Dokumen ini merinci cara menggunakan modul pembelajaran matematika yang mencakup kompetensi dasar, contoh aplikasi, teknik pemahaman rumus, dan diskusi kelompok. Ditekankan pada pemahaman konsep limit fungsi dan penerapannya dalam kehidupan sehari-hari. Selain itu, dokumen juga menyediakan soal latihan dan contoh penyelesaian untuk membantu siswa dalam belajar.

1. Cara menggunakan lks ini
1. Kompetensi dasar, standar kompetensi, indikator:
-hal-hal yang harus dicapai dan dilakukan siswa.
2. Inspirasi:
-Bagian ini memberikan contoh aplikasi pembahasan dalam kehidupan sehari-
hari, untuk mempermudah siswa memahami pembahasan.
3. Math trik:
-Bagian ini berisi cara mudah memahami dan menggunakan rumus- rumus yg
terdapat pada pembahasan.
4. Diskusi math:
-Bagian ini adalah tugas kelompok untuk siswa untuk menyelesaikan/memahami
isi pembahasan dengan cara berdiskusi , mengeluarkan pedapat dan menarik
kesimpulan bersama-sama.
5. Contoh dan pembahasan:
-Bagian ini berisi soal-soal dan pembahasan soal-soal, sebagai alat untuk melatih
siswa dengan jenis-jenis soal latihan.
6. Soal latihan:
-Bagian ini berisi soal-soal untuk mengetahui tingkat kemampuan siswa.
Gemar Belajar Matematika XI SMA 1

2. S a n d a r K o m p e te n si :
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah.
K o m p e te n si D a sar:
1.Menghitung limit fungsi aljabar sederhana di suatu titik
2.Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar
In d ik a to r :
1. Menjelaskan arti limit fungsi di satu titik melalui perhitungan nilai-nilai disekitar
titik tersebut
2. Menjelaskan arti limit fungsi di tak berhingga melalui grafik dan perhitungan
3. Menghitung limit fungsi aljabar di satu titik
4. Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan limit
5. Menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi
6. Menghitung limit fungsi aljabar dengan menggunakan sifat-sifat limit
Gemar Belajar Matematika XI SMA 2

3. 1. Pengertian Limit
Haduh, limit kartu
Tau gak sih, ngomong sama
kredit tinggal 1juta,
dia itu bikin kesabaran
hampir mendekati batas
cukup buat apa?
 Pengertian  Pengertia
limit secara n limit
intuitif: secara
intuitif:
Untuk
mengatakan Untuk
mengatak
an
2 percakapan tersebut berarti contoh pengunaan kata limit dalam kehidupan sehari-
, adalah
hari. bahwa saat x
dekat dengan , berarti
Jadi limit apa yang kita pelajarixdan apa hubungannya dengan kehidupan kita?.bahwa
c (tetapi Limit
menggambarkan seberapa jauh c maka fungsi akan berkembang bila variabel didalam x
bukan sebuah saat
fungsi tersebut terus menerusdekat dekat
F(x) mendekati suatu nilai tertentu. Dengan kata lain limt fungsi
f(x) untuk x mendekati a,berarti L. variabel x berkembang secara terus menerus hinggac
dengan jika dengan
(tetapi x
mendekati titik tertentu a, maka nilai fungsi f(x) juga akan berkembang hingga mendekati
L. bukan c
maka F(x)
dekat
dengan L.
 Pengertian limit secara intuitif:
Untuk mengatakan , berarti
bahwa saat x dekat dengan c (tetapi x bukan c
maka F(x) dekat dengan L.
Gemar Belajar Matematika XI SMA 3

4. DISKUSI MATH:..
Untuk lebih memahami pengertian limit, coba diskusikan tugas berikut dalam bentuk
kelompok!
Berikut adalah tabel fungsi f(x)=x+1. Dengan daerah asal Df = , memiliki
beberapa nilai fungsi f(x) jika x mendekati 2. Isilah tabel berikut ini dengan nilai- nilai
fungsi f(x)=x+1, utuk x yang dekat dengan 2.
x 1.89 1.8 1,9 1,99 2,01 2,02 2,1 2,2
f(x)=x+1 2,89 ... ... ... 3 ... ... 3,1 3.2
Diskusikan dengan teman-teman,dan isi kolom kesimpulan:
Kesimpulan: Nilai: Paraf Guru:
Paraf orang tua:
Gemar Belajar Matematika XI SMA 4

5. 1. Ketentuan atau aturan yang berlaku ada limit fungsi.
a. Bilangan yan tak berhingga dinotasikan dengan (dibaca tak hingga).
Akibatnya dapat dinyatakan biangan paling besar, maka:
2
=
10
=
=
=
=
b. Bilangan yang nilainya kecil dan mendekati nol dari bilangan positif yang
mana saja,atau bilangan yang palng kecil sekali biasanya diabaikan
(ditiadakan) atau sama dengan nol.
c.
Atau
d.
Atau
2. Limit Fungsi Aljabar
2.1limt fungsi disuatu titik tertentu berbentuk
Limit fungsi f(x) disuatu titik x=a adaah nilai yang didekati oleh f(x) untuk x
mendekati a dan . Jika x mendekati a, maka f(x) mendekati L, dapat ditulis:
Cara menyelesaikan limit bentuk aljabar, antara lain:
 Substitusi langsung
Perhatikan , bentuk limit ini dapat diselesaiakan dengan
mensubstitusikan x=2 pada persamaan
=22-1=3
Maka nilai adalah mendekati 3.
Cara in dapat digunakan bila persamaan sudah sederhana dan tidak
menghasilkan nilai (bentuk tak tentu)
Gemar Belajar Matematika XI SMA 5

6.  Pemfaktoran
Uraikan atau faktorkan pembilang dan penyebut kemudian meringkas f(x)
sehingga dapat nilai lebih sederhana. Contoh
=
=
=
Jika disubstitusi
=3+3=6
menghasilkan tak hingga
Faktorkan sehingga
menghasilkan f(x) yg lebih
sederhana.
Substitusikan nilai x.
 Mengkalikan dengan faktor sekawan
Jika dengan langkah diatas belum dapat disederhanakan, kalikan masing-
masing pembagi dan penyebut dengan bentuk sekawan dari pembilang atau
penyebut, kemudian sederanakan. Contoh:
Tentukan nilai dari
= x
= Jika disubstitusikan
menghasilkan tak
=
tentu
= Tidak dapat difaktorkan
Jika belum sederhana
=
Kalikan dengan bentuk
= = sekawan penyebut atau
pembilang
Substitusi nilai x
2.2. Limit berbentuk (limit tak hingga)
 Membagi setiap pembilang dan penyebut dengan x berpangkat tertinggi,
misal untuk menyelesaikan
 Mengalikan pembilang dan penyebut dari f(x) dengan bentuk sekawan dari
pembagi atau penyebut, misal bentuk dengan cara :
= dikalikan dengan
Atau dalam bentuk
 Substitusi x= jika bentuk persamaan sudah paling sederhana.
Gemar Belajar Matematika XI SMA 6

7. DISKUSI MATH:..
Kerjakan tugas berikut secara berkelompok!
perhatikan tabel berikut
tabel untukpersamaan f(x)=
x -100 -10 -2 -1 0 2 10 100
f(x)= 1 ... ... ... ... ... ... ...
Lengkapi tabel tersebut dan buat grafik fungsi f(x) untuk menujukkan bahwa
Berikan kesimpulan:
Kesimpulan: Nilai: Paraf Guru:
Paraf orang tua:
Gemar Belajar Matematika XI SMA 7

8. Penyelesaian praktis limit untuk limit tak hingga:

Dimana -p= pangkat tertinggi pembilang
- r= pangkat tertinggi penyebut
Hasil limitnya:
Jika r hasilnya
Jika p=r hasilnya
Jika hasilnya 0

Hasil limitnya:
Jika p hasilnya
Jika a=p hasilnya
Jika hasilnya
 Misal dan , maka
+ , jika L>0 dan g(x) 0 dari arah atas
- , jika L>0 dan g(x) 0 dari arah bawah
+ , jika L<0 dan g(x) 0 dari arah bawah
- , jika L<0 dan g(x) 0 dari arah atas
Gemar Belajar Matematika XI SMA 8

9. 3. Kontinuitas dan diskontinuitas
Suatu fungsi f(x) dikatakan kontinu dititik x=a, jika dipengaruhi syarat
sebagai berikut:
a. Jika f(a) terdefinisi atau f(a) ada
b. ada
c. = f(x)
Jika satu atau lebih syarat tidak terpenuhi, maka f(x) dikatakan tidak kontinu
dititik x=a (diskontinu)
Semua fungsi dinamakan kontinu sebagian-sebagian didalam sebuah interval
, jika interval itu dapat dibagi dalam sejumlah berhingga sub interval dan
didalam sub interval tersebut.
Kekontinuan fungsi
Berikut grafik fungsi kontinu dan diskontinu
1. F(a) tidak ada
F tidak kontinu di x=a
a
Gemar Belajar Matematika XI SMA 9

10. 2.
karena limit kiri L(1) tidak sama
L2 dengan limit kanan(L2) maka
F(x) tidak punya limit di x=a
L1
Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a
a
3. f(a) ada
f(a) ada
tapi limit fungsi tidak sama
L dengan limt fungsi
a fungsi (x) tidak kontinu di x=a
4. f(a) ada
f(a) ada
= f(a)
a f(x) kontinu di x=a
Gemar Belajar Matematika XI SMA 10

11. DISKUSI MATH:..
Kerjakan tugas berikut secara berkelompok!
Untuk grafik fungsi pada gambar berkut, periksalah fungsi manakah yang nilai
lmitnya adalah disekitar x=a? Jelaskan!
a.y=f(x) b. Y=f(x)
x=a x=a
c. y=f(x) d. Y=f(x)
x=a x=a
Jelaskan, dan berikan kesimpulan:
Kesimpulan: Nilai: Paraf Guru:
Paraf orang tua:
Gemar Belajar Matematika XI SMA 11

12. 4. Limit fungsi trigonometri
Untuk mnyelesaikan fungsi trigonometri dengan x o, maka dapat digunaka fungsi
hampiran berikut
Sin x x
tan x x
cos x
=1
sehingga:
=1
sec x
tan x-sin x
bentuk perluasan:
=
=
=
Gemar Belajar Matematika XI SMA 12

13. Sifat-sifat limit dapat dirangkum dalam teorema limit segai berikut:
 Jika f()=k, maka (untukk konstanta dan a bilangan real)
 Jika f(x) =x, maka (untuk semua a bilangan real)
 =
 =
 Jika k suatu konstanta ,maka =k.
 =
 = , dengan
 =
 = dengan untuk n genap
Gemar Belajar Matematika XI SMA 13

14. DISKUSI MATH:..
Pada suatu medium tertentu, sebuah bola dijatuhkan lurus dari suatu
ketinggian dengan panjang lintasan t2 meter setelah t
sekon. Bagaimanakah cara menentukan laju bola tersebut setelah 2
sekon?
2sekon
4meter
(t2-4)
t2
Diskusikan dengan teman-teman,dan isi olom kesimpulan:
Kesimpulan: Nilai: Paraf Guru:
Paraf orang tua:
Gemar Belajar Matematika XI SMA 14

15. Contoh soal
a. =...
Penyelesaian:
Bila x = 3 disubstitusikan ke maka menghasilkan , sehingga
= = =3+3=6
b. =...
Penyelesaian:
=
= = (2 + 4) = 6
c. =...
Penyelesaian:
Substitusi langsung x = 0 menghasilkan
= = , (bentuk tak tentu). Oleh karena itu, kita
kalikan masing-masing pembilang dan penyebut dari f (x) dengan bentuk sekawan
dari pembilang dan penyebut f (x) tersebut.
– kalikan masing- masing dengan
= .
bentuk sekawan pembilang
=
=
=
= Substitusi x = 0
= =
d. =...
Penyelesaian :
Pembilang dan penyebut dibagi
= dengan (pangkat tertinginya 3)
= Perlu diingat!
Jika nilai x = langsung disubstitusi ke
= = f(x) mendapatkan hasil
maka
disebut bentuk tak tentu dari limit fungsi.
Gemar Belajar Matematika XI SMA 15

16. e. =...
Penyelesaian Memanipulasi bentuk aljabar
dari penyebut dengan sifat
=
asosiatif
= Memanipulasi bentuk aljabar
penyebut dengan sifat =
x
=
Membagi pembilang dan
penyebut dengan x
=
Substitusi x dengan
=
= = =1
f. ...
Penyelesaian :
Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut.
 Karena bentuk fungsi dari limit di atas tidak berbentuk rasional maka harus
dikalikan dengan faktor sekawan, yaitu
sehingga:
= .
 Kemudian dengan memanipulasi aljabar, diperoleh :
 Substitusi x dengan
Gemar Belajar Matematika XI SMA 16

17. = = =1
a. Sebuah bola dilemparkan ke udara pada kecepatan 40 kaki/detik dan ketinggiannya
(dalam kaki) setelah t detik diberikan y = 40t - 16 . Tentukan kecepatan bola
ketika t = 2 detik.
Jawab :
Kita tuliskan terlebih dahulu persamaan kecepatan sesaat sebagai limit kecepatan rata-rata.
V (t)
=
=
=
=
V (t) = 40 – 32t
Dengan demikian kecepatan pada saat t = 2 detik adalah v = 40 – 32 (2) = -24
kaki/detik. Tanda negative menunjukan gerak bola berlawanan dengan gerak bola
pada saat dilemparkan ke udara.
Gemar Belajar Matematika XI SMA 17

18. Contoh soal Trigonometri
1. Nilai dari
Penyelesaian :
=
=
= +
=
2. Hitunglah
Penyelesaian:
=
=
=
=
=
=
Gemar Belajar Matematika XI SMA 18

19. Contoh :
Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkan alasannya
a.
b.
c.
Penyelesaian:
a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0)
Maka f(x) tidak kontinu di x=2
b.
Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) tidak kontinu di
x=2
c.
Karena semua syarat dipenuhi f(x) kontinu di x=2
Gemar Belajar Matematika XI SMA 19

20. Uji Kompetensi Bab Limit.
A. Pilihlah satu jawaban yang benar!
1. Nilai adalah ….
a. -2 d. 2
c. 0
2. Nilai adalah …..
a. d.
b. e.
c.
3. Nilai adalah …..
a. 0 d. 8
b. 5 e. ∞
c. 6.5
4. Nilai adalah ….
a. 10 d. 7
b. 9 e. 6
c. 8
5. Nilai adalah …..
a. 0 d. 3
b. ∞ e. 4
c. -∞
Gemar Belajar Matematika XI SMA 20

21. 6. Nilai adalah ….
a. 0 d. 8
b. 2 e. ∞
c.
7. Nilai adalah …..
a. 0 d.
b. e. ∞
c.
8. Nilai adalah ……
a. - 2 d. 1
b. - e.
c. - 1
9. Nilai adalah …..
a. 9 d. 6
b. 8 e. 5
c. 7
10. Nilai adalah …..
a. d. 2
b. e. 3
c.
Gemar Belajar Matematika XI SMA 21

22. 11. Nilai adalah …...
a. d.
b. e.
c.
12. Nilai adalah ……
a. 30 d. 20
b. 15 e. 40
c. 25
13. Nilai adalah …….
a. d.
b. e.
c.
14. Nilai adalah …..
a. d.
b. e. 1
c.
15. Nilai adalah …..
a. 3 d. -1
b. -4 e. 0
c. 2
Gemar Belajar Matematika XI SMA 22

23. 16. Nilai adalah …..
a. 1 d. 4
b. 2 e. 5
c. 3
17. Nilai adalah …..
a. -4 d. 4
b. -2 e. 6
c. -1
18. Nilai adalah …..
a. 10 d. 40
b. 20 e. 50
c. 30
19. Nilai adalah ….
a. d.
b. e.
c. 1
20. Diketahui
Nilai adalah ….
a. d.
b. e.
c.
Gemar Belajar Matematika XI SMA 23

24. B. Jawablah pertanyaan dibawah ini dengan tepat!
1. Diketahui
selidiki kekontinuan fungsi f(x) di x = -1
2. Diketahui :
.
Tentukanlah : a. nilai m dan n
b. batas-batas x yang memenuhi f(0) = -1
3. Sebuah bola dilempar lurus ke atas dengan kecepatan awal 96 m/s dari ketinggian
112 meter. Fungsi ketinggian terhadap waktu adalah y(t) = -16t² + 96t + 112.
Berapakah tinggi maksimum yang dapat dicapai bola?
4. Jika sebuah bola dilempar secara tegak lurus ke atas dengan kecepatan 80 m/s, maka
ketinggian setelah t detik adalah s = 80t -16t². Berapakah kecepatan bola pada saat
bola berada 96 meter di atas tanah pada waktu ke atas?
5. Jika sebuah tangki berbentuk silinder berisi 100.000 galon air, yang dapat
dikosongkan dari bawah tangki dalam waktu satu jam. Hukum Torricelli
menyatakan volume air yang tersisa dalam tangki setelah t menit sebagai
Tentukan laju aliran air keluar tangki sebagai
fungsi waktu, t.
6. =
Gemar Belajar Matematika XI SMA 24

25. 7. =
8. Suatu fungsi didefinisikan dengan
a. Selidiki apakah f (x) kontinu di x = 2?
b. Jika f (x) tidak kontinu, carilah rumus agar f(x) menjadi fungsi yang kontinu!
9. =
10. =
Nilai: Parf guru:
Paraf orangtua:
Gemar Belajar Matematika XI SMA 25