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Sistemas de Primer Orden, Segundo Orden y Orden Superior
- 1. Alumna: Diane Hernández Cédula: V-27.709.829 Escuela: #43 Sección: “B” Prof.: Amdie Chirinos Materia: Teoría de Control Sede: San Cristóbal, Edo. Táchira Junio del 2021
- 2. • ¿Qué es un Sistema de Primer Orden? • ¿Para qué sirven? • Respuestas transitorias Respecto a las Entradas • ¿Qué es un Sistema de Segundo Orden? • ¿Para qué sirven? • Respuestas transitorias Respecto a las Entradas • ¿Qué es un Sistema de Orden Superior? • ¿Para qué sirven? • Respuestas transitorias Respecto a las Entradas Se verá hoy…
- 3. Un sistema de primer orden es representada con ecuaciones diferenciales en donde se diferencias por tener un solo polo. Su único polo es real generalmente y son usados para representar sistemas más complejos por su simpleza. Un sistema de primer orden sirve para expresar de forma matemática el comportamiento de un sistema real a lo largo de un tiempo al aplicar algún estímulo en sus entradas. Donde: • H(s): Salida del Sistema • α(s): Entrada del Sistema • K: Ganancia estática del Sistema de Primer Orden • τ: La Constante Tau de tiempo del sistema • θ: Retardo de tiempo del sistema 1 + 𝑠 𝛼 𝑠 = 𝐾 𝜏𝑠 + 1 ⅇ−𝜃𝑠 Sistemas de Primer Orden
- 4. Las respuestas de in sistema de primer orden no han de tener sobre pico, por ende su salida no es más allá de la entrada. Los circuitos de RL, RC, la temperatura de un horno, entre otros, son algunos ejemplos de las respuestas de los sistemas de control de primer orden. Las respuestas de un sistema de primer orden van a depender del tipo de entrada del sistema, entre los más comunes se tienen: Entrada Tiempo Laplace Impulso δ(t) 1 Escalón A 𝐴 𝑠 Rampa t 𝐴 𝑠2 Sistemas de Primer Orden
- 5. Sistemas de Primer Orden Las señales de entrada son actuadores que permiten estimular el sistema para que tengan un determinado comportamiento en la salida donde depende de la forma y del tipo de señal aplicada. Al tener un sistema con retardo, la dinámica del sistema tendrá el mismo crecimiento en el estado transitorio y estabiliza el mismo valor del estado estable, solo demora en responder un tiempo una vez aplicada la señal de entrada. 1 − 1 𝑠 𝛼 𝑠 = 𝑘 𝜏𝑠 + 1 ⅇ−𝜃𝑠 𝛼 𝑠 = 1 ℎ 𝑡 = 𝐴𝐾 1 − ⅇ− Τ 𝑡−𝜃 𝜏 𝐻 𝑡 − 𝜃 Sin retardo Con retardo 𝐻 𝑠 𝛼 𝑠 = 𝑘 𝜏𝑠 + 1 ⅇ−𝜃𝑠 𝛼 𝑠 = 1 ℎ 𝑡 = 𝑘 𝜏 ⅇ− Τ 𝑡−𝜃 𝜏 𝐻 𝑡 − 𝜃
- 6. Sistemas de Segundo Orden Son sistemas representados matemáticamente por ecuaciones ordinarias de segundo orden, constituidas por ecuaciones diferenciales. Se caracterizan por tener dos polos 𝑥 𝑠 𝐹 𝑠 = 𝑘 𝜔𝑛 2 𝑆2 + 2𝜁𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛 2 Estos sistemas de segundo orden se caracterizan por ser sistemas de lazo cerrado en donde se puede corregir sí mismo, sirven para realizar sistemas de controladores más complejos como un circuito RCL, entre otros. Donde: • X(s): Salida del sistema • F(s): Entrada del sistema • K: Ganancia estática del sistema • 𝜔𝑛: Frecuencia natural no amortiguada del sistema (frecuencia a la que el sistema vibra sin tener excitación) • 𝜁: Factor de amortiguamiento
- 7. Sistemas de Segundo Orden Recordamos que el método más utilizado para estudiar el comportamiento de los sistemas de 2do orden consiste en someter dicho sistema a un conjunto de entradas típicas: el impulso, el escalón unitario, la rampa y una señal alterna sinusoidal En el caso de un sistema de escalón unitario se tiene la clasificación de los sistemas oscilatorios, en donde 𝜁 hará que su variación, cambiará el comportamiento del sistema. El comportamiento dinámico de un sistema de segundo orden puede ser descrito en términos de dos parámetros 𝜔𝑛 y 𝜁. Su clasificación viene dada por la variación de 𝜁 en donde: 𝜁 = 0 0 < 𝜁 < 1 𝜁 = 1 𝜁 > 1 Sistema no Amortiguado Sistema Subamortiguado Sistema Críticamente Amortiguado Sistema Sobre Amortiguado
- 8. Un sistema de segundo orden subamortiguado es aquel cuyo coeficiente de amortiguamiento tiene valores entre cero y uno (0<ζ<1). Una característica importante es que tiene dos polos complejos conjugados Este sistema, sometido a una entrada escalón unitario, presenta el siguiente comportamiento genérico: Sistemas de Segundo Orden 𝐶 𝑡 = ℒ−1 𝑘𝜔𝑛 2 𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2 ⋅ 1 𝑠 = 𝑘 1 − ⅇ−𝜁𝜔𝑛𝑡 1 − 𝜁2 ⋅ 𝑠ⅇ𝑛 𝜔𝑑𝑡 + 𝜃 Un sistema oscilatorio es aquel que posee sus polos únicamente con componentes imaginarias dentro de un sistema de segundo orden. Analizando el sistema ante una entrada escalón, Cuando ζ=0: 𝑠1,2 = ±𝑗𝜔𝑛 𝐶 𝑡 = ℒ−1 𝐾𝜔𝑛 2 𝑆2 + 𝜔𝑛 2 ⋅ 1 𝑆 = 𝑘ℒ−1 1 𝑠 − 𝑠 𝑠2 + 𝜔𝑛 2 = 𝑘 1 − cos 𝜔𝑛𝑡
- 9. Sistemas de Segundo Orden Un sistema de segundo orden con sobre amortiguamiento es aquel cuyo coeficiente de amortiguamiento es mayor que uno (ζ>1). Este sistema tiene dos polos reales negativos y distintos Un sistema de segundo orden con amortiguamiento crítico es aquel cuyo coeficiente de amortiguamiento es igual a uno (ζ=1). Este sistema tiene dos polos reales negativos e iguales y su valor es igual a –ωn. 𝐶 𝑡 = ℒ−1 𝐾𝜔𝑛 2 𝑆2 + 𝜁𝜔𝑛𝑆 + 𝜔𝑛 2 ⋅ 1 𝑠 = 𝑘ℒ−1 1 𝑠 ⋅ 𝜔𝑛 2 𝑠 + 𝜔𝑛 2 = 𝑘 1 − ⅇ−𝜔𝑛𝑡 1 + 𝜔𝑛𝑡 Sometido a una entrada escalón unitario presenta el siguiente comportamiento genérico: 𝑐 𝑡 = ℒ−1 1 5 ⋅ 𝐾𝜔𝑛 2 𝑠 − 𝑠1 𝑠 − 𝑠2 = 𝑘 1 + 𝜔𝑛 2 𝜁2 − 1 ⅇ𝑆1𝑡 𝑠1 − ⅇ𝑠2𝑡 𝑠2 La respuesta de este sistema está dominada por el polo más lento, el polo s1 de acuerdo con la siguiente figura que muestra el comportamiento genérico del sistema sometido a una entrada escalón unitario
- 10. Sistemas de Orden Superior Son sistemas que reciben funciones por parámetro o devuelven una función como resultado. Este solo estudia el régimen transitorio de los sistemas de primer y segundo orden simple Estos sistemas son dinámicos que contienen ceros adicionales los que afectan y desequilibran el comportamiento del sistema, sea transitorio o permanente. Sirve para aislar y reutilizar un comportamiento común, se puede dividir un problema separado acciones entre el código que tiene orden superior y el comportamiento parametrizado. Se puede tener un código por partes incompletos llenando con un comportamiento volviéndola un parámetro, generando un código más específico y declarativo. Considerando el caso de las ecuaciones diferenciales lineales de tercer orden, con coeficientes constantes y condición inicial cero, tenemos: 𝑎3 ⅆ3 𝑦 𝑡 ⅆ𝑡3 + 𝑎2 ⅆ2 𝑦 𝑡 ⅆ 𝑡 2 + 𝑎1 ⅆ𝑦 𝑡 ⅆ𝑡 + 𝑎0𝑦 𝑡 = 𝑏0𝑢 𝑡 𝑦 0 = 0; ቤ 𝜕𝑦 𝑡 ⅆ𝑡 𝑡=0 = 0; อ ⅆ2 𝑦 𝑡 ⅆ𝑡2 𝑡=0 = 0
- 11. Claramente la respuesta del sistema viene dado por el factor de proporcionalidad el cual indica la distancia entre el polo real con relación a los dos polos complejos conjugados. Sistemas de Orden Superior A continuación vemos la ubicación de los polos con distintos valores de la constante de proporcionalidad y la respuesta del sistema de tercer orden