Sistemas de Primer y Segundo Orden. Sistemas de Orden Superior. Asignatura: Teoría de Control

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA
EDUCACIÓN
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
Sistemas de Primer y Segundo Orden
Sistemas de Orden Superior
Realizado por:
Morelia Canales
C.I: 28.081.498
Sección “A”
Profesora:
Lcda. Amdie Chirinos
Maturín, Junio de 2021.

2. Sistemas de Primer y Segundo Orden
Sistemas de Orden Superior
En el análisis y diseño de
sistemas de control, se debe tener
una base de comparación del
desempeño de los mismos. Esta
base se obtiene especificando las
señales de entrada y comparando
las respuestas de varios sistemas
de acuerdo a estas señales.
Por lo que se utilizan señales
de entrada de prueba, ya que
existe una relación entre las
características de respuesta de un
sistema para una señal de entrada
de prueba común y la capacidad
del sistema de manejar las
mismas.

3. Mediante estas señales es posible realizar con facilidad el análisis del
sistema de control, ya sean análisis matemáticos o experimentales, dado
que las señales son funciones del tiempo muy simples. El comportamiento
en el tiempo de estas señales consta de dos partes: una respuesta
transitoria y una permanente, las cuales están asociadas a criterios de
estabilidad y rapidez. Las señales también se aplican de acuerdo a dos
parámetros: orden y tipo.

4. Respuesta transitoria y respuesta en estado estable
La respuesta en el tiempo de un sistema de control consta de dos
partes: la respuesta transitoria y la respuesta en estado estable. Por
respuesta transitoria se refiere a la que va del estado inicial al estado
final. Mientras que por respuesta en estado estable, se refiere a la
manera en la cual se comporta la salida del sistema conforme t (o S
en dominio de Laplace) tiende a infinito.

5. Estabilidad
Señales de Prueba más Utilizadas en el Análisis de Sistemas
Al diseñar un sistema de control, se debe predecir su
comportamiento dinámico a partir del conocimiento de los componentes.
La característica más importante del comportamiento dinámico de un
sistema de control es la estabilidad absoluta, es decir, si el sistema es
estable o inestable. Un sistema de control está en equilibrio si, en
ausencia de cualquier perturbación o entrada, la salida permanece en el
mismo estado. Un sistema de control lineal e invariante con el tiempo es
estable si la salida termina por regresar a su estado de equilibrio cuando
el sistema está sujeto a una condición inicial.

6. Sistemas de Primer Orden
Son aquellos que tienen un solo polo en el plano S y están
representados por ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.
Lo que significa que el máximo orden de la derivada es orden 1. Si se
considera una ecuación diferencial con coeficientes constantes y
condición inicial cero, se obtiene:
Este tipo de sistemas tienen diversas aplicaciones para aproximar
y representar procesos y sistemas físicos cotidianos o industriales. Por
ejemplo en los circuitos eléctricos a través de un circuito RC donde el
condensador es el componente encargado de almacenar la energía del
sistema.

7. Función de Transferencia de un Sistema de Primer Orden
La respuesta se representa mediante una ecuación diferencial lineal
de primer orden con una variable de entrada x(t), y una variable de salida
y(t), de la siguiente forma:
Siendo τ una constante de tiempo que representa un atraso
dinámico definido por la capacidad del sistema de reaccionar a los
cambios, y K la ganancia en estado estacionario o estático del sistema,
la cual es la variación total de la salida con respecto a la entrada una vez
alcanzado el estado estacionario.
Respuesta a una Señal Escalón
El escalón viene definido por la función 𝑋 𝑠 =
1
𝑠
por lo que la salida del sistema viene dada por:

8. Al descomponer en fracciones simples y
realizando los cálculos correspondientes, la
ecuación queda:
Siendo la respuesta temporal a través de la
transformada inversa de Laplace:
Respuesta a una Señal Rampa Unitaria
El escalón viene definido por la función 𝑋 𝑠 =
1
𝑠2
por lo que la salida del sistema se obtendrá mediante:
Respuesta al Escalón

9. Suponiendo que K=1 y resolviendo mediante
fracciones simples, se obtiene:
Y la respuesta temporal:
Respuesta a una Señal Impulso Unitario
El impulso unitario está definido por la función
𝑋 𝑠 = 1, por lo tanto, la salida del sistema se obtiene
mediante:
Respuesta a la rampa

10. Si se supone que K=1, se obtiene:
Y a través de la transformada inversa de
Laplace, se determina la respuesta temporal:
Respuesta al Impulso
Sistemas de Segundo Orden
Los sistemas de segundo orden son todos aquellos que tienen dos
polos y están representados típicamente por ecuaciones diferenciales
ordinarias de segundo orden. Considerando el caso de las ecuaciones
diferenciales lineales de segundo orden, con coeficientes constantes y
condición inicial cero, se tiene:

11. Función de Transferencia de un Sistema de Segundo Orden
Los sistemas de segundo orden se representan mediante una
ecuación diferencial lineal de segundo orden, de la siguiente forma:
Esta expresión se denomina “función de transferencia generalizada
de segundo orden” y depende de dos parámetros: el coeficiente de
amortiguamiento 𝛿 y la frecuencia natural no amortiguada 𝜔𝑛. Igualando
el denominador a cero se obtiene la ecuación característica.
Dependiendo del valor de 𝛿, los sistemas de segundo orden se
clasifican en: sistema subamortiguado (polos conjugados en el semiplano
izquierdo), sistema oscilante (polos en el eje imaginario), sistema
críticamente amortiguado (polo doble en el eje real) y sistema
sobreamortiguado (polos en el eje real).

12. Respuesta al Escalón Unitario para cada uno de los Sistemas
de Segundo Orden
Sistema Subamortiguado:
𝑦 𝑡 = 1 −
𝑒−𝛿𝜔𝑛𝑡
1 − 𝛿2
∙ sin 𝜔𝑛𝑡 + 𝜃
Sistema Críticamente
Amortiguado:
𝑦 𝑡 = 1 − 𝑒−𝜔𝑛𝑡
1 + 𝜔𝑛𝑡
Sistema Sobreamortiguado:
𝑦 𝑡 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥 = 1 − 𝑒𝑠1𝑡
A continuación, se muestra un ejemplo de los sistemas de segundo orden,
en este caso para una señal escalón unitario y las ecuaciones que representan
cada una de las respuestas transitorias.

13. Sistemas de Orden Superior
Los sistemas de orden superior son aquellos que tienen más de dos
polos. Su análisis es complejo, por lo que se aprovecha la dominancia o
influencia que tiene un polo sobre otro cuando distan mucho entre sí.
Dentro de los sistemas estables (raíces situadas en el semiplano
izquierdo), las respuestas correspondientes a raíces cercanas se
amortiguan más lentamente que las correspondientes raíces alejadas
(mayor exponente negativo).
Cuanto menor sea la parte
real; se amortigua la respuesta más
lento, por lo que se denominan
polos dominantes a las raíces
cercanas al eje 𝑗𝜔 , ya que las
demás generan polos
insignificantes , los cuales
desaparecen rápidamente. Debido
a esto, es posible estudiar el
comportamiento transitorio de un
sistema complejo reduciéndolo a un
sistema de primer o segundo orden
a través de sus polos.

14. Bibliografía
Castaño, S. (2020). Sistemas Dinámicos de Primer Orden. [Documento
en línea]. Disponible en: https://controlautomaticoeducacion.com/
controlrealimentado/sistemas-dinamicos-de-primer-orden/
Katsuhiko, O. (2010). Ingeniería de Control Moderna. (5ta ed). Pearson
Educación, S.A. España.
Kuo, B. (1996). Sistemas de Control Automático. (7ma ed). Prentice-Hall
Hispanoamericana, S.A. México.
Valdivia, C. (2012). Sistemas de Control Continuos y Discretos. (1ra ed).
Ediciones Paraninfo, S.A. España.

15. Gracias por su
Atención