1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA
EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
"SANTIAGO MARIÑO"
EXTENSIÓN MATURÍN
Sistemas de primer, segundo orden y
orden superior
Autora: Ana Rodríguez
Escuela: Ingeniería Eléctrica
Maturín, Junio 2021
Docente: Ing. Amdie Chirinos
2. Sistema de primer Orden
Los sistemas de primer orden por definición son aquellos que tienen un
solo polo y están representados por ecuaciones diferenciales ordinarias
de primer orden, Quiere decir que el máximo orden de la derivada es
orden 1. Considerando el caso de las ecuaciones diferenciales lineales
de primer orden, con coeficientes constantes y condición inicial cero,
tenemos:
Es un tipo de representación que sirve para poder expresar de una
forma matemática y muy simple como se comporta un proceso o un
sistema real a lo largo del tiempo cuando se aplica algún estímulo en
sus entradas.
𝑎1
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑎0𝑦 𝑡 = 𝑏0𝑢 𝑡 , 𝑐𝑜𝑛: 𝑦(0) = 0
3. Función de transferencia de sistema de primer Orden
• H(S) = Salida del sistema (Altura del tanque)
• α(s) = Entrada del sistema (Abertura de la válvula)
• K = Ganancia estática del sistema de primer orden
• τ = La constante de tiempo del sistema
• θ = Retardo de tiempo del sistema
Estos sistemas de control de primer orden son muy usados en la
instrumentación y control para el análisis de diferentes procesos.
𝐻 (𝑠)
𝛼 (𝑠)
=
𝐾
𝑡𝑠 + 1
𝑒−𝜃𝑠
4. Tipos de sistema de primer Orden
• Sistema de primer orden Sin retardo
Si nuestro sistema no posee retardo, 𝜃 = 0 nuestras funciones de
transferencia de primer orden y ecuaciones temporales del sistema,
estarían regidas si sustituimos de la ecuación temporal de primer orden
anterior la variable de tiempo t por diferentes valores.
• Sistema de primer orden Con retardo o Tiempo muerto
sistema de primer con retardo, la dinámica del sistema tendrá el mismo
crecimiento en el estado transitorio, lo único que cambia, es que el
sistema va a demorar en responder un tiempo 𝜃una vez es aplicada la
señal de entrada en el sistema
• Sistema de primer orden Entrada rampa
Esta señal permite conocer cual es la respuesta del sistema a señales
de entrada que cambian linealmente con el tiempo. Matemáticamente se
representa como: 𝑟 𝑡 = 𝐴 ∗ 𝑡 ∗ 𝑢 𝑡 .Donde A: constante
• Sistema de primer orden Entrada impulso unitario
La ecuación temporal anterior también se puede obtener derivando la
respuesta del sistema de primer orden ante un escalón el máximo pico
en la respuesta al impulso para un sistema de primer orden es igual a
AK. Donde A sería el valor del impulso.
5. Sistema de segundo Orden
Es aquel que posee dos polos en su función de transferencia.
Físicamente este sistema puede representar un circuito RLC paralelo,
acoplamiento de dos tanques, tanque con sistema de
calentamiento/enfriamiento, sistemas de masas inerciales, etc.
Genéricamente cualquier sistema dinámico lineal de segundo orden se
puede por la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal:
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝑘𝑤𝑛
2
𝑠2 + 2𝜁𝑤𝑛𝑠 + 𝑤2
𝑛
Donde:
K: ganancia estática
𝑤𝑛: Frecuencia natural no amortiguada
𝜁: Coeficiente de amortiguamiento
6. Tipos de sistema de segundo Orden
• Sub-amortiguado (0<ζ<1)
Un sistema de segundo orden sub-amortiguado es aquel cuyo
coeficiente de amortiguamiento tiene valores entre cero y uno (0<ζ<1).
Una característica importante es que tiene dos polos complejos
conjugados.
• Críticamente amortiguado (ζ=1)
Un sistema de segundo orden con amortiguamiento crítico es aquel
cuyo coeficiente de amortiguamient0 es igual a uno (ζ=1).Este sistema
tiene dos polos reales negativos e iguales y su valor es igual a –𝑤𝑛.
• Sobre-amortiguado (1<ζ)
Un sistema de segundo orden con sobre amortiguamiento es aquel
cuyo coeficiente de amortiguamient0 es mayor que uno (ζ>1).Este
sistema tiene dos polos reales negativos y distintos.
• Oscilatorio (ζ=0)
Un sistema oscilatorio es aquel que posee sus polos únicamente con
componentes imaginarias dentro de un sistema de segundo orden.
7. Sistema de Orden Superior
Cuando se dice que se añade un polo o un cero en la cadena abierta, se
está haciendo referencia a que se tiene una estructura de realimentación
negativa y se está agregando el efecto del polo o del cero en la FDT de
la planta o en la realimentación, esto es, en G(s) o en H(s). Por eso, se
dice que es en la cadena abierta, por que es la adición del efecto del
polo o del cero cómo si se abriera el lazo de realimentación.
𝐻 𝑠 =
𝑤2
𝑛
𝑠2+𝜁𝑤𝑛𝑠+𝑤2
𝑛
1
(1+𝑏𝑠)
8. Adición de un polo en la cadena abierta
La adición de un polo en la cadena abierta, tiende a que el sistema en
su conjunto sea más lento y pierda estabilidad. Una de las formas,
para llegar a esta conclusión, es a través de las técnicas del lugar de
las raíces, LDR (ver capítulo 10). Estas técnicas describen, mediante
criterios gráficos, las raíces del polinomio característico,
1+G(s)H(s)=0, a partir de la información de la cadena abierta. Los
resultados son los polos de la cadena cerrada y por lo tanto definirán
la estabilidad y el tipo de respuesta temporal.
9. Adición a un polo en serie
Si se añade un polo en cascada, a medida de que aumente su
constante de tiempo asociada, Tp, el conjunto total se volverá más
lento y sobre-amortiguado.
En general, los polos en serie o en cascada hacen que el sistema sea
más lento, ya que suponen un filtro paso bajo, atenuando la respuesta
del espectro de alta frecuencia. Estas componentes frecuenciales
están relacionados con la rapidez del sistema aunque también con el
ruido. Por tanto, el sistema será más lento pero también será más
inmune a las perturbaciones.
