Prof.Amdie Chirinos

1. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN, SEGUNDO
ORDENY ORDEN SUPERIOR
REPÚBLICA BOLIVARIANA DEVENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
SANTIAGO MARIÑO
EXTENSIÓN CARACAS
INGENIERÍA ELECTRÓNICA
4403347 –TEORÍA DE CONTROL
ACTIVIDADES EN LÍNEA
Alumno: Ranses Pineda
C.IV- 27.451.299
Caracas, junio del 2020

2. INTRODUCCIÓN
• Explicaremos a brevedad los sistemas de señales existentes aplicando teoría
de control y realizando sistemas de cada uno. Comenzando por el sistema
de primer orden, el cual es el sistema utilizado para describir señales básicas
como lo son el impulso unitario, delta de Dirac, rampa y otros.
• Los sistemas de segundo orden un poco mas complicados generalmente
ecuaciones diferenciales no lineales, conformadas por señales compuestas
de primer orden. En los circuitos eléctrico conocidos como circuitos no
lineales (RLC).
• Los sistemas de orden superior o de orden N son en su mayoría resueltas
con transformadas que ayudan a resolver de forma mas practica la ecuación,
ya que suelen ser muy complejas.
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3. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Considere el sistema de primer orden. Física mente, este sistema representa
un circuito RC, un sistema térmico o algo similar. La Figura 1. presenta un
diagrama de bloques simplificado. La relación entrada-salida se obtiene
mediante 𝑪(𝒔)/𝑹(𝒔) = 𝟏/(𝑻𝒔 + 𝟏)
Del cual se pueden obtener varios tipos de respuesta de primer orden como la
respuesta escalón unitario. Como la transformada de Laplace de la función
escalón unitario es 1/s, sustituyendo 𝑅 𝑠 = 1/𝑠
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4. Los sistemas de primer orden, se desarrollan básicamente, resolviendo las
fracciones y llevando a la inversa de Laplace la ecuación.A partir de la
respuesta se puede obtener un análisis sistemático de la repuesta. Siguiendo
el ejemplo anterior se desarrollan las fracciones simples de la respuesta de
escalón unitario de sistema de primer orden en circuito RC
𝐶 𝑠 =
1
𝑠
−
𝑇
𝑇𝑠 + 1
=
1
𝑠
−
1
𝑠 + 1/𝑇
Inversa de Laplace 𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒−𝑡/𝑇 para t ≥ 0
para 𝑡 = 𝑇, el valor de c(t) es 0.632, o que la respuesta c(t) alcanzó 63.2% de
su cambio total. . Es decir
𝑐 𝑇 = 1 − 𝑒−1
= 0.632
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5. Teniendo la respuesta se puede graficar y concluir que la respuesta del sistema
en dos constantes de tiempo, la respuesta alcanza 86.5% del valor final. En t%
3T, 4T y 5T, la respuesta alcanza 95, 98.2 y 99.3%, respectivamente, del valor
final. Por tanto, para t n4T, la respuesta permanece dentro del 2% del valor
final.
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6. Los sistemas de segundo orden son todos aquellos que tienen dos polos y
están representados típicamente por ecuaciones diferenciales ordinarias de
segundo orden.
𝐶 𝑠
𝑅 𝑠
=
𝑘𝜔𝑛
2
𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2
𝑘 =ganancia estatica
𝜔𝑛 =frecuencia natural no amortiguada
𝜁 = coeficiente de amortiguamiento
La función de transferencia estándar para un sistema de 2do orden está
expresamente diseñada en función de estos parámetros (ganancia, frecuencia
natural y coeficiente de amortiguamiento) que están ligados al comportamiento
físico de la respuesta y a la situación de sus polos en el plano “s”.
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7. Tipos de sistemas de Segundo orden
• Oscilatorio (ζ=0)
𝑺 = ±𝒋𝝎𝑹
• Subamortiguado (0<ζ<1)
𝒔 = −𝜻𝝎𝑹 ± 𝒋𝝎𝑹 𝟏 − 𝜻𝟐
• Críticamente amortiguado (ζ=1)
𝑺 = −𝜻𝝎𝑹
• Sobreamortiguado (1<ζ)
𝒔 = −𝜻𝝎𝑹 ± 𝝎𝑹 𝜻𝟐 − 𝟏
• Inestable (ζ<0)
𝒔 = −𝜻𝝎𝑹 ± 𝒋𝝎𝑹 𝟏 − 𝜻𝟐
𝜶𝒊 = −𝜻𝝎𝑹 > 𝟎
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8. Los sistemas de Segundo orden en los circuitos electricos se puede encontrar en los
circuitos RLC.
En la cual tenemos una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO):
𝐿𝐶
𝑑2𝑢𝐶
𝑑𝑡2
𝑡 + 𝑅𝐶
𝑑𝑢𝐶
𝑑𝑡 𝑡
+ 𝑢𝐶(𝑡) = 𝑣(𝑡)
Para simplificar la notación, escribiremos a partir de aquí úC en lugar de
𝑑𝑢𝐶
𝑑𝑡
𝐿𝐶𝑢𝐶 𝑡 + 𝑅𝐶ú𝐶(𝑡) + 𝑢𝐶(𝑡) = 𝑣(𝑡)
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9. La function de transferencia dada para el circuito RLC en serie es
𝐺1 𝑠 =
𝑈𝐶 𝑠
𝑉 𝑠
=
1
𝐿𝐶𝑠2 + 𝑅𝐶𝑠 + 1
𝑉 𝑠
Teniendo un diagrama de bloques del EDO y la funcion de transferencia
En donde se define el tipo de Sistema según el coeficiente de amortiguacion
que tenga.
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10. Hasta aquí analizamos sistemas de primer y segundo orden. El método de
solución que se vio para las ecuaciones diferenciales de primer y segundo
orden se puede seguir en la solución de ecuaciones de orden mas elevado.
Para una ecuación diferencial n-esimo orden
𝑎0𝑠𝑛 + 𝑎1𝑠𝑛−1 + ⋯ 𝑎𝑛−1 𝑠 + 𝑎𝑛 = 0
La forma de resolver este sistema es separar y resolver los sistemas de primer
orden y los de Segundo orden, por lo que se puede entender que la unión de
estos da la transformación de un sistema de orden superior.
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11. Resumiendo el estudio , una ecuación de cualquier orden se puede factorizar
mediante sus raíces y estas determinan la solución de la ecuación diferencial
homogénea en forma similar a la suma de las soluciones de primer orden (o segundo
orden) que ya se han visto. Ejemplo
𝑑3
𝑖
𝑑𝑡3 + 6
𝑑4
𝑖
𝑑𝑡4 + 17
𝑑3
𝑖
𝑑𝑡3 + 28
𝑑2
𝑖
𝑑𝑡2 + 24
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 8𝑖 = 0
Factorizandola en el dominio de Laplace se tiene que
𝑠 + 1 𝑠 + 1 𝑠 + 2 𝑠2 + 2𝑠 + 4 = 0
Al aplicar estas ecuaciones ya derivadas para los sistemas de primero y segundo
orden, se observa que la solución es
i = (𝐾1 + 𝐾2𝑡)𝑒−𝑡 + 𝐾3𝑒−2𝑡 + 𝑒−𝑡(𝐾4 𝑠𝑒𝑛 3𝑡 + 𝐾3cos 3𝑡
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12. Un ejemplo de este es un muestreador-retenedor el cual puede ir en
aplicaciones de primer, segundo y orden superior. Estos se conocen como
retenedores de orden superior y entre ellos están los retenedores de primer
orden y segundo orden. Estos dispositivos reconstruyen la señal en forma más
exacta que los retenedores de orden cero pero, por su misma configuración,
introducen un retardo adicional al sistema que no es recomendable en
aplicaciones de control.
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