This document discusses first and second order systems. It defines first order systems as those represented by first order ordinary differential equations with a single pole. For linear first order systems with constant coefficients and zero initial conditions, the Laplace transform yields a transfer function with a gain K and time constant Tau. A second order system has two poles and is represented by a second order differential equation. The transfer function depends on gain K, damping ratio Zeta, and natural frequency Wn. The response of second order systems is analyzed for different cases of Zeta, including overdamped (Zeta > 1), critically damped (Zeta = 1), and underdamped (0 < Zeta < 1). Higher order systems are also briefly covered

1. I.U.P. “SANTIAGO MARIÑO”
SEDE BARCELONA
CÁTEDRA: TEORÍA DE CONTROL
Profesor: Participante:
Lcda. Amdie Chirinos Tcnol. Pedro Anato
Junio, 2021

2. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Son aquellos que tienen un solo polo y están representados por
ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.
Considerando el caso de las ecuaciones diferenciales lineales
de primer orden, con coeficientes constantes y condición inicial
cero, tenemos:

3. Aplicando la Transformada de Laplace:
Se tiene que:
Finalmente se tiene la función de transferencia del sistema:
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

4. Donde:
K Ganancia del sistema de primer orden.
T (Tau) Constante de tiempo del sistema de primer orden.
La constante de tiempo de un sistema de primer orden,
generalmente denotada por la letra griega T (tau), se define como el
tiempo requerido para que el sistema alcance el 63,2% del valor
final o de estado estable.
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

5. Respuesta de un sistema de primer orden ante una entrada escalón:
Donde A es una constante
Expandiendo en fracciones parciales y calculando residuos tenemos:
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

6. Matemáticamente tiende a una asíntota con valor KA, y en
consecuencia el tiempo para llegar a éste valor es finito. Desde el punto de
vista de ingeniería es necesario establecer un margen en la aproximación a
la asíntota de manera que se pueda calcular un tiempo finito en el cual se
considera el sistema estabilizado (tss).
Por convención se adoptó como tiempo de estabilización para un
sistema de primer orden ante una entrada escalón el valor:
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

7. Entonces, la respuesta transitoria se define como la dinámica
del sistema desde el estado inicial hasta alcanzar el estado
estacionario, donde en un sistema de primer orden la respuesta
transitoria tiene una duración de 4 veces la constante de tiempo.
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

8. ¿Para qué sirven los sistemas de Primer Orden?
Es un tipo de representación que sirve para poder expresar de
una forma matemática y muy simple cómo se comporta un proceso
o un sistema real a lo largo del tiempo cuando se aplica algún
estímulo en sus entradas. De esa forma podremos hacer análisis
para mejorar y optimizar nuestro sistema.
Los sistemas de primer orden tienen diversas aplicaciones para
aproximar y representar procesos y sistemas físicos cotidianos o
industriales. Por ejemplo, tenemos sistemas físicos de primer orden
de circuitos eléctricos donde el condensador es el componente
encargado de almacenar la energía del sistema.
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

9. Son aquellos que tienen dos polos o raíces y están
representados típicamente por ecuaciones diferenciales ordinarias
de segundo orden.
Considerando el caso de las ecuaciones diferenciales lineales
de segundo orden, con coeficientes constantes y condición inicial
cero, tenemos:
En donde:
a, b, c y β  constantes.
y(t)  la variable de salida del sistema.
r(t)  la variable de entrada al sistema.
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

10. Aplicando la Transformada de Laplace para obtener la función
de transferencia:
Se tiene que:
K  Ganancia del sistema.
ζ  Factor de amortiguamiento.
ωn  Frecuencia natural no amortiguada.
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

11. Casos:
a) ζ ˃ 1  Sistema sobreamortiguado, posee 2 polos o raíces
reales y diferentes y no existen oscilaciones.
b) ζ = 1  Sistema críticamente amortiguado posee 2 polos reales
e iguales.
c) 0 ˂ ζ ˂ 1  Sistema subamortiguado, posee 2 polos complejos
conjugadas, con parte real.
d) ζ = 0  Sistema oscilatorio, posee 2 polos complejos
conjugados, sin parte real.
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

12. a) Sistema sobreamortiguado ζ ˃ 1. Entrada de escalón, r(t)=Au(t)
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

13. a) Sistema sobreamortiguado ζ ˃ 1. Entrada de escalón, r(t)=Au(t)
Aplicando
Tenemos los valores de las constantes K1, K2 y K3.
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

14. a) Sistema sobreamortiguado ζ ˃ 1. Entrada de escalón, r(t)=Au(t)
Finalmente se obtendrá:
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

15. a) Sistema sobreamortiguado ζ ˃ 1. Entrada de escalón, r(t)=Au(t)
Diagrama de polos en un sistema
sobreamortiguado
La rapidez de respuesta depende de la
colocación de los polos
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

16. b) Sistema críticamente amortiguado ζ = 1: Entrada de escalón,
r(t)=Au(t)
Aplicando:
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

17. b) Sistema críticamente amortiguado ζ = 1: Entrada de escalón,
r(t)=Au(t)
Resulta:
Obtenemos la ecuación final para el sistema de segundo orden:
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

18. b) Sistema críticamente amortiguado ζ = 1: Entrada de escalón,
r(t)=Au(t)
Diagrama de polos de un sistema
críticamente amortiguado
La rapidez de respuesta depende
de la colocación del polo doble
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

19. c) Sistema subamortiguado 0 ˂ ζ ˂ 1: Entrada de escalón, r(t)=Au(t)
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

20. c) Sistema subamortiguado 0 ˂ ζ ˂ 1: Entrada de escalón, r(t)=Au(t)
Forma de respuesta:
Cálculo de los residuos:
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

21. c) Sistema subamortiguado 0 ˂ ζ ˂ 1: Entrada de escalón, r(t)=Au(t)
Diagrama de polos de un sistema
subamortiguado
Parámetros de un sistema
subamortiguado
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

22. c) Sistema subamortiguado 0 ˂ ζ ˂ 1: Entrada de escalón, r(t)=Au(t)
 Máximo pico (Mp):
Es usado para medir cuanto la señal sobrepasa la referencia
con relación a su estado estacionario. También se conoce como
máximo sobreimpulso.
Si Mp se expresa en porcentaje se tiene que:
En ese caso 0% ˂ Mp ˂ 100%
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

23. c) Sistema subamortiguado 0 ˂ ζ ˂ 1: Entrada de escalón, r(t)=Au(t)
 Tiempo de subida o elevación tr:
Es el tiempo que transcurre para que la respuesta alcance por
primera vez el valor final.
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

24. c) Sistema subamortiguado 0 ˂ ζ ˂ 1: Entrada de escalón, r(t)=Au(t)
 Tiempo de estabilización o asentamiento ts:
Es el tiempo que tarda la respuesta en llegar a ciertos límites ya
preestablecidos del valor final y permanecer dentro de los límites. Este
tiempo se obtiene a través de la constante de tiempo propia de un sistema
subamortiguado dado por:
El tiempo de establecimiento viene dado por medio de una tolerancia
permitida, puede ser del 2% o del 5%, cuando el sistema oscila dentro de
esa tolerancia podemos decir que el sistema de segundo orden se
encuentra dentro del régimen permanente.
Fórmula para un límite o
tolerancia de un 5%,0,
Fórmula para un límite o
tolerancia de un 2%
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

25. c) Sistema subamortiguado 0 ˂ ζ ˂ 1: Entrada de escalón, r(t)=Au(t)
 Tiempo medio td:
Es el tiempo que transcurre para que la respuesta alcance el
50% del valor final.
Frecuencia angular amortiguada de oscilación ωd:
Frecuencia amortiguada de oscilación fd:
Período amortiguado de oscilación Td:
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

26. d) Sistema oscilatorio sin amortiguamiento ζ = 0: Entrada de
escalón, r(t)=Au(t)
La respuesta es igual a:
Donde Ɵ =
𝝅
𝟐
y, finalmente se tiene la ecuación:
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

27. Efecto del factor de
amortiguamiento ζ en la
respuesta de un sistema
de segundo orden.
d) Sistema oscilatorio sin amortiguamiento ζ = 0: Entrada de
escalón, r(t)=Au(t)
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

28. Quedan descritos por la siguiente función de transferencia:
Con zi y pj ceros y polos en general complejos, la respuesta escalón
de magnitud A será:
SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR

29. Caso 1: Polos en general distintos:
Aplicando la transformada inversa:
 La contribución de K0 es relativa al régimen estacionario.
 La contribución de cada polo pi en la respuesta transitoria
depende la magnitud del residuo Ki y de su colocación relativa:
1.Si Ki es bajo  su contribución es despreciable, y
2.Si Re(pi)<0 con |Re(pi)| alto  su contribución es
despreciable.
SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR

30. Caso 1: Polos en general distintos:
Formas de onda
no estandarizadas
SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR

31. Caso 2: Polos en general múltiples:
La respuesta escalón de amplitud A será:
Y aplicando la transformada inversa de Laplace:
Para determinar la contribución de cada polo se sigue el mismo
razonamiento que el caso anterior.
SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR

32. Concepto de dominancia:
 Los polos más cercanos al eje imaginario jω prevalecen, y se
denominan polos dominantes.
 Transformamos un sistema de orden superior en un sistema de
primer orden (un único polo dominante) o en un SSO (un par de
polos dominantes).
 Los polos dominantes son los polos que dan la respuesta más
lenta.
 La rapidez de respuesta viene dada por el exponente de la
exponencial (la parte real del polo).
Criterio de dominancia:
 Relación Re(pi) / Re(pd) > 5, suponiendo que no hay ceros en
cercanía de pd (efecto cancelación).
SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR

33. BIBLIOGRAFÍA
 Sistemas dinámicos de primer orden. Disponible en la red:
https://controlautomaticoeducacion.com/control-realimentado/sistemas-
dinamicos-de-primer-orden/ (consultado el 07 de junio de 2021).
 Sistemas de primer orden y segundo orden. Autor: José L.
Rodríguez PhD. D. 2001. Disponible en la red:
http://www.unet.edu.ve/~jlrodriguezp/sist12.pdf (consultado el 07 de
junio de 2021).
 Sistemas de segundo orden. Disponible en la red:
https://controlautomaticoeducacion.com/control-realimentado/sistemas-
de-segundo-orden/ (consultado el 08 de junio de 2021).
 Tema 5: Introducción al análisis temporal de sistemas lineales.
Disponible en la red:
https://frrq.cvg.utn.edu.ar/pluginfile.php/9025/mod_resource/content/1/Te
ma5.pdf (consultado el 08 de junio de 2021).