Transformasi Koordinat

1. TRANSFORMASI KOORDINAT &TRANSFORMASI KOORDINAT &
PERUBAHANVARIABEL PADAPERUBAHANVARIABEL PADA
INTEGRAL LIPATINTEGRAL LIPAT
TIM DOSEN KALKULUS 2

2. Transformasi KoordinatTransformasi Koordinat
Dalam menyelesaikan integral lipat atas
suatu daerah R, dapat diselesaikan dengan
menggunakan koordinat lain selain dengan
menggunakan koordinat persegi panjang
xy.
Transformasi dari satu koordinat persegi
panjang ke sistem koordinat lainnya.
2

3. Transformasi KoordinatTransformasi Koordinat
Tinjau suatu fungsi T, yang mempunyai
domain D (daerah pada bidang xy) dan
mempunyai range E (daerah pada bidang
uv), sehingga T(x,y)=(u,v).
T  transformasi koordinat dari bidang
xy ke bidang uv.
u dan v adalah fungsi dari x dan y
EvuDyxyxgvyxfu ∈∈== ),(,),();,(),,(

4. Transformasi KoordinatTransformasi Koordinat
y v
(x,y) T (u,v)
x u

5. ContohContoh
T suatu transformasi koordinat yang
didefinisikansbb:
u=x+2y , v=x-2y. (T(x,y)
a. Tentukan nilai untuk (0,1),(1,2) dan (2,-3)
b. Gambarkan pada bidang uv garis vertikal
untuk u=2,u=4,u=6,u=8 dan garis
horisontal untuk v=-1,v=1,v=3,v=5.
c. Gambarkan hubungan kurva u dan kurva
v dalam bidang xy.

6. Transformasi KoordinatTransformasi Koordinat
Jika T suatu transformasi koordinat satu-
satu, maka bisa dicari invers atau
transformasi balikannya dari T, yakni T-1
dari bidang uv ke bidang xy
x = F(u,v) y = G(u,v)
Jika T suatu transformasi satu-satu maka
inversnya T-1
. Dalam hal ini ,
T-1
(T(x,y)) = (x,y) dan T(T-1
(u,v)) = (u,v)
untuk setiap (x,y) di D dan setiap (u,v) di E.

7. ContohContoh
Tentukan invers dari transformasi T yang
didefinisikan pada contoh sebelumnya.
Gambarkan kurva pada bidang uv yang
memetakan ellips atas T-114 22
=+ yx

8. Perubahan Variabel pada Integral LipatPerubahan Variabel pada Integral Lipat
Tinjau untuk suatu daerah R dalam
bidang xy, substitusi x=f(u,v) dan y=g(u,v).
Persamaan ini menyatakan transformasi
koordinat W dari bidang uv ke bidang xy.
Dalam hal ini menentukan daerah S di
bidang uv yang ditransformasi dari R oleh
W(menentukan batas integral baru)
∫∫R
dAyxF ),(
∫∫∫∫ =
SR
dAvugvufFdAyxF )),(),,((),(

9. Matriks JacobianMatriks Jacobian
Jika x=f(u,v) dan y=g(u,v), maka Jacobian
dari x dan y adalah
v
x
u
y
v
y
u
x
v
y
u
y
v
x
u
x
vu
yx
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
),(
),(

10. ContohContoh
Tentukan jacobian dari
Jika , tentukan jacobian
),(
),(
vu
yx
∂
∂
vu
euyvex −−
== 22
,
xyvyxu 2,22
=−=
),(
),(
vu
yx
∂
∂

11. TheoremaTheorema
Jika x=f(u,v) dan y=g(u,v) adalah
transformasi koordinat, maka
Dimana G(u,v) = F{f(u,v),g(u,v)}
∫∫∫∫ ∂
∂
=
SR
dvdu
vu
yx
vuGdydxyxF
),(
),(
),(),(

12. ContohContoh
Hitung
untuk daerah R pada bidang xy yang
dibatasi oleh trapezoid dengan titik sudut
(0,1), (0,2), (2,0) dan (1,0).
Hitung
untuk daerah R di kuadran pertama pada
bidang xy antara lingkaran yang berjari-jari
1 dan berjari-jari 2.
dxdye
R
xyxy
∫∫
+− )/()(
dxdye
R
yx
∫∫
+− )( 22

13. Transformasi diatas dapat diperluas untuk
menyelesaikan integral lipat tiga.
Diberikan transformasi x=f(u,v,w) ,
y=g(u,v,w) , z=h(u,v,w) dari sistem
koordinat uvw ke sistem koordinat xyz.
 Jacobian =
w
z
v
z
u
z
w
y
v
y
u
y
w
x
v
x
u
x
wvu
zyx
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
),,(
),,(

14. TheoremaTheorema
Jika x=f(u,v,w) , y=g(u,v,w) , z=h(u,v,w)
transformasi koordinat, maka
Dimana G(u,v,w)=F{f(u,v,w),g(u,v,w),h(u,v,w)}
∫∫∫∫∫∫ ∂
∂
=
SR
dwdvdu
wvu
zyx
wvuGdzdydxzyxF
),,(
),,(
),,(),,(

15. ContohContoh
Tentukan jacobian dari
x = 2u + 3v – w, y = u – 5w ,z = u + 4w
Dengan menggunakan koordinat silinder,
tentukan volume benda di atas bidang xy,
yang dibatasi oleh paraboloid dan silinder
),,(
),,(
wvu
zyx
∂
∂

16. ContohContoh
Dengan menggunakan koordinat bola
tentukan volume benda yang bagian
atasnya dibatasi oleh bola
dan bagian bawah dibatasi oleh kerucut
16222
=++ zyx
22
yxz +=