31

1. 1
Практичне заняття 31
Однорідні диференціальні рівняння. Лінійні диференціальні рівняння.
Рівняння Бернуллі.
Рівняння  ,y f x y  називається однорідним, якщо функцію  ,f x y
можна представити як функцію відношення ,
y
x
тобто  ,f x y  ,
y
x
 
 
 
.
y
y
x
    
 
Однорідне рівняння зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними
за допомогою заміни змінної (підстановки) y u x і .y u x u  
Приклад. Знайти частинний розв’язок рівняння 2 2
2 0,x у х у y   який
задовольняє початкову умову  1 2y   (розв’язати задачу Коші).
Розв’язання.
2 2
2 2 2 2
2 0, 2 , ,
2 2
x у
x у х у y х у y x у y
х у х у
        
.
2 2
x у у
y
у х х
      
 
Отже, дане диференціальне рівняння є однорідним, яке інтегрується
заміною ;y u x y u x u    , яку підставимо в початкове рівняння:
2 2
2х у y x у   ,  2 2 2 2
2x u u x u x x u    ,
  2
2 1u u x u u    ,
2 2 2
2 2 1 , 2 1 .x u u u u x u u u     
Маємо рівняння з відокремлюваними змінними.
2
2 1 ,
du
хu u
dx
   
   
2
2
2 2
2 1
2 1 , ,
2 1 2 1
х u u
х u du u dx du dx
x u x u

  
 
   2 2
2 2 2
1 11 1
, , ,
2 2 21 1 1
d u d uu dx dx dx
du
x x xu u u
 
    
  
   
2 2
ln 1 ln ln , 1 .
С
u x C u
х
     

2. 2
Далі врахуємо, що .
у
u
х
 Отже,
2
2 2
1 ,
у С
у х С х
х х
 
    
 
– загальний
інтеграл рівняння. Підставимо початкові значення змінних 2у  , при 1х   , і
знаходимо значення С:    22
2 1 1 ; 3.С С    
Отже, частинним інтегралом рівняння буде 2 2
3 .у х х 
Приклад. Розв’язати задачу Коші   yyуx  , якщо   11 y .
Розв’язання. Поклавши u
x
y
 , uxuy  , маємо рівняння
,
1
u
u x u
u
  

2
,
1
u u u
u x
u
 
 
 u
u
xu


1
2
.
Розділимо змінні і інтегруємо, маємо
x
dx
du
u
u


2
1
,
1
ln ln lnu x С
u
     ,
1
ln
ux
u С
 .
Повертаємось до змінної y і знаходимо загальний інтеграл
ln .
y
x y
С

Підставимо 1,1  xy в загальний інтеграл і знайдемо значення
константи С :
1
1 ln
С
  , С е .
Отже,
е
y
yx ln – частинний інтеграл рівняння.
Рівняння називається лінійним, якщо воно лінійне щодо невідомої функції і
її похідної (функція  y x та її похідна  y x входять у рівняння в першому
степені та не перемножуються між собою) та має вигляд
   .y p x y q x  
Рівнянням Бернуллі називається рівняння вигляду
    ,y p x y q x y
   де , 0, 1.R    
Очевидно, при 0  це рівняння – лінійне, а при 1  – з
відокремлюваними змінними.
Рівняння Бернуллі зводиться до лінійного підстановкою 1 n
u y 
 і
 1 .n
u n y y
  

3. 3
Розв’язок лінійного рівняння можна шукати у вигляді добутку двох інших
функцій: ,y uv де  u u x та  v v x – невідомі функції.
Заміна змінних ,y uv y u v uv    зводить лінійне рівняння або рівняння
Бернуллі до системи диференціальних рівнянь з відокремлюваними змінними
(метод Бернуллі).
Приклад. Знайти частинний розв’язок рівняння 2 2 3
1,x у y x у   який
задовольняє початкову умову  1 1y   (розв’язати задачу Коші).
Розв’язання. Розділивши обидві частини рівняння на 2 2
х у переконаємось,
що це рівняння Бернуллі: 2
2
1
,
у
y у
х х

   де     2
1 1
; ; 2p x q x
x x
     .
Замінивши функцію у по формулі ,у uv маємо ,у u v uv   
2 2 2
1 1uv
u v uv
х х u v
    
або 2 2 2
1
.
v
u v u v
х х u v
     
 
Утворимо систему
2 2 2
0,
1
.
v
v
х
u v
х u v
   

  

Із першого рівняння системи знайдемо v :
1
; , , , ln ln , .
v dv v dv dx dv dx
v v x v
х dx х v х v х х
            
Підставимо v в друге рівняння системи і знайдемо u :
2
1 1
u
х u
  ,
3 2
2 2 23
3
, , = + , .
3 2 3 2
u x C
u du хdx u du хdx u x C    
Загальний розв’язок рівняння має вигляд
23 3
3
1 3 3
2 2
C
y uv x C
x x x
     .
Знайдемо значення С використовуючи початкові умови

4. 4
  0
0
1,
1 1
1,
y
у
x
 
   

3
3 3 5
1, 1, .
2 1 2 2
C
C С       
Отже, 3
3
3 5
2 2
y
x x
  – частинний розв’язок рівняння.
Завдання для самостійної роботи:
№ 1. Знайти загальні розв’язки або загальні інтеграли диференціальних
рівнянь:
1) 2 2
( ) 0y x y dx xdy    ; 2) 2
( 2 ) 0x xy dx xydy   ;
3) sin sin
y y
xy x y
x x
   ; 4) ln
y
xy y
x
  ;
5) 2 2 2
4( )x y x y xy    ; 6) y
xy y xtg
x
   .
(Відповідь: 1) arcsin ln
y
x C
x
  ; 2) ln
x
x y C
x y
  

; 3)
cos
y
xCx e ;
4) 1 Cx
y xe 
 ; 5) arc 4
y
tg x C
x
  ; 6) sin
y
Cx
x
 .)
№ 2. Знайти частинні розв’язки або частинні інтеграли диференціальних
рівнянь при заданих початкових умовах:
1) 2 2
( 2 ) 0, (1) 3y xy dx x dy y    ; 2) 2 2
( ) 0, (1) 0y x y dx xdy y     ;
3) , (1) 0
y
xxy xe y y    ; 4) sin , (1)
2
y
xy y x y
x

    ;
5) 2 2
, (1) 1y x y xyy y    ; 6) 1, (1) 0
y
y y
x
    .
(Відповідь: 1) 33
ln
y x
x
y

 ;2) 2 2 2
x y x y   ; 3) ln 1 lny x x   ;
4) 2y xarctgx ; 5)
y
xe ey ; 6) lny x x  .)