By: Jhon Añez

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para la Educación Superior
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Extensión – Maracaibo
Maracaibo, 10 de Junio de 2021
Realizado por:
Jhon Añez
CI: 24.376.706

2. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Es aquellos en los que en la ecuación general aparece
solamente la derivada primera del lado izquierdo (el de la
variable de estado). Se reduce al formato siguiente:
𝜏
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑦 = 𝑘 𝑢
Donde k se denomina ganancia del proceso y 𝜏 es la
constante de tiempo del sistema.
En general encontramos que la ecuación está escrita en
función de las variables “desviación” respecto al valor de estado
estacionario. Por lo tanto en general 𝑦 0 = 0, 𝑢 0 = 0.
Tomando transformadas de Laplace:

3. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Veamos un ejemplo: Un tanque completamente agitado
que recibe un caudal v y se le extrae el mismo caudal:
Del balance de materia:
𝑑(𝑉𝐶)
𝐷𝑇
= 𝑣𝐶𝑖𝑛 − 𝑣𝐶
Como V es constante porque entra y sale el mismo caudal:
𝑑𝐶
𝑑𝑡
=
𝑣
𝑉
𝐶𝑖𝑛 − 𝐶𝑖𝑛 𝑠 −
𝑣
𝑉
(𝐶 − 𝐶𝑠)
Estado estacionario: 𝑑𝐶 𝑑𝑡 = 0; 𝐶𝑠 = 𝐶𝑖𝑛. Por lo tanto:
𝑑(𝐶 − 𝐶𝑠)
𝑑𝑡
=
𝑣
𝑉
𝐶𝑖𝑛 − 𝐶𝑖𝑛 𝑠 −
𝑣
𝑉
(𝐶𝑖𝑛 − 𝐶𝑖𝑛)

4. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Respuestas de sistema de primer orden a diferentes
entradas.
Seguimos manejándonos con el esquema:
Donde:
𝑔 𝑠 =
𝑘
𝜏 𝑠+1
Escalón de magnitud ∆𝑈 a tiempo t = 0
Sabemos que:
ℒ ∆𝑈 =
∆𝑈
𝑠
Por lo tanto:
𝑌 𝑠 =
𝑘 ∆𝑈
𝑠(𝜏𝑠 + 1)

5. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Respuestas de sistema de primer orden a diferentes
entradas en forma de Impulso y adimensional.
Impulso:
ℒ 𝐴𝛿 = 𝐴
𝑌 𝑠 =
𝑘
𝜏𝑠+1
𝑈(𝑠)
𝑌 𝑠 =
𝑘 𝐴
𝜏𝑠+1
ℒ1 1
𝜏𝑠+1
= 𝑒−𝑡 𝜏
𝑦 𝑡 = 𝑘 𝐴 𝑒−𝑡 𝜏
Adimensional:
𝑦(𝑡)
𝑘𝐴
= 𝑒−𝑡 𝜏

6. SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN
Es aquel que posee dos polos en su función de
transferencia. Físicamente este sistema puede representar un
circuito RLC paralelo, acoplamiento de dos tanques, tanque
con sistema de calentamiento/enfriamiento, sistemas de masa
inerciales, etc.
El comportamiento dinámico de un sistema de segundo
orden se estudia usando una expresión normalizada del
sistema:
𝑌(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝜔𝑛
2
𝑠22𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2
Los polos del sistema vienen determinados por las raíces
del polinomio característico (polinomio del denominador de la
FT).
𝑷 𝒔 = 𝒔𝟐
+ 𝟐𝜻𝝎𝒏𝒔 + 𝟏 = 𝟎
𝑳𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒍𝒐𝒔 𝒅𝒆𝒍 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂𝒔: 𝒔𝟏,𝟐 = −𝜻𝝎𝒏 ± 𝝎𝒏 𝜻𝟐 − 𝟏
FTLC:
Donde:
𝜁 = Relación de
amortiguamiento.
𝜔𝑛 = Frecuencia
natural no
amortiguada.

7. Clasificación de los sistemas de segundo orden en función
del valor de 𝜁.
Los polos de un polinomio de segundo orden pueden ser
reales distintos, reales múltiples, conjugados o imaginarios:
Para 0 < 𝜁 < 1, Sistema subamortiguado.
𝑠1,2 = 𝜁𝜔𝑛 ± 𝑗𝜔𝑛 1 − 𝜁2 = −𝜎 ± 𝑗𝜔𝑑, 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒋𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒈𝒂𝒅𝒐𝒔
Para 𝜁 = 1, Sistema Críticamente amortiguado.
𝑠1,2 = 𝜁𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 𝜁2 − 1, 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒆𝒔
Para ζ > 1, Sistema Sobreamortiguado.
𝑠1,2 = −𝜁𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 𝜁2 − 1, 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍
Para 𝜁 = 0, Sistema Oscilatorio.
𝑠1,2 = ±𝑗𝜔𝑛, 𝑰𝒎𝒂𝒈𝒊𝒏𝒂𝒓𝒊𝒂𝒔
SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN

8. SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN
Generalmente cualquier sistema dinámico lineal de
segundo orden se puede representar por la siguiente ecuación
diferencial ordinaria lineal:
𝑎2
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2 + 𝑎1
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑎𝑜𝑦 = 𝑏𝑢(𝑡) (𝑐𝑜𝑛 𝑎1, 𝑎2, 𝑎0 𝑦 𝑏 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠)
Frecuentemente se acostumbra escribir esta ecuación
como:
𝜏2
𝑑2
𝑦
𝑑𝑡2
+ 2𝜁𝜏
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑦 = 𝐾𝑢 𝑡
Donde:
𝜏 =
𝑎2
𝑎0
; 2𝜁𝜏 =
𝑎1
𝑎0
𝐾 =
𝑏
𝑎0
Aplicando la Transformada de Laplace m.a.m. a la ED:
𝜏2
ℒ
𝑑2
𝑦
𝑑2
+ 2𝜁𝜏ℒ
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ ℒ 𝑦 = 𝐾ℒ 𝑢

9. SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN
𝜏2
𝑠2
𝑦(𝑠) + 2𝜁𝜏 𝑠 𝑦(𝑠) + 𝑦 𝑠 = 𝐾𝑢 𝑠
𝑦 𝑠 𝜏2
𝑠2
+ 2𝜁𝜏𝑠 + 1 = 𝐾𝑢 𝑠 → 𝑔 𝑠 =
𝑦(𝑠)
𝑢(𝑠)
=
𝑘
𝜏2𝑠2 + 2𝜁𝜏𝑠 + 1
Función transferencia del sistema de segundo orden.
Vemos que g(s) no tiene ceros, pero tiene dos polos
dados por las raíces del polinomio característico.
Donde:
𝑠1 = −
2𝜁𝜏 + 4𝜁2𝜏2 − 4𝜏2
2𝜏2
𝜏2
𝑠2
+ 2𝜁𝜏𝑠 + 1 = 0
𝑠2 = −
2𝜁𝜏 + 4𝜁2𝜏2 − 4𝜏2
2𝜏2

10. Solución general de una ecuación lineal de segundo orden.
Teorema.- Si se denota por 𝑦𝑝 cualquier solución particular de
la ecuación completa y por 𝑦ℎ la solución general de la
homogénea asociada, entonces la solución general de la
completa es: 𝑦 = 𝑦𝑝 + 𝑦ℎ
Así pues, a la hora de resolver una ecuación diferencial
lineal debemos resolver dos problemas:
• Encontrar la ecuación general de la homogénea asociada y
• Encontrar una particular de la completa.
SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN
𝑦
𝑦𝑝
𝑦ℎ

11. SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR
Contienen ceros y polos adicionales que afectan al
comportamiento tanto en régimen transitorio como permanente.
La respuesta transitoria, se representa de un sistema de
alto orden por medio de un modelo de orden inferior. Por
ejemplo, la respuesta transitoria ante un escalón del siguiente
sistema de cuarto orden:
𝐺 𝑠 =
136
𝑠4 + 18𝑠3 + 87𝑠2 + 70𝑠 + 136
Para fines prácticos, puede ser representada por el sistema
de segundo orden:
𝐺 𝑠 =
1,6
𝑠2 + 0,5𝑠 + 1,6
Dependiendo de los requerimientos de exactitud y
simplicidad es posible aceptar o no el modelo reducido con el
fin de realizar los cálculos analíticos para el control del sistema
original.

12. SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR
La función de transferencia de un sistema de lazo cerrado
es:
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐾 𝑠 + 𝑧1 𝑠 + 𝑧2 ∙∙∙ (𝑠 + 𝑧𝑚)
𝑠 + 𝑝1 𝑠 + 𝑝1 ∙∙∙ (𝑠 + 𝑝𝑛)
Si se analiza el comportamiento de la respuesta de este
sistema ante una entrada escalón unitario; la ecuación se
reescribe como:
𝐶 𝑠
=
𝑎
𝑠
+
𝑗=1
𝑞
𝑎𝑗
𝑠 + 𝑝𝑗
+
𝑘=1
𝑟 𝑏𝑘 𝑠 + 𝜉𝑘𝜔𝑘 + 𝑐𝑘𝜔𝑘 1 − 𝜉𝑘
2
𝑠2 + 2𝜉𝑘𝜔𝑘𝑠 + 𝜔𝑘
2 , (𝑞 + 2𝑟 = 𝑛)

13. SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR
En la ecuación anterior pueden existir polos múltiples,
tanto de primer como de segundo orden.
Se observa que la respuesta del sistema de orden superior
se compone de la suma de respuestas de sistemas de primer y
segundo orden.
La respuesta en el tiempo es:
𝑐 𝑡
= 𝑎 +
𝑗=1
𝑞
𝑎𝑗 𝑒−𝑝𝑗𝑡
+
𝑘=1
𝑟
𝑏𝑘𝑒−𝜉𝑘𝜔𝑘𝑡
𝑐𝑜𝑠𝜔𝑘 1 − 𝜉𝑘
2
+
𝑘=1
𝑟
𝑐𝑘𝑒−𝜉𝑘𝜔𝑘𝑡
𝑠𝑒𝑛𝜔𝑘 1 − 𝜉𝑘
2
𝑡
Entonces, la respuesta de una sistema estable de orden
superior es la suma de una combinación de curvas
exponenciales (primer orden) y sinusoidales amortiguadas
(segundo orden).