Математика

2. Зміст
1. Частинні похідні.
Приклади використання частинних похідних.
2. Градієнт.
Приклад використання градієнта.
3. Похідна за напрямом.
Приклад використання похідної.

3. Частинною (частковою) похідною від функції f(x,y) за аргументом
x називається границя
Частинну (часткова) похідну від функції f(x,y) за аргументом y
визначають аналогічно.
Для частинних похідних від функції f(x,y) використовують такі
позначення :
f′x(x,y); z′x; ;
f′y(x,y); z′y; .
Частинні похідні та задають напрями дотичних до
поверхні z = f(x,y).
Варто пригадати, що звичайна похідна f′(x) = задає напрям
дотичної до кривої y = f(x).
( ) dx
yxfyxxf
x
xyxf
),(),(
0
lim,
−∆+
→∆
=′
x
f
x
z
∂
∂
∂
∂
;
y
f
y
z
∂
∂
∂
∂
;
x
z
∂
∂
y
z
∂
∂
dx
df

4. Приклади
1. Нехай
Тоді
2. Нехай Q=K0.6
⋅L0.4
. Знайдемо відповідні частинні похідні
(Випуск продукції зростає зі збільшенням затрат як капіталу,
так і праці).
22
324 yxyxz ++=
yx
y
z
yx
x
z
6228 +=
∂
∂
+=
∂
∂
06.06.06.0 4.0
4.0
4.04.0
>==⋅⋅=
∂
∂ −
K
Q
K
L
LK
K
Q
04.04.04.0 6.0
6.0
6.06.0
>==⋅⋅=
∂
∂ −
L
Q
L
K
LK
L
Q

5. Градієнт
Градієнт — векторна величина, яка визначає в
кожній точці простору не лише швидкість зміни, а й
напрямок найшвидшої зміни функції, що залежить від
координат.
Для скалярного поля градієнт визначається
формулою:
де i, j, k - орти системи відліку.
Це означення узагальнюється на простори будь-якої
розмірності

6. Приклад
Градієнт скалярного поля
Градієнт скалярного поля (рос. градиент скалярного
поля, англ. gradient of scalar field, нім. Skalarfeld-
Gradient m) – вектор, проекціями якого на
координатні осі є частинні похідні функції, яка
описує дане поле. Практичне тлумачення полягає
в тому, що він визначає напрям, у якому задане
скалярне поле змінюється найшвидше.

7. Похідна за напрямом
Для характеристики зміни скалярного поля в заданому
напрямі вводять поняття похідної за напрямом.
Виведемо формулу для обчислення похідної за
напрямом. Припустимо , що функція u(x;y;z)
диференційована в точці M. Тоді її повний приріст в
цій точці можна записати так:
де нескінченно малі функції при
то
zyxz
z
u
y
y
u
x
x
u
ul ∆+∆+∆+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=∆ 32 εεε
321 ,, εεε 0→∆l
γεβεαεγβα coscoscoscoscoscos 321 +++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∆
∆
z
u
y
u
x
u
l
ul

8. Перейшовши до границі при ,дістанемо формулу для
обчислення похідної за напрямом
З формули випливає, що частинні похідні є окремими
випадками похідної за напрямом.
0→∆l
γβα coscoscos
z
u
y
u
x
u
l
u
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂

9. Приклад
Знайти похідну функції в точці A(1;2;-1) за
напрямом від точки А до точки B(2;4;-3). З'ясувати
характер зміни поля в даному напрямі.
Знаходимо вектор і його напрямні косинуси:
Тепер обчислимо значення частинних похідних в точці А:
Оскільки , то задана функція в даному напрямі
зростає.
22
2 yxzxu +−=
→
= ABl

3
2
cos,
3
2
cos,
3
1
cos,22 −===−+= λβαkjil

( )
3
16
)
3
2
(2
3
2
4
3
1
4;22;2;422 =−⋅−⋅+⋅=
∂
∂
−=−=
∂
∂
=
∂
∂
=−=
∂
∂
A
A
A
A
A
A
A l
u
x
z
u
y
y
u
zx
x
u
0〉
∂
∂
l
u

10. Приклад
Знайти похідну функції в точці A(1;2;-1) за
напрямом від точки А до точки B(2;4;-3). З'ясувати
характер зміни поля в даному напрямі.
Знаходимо вектор і його напрямні косинуси:
Тепер обчислимо значення частинних похідних в точці А:
Оскільки , то задана функція в даному напрямі
зростає.
22
2 yxzxu +−=
→
= ABl

3
2
cos,
3
2
cos,
3
1
cos,22 −===−+= λβαkjil

( )
3
16
)
3
2
(2
3
2
4
3
1
4;22;2;422 =−⋅−⋅+⋅=
∂
∂
−=−=
∂
∂
=
∂
∂
=−=
∂
∂
A
A
A
A
A
A
A l
u
x
z
u
y
y
u
zx
x
u
0〉
∂
∂
l
u