Властивості функцій

1. Функції. ВластивостіФункції. Властивості
функційфункцій

2. Те, що незрозуміло,Те, що незрозуміло,
потрібно зпотрібно з’’ясуватиясувати
КонфуційКонфуцій

3. Мета урокуМета уроку
 НавчальнаНавчальна:: узагальнитиузагальнити іі систематизувати знаннясистематизувати знання
учнучніівв про функції тапро функції та
 їх властивості; навчити учнівїх властивості; навчити учнів
характеризувати функцію за її графіком,характеризувати функцію за її графіком,
 знаходити нулі функції, проміжкизнаходити нулі функції, проміжки
знакосталості, зростання і спаданнязнакосталості, зростання і спадання
 функції.функції.
РозвиваючаРозвиваюча:: розвивати розумову діяльність.розвивати розумову діяльність.
ВиховнаВиховна:: виховувати самостійністьвиховувати самостійність..

4. Усні вправиУсні вправи
 11.. Знайти значення виразу 12 – 8Знайти значення виразу 12 – 8хх, якщо, якщо х =х =
4; -2; 0;4; -2; 0; ..
 22.. При яких значеннях змінної існує вираз:При яких значеннях змінної існує вираз:
1)1) х +х + 9; 2) ;9; 2) ; ;;
 33)) ;; ; ; 4; ; 4) ?) ?92
+x
9+x
9
1
+x

7. ФункціяФункція
уу
ЗміннуЗмінну
xx
називаютьназивають
незалежною змінноюнезалежною змінною,,
абоабо
аргументомаргументом
ЗміннуЗмінну
уу
називаютьназивають
залежноюзалежною
змінноюзмінною
Говорять, щоГоворять, що
змінназмінна уу
є функцією відє функцією від
змінноїзмінної хх
і записуютьі записують
цю відповідність такцю відповідність так
у=у=f(x)f(x)

f(xf(x00)) –– це значенняце значення
функціїфункції у=у=f(x)f(x) в точців точці xx00

8. ТабличнийТабличний функція задаєтьсяфункція задається
за допомогою таблиці.за допомогою таблиці.
X -2 - 1 0 1 2
Y - 8 - 1 0 1 8
АналітичнийАналітичний функціяфункція
задається за допомогоюзадається за допомогою
математичної формули.математичної формули.
3
xy =
ГрафічнийГрафічний функціяфункція
задається за допомогоюзадається за допомогою
графіка.графіка.
Способи задання функції

9. Область визначення (D(y)) – множина
значень яких набуває незалежна змінна (х)
Область значень (E (y)) – множина значень, яких
набуває залежна змінна у при всіх значеннях
аргументу, взятих з D(f ) .
)(xfy = Rx∈
)(
1
xf
y = 0)( ≠xf
)(xfy = 0)( ≥xf

10. Основні види елементарних функцій та їхОсновні види елементарних функцій та їх
графіки.графіки.

12. Знайти область визначення функції
13)()1 2
+−= xxxf RfD =)(
;
3
1
)()2 2
xx
xf
−
=
( )
30
03
032
≠≠
≠−
≠−
xx
xx
xx
{ }
);3()3;0()0;()(
3;0/)(
∞∪∪−∞=
=
fD
RfD
23)()3 −= xxf
3
2
023
≥
≥−
x
x






+∞= ;
3
2
)( fD

13. Знайти область значень
функції
 y y
1) X 2) x
RR (-∞;0)U(0;∞)(-∞;0)U(0;∞)
y y
X xX x
[0;∞) [0;∞)[0;∞) [0;∞)

14. Нулі функціїНулі функції
 Нулем функціїНулем функції
називаєтьсяназивається
значеннязначення
аргументу, приаргументу, при
якому функціяякому функція
дорівнює нулюдорівнює нулю
 Приклад. ЗнайтиПриклад. Знайти
нулі функціїнулі функції
у=2х+1у=2х+1..
 2х+1=02х+1=0
 х=-0,5 – нульх=-0,5 – нуль
функції.функції.

16. Проміжки знакосталості функціїПроміжки знакосталості функції
Проміжки, на яких функціяПроміжки, на яких функція
набуває значень одного знака,набуває значень одного знака,
називають проміжкаминазивають проміжками
знакосталості функціїзнакосталості функції

17. Проміжки знакосталості функціїПроміжки знакосталості функції
Проміжки, на яких функціяПроміжки, на яких функція
набуває значень одного знака,набуває значень одного знака,
називають проміжкаминазивають проміжками
знакосталості функціїзнакосталості функції

18. Зростання та спадання функціїЗростання та спадання функції
Функція називається зростаючою на деякому проміжку,Функція називається зростаючою на деякому проміжку,
якщо більшому значенню аргументу із цього проміжкуякщо більшому значенню аргументу із цього проміжку
відповідає більше значення функції.відповідає більше значення функції.
Функція називається спадною на деякому проміжку,Функція називається спадною на деякому проміжку,
якщо більшому значенню аргументу із цього проміжкуякщо більшому значенню аргументу із цього проміжку
відповідає менше значення функції.відповідає менше значення функції.
Функція, графік якої зображеноФункція, графік якої зображено
на рисунку,на рисунку,
на проміжкахна проміжках [-4;-[-4;-11]] іі [[33;;77]] спадає,спадає,
а на проміжкуа на проміжку [-[-11;;33]]
–– зростає.зростає.

19. Парні та непарні функціїПарні та непарні функції
ФункціяФункція у =у = ff((xx)) називається парною,називається парною,
якщо для будь-якого значенняякщо для будь-якого значення хх ізіз DD((yy))
значення –значення – хх також належитьтакож належить DD((yy)) іі
виконується рівністьвиконується рівність ff(-(-xx) =) = ff((xx).).
Графік парної функції симетричний відносно осіГрафік парної функції симетричний відносно осі
ОУОУ
ФункціяФункція у =у = ff((xx)) називається непарною, якщо дляназивається непарною, якщо для
будь-якого значеннябудь-якого значення хх ізіз DD((yy)) значення -значення -хх DD((yy)) іі
виконується рівністьвиконується рівність ff(-(-xx) = -) = -ff(х)(х)..
Графік непарної функції симетричний відносноГрафік непарної функції симетричний відносно
початку координатпочатку координат

20. Яке із значень змінної х єЯке із значень змінної х є
нулем функціїнулем функції уу = 3= 3хх22
– 2– 2хх – 1:– 1:
 1) 1;1) 1;
 2) -1;2) -1;
 3)3) 00;;
4)4) 22??

22. Відомо, щоВідомо, що yy == ff((xx)) спадає на всійспадає на всій
області визначення. Порівняйте:області визначення. Порівняйте:
1)f1)f (3) і(3) і ff (-3);(-3);
2)2) ff (-2) і(-2) і ff (-3,5);(-3,5);
3)3) f (-20)f (-20) іі f (20,5)f (20,5)..

23. 1.1. Числова функція задається:Числова функція задається:
а) рівнянняма) рівнянням у =у = ff((xx));; б) областю визначення;б) областю визначення;
в) аргументом;в) аргументом; г) графіком.г) графіком.
2.2. У рівнянніУ рівнянні yy == ff((xx)) числочисло хх — це:— це:
а) аргумент;а) аргумент; б) область визначення;б) область визначення;
в) функція;в) функція; г) область значенняг) область значення
функції.функції.
3.3. У рівнянніУ рівнянні yy == ff((xx)) yy — це:— це:
а) аргумент;а) аргумент; б) область визначення;б) область визначення;
в) функція;в) функція; г) область значенняг) область значення
функції.функції.
4.4. ФункціяФункція yy == ff((xx)) спадна, якщо:спадна, якщо:
а)а) хх22 << хх11;; б)б) ff((xx22) <) < ff((xx11));;
в) прив) при хх22 >> хх11 ff(х(х22)) << ff((xx11));; г) приг) при хх22 << хх11 ff((xx22) <) < ff((xx11))..
5.5. ФункціяФункція yy == ff((xx)) зростаюча, якщо:зростаюча, якщо:
а) приа) при хх22 > х> х11 ff((xx22) >) > ff((xx11));; б)б) уу22 >> уу11;;
в) прив) при хх22 >> хх11 ff((xx22) <) < ff((xx11));; г)г) хх22 >> хх11..

24. Домашнє завданняДомашнє завдання
1.1. Дано функціюДано функцію ff((xx) =) = xx22
-- 33х +х + 2.2.
Знайти: 1)Знайти: 1) ff (0) 2)(0) 2) ff (-1); 3)(-1); 3) ff ((аа).).
2.Знайти область визначення2.Знайти область визначення
функції:функції:
1)1) у =у = 33хх22
– х +– х + 1;1;
2)2) уу ==
3)3) y =y = ..
23 −х