Sistemas de Primer Orden, Segundo Orden y Orden Superior. Politécnico Santiago Mariño.

1. {
Sistemas de
Primer Orden,
Segundo Orden y
Orden Superior
Winner Pineda

2.  Los circuitos eléctricos y los dispositivos mecánicos deben ser
estudiados juntos para entender el funcionamiento de una gran
variedad de sistemas de control. Un grupo de componentes que operan
un dispositivos mecánico es un sistema de control. Lo que hace mover
a la posición deseada un telescopio, por ejemplo, es un sistema de
control el cual puede operar en lazo abierto o lazo cerrado. Estos
sistemas, a su vez, se clasifican en diversos tipos: primer orden,
segundo orden y orden superior. Esta clasificación se deriva de una
serie de parámetros matemáticos y prácticos. A continuación, se tratará
de proporcionar una explicación sobre estos sistemas, su función y la
matemática que hay detrás.
Introducción
Fig. 1: Diagrama de Bloques de un Sistema de Lazo Abierto

3. Sistemas de Primer Orden
Se denominan sistemas de primer orden
a aquellos en los que en la ecuación
general aparece solamente la derivada
primera del lado izquierdo (el de la
variable de estado). O sea que se
reducen al formato siguiente:
τ
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑦 = 𝑘. 𝑢
donde k se denomina ganancia del
proceso y τ es la constante de tiempo
del sistema.
También se puede definir al sistema de
primer orden como aquél que
únicamente posee un polo en su función
de transferencia.
En general encontraremos que la
ecuación está escrita en función de las
variables “desviación” respecto al valor
de estado estacionario. Por lo tanto en
general y(0) = 0 , u(0) = 0 . Tomando
transformadas de Laplace :
τ 𝑠𝑌 𝑠 − 𝑦 0 + 𝑌 𝑠 = 𝑘𝑈 𝑠
τ𝑠𝑌 𝑠 + 𝑌 𝑠 = 𝑘𝑈 𝑠
τ𝑠 + 1 𝑌 𝑠 = 𝑘𝑈 𝑠
𝑌 𝑠 =
𝑘
τ𝑠 + 1
𝑈 𝑠

4. Respuestas Transitorias
Tiempo: δ(t)
Respuesta
de Escalón
Laplace: 1
Tiempo: A
Respuesta
de Rampa
Laplace A/s
Tiempo: t
Respuesta de
Impulso
Laplace: 1/𝑠2
ℎ 𝑡 = AK 1 − 𝑒
− 𝑡−𝜃
𝜏 𝐻(𝑡 − 𝜃)
Sirve para representar el
crecimiento y la estabilización de
un sistema dinámico.
ℎ 𝑡 = AKτ
𝑡 − 𝜃
𝜏
− 1 + 𝑒
− 𝑡−𝜃
𝜏 𝐻(𝑡 − 𝜃)
Esta ecuación con su respectiva
gráfica representa el crecimiento
que tiende a seguir creciendo de
un sistema dinámico.
ℎ 𝑡 =
𝐾
𝜏
𝑒
− 𝑡−𝜃
𝜏 𝐻(𝑡 − 𝜃)
Esta ecuación con su gráfica
muestra el decrecimiento de un
sistema dinámico (por ejemplo, ir
cerrando una válvula).
Las gráficas utilizadas asumen un retardo nulo. Esto significa que comienzan a tiempo.

5. Sistemas de Segundo Orden
Un sistema de segundo orden se
caracteriza por poseer dos polos en su
función de transferencia:
𝐺(𝑠) =
𝜔𝑛
2
𝑠2 + ξ𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛
2
donde se define:
ξ: Relación de Amortiguamiento
𝜔𝑛 : Frecuencia natural no amortiguada
Los polos de un sistema de segundo
orden vienen determinados por la
expresión:
𝑠1,2 = −ξ𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 ξ2 − 1
Tipos de Sistemas en Función de ξ
Para ξ = 0 → Sistema Oscilatorio
𝑠1,2 = ±𝑗𝜔𝑛
Para 0 < ξ < 1 → Sistema Subamortiguado
𝑠1,2 = −ξ𝜔𝑛 ± 𝑗𝜔𝑛 1 − ξ2
Para ξ = 1 → Sistema Amortiguado Crítico
𝑠1,2 = −ξ𝜔𝑛
Para 0 < ξ < 1 → Sistema Sobreamortiguado
𝑠1,2 = −ξ𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 ξ2 − 1
Diagrama de la Ubicación de los Polos.

6. Sistemas de Segundo Orden
Aplicación a un sistema subamortiguado:
𝐶 𝑠 =
𝜔𝑛
2
𝑠2 + ξ𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛
2
1
𝑠
𝑇𝐿−1
𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒−ξ𝜔𝑛 𝑡
cos( 𝜔𝑑 ∙ 𝑡) +
ξ
1 − ξ2
sin 𝜔𝑑 ∙ 𝑡 ; 𝑡 ≥ 0
𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒−ξ𝜔𝑛 𝑡
∙
ξ
1 − ξ2
sin 𝜔𝑑 ∙ 𝑡 + tan−1
1 − ξ2
ξ
= 1 − 𝑒−ξ𝜔𝑛 𝑡
∙
ξ
1 − ξ2
sin 𝜔𝑑 ∙ 𝑡 + 𝜃 ; 𝑡 ≥ 0
Donde 𝜃 = tan−1 1−ξ2
ξ
con lo cual 𝜃 es el ángulo que forma el polo respecto al origen.
Podemos decir que a medida que aumenta 𝜃 la relación de amortiguamiento se reduce.
En esta gráfica
podemos notar los
distintos tipos de
sistemas en función de
ξ, mencionados en la
página anterior.
Respuesta al escalón de un sistema de
segundo orden

7. Sistemas de Orden Superior
Un sistema de orden superior (supuesto estable) puede caracterizarse mediante una función
de transferencia, que admite una expresión de la respuesta a una entrada escalón unitario de
la forma:
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝑘 ∙ 𝑖=1
𝑚
(𝑠 + 𝑧𝑖)
𝑗=1
𝑞
(𝑠 + 𝑝𝑖) + 𝑘=1
𝑟
(𝑠2 + 2ξ𝑘𝜔𝑘 𝑠 + 𝜔𝑘
2
)
→ C(s) =
𝑘 ∙ 𝑖=1
𝑚
(𝑠 + 𝑧𝑖)
𝑗=1
𝑞
(𝑠 + 𝑝𝑖) + 𝑘=1
𝑟
(𝑠2 + 2ξ𝑘𝜔𝑘 𝑠 + 𝜔𝑘
2
)
∙
1
𝑠
Desarrollando en fracciones parciales y antitransformada de Laplace:
𝑐 𝑡 = 𝑎 ∙ 𝑢 𝑡 +
𝑗=1
𝑞
𝑎𝑗 ∙ 𝑒−𝑝𝑗𝑡
+
𝑘=1
𝑟
𝑏𝑘 ∙ 𝑒−ξ𝑘𝜔𝑘 𝑡
cos( 𝜔𝑑 ∙ 𝑡) + 𝑐𝑘 ∙ 𝑒−ξ𝑘𝜔𝑘 𝑡
sin 𝜔𝑑 ∙ 𝑡
En la expresión aparecen términos que dependen de la parte real de los polos. Dos
consideraciones permiten aproximar la dinámica de un sistema de orden superior por la
dinámica de un sistema de primer o segundo orden.

8. Sistemas de Orden Superior
Un sistema de orden superior (supuesto estable) puede caracterizarse mediante una función de
transferencia, que admite una expresión de la respuesta a una entrada escalón unitario de la forma:
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝑘 ∙ 𝑖=1
𝑚
(𝑠 + 𝑧𝑖)
𝑗=1
𝑞
(𝑠 + 𝑝𝑖) + 𝑘=1
𝑟
(𝑠2 + 2ξ𝑘𝜔𝑘 𝑠 + 𝜔𝑘
2
)
→ C(s) =
𝑘 ∙ 𝑖=1
𝑚
(𝑠 + 𝑧𝑖)
𝑗=1
𝑞
(𝑠 + 𝑝𝑖) + 𝑘=1
𝑟
(𝑠2 + 2ξ𝑘𝜔𝑘 𝑠 + 𝜔𝑘
2
)
∙
1
𝑠
Desarrollando en fracciones parciales y antitransformada de Laplace:
𝑐 𝑡 = 𝑎 ∙ 𝑢 𝑡 +
𝑗=1
𝑞
𝑎𝑗 ∙ 𝑒−𝑝𝑗𝑡
+
𝑘=1
𝑟
𝑏𝑘 ∙ 𝑒−ξ𝑘𝜔𝑘 𝑡
cos( 𝜔𝑑 ∙ 𝑡) + 𝑐𝑘 ∙ 𝑒−ξ𝑘𝜔𝑘 𝑡
sin 𝜔𝑑 ∙ 𝑡
En la expresión aparecen términos que dependen de la parte real de los polos. Dos consideraciones
permiten aproximar la dinámica de un sistema de orden superior por la dinámica de un sistema de
primer o segundo orden.