1. Sistemas de Primer y
Segundo orden. Sistemas
de Orden Superior
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
Integrante:
Anthony Coronado
C.I:27.710.141
Sección “A” Virtual
Profesora:
Lcda. Amdie Chirinos
Maturín, Junio de 2021

2. Sistemas de Primer y Segundo Orden. Orden Superior
Al realizar un análisis y el diseño de un sistema
de control, es necesario obtener un modelo
matemático del mismo. Posterior a obtención
se puede realizar un análisis del
comportamiento de este sistema en función
del tiempo. Debido a que no se conoce el tipo
de entrada del sistema, se realizan pruebas
con ciertas señales, llamadas señales de
prueba; de las cuales se usan como funciones
de entrada para realizar una comparación
entre éstas y analizar el comportamiento o
respuesta del sistema.
2

3. Sistemas de Primer y Segundo Orden. Orden Superior
Los modelos matemáticos de sistemas físicos lineales se pueden clasificar según el orden de la
ecuación diferencial que los representa, es así como se puede hablar de los sistemas de primer
orden, los sistemas de segundo orden y los sistemas de orden superior.
3
La respuesta de un sistema corresponde a la solución de la ecuación diferencial del modelo que lo
representa, la cual consta de dos partes:
Respuesta en el tiempo de un sistema
▪ Una respuesta de régimen transitorio, correspondiente a la solución transitoria de la ecuación
diferencial y que representa la transición entre el estado inicial del sistema y su estado una
vez absorbido por completo el efecto de la entrada. Esta influye en un período de tiempo corto
después de aplicada la entrada.

4. Sistemas de Primer y Segundo Orden. Orden Superior
4
Respuesta en el tiempo de un sistema (cont.)
▪ Una respuesta en régimen permanente,
que corresponde a la solución en estado
estable de la ecuación diferencial y que
representa la respuesta del sistema para
un tiempo infinito después de la
aplicación de una entrada cualquiera,
momento en el cual se puede considerar
que el sistema ha absorbido por completo
el efecto de la señal de prueba o entrada
aplicada.

5. Sistemas de Primer Orden.
Análisis de Respuestas
Transitorias

6. 6
Los sistemas de primer orden son los que
tienen un solo polo y están representados
por ecuaciones diferenciales ordinarias de primer
orden. son aquellos cuyo modelo matemático
responde a una ecuación diferencial de primer
orden de la forma:
La ecuación anterior, aplicando la
Transformada de Laplace, queda:
Donde:
𝒚 : Representa la salida o respuesta del
sistema
𝒙 : Representa la función de entrada al sistema
𝝉: Se denomina constante de tiempo del
sistema.
K : Ganancia estática.
Donde s una constante de tiempo y K la
ganancia estática del sistema. Estos dos
parámetros se calculan con ecuaciones en
función de características físicas del
sistema. La constante de tiempo expresa un
atraso dinámico, definido por la capacidad
que tiene el sistema para reaccionar ante los
cambios; y la ganancia es la variación total
de salida con respecto a la de entrada una
vez alcanzado el estado estacionario.
Sistemas de Primer Orden

7. Sistemas de Primer Orden
7
Respuesta De Un Sistema De Primer Orden a la Función Escalón Unitario
Dado que la transformada de Laplace de la
señal escalón unitario es ‘u(s) = 1⁄s’, la respuesta
de un sistema de primer orden ante entrada
escalón viene dada por:
Descomponiendo en fracciones simples y
operando se tiene:
Utilizando la Transformada inversa de Laplace
para hallar la respuesta en el tiempo, se escribe:
Aplicando el teorema del valor inicial se calcula
la salida del sistema en el instante inicial (t =0).
Y con el teorema del valor final la salida
alcanzada en régimen permanente (t =∞):
• Valor inicial: t=0 → y(t)=0
• Valor final: t=∞→ y(t)=K

8. Sistemas de Primer Orden
8
Respuesta De Un Sistema De Primer Orden a la Función Escalón Unitario
La constante de tiempo τ es un parámetro
importante y se calcula a qué valor de salida
corresponde. Para obtenerlo se iguala t=τ
(transcurrido una constante de tiempo) y se
sustituye en la ecuación :
La respuesta temporal de y(t) es una exponencial
hasta alcanzar el valor de K. Transcurrido una
constante de tiempo, la respuesta ha alcanzado el
63.2% de su variación total:
Respuesta a la Función escalón

9. Sistemas de Primer Orden
9
Respuesta a la Función Rampa Unitaria
La rampa unitaria viene dada por la función:
𝑿(𝒔) = 𝟏
𝒔𝟐 , aplicando, tenemos:
Se supone que K=1 y descomponiendo y
efectuando y(s) en fracciones simples, se tiene la
respuesta temporal:
Aplicando los teoremas:
• Valor inicial: t=0 →y(t)=0
• Valor final: t=∞→y(t)=∞
Transcurrido un tiempo considerable, el
error será igual a τ, cuanto menor sea la
constante de tiempo, menor será el error:
Respuesta a la Función Rampa

10. Sistemas de Primer Orden
10
Respuesta a la Función Rampa Unitaria
El impulso unitario viene dado por la
función 𝑿(𝒔) = 𝟏 , entonces, la ecuación de
salida del sistema se obtendrá del resultado:
Que, con la transformada inversa de Laplace, se
tiene la respuesta en el tiempo:
Tomando K=1 se tiene:
Respuesta a la Función Impulso

11. Sistemas de Primer Orden. Aplicaciones
11
Circuitos RL y RC
Son circuitos que contienen solamente un componente que almacena energía (puede ser un
condensador o inductor), y que además pueden describirse usando solamente una ecuación
diferencial de primer orden. Los dos posibles tipos de circuitos primer orden:
Circuito RC (Resistor y Condensador) y Circuito RL (Resistor e Inductor)
Circuito RC
Circuito RL

12. Sistemas de Segundo
Orden

13. Sistemas de Segundo Orden
13
Son todos aquellos que tienen dos polos y están representados por ecuaciones diferenciales
ordinarias de segundo orden. Considerando el caso de las ecuaciones diferenciales lineales de
segundo orden, con coeficientes constantes y condición inicial cero, tenemos:
Respuesta a la Función Escalón Unitario
Esta expresión depende de dos parámetros, el coeficiente de amortiguamiento (𝛿) y la frecuencia
natural no amortiguada (𝜔𝑛) . En función de estos resultados las respuestas de los sistemas de
segundo orden se clasifican según el valor del coeficiente de amortiguamiento ( ):

14. Sistemas de Segundo Orden
14
Respuesta a la Función Escalón Unitario
Donde:
Si  1: Respuesta Sobre-Amortiguada. El
sistema responde a una entrada en escalón
lentamente.
Si  1: Respuesta Críticamente Amortiguada.
El sistema responde a una entrada en escalón
con máxima velocidad de respuesta sin oscilar.
Si 0   1: Respuesta Sub-Amortiguada. El
sistema responde rápidamente, pero comienza
a oscilar tratando de alcanzar el valor del
escalón.

15. Sistemas de Segundo Orden
15
Respuesta a la Función Escalón Unitario
▪  1: Respuesta Sobre-Amortiguada:

16. Sistemas de Segundo Orden
16
Respuesta a la Función Escalón Unitario
▪  =1: Respuesta Críticamente Amortiguada:

17. Sistemas de Segundo Orden
17
Respuesta a la Función Escalón Unitario
▪ 0   1 : Respuesta Sub-Amortiguada:

18. Sistemas de Segundo Orden
18
Análisis de la Respuesta Transitoria del sistema
El criterio de desempeño
comúnmente utilizado para
representar las características
de un sistema de segundo orden
en el dominio del tiempo, está
constituido por la evaluación de
los siguientes parámetros,
usando como base la función de
entrada del sistema es el escalón
unitario:

19. Sistemas de Segundo Orden
19
Análisis de la Respuesta Transitoria del sistema
▪ Sobreimpulso máximo (Mp):También
Llamado Sobrepaso, es el valor pico
máximo de la curva de respuesta
medida a partir de la unidad. es
también la cantidad en que la forma
de la curva de salida sobrepasa el
valor final de la salida, expresada en
porcentaje.
▪ Tiempo de retardo (Td): tiempo
requerido para que la respuesta del
sistema alcance la mitad del valor
final por primera vez.

20. Sistemas de Segundo Orden
20
Análisis de la Respuesta Transitoria del sistema
▪ Tiempo de estabilización o de
asentamiento (Ts): es el tiempo
requerido para que las oscilaciones
amortiguadas transitorias alcancen y
permanezcan dentro del ±2% o su
valor en estado estable.
▪ Tiempo de levantamiento (Tr): tiempo
requerido para que la respuesta del
sistema pase del 10% al 90% del valor
final.
▪ Tiempo pico (Tp ó Tmáx): es el tiempo
requerido para que la respuesta del
sistema alcance el pico del
levantamiento máximo.

21. Sistemas de Segundo Orden
21
Respuesta a la Función Rampa Unitaria
Para una entrada rampa unitaria
𝑟(𝑡) = 𝑡 , la transformada de
Laplace correspondiente es 𝑢(𝑠) =
1/𝑠2
:

22. Sistemas de Segundo Orden
22
Respuesta a la Función Rampa Unitaria
▪  < 1: Respuesta Sub-Amortiguada:
∗
∗

23. Sistemas de Segundo Orden
23
Respuesta a la Función Rampa Unitaria
▪  =1: Respuesta Críticamente
Amortiguada:

24. Sistemas de Segundo Orden
24
Respuesta a la Función Rampa Unitaria
▪  >1: Respuesta Sobre-Amortiguada:

25. Sistemas de Segundo Orden. Aplicaciones
25
Circuitos RLC
Un circuito RLC es un circuito lineal que contiene una resistencia eléctrica, una bobina y
un capacitor. Existen dos tipos de circuitos RLC, en serie o en paralelo, según la interconexión de
los tres tipos de componentes. El comportamiento de un circuito RLC se describe generalmente
por una ecuación diferencial de segundo orden (en donde los circuitos RC o RL se comportan
como circuitos de primer orden).
Función de Transferencia de
un Circuito RLC

26. Sistemas de Orden
Superior

27. 27
Sistemas de Orden Superior
Son aquellos sistemas dinámicos que contienen ceros adicionales los cuales son los que
afectan y desequilibran el comportamiento tanto en un régimen transitorio como en un
régimen permanente. El comportamiento de los sistemas de orden superior, es decir, de
aquellos que poseen tres o más polos, depende fundamentalmente del carácter de los polos
más lentos del sistema. Estos polos poseen la constante de tiempo más grande, es decir,
aquel polo que se encuentra más cerca del origen en el plano complejo 𝑆.
Un sistema de orden superior puede ser reducido
despreciando el efecto de los polos que no son
dominantes, debe haber una distancia sobre el eje real de
5 a 10 veces mayor al valor de la constante de
amortiguamiento, entre el polo más cercano al origen, y
el resto de los polos.
Determinación de los polos dominantes - Criterio de Reducción

28. 28
Sistemas de Orden Superior
Determinación de los polos dominantes - Ejemplo
-1+j y -1-j Son los
polos más lentos
(Dominantes)

29. 29
Sistemas de Orden Superior
Determinación de los polos dominantes - Ejemplo
• Se elimina el polo no dominante, (se mantiene su ganancia estática)

30. 30
Sistemas de Orden Superior
Determinación de los polos dominantes - Ejemplo
• Comparación de las respuestas:

31. 31
Sistemas de Orden Superior
Determinación de los polos dominantes - Ejemplo
• Comparación de las respuestas:

32. Bibliografía
▪ Castaño, S. (2020). Sistemas Dinámicos de Primer Orden. [Documento en Línea] Disponible en:
https://controlautomaticoeducacion.com/control-realimentado/sistemas-dinámicos-de-
primer-orden/
▪ Castaño, S. (2020). Sistemas de Segundo Orden. [Documento en Línea] Disponible en:
https://controlautomaticoeducacion.com/control-realimentado/sistemas-de-segundo-
orden/
▪ Katsuhiko, O. (2010). Ingeniería de Control Moderna. Quinta Edición. Pearson Educación. Madrid,
España
▪ Valdivia, C. (2012). Sistemas de control continuos y discretos. Primera Edición. Cima Press.
Madrid, España
32

33. Gracias por su
atención
33