Алгебра 11 клас

1. Тема:
«Визначений інтеграл»

2. Визначення
𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = F(a) – F(b)

3. Властивості
• Із під знака визначеного інтеграла можна
виносити постійний числовий коефіцієнт.
• 𝑎
𝑏
(𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 ) 𝑑𝑥 = 𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ± 𝑎
𝑏
𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
• 𝑎
𝑎
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 0
• 𝑎
𝑏
−𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
• 𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎
𝑐
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐
𝑏
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

4. Засоби обчислення
визначених інтегралів
1. Формула Ньютона-Лейбніца:
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 |
𝑏
𝑎
= 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
Наприклад:
0
𝜋
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥|
𝜋
0
= 𝑠𝑖𝑛𝜋 − 𝑠𝑖𝑛0 = 0

5. Застосування в
геометрії
1. Площі криволінійних фігур:
Обчислюються по формулі 𝑺 = 𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙, якщо вона має
форму криволінійної трапеції
Графік:

6. Застосування в фізиці
Задачі про обчислення шляху:
Нехай матеріальна точка рухається прямолінійно с деякою
швидкістю v=v(t). Необхідно знайти шлях, який пройде ця
точка за проміжок часу від t=a до t=b. Обчислюємо по
формулі 𝑺 = 𝒂
𝒃
𝒗 𝒕 𝒅𝒕
Приклад. Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю 𝑣 𝑡 =
= 3𝑡2 + 4𝑡 + 1
м
с
. Знайти шлях, пройдений тілом за три
секунди. Розв‘язання:
𝑺 = 𝟎
𝟑
(𝟑𝒕 𝟐
+ 𝟒𝒕 + 𝟏) 𝒅𝒕 = 𝒕 𝟑
+ 𝟐𝒕 𝟐
+ 𝒕 | 𝟑
𝟎
= 𝟒𝟖(м).