Integral pertama kali diperkenalkan di SMA sebagai kebalikan dari turunan. Ternyata, integral awalnya tidak berhubungan sama sekali dengan turunan. Mereka adalah dua cabang ilmu yang sangat berbeda. Sehingga, perhitungan integral yang "asli" sangatlah berbeda seperti yang kalian pelajari di SMA. Namun, perhitungan integral dengan menggunakan anti-turunan (di SMA) akan tetap digunakan setelah mempelajari Teorema Fundamental Kalkulus (Bab 2). Cermati penjelasan di atas agar dapat memahami integral dengan benar. Click profile untuk melihat bab-bab lain mengenai integral, atau materi lain.

1. Bab 1 : Integral Tentu
Franz Sebastian Soetrisno
Universitas Sanata Dharma Yogyakarta
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal

2. Harap Dibaca
Di SMA, Integral dikenal sebagai kebalikan dari turunan dan
cara menghitungnya menggunakan anti-turunan.
Kenyataannya, integral dan turunan awalnya tidak
berhubungan sama sekali hingga muncul Teorema Dasar
Kalkulus (bab yang akan mendatang).
Sebelum masuk ke bab TDK, perhitungan integral akan
”asing” bagi kalian yang belum pernah belajar kalkulus
integral.
Namun, inilah definisi asli dari integral.
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal

3. Introduction
Masalah Luas Daerah
Diberikan fungsi kontinu f yang non-negatif pada interval [a, b].
Tentukan luas daerah S yang dibatasi oleh f, garis x = a dan
x = b serta sumbu−x.
Figure 1: Daerah S
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal

4. Metode Persegi Panjang
Partisi interval [a,b] menjadi n sub-interval yang panjangnya
sama, yaitu :
[x0(= a), x1], [x1, x2], . . . , [xn−1, xn(= b)]
Figure 2: Daerah S terpartisi
Lebar tiap partisi adalah ∆x =
b − a
n
. (Kenapa?)
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal

5. Metode Persegi Panjang
Ide : Untuk menghitung luas daerah S, tiap sub-interval pada
Figure 2 dibentuk menjadi persegi panjang.
Figure 3: Metode Persegi Panjang
x∗
i disebut titik sampel.
Persegi panjang Si memiliki panjang f(x∗
i ) dimana x∗
i ∈
[xi−1, xi] dan lebar ∆x.
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal

6. Metode Persegi Panjang
Supaya mudah, pilih x∗
i = xi yaitu titik ujung kanan dari
sub-interval.
Luas dari Si adalah :
LSi = f(xi) · ∆x
Akibatnya, luas dari daerah S adalah
LS =
n
X
i=1
f(xi) · ∆x
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal

7. Metode Persegi Panjang
Gambar di bawah menunjukkan bahwa aproksimasi akan lebih
baik jika partisi semakin banyak, yaitu saat n → ∞.
Figure 4: Memperbaiki Aproksimasi
Sehingga, luas dari daerah S adalah
A = lim
n→∞
n
X
i=1
f(xi) · ∆x (1)
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal

8. Contoh 1
.
Soal
Dengan metode persegi panjang, tentukan luas daerah yang
dibatasi oleh sumbu−x dan di bawah parabola y = x2 pada
interval [0, 1].
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal

9. Solusi Contoh 1
Bagi selang [0, 1] menjadi n bagian sama panjang dengan
lebar ∆x =
1
n
. Titik pembagiannya adalah
x0 = 0, x1 =
1
n
, x2 =
2
n
, . . . , xi =
i
n
, xn = 1.
Pilih x∗
i = xi =
i
n
, maka f(xi) =
i
n
2
Diperoleh luasan daerah S
A = lim
n→∞
n
X
i=1
f(xi) · ∆x
= lim
n→∞
n
X
i=1
i2
n2
·
1
n
= lim
n→∞
1
n3
n
X
i=1
i2
.
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal

10. Solusi Contoh 1
Ingat kembali pola bilangan persegi.
n
X
i=1
i2
=
n(n + 1)(2n + 1)
6
Dengan demikian, kita peroleh nilai A, yaitu :
A = lim
n→∞
1
n3
·
n(n + 1)(2n + 1)
6
= lim
n→∞
1
n2
·
2n2 + 3n + 1
6
= lim
n→∞
2n2 + 3n + 1
6n2
=
1
3
.
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal

11. Integral Tentu
Definisi
Suatu fungsi f dikatakan terintegralkan pada selang [a, b], jika limit
lim
n→∞
n
X
i=1
f(x∗
i ) · ∆x
ada dan tidak bergantung pada pemilihan x∗
i . Jika demikian, kita
tuliskan :
Z b
a
f(x) dx = lim
n→∞
n
X
i=1
f(x∗
i ) · ∆x
yang disebut intergal tentu dari fungsi f pada [a, b]
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal

12. Integral Tentu
Dengan notasi ini, solusi dari soal pada contoh 1 dapat ditulis :
Z 1
0
x2
dx =
1
3
.
Notasi
n
X
i=1
f(x∗
i ) · ∆x (2)
disebut sebagai jumlah Riemann dari f pada [a, b].
Jika f bisa negatif, maka (2) adalah selisih antara luas persegi
panjang di atas sumbu−x dengan persegi panjang di bawah
sumbu−x.
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal

13. Integral Tentu
Akibatnya,
R b
a f(x) dx dapat diinterpretasikan sebagai selisih
luasan :
Z b
a
f(x) dx = A1 − A2. (3)
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal

14. Integral Tentu
dimana A1 adalah daerah biru dan A2 adalah daerah coklat.
Note : Jumlah Riemann (2) digunakan untuk
mengaproksimasi selisih luas. Integral (3) digunakan untuk
nilai eksak dari selisih luas nya.
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal

15. Contoh 2
Soal
Diberikan f(x) = x3 − 6x.
1 Tentukan jumlah Riemann untuk f(x) pada interval [0, 3] dan
n = 6 dengan mengambil titik sampel sebagai titik ujung
kanan sub-interval.
2 Tentukan nilai dari
Z 3
0
f(x) dx
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal

16. Solusi Contoh 2
(1)
Lebar tiap sub-interval adalah
∆x =
3 − 0
6
=
1
2
.
Kita butuh titik ujung kanan tiap sub-interval, yaitu :
x1 = 0.5, x2 = 1, x3 = 1.5, x4 = 2, x5 = 2.5, x6 = 3.
Diperoleh jumlah Riemann dari f adalah :
6
X
i=0
f(xi) · ∆x = f(0.5)∆x + f(1)∆x + . . . + f(3)∆x
=
1
2
(−2.875 − 5 − 5.625 − 4 + 0.625 + 9)
= −3.9375.
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal

17. Solusi Contoh 2
Interpretasi : Luasan daerah yang dibatasi oleh fungsi f(x)
pada interval [0, 3] lebih besar di bawah sumbu−x.
(2)
Lebar tiap sub-interval adalah
∆x =
3 − 0
n
=
3
n
.
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal

18. Solusi Contoh 2
Titik pembagiannya adalah
x0 = 0, x1 =
3
n
, x2 =
6
n
, . . . , xi =
3i
n
, xn = 3.
Pilih x∗
i = xi =
3i
n
, maka f(xi) =
3i
n
3
− 6
3i
n
Diperoleh net area dari f pada [0, 3] adalah
Z 3
0
x3
− 6x
dx = lim
n→∞
n
X
i=1
f(xi) · ∆x
= lim
n→∞
n
X
i=1
3i
n
3
− 6
3i
n
#
·
3
n
= lim
n→∞
81
n4
n
X
i=1
i3
−
54
n2
n
X
i=1
i
#
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal

19. Solusi Contoh 2
Ingat kembali :
n
X
i=1
i3
=
n
X
i=1
i
!2
=
n(n + 1)
2
2
.
Dengan demikian, kita dapatkan
Z 3
0
x3
− 6x
dx = lim
n→∞
81
n4
n(n + 1)
2
2
−
54
n2
n(n + 1)
2
#
= lim
n→∞
81
4
1 +
1
n
2
− 27
1 +
1
n
#
= −6.75.
Wajar saja aproksimasi cukup jauh karena nilai n cukup dikit.
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal

20. Midpoint dan left endpoint rule
Kita selalu gunakan titik sampel x∗
i sebagai titik ujung kanan
dari sub-interval karena perhitungannya mudah, yaitu x∗
i = xi.
Namun, jika kita ingin aproksimasi kita paling baik, kita pilih
x∗
i sebagai titik tengah dari sub-interval, dinotasikan xi,
dengan xi = xi−1+xi
2 .
Ada juga pemilihan x∗
i sebagai titik ujung kiri dari
sub-interval, yaitu pilih x∗
i = xi−1.
Soal
Kerjakan Soal (1) pada Contoh 2 dengan mengambil titik sampel
sebagai titik tengah dan titik ujung kiri sub-interval! Bandingkan
hasilnya, apa kesimpulanmu?
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal

21. Sifat-sifat integral tentu
1 Pada notasi
Z b
a
f(x) dx diandaikan a b. Kondisi ini dapat
dihilangkan dengan mendefinisikan :
Z b
a
f(x) dx = −
Z a
b
f(x) dx.
2 Jika kebetulan a = b, maka
Z a
a
f(x) dx = 0.
3 Jika f kontinu pada [a, b], maka f terintegralkan pada [a, b].
4 Hasil dari integral tentu adalah suatu konstanta dan tidak
bergantung pada x. Jadi, integral tentu tidak bergantung
pada variabel yang digunakan.
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal

22. Sifat-sifat integral tentu
5 Jika f dan g terintegralkan pada [a, b] dan k adalah
konstanta, maka
Z b
a
f(x) + g(x) dx =
Z b
a
f(x) dx +
Z b
a
g(x) dx
dan
Z b
a
k · f(x) dx = k
Z b
a
f(x) dx
6 Jika f terintegralkan pada [a, b] dan c ∈ (a, b), maka
Z c
a
f(x) dx +
Z b
c
f(x) dx =
Z b
a
f(x) dx
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal

23. Sifat-sifat integral tentu
7 Jika f dan g terintegralkan pada [a, b] dan f(x) ≤ g(x) pada
[a, b], maka
Z b
a
f(x) dx ≤
Z b
a
g(x) dx
8 Jika f terintegralkan pada [a, b], maka fungsi y = |f(x)| juga
terintegralkan pada [a, b] dan
Z b
a
f(x) dx ≤
Z b
a
f(x) dx
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal