presentación sobre los diferentes clases de sistemas según su orden

1. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN, SEGUNDO ORDEN Y
ORDEN SUPERIOR
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUACIÓN UNIVERSITARIA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO
Realizado por:
Albert Farías
CI: 28.166.432
Docente: Amdie Chirinos
Fecha 10/06/21

2. ¿QUÉ SON LOS SISTEMAS DE PRIMER ORDEN?
Se conocen como sistemas de primer orden, en esencia, a aquellos sistemas que tienen un
solo polo y se encuentran representados por una ecuación diferencial de primer orden,
queriendo decir que su máxima derivada posee orden uno. De manera general, la
ecuación con coeficientes constante y condición inicial cero se representa de la siguiente
forma:
𝑎1
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑎0𝑦 𝑡 = 𝑏0𝑢 𝑡 , … 𝑐𝑜𝑛 𝑦 0 = 0
Los sistemas de primer orden tienen diversas aplicaciones para aproximar y representar
procesos y sistemas físicos cotidianos o industriales. De esta forma, por ejemplo, un
sistema físico de primer orden sería un circuito eléctrico (circuito RC) donde el
condensador es el componente encargado de almacenar la energía del sistema.

3. ¿CUÁL ES LA UTILIDAD DE LOS SISTEMAS DE PRIMER ORDEN?
Es una clase de representación que sirve para poder expresar de una forma
matemática y muy simple como se comporta un proceso o un sistema real a lo
largo del tiempo cuando se aplica algún estímulo en sus entradas. De esa forma
podremos hacer análisis para mejorar y optimizar nuestro sistema.
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DEL SISTEMA DE PRIMER ORDEN
La función de transferencia relaciona la respuesta del sistema ante una entrada o
excitación, de esta forma para [𝒂𝟏
𝒅𝒚(𝒕)
𝒅𝒕
+ 𝒂𝟎𝒚 𝒕 = 𝒃𝟎𝒖 𝒕 ] tenemos la siguiente
función de transferencia del sistema de primer orden es:
𝑪(𝒔)
𝑹(𝒔)
=
𝒃𝟎
𝒔 + 𝒂𝟎

4. Reorganizando los términos de la ecuación, se puede escribir como:
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DEL SISTEMA DE PRIMER ORDEN
𝑪(𝒔)
𝑹(𝒔)
=
𝑲
𝝉𝒔 + 𝒂𝟎
¿QUÉ ES LA CONSTANTE DE TIEMPO EN UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN?
La constante de tiempo de un sistema de primer orden, generalmente denotada
por la letra griega τ (tau), se define como el tiempo requerido para que el sistema
alcance el 63,2% del valor final o de estado estable. Por lo tanto la constante
muestra la velocidad del sistema ante una determinada entrada para alcanzar el
régimen permanente.
Donde K= b0/a0, es la ganancia en estado estable y 𝝉= 1/a0 es la
constante de tiempo del sistema. El valor “s” es el que se define como
polo.

5. ¿CÓMO IDENTIFICAR UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN?
La identificación del orden del sistema se lleva a cabo forma muy simple, para eso
solo es necesario con observar el valor del máximo exponente de la derivada
cuando el sistema es representado por ecuaciones diferenciales. En este caso el
máximo exponente debe ser 1. Cuando es representado por función de
transferencia, se observa el denominador, donde el máximo exponente de la
variable compleja s debe ser igual a 1.
𝑎1
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑎0𝑦 𝑡 = 𝑏0𝑢 𝑡
Cuando es representado por función de transferencia, se observa el denominador,
donde el máximo exponente de la variable compleja s debe ser igual a 1.
𝑪(𝒔)
𝑹(𝒔)
=
𝒃𝟎
𝒔 + 𝒂𝟎

6. RESPUESTA DE UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN
La respuesta de un sistema de primer orden en los sistemas de control va a
depender del tipo de entrada que le coloquemos al sistema. Las señales de
prueba más comunes son:
Entrada Tiempo Laplace
Impulso 𝜹(𝒕) 1
Escalón A 𝑨
𝑺
Rampa t 𝟏
𝒔𝟐
𝒃𝟎
𝒔 + 𝒂𝟎
Sistema
C(s)
R(s)

7. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
❑ Sistema de primer orden sin cero:
Este es el sistema clásico que se encuentra generalmente en los modelos e estudio,
donde el sistema únicamente posee su ganancia estática en el numerador de la
función de transferencia y posee una constante de tiempo 𝝉 (tau) que nos indica la
velocidad de crecimiento del sistema y además nos da un indicio de su estabilidad.
Si 𝝉 es positivo, el sistema es estable, si es negativo es inestable. La función de
transferencia se presenta nuevamente a continuación:
𝑮 𝒔 =
𝑪(𝒔)
𝑹(𝒔)
=
𝑲
𝝉𝒔 + 𝒂𝟎

8. ❑ Sistema de primer orden con cero nulo:
En este caso tenemos un sistema de primer orden que posee una raíz en el
numerador ubicado en el origen del plano complejo S, es decir tiene un cero
NULO. Como puede ser observado en la siguiente función de transferencia:
𝑮 𝒔 =
𝑪(𝒔)
𝑹(𝒔)
=
𝑲𝒔
𝝉𝒔 + 𝒂𝟎
En este caso particular la ganancia K ya no es más la ganancia estática del
sistema, y eso puede ser comprobado con el teorema del valor final, donde
G(0)=0. En otras palabras, por el motivo de tener un cero en el origen, este
sistema de primer orden con cero nulo hará que la respuesta en el régimen
permanente se establezca en CERO en caso del sistema ser estable.

9. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Los sistemas de segundo orden son todos aquellos que tienen dos polos y están
representados típicamente por ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo
orden. Considerando el caso de las ecuaciones diferenciales lineales de
segundo orden, con coeficientes constantes y condición inicial cero, tenemos:
𝑎2
𝑑2
𝑦(𝑡)
𝑑𝑡2
+ 𝑎1
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑎0𝑦 𝑡 = 𝑏0𝑢 𝑡 , … 𝑐𝑜𝑛 𝑦 0 = 0
En este caso, el orden de la máxima derivada, es 2, lo que nos indica que es un
sistema de segundo orden.

10. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE SEGUNDO ORDEN
La formula general para los sistemas de segundo orden es la siguiente:
𝑪(𝒔)
𝑹(𝒔)
= 𝑲
𝝎𝒏
𝟐
𝒔𝟐 + 𝟐𝜹𝝎𝒏𝒔 + 𝝎𝒏
𝟐
En este caso podemos entender que cuando tenemos un sistema de segundo
orden existe la posibilidad de la existencia de un sistema amortiguado que nos
indica la existencia de algún componente capaz de disipar la energía del
sistema y viene dado por el factor de amortiguamiento 𝜹.
𝝎𝒏 = La frecuencias natural no amortiguada del sistema.
𝜹 = 𝐅𝐚𝐜𝐭𝐨𝐫 𝐝𝐞 𝐚𝐦𝐨𝐫𝐭𝐢𝐠𝐮𝐚𝐦𝐢𝐞𝐧𝐭𝐨

11. DINÁMICA DE LOS SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
El comportamiento dinámico de un sistema de segundo orden puede ser
entonces descrito en términos de dos parámetros 𝝎𝒏 y 𝜹.
Dependiendo del valor que tome 𝜹 el sistema tendrá diversos
comportamientos, los cuales son:
• ζ=0 Sistema Oscilatorio
• 0<ζ<1 Sistema Subamortiguado
• ζ=1 Sistema Críticamente Amortiguado
• ζ>1 Sistema Sobre Amortiguado

12. RESPUESTA TRANSITORIA ANTE UNA ENTRADA ESCALÓN
UNITARIO:
Caso subamortiguado (0<ζ<1), en este caso C(s)/R(s) se escribe:
Donde 𝝎𝒅= 𝝎𝒏 𝟏 − 𝜹𝟐 se denomina frecuencia natural amortiguada. Si R(s)
es una entrada escalón, entonces:
𝑪(𝒔)
𝑹(𝒔)
=
𝝎𝒏
𝟐
(𝒔 + 𝜹𝝎𝒏𝒔 + 𝝎𝒅)(𝒔 + 𝜹𝝎𝒏 − 𝝎𝒅)
𝑪(𝒔) =
𝝎𝒏
𝟐
(𝒔𝟐+𝟐𝜹𝝎𝒏𝒔 + 𝝎𝒏
𝟐
)𝒔

13. Aplicando fracciones parciales:
𝑪 𝒔 =
𝟏
𝒔
−
𝒔 + 𝜹𝝎𝒏
𝒔 + 𝜹𝝎𝒏
𝟐 + 𝝎𝒅
𝟐
−
𝜹𝝎𝒏
𝒔 + 𝜹𝝎𝒏
𝟐 + 𝝎𝒅
𝟐
𝑳−𝟏
𝒔 + 𝜹𝝎𝒏
𝒔 + 𝜹𝝎𝒏
𝟐 + 𝝎𝒅
𝟐
= 𝒆−𝜹𝝎𝒏𝒕 cos 𝝎𝒅 𝒕
Y teniendo la noción de que:
𝑳−𝟏
𝜹𝝎𝒏
𝟐
𝒔 + 𝜹𝝎𝒏
𝟐 + 𝝎𝒅
𝟐 = 𝒆−𝜹𝝎𝒏𝒕
sin 𝝎𝒅 𝒕
Se obtiene la salida en el tiempo:
𝑪 𝒕 = 𝟏 −
𝒆−𝜹𝝎𝒏𝒕
1 − 𝛿2
sin 𝝎𝒅𝒕 + tan−𝟏
1 − 𝛿2
𝛿
(𝒕 ≥ 𝟎)

14. Caso amortiguado critico (ζ=1), en este caso se tienen dos polos reales iguales
y C(s) ante un escalón es:
La transformada inversa nos arroja:
𝑪(𝒔) =
𝝎𝒏
𝟐
(𝒔 + 𝝎𝒏)𝟐𝒔
𝑪 𝒕 = 𝟏 − 𝒆−𝝎𝒏𝒕
(𝒔 + 𝝎𝒏) (𝒕 ≥ 𝟎)
Caso sobreamortiguado (ζ>1), en este caso se tienen dos polos reales
negativos y diferentes. Para un escalón C(s) es:
𝑪 𝒔 =
𝝎𝒏
𝟐
𝒔 + 𝜹𝝎𝒏 + 𝝎𝒏 1 − 𝛿2 𝒔 + 𝜹𝝎𝒏 − 𝝎𝒏 1 − 𝛿2 𝒔

15. La transformada inversa de Laplace del caso del sobreamortiguamiento es:
𝑪 𝒕 = 𝟏 +
𝟏
𝟐 𝜹𝟐−𝟏(𝜹+ 1−𝛿2)
𝒆−(𝜹+ 1−𝛿2)𝝎𝒏𝒕
-
𝟏
𝟐 𝜹𝟐−𝟏(𝜹+ 1−𝛿2)
𝒆−(𝜹+ 1−𝛿2)𝝎𝒏𝒕
Figura. Respuesta al
escalón de diferentes
sistemas de segundo
orden

16. SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR
Los sistemas de orden superior son sistemas que contienen ceros y polos
adicionales que afectan el comportamiento del sistema tanto en régimen
transitorio como en régimen permanente. La ecuación diferencial
estándar que define los sistemas de orden superior es la siguiente:

17. ECUACIÓN DE TRANSFERENCIA DE ORDEN
SUPERIOR
La función de transferencia de un sistema de orden superior
de forma generalizada es la siguiente:

18. En general, los polos de G(s) podrán ser o bien polos reales o bien
complejos conjugados, por lo que la respuesta ante una entrada en
escalón se puede calcular:
Aplicando la transformada inversa a la ecuación:

19. POLOS DOMINANTES DEL SISTEMA
De forma practica, se dan situaciones en que algunos polos tienen una
influencia en la respuesta del sistema es muy superior a la del resto de polos, a
estos polos se les denomina polos dominantes. Los polos dominantes son los
polos que dan la respuesta más lenta. La rapidez de respuesta viene dada
por el exponente de la exponencial (la parte real del polo), siendo estos:
−
𝟏
𝝉
−𝜹𝝎𝒏
ቐ
−(𝜹 − 𝜹𝟐 − 𝟏)𝝎𝒏
−(𝜹 + 𝜹𝟐 − 𝟏)𝝎𝒏
En sistemas de primer orden
En sistemas de segundo orden subamortiguado
En sistemas de segundo orden
sobreamortiguado