεξιά φαίνεται ένα από τα Πλατωνικά Στερεά, ένα
δωδεκάεδρο ν’ ακουμπάει επάνω στο βιβλίο του Summa.
Ο πίνακας έχει άριστες μαθηματικές και καλλιτεχνικές αναλογίες. Ειδικότερα, οι μαθηματικές
αναλογίες ακολουθούν την φιλοσοφία της χρυσής τομής και βρίσκουν εφαρμογή στην
αρχιτεκτονική του πίνακα.
ΣΕΛΙΔΑ105

107. 2.12 Η παρέλαση του Seurat.
Η παρέλαση του Γάλλου νέο-ιμπρεσιονιστή καλλιτέχνη Seurat (1859-1891), που
χαρακτηρίζεται από το γνωστό του στυλ με τις άπειρες κουκκίδες , περιέχει πλήθος
παραδειγμάτων χρυσών αναλογιών. Σύμφωνα με ένα εμπειρογνώμονα τέχνης, ο Seurat
επιτέθηκε σε κάθε καμβά του με την χρυσή αναλογία.
2.13 Norham Castle at Sunrise.
Η ζωγραφιά «Norham Castle at Sunrise» παρουσιάζει στους ποικίλους καμβάδες της γεωμετρικές
ομοιότητες με τις χρυσές υποδιαιρέσεις.
ΣΕΛΙΔΑ106

108. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3
ΣΕΛΙΔΑ107

109. 3.1. Η Αφροδίτη της Μήλου.
Η Αφροδίτη της Μήλου, θεωρείται το αριστούργημα του Αγήσανδρου ή Αλέξανδρου της
Αντιοχείας και της γυναικείας ομορφιάς.
Το άγαλμα είναι δημιούργημα της ελληνιστικής εποχής 1820, αλλά σήμερα εκτίθεται στο
Λούβρο.
Η θέση του ομφαλού χωρίζει το άγαλμα σε μέσο και άκρο λόγο.H απόσταση από τον ομφαλό
έως την κορυφή του κεφαλιού είναι 0,382. Ενώ μετρώντας από τον ομφαλό και κάτω είναι
0,618.
Από τη διαίρεση 0,382+0,618)/0,618=1,618 συμπεραίνουμε ότι εφαρμόστηκε κι εδώ ο αριθμός
«Φ».
ΣΕΛΙΔΑ108

110. 3.2 Ο Δορυφόρος του Πολύκλειτου.
Ο Δορυφόρος του Πολύκλειτου ή «Κανών» (440-430 π.Χ.) αποτελεί χαρακτηριστικό
παράδειγμα των αναλογιών που θα έπρεπε να έχει κάθε απεικόνιση της ανδρικής μορφής
όταν αυτή βρίσκεται σε όρθια στάση.
Το σώμα φαίνεται να ελίσσεται γύρω από τον
κατακόρυφο άξονα.
Κατασκευάζοντας αυτή τη συμμετρία επιτυγχάνει την
ισορροπία μέσα από την αντίρροπη κίνηση. Το βάρος
του σώματος στηρίζεται στο δεξί σκέλος με το
αντίστοιχο χέρι να πέφτει άτονο προς τα κάτω.
Αντίθετα, το αριστερό σκέλος είναι χαλαρό -τα
δάχτυλα μόλις αγγίζουν το έδαφος- και στρέφει λοξά
προς τα έξω με το γόνατο τελείως μετωπικό. Το
αντίστοιχο χέρι λυγισμένο έφερε στον ώμο δόρυ («Ο
δορυφόρος»).
Επιτυγχάνοντας να συνδέσει αυτές τις αντίρροπες
δυνάμεις, ο γλύπτης έφτασε στην πραγμάτωση της
τέλειας συμμετρίας. Ο δορυφόρος είναι περισσότερο
ογκηρός, με τετράγωνη φόρμα.
Ο χρυσός αριθμός «Φ» εμφανίζεται από τον ομφαλό έως την κορυφή του κεφαλιού και επίσης από τα
άκρα των δαχτύλων μέχρι τις αρθρώσεις.
ΣΕΛΙΔΑ109

111. 3.3 Ο Δαυίδ του Μιχαήλ-Άγγελου.
Ο Δαυίδ του Μιχαήλ-Άγγελου είναι βασισμένος στην χρυσή αναλογία. Οι χρυσές αναλογίες
του γλυπτού επιβεβαιώνονται από τον λόγο της απόστασης του ομφαλού μέχρι την κορυφή
του κεφαλιού (38 cm) προς την απόσταση του ομφαλού από το ύψος των αρθρώσεων των
δαχτύλων (62 cm).
ΣΕΛΙΔΑ110

112. 3.4 Ο Αρλεκίνος των Huan Gris και Zak Lipsits.
Ο Χουάν Γκρίς ο οποιός ήταν από την Ισπανία και ο Ζακ Λίπσιτς που ήταν από την Λιθουανία
ήταν εκπληκτικοί κυβιστές οι οποίοι χρησιμοποίησαν το Χρυσό Λόγο σε κάποια από τα έργα
τους. Ο Λίπστις βοήθησε τον Χουαν Γκρις στην κατασκευή του γλυπτού «Αρλεκίνος» το οποίο
βρίσκεται στο Μουσείο Τέχνης της Φιλαδέλφειας. Για την κατασκευή των επιθυμητών
αναλογιών στο άγαλμα οι δύο καλλιτέχνες χρησιμοποίησαν το τρίγωνο του Κέπλερ ,το οποίο
βασίζεται στο Χρυσό Λόγο.
Ο Λίπσιτς έγραψε: «Εκείνη την εποχή ενδιαφερόμουν πολύ για τις θεωρίες των
μαθηματικών αναλογιών, όπως και οι υπόλοιποι Κυβιστές, και προσπάθησα να τις
εφαρμόσω στα γλυπτά μου. Όλοι είχαμε μεγάλη περιέργεια γι’ αυτήν την ιδέα ενός
Χρυσού Κανόνα ή Χρυσής Τομής, ένα σύστημα το οποίο υποτίθεται ότι βρισκόταν
πίσω από την τέχνη και την αρχιτεκτονική της αρχαίας Ελλάδας».
ΣΕΛΙΔΑ111

113. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4
ΣΕΛΙΔΑ112

114. 4.1 Η χρυσή τομή στην κλασική μουσική και στα έργα του Μοτσαρντ.
Wolfgang Amadeus Mozart (1756-1791)
Είναι ευρέως γνωστό ότι η μουσική του Μότσαρτ είναι εκπληκτική, αλλά υπάρχει
αμφισβήτηση για το πώς έχει γράψει αυτές τις μελωδίες.
Η αδερφή του μας πληροφορεί ότι σε όλα τα μαθητικά του χρόνια μες το μυαλό του Μότσαρτ
υπήρχαν μόνο αριθμοί και μάλιστα στα περιθώρια μερικών από τις συνθέσεις του σημείωνε
μαθηματικές εξισώσεις. Επίσης, στις παρτιτούρες των μουσικών συνθέσεων Fantasia και
Fugue υπάρχουν γραμμένοι υπολογισμοί για την πιθανότητα να κερδίσει σε μια λαχειοφόρο
αγορά. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι λάτρευε τα μαθηματικά.
Η δομή της μουσικής του κινούσε την περιέργεια των μαθηματικών και ήθελαν να
διερευνήσουν κατά πόσο είχε περάσει στη σφαίρα επιρροής των μαθηματικών.
Ο John F. Putz, Καθηγητής Μαθηματικών στο Κολλέγιο Alma του
Μίσιγκαν έλαβε υπόψη του ότι η μουσική του Μότσαρτ ήταν γνωστή τον αρμονικό της ήχο
και για τις κομψές της αναλογίες. Γι’ αυτόν το λόγο σκέφτηκε ότι τα τμήματά του στις
σονάτες για πιάνο που χρησιμοποίησε ήταν πολύ κοντά στη διαίρεση της χρυσής τομής.
Σύμφωνα με τον Putz:
«Στον καιρό του Μότσαρτ, η μουσική φόρμα της σονάτας εξελίχθηκε σε δύο μέρη: στην
έκθεση, όπου το μουσικό θέμα εισάγεται , και στην ανάπτυξη και επανέκθεση όπου το κύριο
θέμα αναπτύσσεται και επαναλαμβάνεται. Είναι αυτός ο χωρισμός σε δύο ευδιάκριτα
τμήματα που δίνει την αιτία για να αναρωτηθεί κανείς πώς ο Μότσαρτ διένει με αυτές τις
εργασίες.»
Απλούστερα ο Μότσαρτ διαίρεσε τις σονάτες του σύμφωνα με τη χρυσή αναλογία , με την
έκθεση ως πιο το σύντομο τμήμα (x) και την ανάπτυξη και επανέκθεση ως το πιο μεγάλο
(1-x).
ΣΕΛΙΔΑ113

115. Ο Putz αντιστοίχισε τα δύο τμήματα - την έκθεση (x) και την ανάπτυξη και επανέκθεση (1-x)
από τον αριθμό των μέτρων στο κάθε ένα . Στο πρώτο μέρος της σονάτας αριθ.1 σε Ντο
Ματζόρε παραδείγματος χάριν, η έκθεση αποτελείται από 38 μέτρα και η ανάπτυξη και
επανέκθεση από 62 μέτρα.
Η διαίρεση 62:38 δίνει πηλίκο περίπου 1,63, προσεγγίζοντας πολύ το χρυσό αριθμό. Αυτό
είναι πολύ σημαντικό, γιατί δεν υπάρχουν άλλοι ακέραιοι αριθμοί από το 1 έως το 100 ( εκτός
από τους 38 και 62) που διαιρούμενοι μεταξύ τους να προσεγγίζουν πλησιέστερα τη χρυσή
αναλογία.
Μια εξίσου καλή προσέγγιση στο χρυσό τμήμα υπάρχει και στο δεύτερο μέρος αυτής της
σονάτας. Το τρίτο μέρος, εντούτοις, παρεκκλίνει από τη χρυσή τομή.
Ludwig van Beethoven (1770-1827)
Στο Mathematics Teaching Volume 84 του 1978, ο Derek Haylock στηρίζει την άποψη ότι ο
Beethoven χρησιμοποίησε την χρυσή αναλογία στην Πέμπτη συμφωνία του. Το μοτίβο της
διαιρεί την πρώτη πράξη σε χρυσό λόγο.
Η πρώτη πράξη αποτελείται από το μοτίβο (5 μέτρα), ένα μουσικό τα τμήμα (372 μέτρα),
ξανά το μοτίβο (5 μέτρα), ένα άλλο μουσικό τμήμα (228 μέτρα)και ολοκληρώνεται με το
μοτίβο (5 μέτρα). Επιπλέον, παρατηρούμε ότι: 372+5=377 228+5=233 377:233=1,618 .
Johann Sebastian Bach (1685-1750)
Τέλος, οι συνθέτες Debussy, Schubert, Satie, Bartok και ο Bach (ο οποίος μάλιστα συνήθιζε
να κωδικοποιεί το όνομά του και να το εμφανίζει στις συνθέσεις του) έχουν χρησιμοποιήσει
την χρυσή αναλογία στις συνθέσεις τους.
ΣΕΛΙΔΑ114

116. 4.2 Η χρυσή αναλογία στην Μέταλ μουσική. Χρυσή τομή και Lateralus.
Tο συγκρότημα Tool στους στίχους του τραγουδιού lateralus έχει χρησιμοποιήσει την χρυσή
αναλογία.
Ο αριθμός των συλλαβών των Λέξεων ανάμεσα στις παύσεις είναι οι έξι πρώτοι αριθμοί
Fibonacci (1, 2, 3,5, 8, 13):
(1) Black, (1) then, (2) white are, (3) all I see, (5) in my in ・fan ・cy, (8) red and yel ・low then
came to be, (5) rea ・ching out to me, (3) lets me see.
(2) There is, (1) so, (1) much, (2) more and (3) beck・ons me, (5) to look through to these, (8) in
・fi・nite pos・si・bil・i・ties.
(13) As be・low so a・bove and be・yond I im・ag・ine, (8) drawn out・side the lines of
rea・son.
(5) Push the en・ve・lope.
(3) Watch it bend.
Η χρυσή αναλογία σχετίζεται άμεσα με σπείρες, οι οποίες αναφέρονται αρκετές φορές τους
στίχους. Τα φωνητικά του τραγουδιστή ξεκινούν 1 λεπτό και 37 δευτερόλεπτα μετά
την έναρξη του τραγουδιού, το οποίο αντιστοιχεί σε 1,617 λεπτά (ο χρυσός αριθμός είναι
περίπου 1,618). Τα μέτρα είναι ασυνήθιστα και αλλάζουν από 9/8 σε 8/8 και 7/8. Όπως
Έχει πει και ο ντράμερ του συγκροτήματος, ο αυθεντικός τίτλος του τραγουδιού ήταν 9-8-7.
Ακόμα , ο αριθμός 987 είναι ο 17ος όρος της ακολουθίας Fibonacci (αν θεωρήσουμε ως πρώτο
όρο το 0 και όχι το 1).
ΣΕΛΙΔΑ115

117. 4.3. Οι μουσικές συχνότητες και η ακολουθία Fibonacci.
Έχει παρατηρηθεί πως όλες οι μουσικές συχνότητες βασίζονται στην ακολουθία Fibonacci.
Αυτό φαίνεται και στον παρακάτω πίνακα:
ΣΕΛΙΔΑ116

118. 4.4 Μουσικά όργανα που βασίζονται στην χρυσή τομή.
4.4.1. Το βιολί.
Στο βιολί που είναι ένα από τα πιο διαδεδομένα
μουσικά όργανα μπορούμε συχνά να συναντήσουμε
τον αριθμό Φ. Το ηχείο του βιολιού έχει δώδεκα ή
περισσότερα τόξα καμπυλότητας σε κάθε πλευρά . Το
επίπεδο τόξο στη βάση συχνά επικεντρώνεται στο
σημείο Χρυσής Τομής που βρίσκεται στην κάθετο
προς το κεντρικό ευθύγραμμο τμήμα.
4.4.2. Το πιάνο.
Στο πιάνο, η οκτάβα του πληκτρολογίου αποτελείται από
δεκατρία πλήκτρα , οκτώ λευκά και πέντε μαύρα. Τα πέντε
μαύρα με τη σειρά τους, αποτελούν μία ομάδα δύο
πλήκτρων και μία τριών. Οι αριθμοί 2,3,5,8,13 είναι οι
διαδοχικοί αριθμοί Fibonacci.
T
ΣΕΛΙΔΑ117

119. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5
ΣΕΛΙΔΑ118

120. 5.1 Ο αριθμός Φ στην ταινία «Ο Κώδικας ντα Βίντσι».
Στην ταινία «Ο Κώδικας ντα Βίντσι» για τη λύση του μυστηρίου
έχει αναφερθεί, η ακολουθία Φιμπονάτσι . Συγκεκριμένα οι
αριθμοί 1, 2, 3, 5, 8, 13 και 21 και διάφορα άλλα στοιχεία
σχετικά τον αριθμό Φ όπως ο «Βιτρούβιος Άντρας» και «Ο
Μυστικός Δείπνος», τα οποία έχει ζωγραφίσει ο ίδιος ο
Λεονάρντο ντα Βίντσι.
ΣΕΛΙΔΑ119

121. 5.2 Ο αριθμός Φ στις ταινίες «James Bond».
Η παρακάτω φωτογραφία είναι κομμάτι από το “Quantum of Solace”, 22ης ταινίας της σειράς
«James Bond» και αποτελεί την εναρκτήρια σκηνή για κάθε ταινία της σειράς εδώ και 51
χρόνια.
Σχετικά με την σκηνή αυτή εικάζεται πως οι σπείρες που βλέπουμε είναι φτιαγμένες με βάση
τον αριθμό Φ.
ΣΕΛΙΔΑ120

122. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6
ΣΕΛΙΔΑ121

123. Εδώ και 100 χρόνια η Aston Martin κρύβει ένα μυστικό πίσω από την κατασκευή των
υπερπολυτελών σπορ αυτοκινήτων της. Τα κατασκευάζει βάσει του αριθμού φ και για το λόγο
αυτό φαίνονται τόσο όμορφα.
Χαρακτηριστικά παραδείγματα αποτελούν η Aston Martin One-77 ,
το καινούργιο μοντέλο DB9
και το τετράθυρο μοντέλο του 2013, η Rapide S.
ΣΕΛΙΔΑ122

124. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7
ΣΕΛΙΔΑ123

125. Όσο κι αν ακούγεται περίεργο ο αριθμός Φ χρησιμοποιήθηκε και για τη δημιουργία όπλων.
Η Walther δημιούργησε το 1996, παράγοντας το μέχρι και σήμερα, το ημιαυτόματο πιστόλι
Walther P99, το οποίο χρησιμοποιήθηκε από το θρυλικό πράκτορα 007 ως το βασικό όπλο του
σε μερικές από τις τελευταίες του ταινίες. Στην παρακάτω εικόνα βλέπουμε τις αναλογίες
του αριθμού Φ πάνω στο όπλο, τις οποίες παρατήρησαν μαθηματικοί και οι λάτρες των
όπλων.
ΣΕΛΙΔΑ124

126. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8
ΣΕΛΙΔΑ125

127. 8.1 Χρυσοί λόγοι στον κόσμο της υψηλής μόδας.
Η «χρυσή» αναλογία βρίσκεται και στον κόσμο της υψηλής μόδας. Από την περιζήτητη τσάντα
Hermes Birkin, το κλασικό Gucci loafer μέχρι το περίφημο καρό Burberry, ακόμη και τα
λογότυπα από τους μεγάλους οίκους μόδας που εκπροσωπούν μπορείτε να βρείτε
παραδείγματα από την Θεία Αναλογία παντού!
Στα παρακάτω παραδείγματα, το λογότυπο της Chanel αποδεικνύει ότι το ύψος του C [σε
πράσινο], στο κέντρο, είναι η Θεία Αναλογία του πλάτους του C [σε κόκκινο]. Το λογότυπο του
Yves Saint Laurent ® αποδεικνύει ότι το ύψος του "Υ" [στο πράσινο] είναι η Θεία Αναλογία του
ύψους της "YSL" [στο κόκκινο]. Τα άλλα παραδείγματα δείχνουν ότι οι πράσινες γραμμές είναι
η Θεία Αναλογία της απόστασης ανάμεσα στις κόκκινες γραμμές.
ΣΕΛΙΔΑ126

128. 8.2 Ο κώδικας της Μόδας.
"Ο Κώδικας της μόδας" είναι μια καταπληκτική φόρμουλα που βασίζεται στη Θεία Αναλογία, η
οποία μας δίνει τη δυνατότητα με το μυστικό αυτό να γνωρίζουμε το πιο κολακευτικό τρόπο για να
φορεθεί κάποιο ένδυμα. Το καλύτερο μήκος μιας φούστας ή μιας μπλούζας , στο ιδανικό φόρεμα ή
αξεσουάρ, η δυνατότητα της αναλογία να δημιουργήσει το τέλειο ρούχο είναι πραγματικά εξαιρετική.
Δεν είναι το τέλειο παράδειγμα, αλλά αυτό πρέπει να σας δώσει τη βασική ιδέα! Από αριστερά είναι
μια maxi φούστα. Παρατηρήστε ότι η μακριά μπλούζα διχοτομεί το ύψος του σώματος. Στις γυναίκες
με περιφέρεια αυτή η επιλογή δεν κολακεύει αλλά τονίζει τυχών δυσαναλογίες. Το δεύτερο σύνολο
από αριστερά δείχνει μια μπλούζα με μικρότερο μήκος, και διαιρεί την εικόνα σε ένα τρίτο το επάνω
μέρος του σώματος και 2/3 το κάτω μέρος. Παρατηρήστε πόσο ψηλότερη και με καλύτερες αναλογίες
φαίνεται η εικόνα αυτή σε σχέση με την προηγούμενη. Αυτό η επιλογή μπλούζας επιτρέπει στην
φούστα να ρέει ελεύθερα, και δεν επιστά την προσοχή στους γοφούς, αλλά αυτό είναι δευτερεύον. Το
επόμενο σύνολο (δεύτερο από δεξιά) δείχνει ένα ντραπέ τοπ με μια φούστα κολλητή. Και πάλι, ο
αριθμός διχοτομείται και το πουκάμισο τελειώνει απότομα στο πιο φαρδύ σημείο του κορμού σε
πολλές γυναίκες. Το τελευταίο σύνολο δείχνει την ίδια φούστα με μια κοντύτερη μπλούζα, και πάλι η
εικόνα φαίνεται πιο αναλογική. Συμπεραίνοντας παρατηρούμε ότι είναι καλύτερα το καλυμμένο σώμα
από ρούχα ,να χωρίζεται σε τρίτα και όχι σε δεύτερα.
ΣΕΛΙΔΑ127

129. Βασιζόμενη σε αυτόν τον κώδικα η σχεδιάστρια μόδας Rita Pateroni στην νέα κολεξιόν 2013 που
παρουσιαστιάστηκε στην ετήσια εκδήλωση Athens Xclusive Designers Week έχει χρησιμοποιήσει τον
αριθμό Φ για την δημιουργία των ρούχων της.
Όμως, η μόδα και παλαιότερα βασιζόταν στην τη χρυσή αναλογία. Παρακάτω είναι μια εικόνα από ένα
γυμνάσιο του 1926 στο μάθημα της οικιακής οικονομίας σε ένα κεφάλαιο για την αναλογία στην
κατασκευή ενδυμάτων. Τα δύο τμήματα του φορέματος στα δεξιά είναι γενικά σε ποσοστό χρυσής
αναλογίας, και το μανίκι χωρίζει το χέρι του κοριτσιού σε τμήματα χρυσής αναλογίας.
ΣΕΛΙΔΑ128

130. ΚΑΦΑΛΑΙΟ 9
ΣΕΛΙΔΑ129

131. 9.1 Μια Χρυσή περιήγηση στη ΓΟΥΟΛ ΣΤΡΙΤ.
Μια από τις πιο γνωστές απόπειρες εφαρμογής της ακολουθίας Fibonacci και του Χρυσού
Λόγου στην ανάλυση των τιμών των μετοχών σχετίζεται με το όνομα του Ralph Nelson Elliott.
Λογιστής στο επάγγελμα, ο Elliott κατείχε διάφορες θέσεις
στελέχους σε εταιρείες σιδηροδρόμων, κυρίως στην Κεντρική
Αμερική. Μια σοβαρή ασθένεια του πεπτικού σωλήνα που τον
άφησε κατάκοιτο, τον ανάγκασε να συνταξιοδοτηθεί το 1929.
Τότε, για ν’ απασχολεί το μυαλό του, ο Έλιοτ άρχισε ν’ αναλύει
με μεγάλη λεπτομέρεια τις εκτινάξεις και τις βουτιές της Μέσης
Τιμής Βιομηχανικών Μετοχών Dow Jones.
Κατά την διάρκεια της ζωής του, ο Έλιοτ έζησε τη μεγάλη έκρηξη
της αγοράς στη δεκαετία 1920, και το μεγάλο κραχ που
ακολούθησε. Οι λεπτομερείς αναλύσεις τον οδήγησαν να
συμπεράνει ότι οι διακυμάνσεις της αγοράς δεν ήταν τυχαίες.
Πιο συγκεκριμένα , σημείωσε :
« το χρηματιστήριο είναι ένα δημιούργημα του ανθρώπου, και επομένως αντανακλά την
ανθρώπινη ιδιοσυγκρασία» .
Η κύρια παρατήρηση του Elliott ήταν ότι , τελικά , τα χρηματιστηριακά σχήματα αντανακλούν
κάποιους κύκλους της ανθρώπινης αισιοδοξίας και απαισιοδοξίας.
Στις 19 Σεπτεμβρίου 1935, ταχυδρόμησε μια πραγματεία με τίτλο Η Κυματική Αρχή σε
κάποιες χρηματιστηριακές εκδόσεις στο Detroit. Σ’ αυτήν ισχυριζόταν ότι είχε ανακαλύψει τα
χαρακτηριστικά που « εμφανίζουν μια αρχή που προσδιορίζει την τάση και δίνει ξεκάθαρες
προειδοποιήσεις ανάστροφης ».Η πραγματεία τελικά εξελίχθηκε σ’ ένα βιβλίο με τον ίδιο
τίτλο, το οποίο δημοσιεύτηκε το 1938.
Η βασική ιδέα του είναι σχετικά απλή. Ισχυρίστηκε ότι οι διακυμάνσεις της αγοράς μπορούν να
χαρακτηριστούν από ένα βασικό σχήμα που αποτελείται από πέντε κύματα κατά την ανοδική
(αισιόδοξη) τάση και τρία κύματα κατά την καθοδική (απαισιόδοξη) τάση . Ο Elliott επίσης
διαβεβαίωσε ότι μία εξέταση της διακύμανσης σε όλο και μικρότερες χρονικές κλίμακες
αποκαλύπτουν το ίδιο. Μία γενικά ανοδική τάση αποτελείται από 5 κύρια κύματα ,21
ενδιάμεσα και 89 μικρότερα και ακολουθείται από μια γενική καθοδική τάση με 3 κύρια 13
ενδιάμεσα και 55 μικρότερα.
Κάποια πρόσφατα βιβλία χρησιμοποιούν την ιδέα του
Elliott για να υπολογίσουν την μεγίστη και την ελάχιστη
τιμή κάθε μέρα. Ακόμα πιο περίπλοκο είναι οι
αλγόριθμοι που περιλαμβάνουν μια λογαριθμική
σπείρα ,σε απόπειρα να αναπαραστήσουν μια
ακολουθία που να δείχνει ότι ο χρυσός λόγος
κατευθύνει την μάζα. Όμως αυτό πάσχει από μερικές
αδυναμίες.
ΣΕΛΙΔΑ130

132. 9.2 Κυματική Θεωρία του Elliott (Elliott Wave Theory / EWT).
Ο Ralph Nelson Elliott συμπεριέλαβε στη θεωρία του τρεις σημαντικούς παράγοντες της
κίνησης τιμών: το σχηματισμό, την αναλογία και το χρόνο. Ο σχηματισμός αφορά τους
κυματοειδείς σχηματισμούς ή σχήματα, ενώ η αναλογία (η σχέση μεταξύ των αριθμών, κυρίως
των ακολουθιών Fibonacci) συμβάλλει στη μέτρηση των κυμάτων η πρόβλεψη με το
αποτέλεσμα.
9.2.1 Ο Σχηματισμός Πέντε Κυμάτων.
Σύμφωνα με την πιο βασική μορφή της Κυματικής Θεωρίας του Elliott, όλες οι δραστηριότητες
της αγοράς ακολουθούν έναν επαναληπτικό ρυθμό πέντε κυμάτων προς τις κατευθύνσεις της
κύριας τάσης, ο οποίος ακολουθείται από τρία διορθωτικά κύματα (κίνηση «5-3»).
Τα προωθητικά κύματα σημαίνονται με τους αριθμούς 1-2-3-4-5 και τα υποχωρητικά κύματα
με τα γράμματα a-b-c. Στη φάση των προωθητικών κυμάτων τα κύματα 1, 3, και 5 είναι
«παρορμητικά κύματα» και κινούνται προς την κατεύθυνση της τάσης, ενώ τα κύματα 2 και 4
ονομάζονται «διορθωτικά κύματα». Μετά την ολοκλήρωση της προώθησης πέντε κυμάτων,
ξεκινάει η διόρθωση τριών κυμάτων, η οποία σημαίνεται με τα γράμματα a-b-c. Κατά τη φάση
των διορθωτικών κυμάτων, τα κύματα «a» και «c» κινούνται προς την κατεύθυνση της
υποχώρησης, ενώ το κύμα «b» κινείται προς την αντίθετη κατεύθυνση.
9.2.2 Κύκλοι κυμάτων
Μετά την ολοκλήρωση της υποχώρησης τριών κυμάτων, ξεκινά μια άλλη προώθηση πέντε
κυμάτων κ.ο.κ., μέχρι την πρόκληση κάποιας αντιστροφής. Στη συνέχεια γίνεται προφανές ότι
κάθε προώθηση πέντε κυμάτων μπορεί να θεωρηθεί ως ένα ενιαίο προωθητικό κύμα.
Παρομοίως, από μια ευρύτερη οπτική γωνία, και αντιστρόφως, κάθε κύμα μπορεί να διαιρεθεί
σε μικρότερα κύματα.
Η Κυματική Θεωρία του Elliott ταξινομεί τα κύματα σύμφωνα με το μήκος κύκλου, το οποίο
κυμαίνεται από Grand Supercycle (Τεράστιος Υπερ-Κύκλος) που διαρκεί για δεκαετίες, μέχρι
μικροσκοπικούς κύκλους που διαρκούν για λίγες ώρες. Ωστόσο, ο κύκλος οχτώ κυμάτων
παραμένει σταθερός.
ΣΕΛΙΔΑ131

133. 9.3 Η Ανάλυση Fibonacci στη μαθηματική θεμελίωση της Κυματικής
Θεωρίας του Elliott.
Οι αριθμοί Fibonacci προσφέρουν τη μαθηματική θεμελίωση της Κυματικής Θεωρίας του
Elliott. Ενώ οι αναλογίες Fibonacci έχουν προσαρμοστεί σε διάφορους τεχνικούς δείκτες, η
κύρια χρήση τους στα πλαίσια της τεχνικής ανάλυσης εξακολουθεί να αφορά τη μέτρηση των
διορθωτικών κυμάτων.
•
Χαρακτηριστικά των Ακολουθιών Fibonacci
Η αριθμητική ακολουθία Fibonacci σχηματίζεται πολύ απλά, ξεκινώντας από την τιμή 1 και
προσθέτοντας τον προηγούμενο αριθμό για τη μετάβαση στον επόμενο αριθμό:
0+1=1, 1+1=2, 2+1=3, 3+2=5, 5+3=8, 8+5=13, 13+8=21, 21+13=34, 34+21=55, 55+34=89.
…
Η ακολουθία παρουσιάζει αρκετές ενδιαφέρουσες ιδιότητες όπως:
 Η αναλογία κάθε αριθμού της ακολουθίας με τον επόμενο ισούται με 0.618 ή 61.8% (χρυσή
αναλογία) μετά τους πρώτους 4 αριθμούς. Για παράδειγμα: 34/55 = 0.618
 Η αναλογία κάθε αριθμού με τον αριθμό που βρίσκεται δύο θέσεις προς τα δεξιά ισούται
με 0.382 ή 38.2%. Για παράδειγμα: 34/89 = 0.382
 Η αναλογία κάθε αριθμού με τον αριθμό που βρίσκεται τρεις θέσεις προς τα δεξιά ισούται
με 0.236 ή 23.6%. Για παράδειγμα: 21/89 = 0.236
 Αυτές οι σχέσεις μεταξύ των αριθμών της ακολουθίας αποτελούν τη βάση των κοινών
αναλογιών που χρησιμοποιούνται για τον καθορισμό της οπισθοδρόμησης και της
επέκτασης των τιμών στα πλαίσια κάποια τάσης.
ΣΕΛΙΔΑ132

134. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10
ΣΕΛΙΔΑ133

135. Όπως έχουμε δει , ο αριθμός Φ βρίσκεται παντού : στην τέχνη, στην αρχιτεκτονική, στο σώμα
μας ακόμα και στις τροφές που τρώμε. Αλλά βρίσκεται και στον ελλαδικό χώρο...!
Οι αποστάσεις των αρχαίων ιερών ή πόλεων στην Αρχαία Ελλάδα σχηματίζουν τον αριθμό
Φ, αυτό ισχύει για τις αρχαιοελληνικές τοποθεσίες που ενδέχεται να ήταν διαφορετικές από
τις σημερινές. Οι αρχαίοι Έλληνες σαν μονάδα μέτρησης είχαν τα στάδια. Υπάρχει μια
απίστευτη Γεωγραφική Συμμετρία στον ελλαδικό χώρο και των αποστάσεων ή των
γεωγραφικών σχημάτων που σχηματίζουν σημαντικά μνημεία της ελληνικής αρχαιότητας. Για
παράδειγμα, οι περισσότερες αποστάσεις σχηματίζουν χρυσά ισοσκελή τρίγωνα.
Για κάθε γνωστό μνημείο της Αρχαίας Ελλάδας , όπως το μαντείο των Δελφών, το ιερό νησί
της Δήλου , το ιερό της Δωδώνης κτλ, όταν σχηματίσουμε κύκλο με κέντρο το μνημείο και
ακτίνα την απόσταση του από ένα άλλο μνημείο, τότε η νοητή περιφέρεια του κύκλου θα
περάσει και από άλλο ένα μνημείο ή πόλη . Για παράδειγμα , αν για κέντρο βάλουμε το ιερό
της Δωδώνης και για ακτίνα του κύκλου την απόσταση του ιερού της Δωδώνης από την Αθήνα
τότε η περιφέρεια του κύκλου θα περάσει από την Σπάρτη.
Επιπλέον, γνωρίζοντας ότι οι αρχαίοι έλληνες μετρούσαν τις αποστάσεις σε στάδια
παρατηρούμε ότι η Χαλκίδα απέχει από την Θήβα και το Αμφιάρειο 162  100 αλλά και η
απόσταση Θήβας- Αμφιαρείου είναι 262 στάδια όπου 262   1,62 100  100 2 .Δηλαδή, οι
τρεις πόλεις σχηματίζουν ένα τρίγωνο που υπακούει στην αρμονία του χρυσού αριθμού Φ .
Ακόμα, η Χαλκίδα ισαπέχει επίσης από την Αθήνα και τα Μέγαρα 314 στάδια. Δηλαδή
παρουσιάζονται ο αριθμός Φ και το π εκατονταπλασιασμένα.
ΣΕΛΙΔΑ134

136. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11
ΣΕΛΙΔΑ135

137. Η εφαρμογή του χρυσού αριθμού Φ στην ΑΡΧΑΙΑ Ελληνική γλώσσα είναι αξιοπερίεργη. Για να
εντοπίσουμε τον τρόπο με τον οποίο εμφανιζόταν ο αριθμός Φ στην ελληνική γλώσσα θα
πρέπει να εξηγήσουμε τι είναι λεξαριθμικό σύστημα.
Ως Λεξαριθμικό σύστημα νοείται η αντιστοιχία και ταύτιση των αριθμών με τα γράμματα του
Ελληνικού αλφαβήτου .Έτσι η κάθε λέξη περιέχει ή σημαίνει έναν αριθμό και το αντίθετο
οδηγώντας μας σε πληροφορίες και γνωσιολογικές σχέσεις που δεν ήταν εμφανείς στην απλή
κατά γράμμα ανάγνωση.
Α=1
Ι=10
Ρ=100
Β=2
Κ=20
Σ=200
Γ=3
Λ=30
Τ=300
Δ=4
Μ=40
Υ=400
Ε=5
Ν=50
Φ=500
άγνωστο =6
Ξ=60
Χ=600
Ζ=7
Ο=70
Ψ=700
Η=8
Π=80
Ω=800
Θ=9
(κόππα)=90
(σαμπί)=900
Άρα έχουμε 27 γράμματα από τα οποία στην σημερινή εποχή χρησιμοποιούμε τα 24.
Αν προσθέσουμε και τα 27 γράμματα έχουμε ένα λεξαριθμητικό σύστημα
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+20+30+40+50+60+70+80+90+100+200+300+400+500+600+700+800+900= 4995
Τώρα αν προσθέσουμε τα ψηφία του 4995 βρίσκουμε 27 (4+9+9+5=27) όσοι είναι και οι
αρχαιοελληνικοί αριθμοί .
Αντίστοιχα αν πολλαπλασιάσουμε τα ψηφία του 4995 θα βρούμε τον αριθμό 1.620
( 4  9  9  5  1620 ) !!! Όμως 1620  1000  ( Φ=1.62) .
Παρατηρήστε ότι αν διαιρέσουμε το 4.995 με το 27 θα βρούμε 185 όπου είναι η λεξαριθμητική
μετάφραση της λέξης γράμμα.
ΣΕΛΙΔΑ136

138. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12
ΣΕΛΙΔΑ137

139. Έχει βρεθεί ότι υπάρχουν συγκεκριμένα σημεία στη σύνθεση μιας εικόνας που προσελκύουν
αυτόματα το ενδιαφέρον του θεατή. Επίσης, υπάρχουν πολλά φυσικά ή τεχνητά αντικείμενα
και σκηνές, τα οποία έχοντας συγκεκριμένες αναλογίες (είτε τυχαία, είτε από πρόθεση) μας
αρέσουν περισσότερο και μας αφήνουν τη γεύση της αρμονίας.
Κάθε γραμμή σχεδιάζεται έτσι ώστε το πλάτος και το ύψος του μικρού κομματιού στο κέντρο
της εικόνας να σχετίζεται αναλογικά με τα αντίστοιχα πλάτη και ύψη των μεγάλων κομματιών
στις γωνίες της εικόνας, ακριβώς όπως το πλάτος και το ύψος των μεγάλων κομματιών της
εικόνας σχετίζονται αναλογικά με το πλάτος και το
ύψος της συνολικής εικόνας!!!
Έχει διαπιστωθεί ότι ορισμένα σημεία ως προς τη
σύνθεση μιας εικόνας προσελκύουν αυτόματα την
προσοχή του θεατή. Παρομοίως, πολλά φυσικά ή
τεχνητά αντικείμενα και σχέδια με συγκεκριμένες
αναλογίες (είτε από τύχη ή από το σχεδιασμό), μας
ευχαριστούν με την πρώτη ματιά. Ο Leonardo da Vinci
ασχολήθηκε πολύ με το τι κρύβετε πίσω από τις έννοιες
που έχουμε δώσει στην ομορφιά και στην αρμονία και
το τέλειο το ονόμασε, όπως υποστηρίζουν κάποιοι,
Χρυσή Τομή. Φυσικά η Χρυσή Τομή συναντάτε πολύ
πριν τον Leonardo da Vinci στην αρχιτεκτονική και στην
τέχνη των Βαβυλωνίων, των Αιγυπτίων και των
Ελλήνων. Ο Πυθαγόρας την είχε ονομάσει παγκόσμια
ομορφιά.
Η «Χρυσή τομή» στη φωτογραφία θα μπορούσε να είναι η τοποθέτηση των κυρίως
συστατικών της σε συγκεκριμένα σημεία - «κέντρα». Συχνά χρησιμοποιούμε 4 σημεία που
βρίσκονται σε απόσταση 3/8 και 5/8 από τα άκρα όπως φαίνεται στην παραπάνω εικόνα
ΣΕΛΙΔΑ138

140. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13
ΣΕΛΙΔΑ139

141. Μια ακόμα εφαρμογή της χρυσής τομής είναι στην οδοντιατρική, και ιδιαίτερα στην αισθητική
οδοντιατρική. Οι οδοντίατροι επιδιώκουν την «Χρυσή τομή» για να πετύχουν καλαίσθητα και
αρμονικά αποτελέσματα στις οδοντοστοιχίες.
Ο οδοντίατρος Goldstein μας εξηγεί ότι "Δεν μπορούμε να μετρήσουμε κάθε δόντι ξεχωριστά
για να δούμε αν αυτό βρίσκεται στην Χρυσή τομή" . Ο ίδιος καθορίζει αυτήν την αναλογία
βασιζόμενος στον τρόπο με τον οποίο τα δόντια συμμετέχουν στο τόξο χρησιμοποιώντας την
απεικόνιση σε υπολογιστή. Για παράδειγμα, ένας κεντρικός τομέας πλάτους 8 mm συνήθως
δεν έχει καλή αναλογία με ένα πλάγιο τομέα πλάτους 7 mm.
Η ύπαρξη ή η απόδοση της χρυσής αναλογίας μεταξύ των έξι πρόσθιων δοντιών της άνω
γνάθου ,διασφαλίζει την πλέον αισθητική οδοντική σύνθεση.
ΣΕΛΙΔΑ140

142. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14
ΣΕΛΙΔΑ141

143. Όπως , παρατηρήσαμε οτιδήποτε είναι κατασκευασμένο με χρυσές αναλογίες προσελκύει τον
κόμος. Για τον λόγο αυτό η χρυσή τομή έχει κατακλείσει τον κόσμο της διαφήμισης . Αισθητή
είναι η παρουσία χρυσών λόγων στα λογότυπα πολλών εταιριών.
Για παράδειγμα η Apple φαίνεται ότι σχεδίασε το λογότυπο του iCloud με βάση την "Χρυσή
Τομή" . Ακόμα, χρυσοί λόγοι φαίνεται πως υπάρχουν και στο σήμα της Toyota αλλά και της
Νissan. Φυσικά δεν λείπει από την λίστα μας το πασίγνωστο σχήμα της εταιρείας Twitter
και δεν τελειώνει εδώ .Εκατοντάδες μάρκες συνεχίζουν την λίστα η οποία δεν περιορίζεται
μόνο στα λογότυπα . Αξίζει να αναφέρουμε πως το σχήμα της σοκολάτας Kit kat είναι ένα
χρυσό ορθογώνιο.
ΣΕΛΙΔΑ142

144. ΤΕΛΟΣ Β ΜΕΡΟΥΣ
Τελειώνοντας το ΧΡΥΣΟ ταξίδι μας αξίζει να αναφέρουμε ένα απόσπασμα από το βιβλίο του
Luka Pacioli « De divina Proportions »
«… όπως ακριβώς ο Θεός δεν μπορεί να οριστεί
απόλυτα, ούτε και να καταστεί κατανοητός μέσα
από τις λέξεις ,έτσι και αυτός ο λόγος δεν μπορεί
ποτέ να οριστεί μέσω κατανοητών αριθμών, ούτε
και να εκφραστεί με την βοήθεια οποιασδήποτε
ρητής ποσότητας , αλλά παραμένει απόκρυφος
και μυστικός, αποκαλούμενος άρρητος από τους
μαθηματικούς.»
ΣΕΛΙΔΑ143