Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) ini membahas program linear untuk kelas XI semester 1 dengan alokasi waktu 10 jam pelajaran. RPP ini menjelaskan kompetensi dasar dan indikator, tujuan pembelajaran, materi, model pembelajaran, dan kegiatan pembelajaran yang meliputi pendahuluan, inti, dan penutup untuk 5 pertemuan. Penilaian dilakukan dengan observasi, tes tertulis, dan unjuk kerja.
Modul ini membahas persamaan Diophantine linier dan non linier. Persamaan Diophantine linier dapat diselesaikan dengan cara biasa, reduksi, dan kongruensi. Metode penyelesaian persamaan Diophantine non linier meliputi triple Pythagoras dan bilangan jumlah kuadrat. [/ringkuman]
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang fungsi kuadrat, termasuk bentuk umum, sifat, cara menggambar grafik, dan cara menyusun fungsi kuadrat berdasarkan informasi titik-titik yang diketahui. Di antaranya adalah penjelasan bahwa grafik fungsi kuadrat memiliki sifat seperti kurva mulus, memiliki sumbu simetri, dan memiliki titik balik berupa maksimum atau minimum.
1. Barisan (xn) terbatas dan monoton turun. Limitnya adalah 2.
2. Barisan (xn) terbatas antara 0 dan 1/2 dan monoton naik. Limitnya adalah 1/2.
3. Barisan (xn) terbatas dibawah oleh √a dan monoton turun. Limitnya adalah √a.
Lembar kerja menjelaskan tentang komposisi dan inversi fungsi. Terdiri dari soal-soal yang membahas operasi komposisi dua dan tiga fungsi, menentukan nilai komposisi fungsi, menghitung inversi fungsi linear, rasional, dan komposisi fungsi.
RPP FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS KELAS XI MIPA KURIKULUM2013randiramlan
RPP ini adalah salah satu perangkat pembelajaran pada saat saya sedang melaksanakan praktik pengalaman kependidikan di SMA Negeri 12 Bandung TA 2016-2017
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) ini membahas program linear untuk kelas XI semester 1 dengan alokasi waktu 10 jam pelajaran. RPP ini menjelaskan kompetensi dasar dan indikator, tujuan pembelajaran, materi, model pembelajaran, dan kegiatan pembelajaran yang meliputi pendahuluan, inti, dan penutup untuk 5 pertemuan. Penilaian dilakukan dengan observasi, tes tertulis, dan unjuk kerja.
Modul ini membahas persamaan Diophantine linier dan non linier. Persamaan Diophantine linier dapat diselesaikan dengan cara biasa, reduksi, dan kongruensi. Metode penyelesaian persamaan Diophantine non linier meliputi triple Pythagoras dan bilangan jumlah kuadrat. [/ringkuman]
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang fungsi kuadrat, termasuk bentuk umum, sifat, cara menggambar grafik, dan cara menyusun fungsi kuadrat berdasarkan informasi titik-titik yang diketahui. Di antaranya adalah penjelasan bahwa grafik fungsi kuadrat memiliki sifat seperti kurva mulus, memiliki sumbu simetri, dan memiliki titik balik berupa maksimum atau minimum.
1. Barisan (xn) terbatas dan monoton turun. Limitnya adalah 2.
2. Barisan (xn) terbatas antara 0 dan 1/2 dan monoton naik. Limitnya adalah 1/2.
3. Barisan (xn) terbatas dibawah oleh √a dan monoton turun. Limitnya adalah √a.
Lembar kerja menjelaskan tentang komposisi dan inversi fungsi. Terdiri dari soal-soal yang membahas operasi komposisi dua dan tiga fungsi, menentukan nilai komposisi fungsi, menghitung inversi fungsi linear, rasional, dan komposisi fungsi.
RPP FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS KELAS XI MIPA KURIKULUM2013randiramlan
RPP ini adalah salah satu perangkat pembelajaran pada saat saya sedang melaksanakan praktik pengalaman kependidikan di SMA Negeri 12 Bandung TA 2016-2017
Dokumen tersebut membahas tentang perkalian silang vektor (cross product) dimana hasil perkalian silang antara dua vektor akan menghasilkan vektor baru yang tegak lurus pada kedua vektor awal dan besarnya sama dengan kali antara besar kedua vektor dengan sinus sudut di antara keduanya. Dokumen tersebut juga menjelaskan sifat-sifat perkalian silang seperti anti komutatif dan contoh penerapannya dalam f
Dokumen tersebut membahas tentang integral tak tentu, notasi sigma, integral tentu, dan teorema dasar kalkulus. Secara ringkas, dibahas definisi integral sebagai anti turunan suatu fungsi, rumus integral, konsep partisi dan jumlah Riemann untuk menghitung luas daerah di bawah kurva grafik suatu fungsi, serta dua teorema dasar kalkulus yang menghubungkan antara turunan dan integral suatu fungsi.
1. Dokumen tersebut memberikan contoh-contoh perhitungan limit fungsi aljabar dengan menggunakan tabel nilai dan mengamati pola pergerakannya.
2. Dari pengamatan tersebut, diperoleh beberapa sifat umum limit fungsi aljabar seperti bilangan konstan, fungsi identitas, kuadrat, dan kombinasi operasi dasar.
3. Sifat-sifat tersebut digunakan untuk menghitung nilai limit tertentu.
Jawaban latihan soal bagian 2.1 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
Fungsi kontinu seragam pasti kontinu biasa tetapi fungsi kontinu biasa tidak selalu kontinu seragam. Fungsi kontinu seragam memiliki sifat bahwa batas fungsi sama dengan nilai fungsi.
Dokumen tersebut berisi lembar kerja peserta didik mengenai turunan fungsi aljabar. Lembar kerja tersebut memberikan penjelasan tentang turunan fungsi aljabar dan contoh soal untuk menentukan turunan beberapa fungsi.
1. Ring faktor adalah ring yang terbentuk dari ideal suatu ring R, ditandai R/S. Operasinya mempertahankan struktur ring asli.
2. Homomorfisma ring adalah pemetaan yang melestarikan operasi penjumlahan dan perkalian ring. Contohnya pemetaan identitas antara bilangan bulat dan riil.
Dokumen tersebut memberikan ringkasan tentang:
1. Pengantar analisis real yang membahas supremum dan infimum serta barisan bilangan real
2. Menguraikan definisi dan teorema terkait supremum, infimum, himpunan terbatas, dan sifat-sifatnya
3. Mengjelaskan pengertian barisan bilangan real, konvergensi, dan limitnya
RPP ini membahas tentang induksi matematika dengan memberikan contoh-contoh pembuktian menggunakan prinsip induksi matematika seperti rumus jumlah deret bilangan, ketidaksamaan, dan keterbagian. Peserta didik akan belajar mengenali perbedaan penalaran induktif dan deduktif serta mempelajari dan menerapkan prinsip induksi matematika dalam menyelesaikan berbagai masalah.
Dokumen tersebut merupakan Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) tentang Integral tak tentu dan tentu untuk kelas XII. RPP ini menjelaskan standar kompetensi, indikator, tujuan pembelajaran, materi ajar, pendekatan pembelajaran, alokasi waktu, langkah-langkah kegiatan, penilaian, dan sumber belajar.
Dokumen tersebut merupakan silabus mata pelajaran Matematika untuk kelas XI/MIPA yang mencakup kompetensi inti, kompetensi dasar, materi pembelajaran, kegiatan pembelajaran, penilaian, alokasi waktu, dan sumber belajar yang akan digunakan.
Rencana pelaksanaan pembelajaran mata pelajaran matematika kelas XI semester ganjil SMK Negeri 2 Doloksanggul tahun pelajaran 2012-2013 membahas tentang perbandingan trigonometri, meliputi pengertian, rumus, dan penerapannya dalam menentukan unsur-unsur segitiga siku-siku dan masalah-masalah terkait lainnya. Materi akan disampaikan menggunakan metode ceramah, diskusi, penugasan, dan penemuan, di
Pemodelan matematika adalah proses memperoleh model dari suatu masalah dalam bentuk matematika. Model matematika berisi variabel dan operasi matematika untuk mewakili fenomena nyata. Model dapat digunakan untuk memprediksi dan membuat kebijakan. Pemodelan matematika melibatkan menentukan informasi masalah, variabel, hubungan antar variabel, dan membentuk persamaan atau sistem persamaan.
Dokumen tersebut membahas tentang perkalian silang vektor (cross product) dimana hasil perkalian silang antara dua vektor akan menghasilkan vektor baru yang tegak lurus pada kedua vektor awal dan besarnya sama dengan kali antara besar kedua vektor dengan sinus sudut di antara keduanya. Dokumen tersebut juga menjelaskan sifat-sifat perkalian silang seperti anti komutatif dan contoh penerapannya dalam f
Dokumen tersebut membahas tentang integral tak tentu, notasi sigma, integral tentu, dan teorema dasar kalkulus. Secara ringkas, dibahas definisi integral sebagai anti turunan suatu fungsi, rumus integral, konsep partisi dan jumlah Riemann untuk menghitung luas daerah di bawah kurva grafik suatu fungsi, serta dua teorema dasar kalkulus yang menghubungkan antara turunan dan integral suatu fungsi.
1. Dokumen tersebut memberikan contoh-contoh perhitungan limit fungsi aljabar dengan menggunakan tabel nilai dan mengamati pola pergerakannya.
2. Dari pengamatan tersebut, diperoleh beberapa sifat umum limit fungsi aljabar seperti bilangan konstan, fungsi identitas, kuadrat, dan kombinasi operasi dasar.
3. Sifat-sifat tersebut digunakan untuk menghitung nilai limit tertentu.
Jawaban latihan soal bagian 2.1 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
Fungsi kontinu seragam pasti kontinu biasa tetapi fungsi kontinu biasa tidak selalu kontinu seragam. Fungsi kontinu seragam memiliki sifat bahwa batas fungsi sama dengan nilai fungsi.
Dokumen tersebut berisi lembar kerja peserta didik mengenai turunan fungsi aljabar. Lembar kerja tersebut memberikan penjelasan tentang turunan fungsi aljabar dan contoh soal untuk menentukan turunan beberapa fungsi.
1. Ring faktor adalah ring yang terbentuk dari ideal suatu ring R, ditandai R/S. Operasinya mempertahankan struktur ring asli.
2. Homomorfisma ring adalah pemetaan yang melestarikan operasi penjumlahan dan perkalian ring. Contohnya pemetaan identitas antara bilangan bulat dan riil.
Dokumen tersebut memberikan ringkasan tentang:
1. Pengantar analisis real yang membahas supremum dan infimum serta barisan bilangan real
2. Menguraikan definisi dan teorema terkait supremum, infimum, himpunan terbatas, dan sifat-sifatnya
3. Mengjelaskan pengertian barisan bilangan real, konvergensi, dan limitnya
RPP ini membahas tentang induksi matematika dengan memberikan contoh-contoh pembuktian menggunakan prinsip induksi matematika seperti rumus jumlah deret bilangan, ketidaksamaan, dan keterbagian. Peserta didik akan belajar mengenali perbedaan penalaran induktif dan deduktif serta mempelajari dan menerapkan prinsip induksi matematika dalam menyelesaikan berbagai masalah.
Dokumen tersebut merupakan Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) tentang Integral tak tentu dan tentu untuk kelas XII. RPP ini menjelaskan standar kompetensi, indikator, tujuan pembelajaran, materi ajar, pendekatan pembelajaran, alokasi waktu, langkah-langkah kegiatan, penilaian, dan sumber belajar.
Dokumen tersebut merupakan silabus mata pelajaran Matematika untuk kelas XI/MIPA yang mencakup kompetensi inti, kompetensi dasar, materi pembelajaran, kegiatan pembelajaran, penilaian, alokasi waktu, dan sumber belajar yang akan digunakan.
Rencana pelaksanaan pembelajaran mata pelajaran matematika kelas XI semester ganjil SMK Negeri 2 Doloksanggul tahun pelajaran 2012-2013 membahas tentang perbandingan trigonometri, meliputi pengertian, rumus, dan penerapannya dalam menentukan unsur-unsur segitiga siku-siku dan masalah-masalah terkait lainnya. Materi akan disampaikan menggunakan metode ceramah, diskusi, penugasan, dan penemuan, di
Pemodelan matematika adalah proses memperoleh model dari suatu masalah dalam bentuk matematika. Model matematika berisi variabel dan operasi matematika untuk mewakili fenomena nyata. Model dapat digunakan untuk memprediksi dan membuat kebijakan. Pemodelan matematika melibatkan menentukan informasi masalah, variabel, hubungan antar variabel, dan membentuk persamaan atau sistem persamaan.
Dokumen tersebut merangkum konsep limit fungsi aljabar, termasuk definisi, sifat-sifat, dan metode penentuan limit. Secara ringkas, limit fungsi aljabar adalah batas suatu fungsi ketika variabel mendekati nilai tertentu, yang dapat ditentukan menggunakan substitusi, faktorisasi, atau perkalian sekawan. Diberikan pula beberapa contoh soal penentuan limit fungsi aljabar beserta penyelesaiannya.
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian limit secara intuitif dan beberapa contoh perhitungan limit fungsi. Limit didefinisikan sebagai nilai yang didekati oleh suatu fungsi ketika variabelnya mendekati suatu nilai tertentu. Beberapa contoh perhitungan limit menggunakan pendekatan aljabar dan kalkulasi nilai-nilai dekat untuk memperkirakan nilai limit. Dokumen juga membahas tentang limit sepihak dan kasus dimana limit tidak terdef
ANALISIS REAL 2
Ringkasan: Tulisan ini merangkum materi Analisis Real 2 yang meliputi konsep limit fungsi, fungsi kontinu, kombinasi fungsi kontinu, kekontinuan seragum, teorema nilai rata-rata, dan fungsi monoton. Tulisan ini bermanfaat untuk mempelajari konsep-konsep dasar analisis matematika.
Dokumen ini membahas konsep limit dan sifat-sifatnya. Definisi limit menjelaskan bahwa nilai fungsi mendekati suatu nilai ketika variabel mendekati titik tertentu. Teorema limit memberikan aturan untuk menghitung limit dari operasi-operasi dasar seperti penjumlahan, perkalian, dan pembagian. Contoh-contoh digunakan untuk mengilustrasikan konsep secara intuitif.
BAB 4
LIMIT DAN TURUNAN FUNGSI
Penerbit Erlangga
Bab 4 membahas konsep limit dan turunan fungsi secara intuitif dan formal. Limit fungsi dijelaskan sebagai pendekatan nilai fungsi ketika variabel mendekati suatu nilai. Turunan fungsi didefinisikan sebagai laju perubahan fungsi. Berbagai rumus dan aturan turunan fungsi aljabar dan trigonometri dipaparkan beserta penerapannya untuk menentukan kecepatan dan percepatan
Dokumen ini merangkum materi kuliah Analisis Real 2 yang meliputi konsep limit fungsi, kekontinuan fungsi, kombinasi fungsi kontinu, kekontinuan seragam, teorema nilai rata-rata, serta fungsi monoton dan teorema fungsi invers. Tulisan ini ditujukan untuk membantu pemahaman mahasiswa terhadap materi analisis matematika.
Dokumen tersebut membahas tentang limit fungsi trigonometri dan aljabar baik di keberhinggaan maupun ketakberhinggaan. Secara rinci dibahas mengenai pengertian limit, rumus-rumus dasar, contoh penyelesaian soal, serta kesimpulan-kesimpulan yang diperoleh.
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian limit secara umum dan beberapa teorema yang terkait dengan limit fungsi. Secara khusus dijelaskan tentang makna limit secara intuitif, limit kanan dan kiri, teorema limit utama, dan teorema substitusi. Diberikan juga contoh soal untuk menguji pemahaman tentang konsep-konsep limit yang diajarkan.
Bahan ajar ini membahas tentang limit fungsi aljabar, meliputi pengertian limit, metode-metode menentukan limit seperti substitusi langsung, pemfaktoran, dan menggunakan teorema-teorema limit. Tujuannya adalah agar siswa dapat menghitung nilai limit fungsi aljabar di berbagai kondisi.
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 Fase D Kurikulum Merdeka - [abdiera.com]Fathan Emran
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka - abdiera.com. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka.
Paper ini bertujuan untuk menganalisis pencemaran udara akibat pabrik aspal. Analisis ini akan fokus pada emisi udara yang dihasilkan oleh pabrik aspal, dampak kesehatan dan lingkungan dari emisi tersebut, dan upaya yang dapat dilakukan untuk mengurangi pencemaran udara
Laporan Pembina Pramuka SD dalam format doc dapat anda jadikan sebagai rujukan dalam membuat laporan. silakan download di sini https://unduhperangkatku.com/contoh-laporan-kegiatan-pramuka-format-word/
Universitas Negeri Jakarta banyak melahirkan tokoh pendidikan yang memiliki pengaruh didunia pendidikan. Beberapa diantaranya ada didalam file presentasi
Aksi Nyata Disiplin Positif: Hukuman vs Restitusi vs Konsekuensi
materi dan soal limit (lks)
1. Cara menggunakan lks ini
1. Kompetensi dasar, standar kompetensi, indikator:
-hal-hal yang harus dicapai dan dilakukan siswa.
2. Inspirasi:
-Bagian ini memberikan contoh aplikasi pembahasan dalam kehidupan sehari-
hari, untuk mempermudah siswa memahami pembahasan.
3. Math trik:
-Bagian ini berisi cara mudah memahami dan menggunakan rumus- rumus yg
terdapat pada pembahasan.
4. Diskusi math:
-Bagian ini adalah tugas kelompok untuk siswa untuk menyelesaikan/memahami
isi pembahasan dengan cara berdiskusi , mengeluarkan pedapat dan menarik
kesimpulan bersama-sama.
5. Contoh dan pembahasan:
-Bagian ini berisi soal-soal dan pembahasan soal-soal, sebagai alat untuk melatih
siswa dengan jenis-jenis soal latihan.
6. Soal latihan:
-Bagian ini berisi soal-soal untuk mengetahui tingkat kemampuan siswa.
Gemar Belajar Matematika XI SMA 1
2. S a n d a r K o m p e te n si :
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah.
K o m p e te n si D a sar:
1.Menghitung limit fungsi aljabar sederhana di suatu titik
2.Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar
In d ik a to r :
1. Menjelaskan arti limit fungsi di satu titik melalui perhitungan nilai-nilai disekitar
titik tersebut
2. Menjelaskan arti limit fungsi di tak berhingga melalui grafik dan perhitungan
3. Menghitung limit fungsi aljabar di satu titik
4. Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan limit
5. Menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi
6. Menghitung limit fungsi aljabar dengan menggunakan sifat-sifat limit
Gemar Belajar Matematika XI SMA 2
3. 1. Pengertian Limit
Haduh, limit kartu
Tau gak sih, ngomong sama
kredit tinggal 1juta,
dia itu bikin kesabaran
hampir mendekati batas
cukup buat apa?
Pengertian Pengertia
limit secara n limit
intuitif: secara
intuitif:
Untuk
mengatakan Untuk
mengatak
an
2 percakapan tersebut berarti contoh pengunaan kata limit dalam kehidupan sehari-
, adalah
hari. bahwa saat x
dekat dengan , berarti
Jadi limit apa yang kita pelajarixdan apa hubungannya dengan kehidupan kita?.bahwa
c (tetapi Limit
menggambarkan seberapa jauh c maka fungsi akan berkembang bila variabel didalam x
bukan sebuah saat
fungsi tersebut terus menerusdekat dekat
F(x) mendekati suatu nilai tertentu. Dengan kata lain limt fungsi
f(x) untuk x mendekati a,berarti L. variabel x berkembang secara terus menerus hinggac
dengan jika dengan
(tetapi x
mendekati titik tertentu a, maka nilai fungsi f(x) juga akan berkembang hingga mendekati
L. bukan c
maka F(x)
dekat
dengan L.
Pengertian limit secara intuitif:
Untuk mengatakan , berarti
bahwa saat x dekat dengan c (tetapi x bukan c
maka F(x) dekat dengan L.
Gemar Belajar Matematika XI SMA 3
4. DISKUSI MATH:..
Untuk lebih memahami pengertian limit, coba diskusikan tugas berikut dalam bentuk
kelompok!
Berikut adalah tabel fungsi f(x)=x+1. Dengan daerah asal Df = , memiliki
beberapa nilai fungsi f(x) jika x mendekati 2. Isilah tabel berikut ini dengan nilai- nilai
fungsi f(x)=x+1, utuk x yang dekat dengan 2.
x 1.89 1.8 1,9 1,99 2,01 2,02 2,1 2,2
f(x)=x+1 2,89 ... ... ... 3 ... ... 3,1 3.2
Diskusikan dengan teman-teman,dan isi kolom kesimpulan:
Kesimpulan: Nilai: Paraf Guru:
Paraf orang tua:
Gemar Belajar Matematika XI SMA 4
5. 1. Ketentuan atau aturan yang berlaku ada limit fungsi.
a. Bilangan yan tak berhingga dinotasikan dengan (dibaca tak hingga).
Akibatnya dapat dinyatakan biangan paling besar, maka:
2
=
10
=
=
=
=
b. Bilangan yang nilainya kecil dan mendekati nol dari bilangan positif yang
mana saja,atau bilangan yang palng kecil sekali biasanya diabaikan
(ditiadakan) atau sama dengan nol.
c.
Atau
d.
Atau
2. Limit Fungsi Aljabar
2.1limt fungsi disuatu titik tertentu berbentuk
Limit fungsi f(x) disuatu titik x=a adaah nilai yang didekati oleh f(x) untuk x
mendekati a dan . Jika x mendekati a, maka f(x) mendekati L, dapat ditulis:
Cara menyelesaikan limit bentuk aljabar, antara lain:
Substitusi langsung
Perhatikan , bentuk limit ini dapat diselesaiakan dengan
mensubstitusikan x=2 pada persamaan
=22-1=3
Maka nilai adalah mendekati 3.
Cara in dapat digunakan bila persamaan sudah sederhana dan tidak
menghasilkan nilai (bentuk tak tentu)
Gemar Belajar Matematika XI SMA 5
6. Pemfaktoran
Uraikan atau faktorkan pembilang dan penyebut kemudian meringkas f(x)
sehingga dapat nilai lebih sederhana. Contoh
=
=
=
Jika disubstitusi
=3+3=6
menghasilkan tak hingga
Faktorkan sehingga
menghasilkan f(x) yg lebih
sederhana.
Substitusikan nilai x.
Mengkalikan dengan faktor sekawan
Jika dengan langkah diatas belum dapat disederhanakan, kalikan masing-
masing pembagi dan penyebut dengan bentuk sekawan dari pembilang atau
penyebut, kemudian sederanakan. Contoh:
Tentukan nilai dari
= x
= Jika disubstitusikan
menghasilkan tak
=
tentu
= Tidak dapat difaktorkan
Jika belum sederhana
=
Kalikan dengan bentuk
= = sekawan penyebut atau
pembilang
Substitusi nilai x
2.2. Limit berbentuk (limit tak hingga)
Membagi setiap pembilang dan penyebut dengan x berpangkat tertinggi,
misal untuk menyelesaikan
Mengalikan pembilang dan penyebut dari f(x) dengan bentuk sekawan dari
pembagi atau penyebut, misal bentuk dengan cara :
= dikalikan dengan
Atau dalam bentuk
Substitusi x= jika bentuk persamaan sudah paling sederhana.
Gemar Belajar Matematika XI SMA 6
7. DISKUSI MATH:..
Kerjakan tugas berikut secara berkelompok!
perhatikan tabel berikut
tabel untukpersamaan f(x)=
x -100 -10 -2 -1 0 2 10 100
f(x)= 1 ... ... ... ... ... ... ...
Lengkapi tabel tersebut dan buat grafik fungsi f(x) untuk menujukkan bahwa
Berikan kesimpulan:
Kesimpulan: Nilai: Paraf Guru:
Paraf orang tua:
Gemar Belajar Matematika XI SMA 7
8. Penyelesaian praktis limit untuk limit tak hingga:
Dimana -p= pangkat tertinggi pembilang
- r= pangkat tertinggi penyebut
Hasil limitnya:
Jika r hasilnya
Jika p=r hasilnya
Jika hasilnya 0
Hasil limitnya:
Jika p hasilnya
Jika a=p hasilnya
Jika hasilnya
Misal dan , maka
+ , jika L>0 dan g(x) 0 dari arah atas
- , jika L>0 dan g(x) 0 dari arah bawah
+ , jika L<0 dan g(x) 0 dari arah bawah
- , jika L<0 dan g(x) 0 dari arah atas
Gemar Belajar Matematika XI SMA 8
9. 3. Kontinuitas dan diskontinuitas
Suatu fungsi f(x) dikatakan kontinu dititik x=a, jika dipengaruhi syarat
sebagai berikut:
a. Jika f(a) terdefinisi atau f(a) ada
b. ada
c. = f(x)
Jika satu atau lebih syarat tidak terpenuhi, maka f(x) dikatakan tidak kontinu
dititik x=a (diskontinu)
Semua fungsi dinamakan kontinu sebagian-sebagian didalam sebuah interval
, jika interval itu dapat dibagi dalam sejumlah berhingga sub interval dan
didalam sub interval tersebut.
Kekontinuan fungsi
Berikut grafik fungsi kontinu dan diskontinu
1. F(a) tidak ada
F tidak kontinu di x=a
a
Gemar Belajar Matematika XI SMA 9
10. 2.
karena limit kiri L(1) tidak sama
L2 dengan limit kanan(L2) maka
F(x) tidak punya limit di x=a
L1
Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a
a
3. f(a) ada
f(a) ada
tapi limit fungsi tidak sama
L dengan limt fungsi
a fungsi (x) tidak kontinu di x=a
4. f(a) ada
f(a) ada
= f(a)
a f(x) kontinu di x=a
Gemar Belajar Matematika XI SMA 10
11. DISKUSI MATH:..
Kerjakan tugas berikut secara berkelompok!
Untuk grafik fungsi pada gambar berkut, periksalah fungsi manakah yang nilai
lmitnya adalah disekitar x=a? Jelaskan!
a.y=f(x) b. Y=f(x)
x=a x=a
c. y=f(x) d. Y=f(x)
x=a x=a
Jelaskan, dan berikan kesimpulan:
Kesimpulan: Nilai: Paraf Guru:
Paraf orang tua:
Gemar Belajar Matematika XI SMA 11
12. 4. Limit fungsi trigonometri
Untuk mnyelesaikan fungsi trigonometri dengan x o, maka dapat digunaka fungsi
hampiran berikut
Sin x x
tan x x
cos x
=1
sehingga:
=1
sec x
tan x-sin x
bentuk perluasan:
=
=
=
Gemar Belajar Matematika XI SMA 12
13. Sifat-sifat limit dapat dirangkum dalam teorema limit segai berikut:
Jika f()=k, maka (untukk konstanta dan a bilangan real)
Jika f(x) =x, maka (untuk semua a bilangan real)
=
=
Jika k suatu konstanta ,maka =k.
=
= , dengan
=
= dengan untuk n genap
Gemar Belajar Matematika XI SMA 13
14. DISKUSI MATH:..
Pada suatu medium tertentu, sebuah bola dijatuhkan lurus dari suatu
ketinggian dengan panjang lintasan t2 meter setelah t
sekon. Bagaimanakah cara menentukan laju bola tersebut setelah 2
sekon?
2sekon
4meter
(t2-4)
t2
Diskusikan dengan teman-teman,dan isi olom kesimpulan:
Kesimpulan: Nilai: Paraf Guru:
Paraf orang tua:
Gemar Belajar Matematika XI SMA 14
15. Contoh soal
a. =...
Penyelesaian:
Bila x = 3 disubstitusikan ke maka menghasilkan , sehingga
= = =3+3=6
b. =...
Penyelesaian:
=
= = (2 + 4) = 6
c. =...
Penyelesaian:
Substitusi langsung x = 0 menghasilkan
= = , (bentuk tak tentu). Oleh karena itu, kita
kalikan masing-masing pembilang dan penyebut dari f (x) dengan bentuk sekawan
dari pembilang dan penyebut f (x) tersebut.
– kalikan masing- masing dengan
= .
bentuk sekawan pembilang
=
=
=
= Substitusi x = 0
= =
d. =...
Penyelesaian :
Pembilang dan penyebut dibagi
= dengan (pangkat tertinginya 3)
= Perlu diingat!
Jika nilai x = langsung disubstitusi ke
= = f(x) mendapatkan hasil
maka
disebut bentuk tak tentu dari limit fungsi.
Gemar Belajar Matematika XI SMA 15
16. e. =...
Penyelesaian Memanipulasi bentuk aljabar
dari penyebut dengan sifat
=
asosiatif
= Memanipulasi bentuk aljabar
penyebut dengan sifat =
x
=
Membagi pembilang dan
penyebut dengan x
=
Substitusi x dengan
=
= = =1
f. ...
Penyelesaian :
Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut.
Karena bentuk fungsi dari limit di atas tidak berbentuk rasional maka harus
dikalikan dengan faktor sekawan, yaitu
sehingga:
= .
Kemudian dengan memanipulasi aljabar, diperoleh :
Substitusi x dengan
Gemar Belajar Matematika XI SMA 16
17. = = =1
a. Sebuah bola dilemparkan ke udara pada kecepatan 40 kaki/detik dan ketinggiannya
(dalam kaki) setelah t detik diberikan y = 40t - 16 . Tentukan kecepatan bola
ketika t = 2 detik.
Jawab :
Kita tuliskan terlebih dahulu persamaan kecepatan sesaat sebagai limit kecepatan rata-rata.
V (t)
=
=
=
=
V (t) = 40 – 32t
Dengan demikian kecepatan pada saat t = 2 detik adalah v = 40 – 32 (2) = -24
kaki/detik. Tanda negative menunjukan gerak bola berlawanan dengan gerak bola
pada saat dilemparkan ke udara.
Gemar Belajar Matematika XI SMA 17
18. Contoh soal Trigonometri
1. Nilai dari
Penyelesaian :
=
=
= +
=
2. Hitunglah
Penyelesaian:
=
=
=
=
=
=
Gemar Belajar Matematika XI SMA 18
19. Contoh :
Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkan alasannya
a.
b.
c.
Penyelesaian:
a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0)
Maka f(x) tidak kontinu di x=2
b.
Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) tidak kontinu di
x=2
c.
Karena semua syarat dipenuhi f(x) kontinu di x=2
Gemar Belajar Matematika XI SMA 19
20. Uji Kompetensi Bab Limit.
A. Pilihlah satu jawaban yang benar!
1. Nilai adalah ….
a. -2 d. 2
c. 0
2. Nilai adalah …..
a. d.
b. e.
c.
3. Nilai adalah …..
a. 0 d. 8
b. 5 e. ∞
c. 6.5
4. Nilai adalah ….
a. 10 d. 7
b. 9 e. 6
c. 8
5. Nilai adalah …..
a. 0 d. 3
b. ∞ e. 4
c. -∞
Gemar Belajar Matematika XI SMA 20
21. 6. Nilai adalah ….
a. 0 d. 8
b. 2 e. ∞
c.
7. Nilai adalah …..
a. 0 d.
b. e. ∞
c.
8. Nilai adalah ……
a. - 2 d. 1
b. - e.
c. - 1
9. Nilai adalah …..
a. 9 d. 6
b. 8 e. 5
c. 7
10. Nilai adalah …..
a. d. 2
b. e. 3
c.
Gemar Belajar Matematika XI SMA 21
22. 11. Nilai adalah …...
a. d.
b. e.
c.
12. Nilai adalah ……
a. 30 d. 20
b. 15 e. 40
c. 25
13. Nilai adalah …….
a. d.
b. e.
c.
14. Nilai adalah …..
a. d.
b. e. 1
c.
15. Nilai adalah …..
a. 3 d. -1
b. -4 e. 0
c. 2
Gemar Belajar Matematika XI SMA 22
23. 16. Nilai adalah …..
a. 1 d. 4
b. 2 e. 5
c. 3
17. Nilai adalah …..
a. -4 d. 4
b. -2 e. 6
c. -1
18. Nilai adalah …..
a. 10 d. 40
b. 20 e. 50
c. 30
19. Nilai adalah ….
a. d.
b. e.
c. 1
20. Diketahui
Nilai adalah ….
a. d.
b. e.
c.
Gemar Belajar Matematika XI SMA 23
24. B. Jawablah pertanyaan dibawah ini dengan tepat!
1. Diketahui
selidiki kekontinuan fungsi f(x) di x = -1
2. Diketahui :
.
Tentukanlah : a. nilai m dan n
b. batas-batas x yang memenuhi f(0) = -1
3. Sebuah bola dilempar lurus ke atas dengan kecepatan awal 96 m/s dari ketinggian
112 meter. Fungsi ketinggian terhadap waktu adalah y(t) = -16t² + 96t + 112.
Berapakah tinggi maksimum yang dapat dicapai bola?
4. Jika sebuah bola dilempar secara tegak lurus ke atas dengan kecepatan 80 m/s, maka
ketinggian setelah t detik adalah s = 80t -16t². Berapakah kecepatan bola pada saat
bola berada 96 meter di atas tanah pada waktu ke atas?
5. Jika sebuah tangki berbentuk silinder berisi 100.000 galon air, yang dapat
dikosongkan dari bawah tangki dalam waktu satu jam. Hukum Torricelli
menyatakan volume air yang tersisa dalam tangki setelah t menit sebagai
Tentukan laju aliran air keluar tangki sebagai
fungsi waktu, t.
6. =
Gemar Belajar Matematika XI SMA 24
25. 7. =
8. Suatu fungsi didefinisikan dengan
a. Selidiki apakah f (x) kontinu di x = 2?
b. Jika f (x) tidak kontinu, carilah rumus agar f(x) menjadi fungsi yang kontinu!
9. =
10. =
Nilai: Parf guru:
Paraf orangtua:
Gemar Belajar Matematika XI SMA 25