Sistem persamaan non-linear dapat diubah menjadi sistem persamaan linear dengan memisalkan variabel non-linear menjadi variabel linear, kemudian diselesaikan dan hasilnya dikembalikan ke pemisalan semula.

1. Disusun oleh :
Diana Novita Intan Permatasari (1401060052)
Arum Setya Utami (1401060061)

2. Ingat !
Persamaan garis lurus pada
bidang Cartesius
ax + by = c
Dengan a,b,c konstanta real
dengan a,b ≠ 0, dan x, y
adalah variabel
Perhatikan persamaan-persamaan berikut :
1. x+ 5 = y
2. 2a – b = 1
3. 3p +9q = 4
Dari persamaan tersebut, sebutkan variabel
dari masing-masing persamaan :
1. x+ 5 = y variabelnya x dan y
2. 2a – b = 1 variabelnya a dan b
3. 3p + 9q = 4 variabelnya p dan q
ketiga persamaan tersebut memiliki 2
variabel. Persamaan diatas tersebut
merupakan contoh bentuk persamaan linier
dua variabel
Jadi persamaan linier dua variabel dapat
dinyatakan dalam bentuk ax + by = c dengan
a, b, c ∈ R; a, b ≠ 0; dan x, y suatu variabel

3. Apabila terdapat dua persamaan linier dua variabel yang berbentuk
ax+ by = c
dx+ ey = f dengan a, b, d, e ≠ 0 dan c, f adalah bilangan real
Maka dikatakan dua persamaan tersebut membentuk sistem persamaan linier dua variabel.
Penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel tersebut adalah pasangan bilangan (x,y)
yang memenuhi persamaan tersebut.
Keterangan: x dan y = variabel (nilai penyelesaian dari sistem linier dua variabel)
a dan d = koefisien dari x
b dan e = koefisien dari y
c dan f = konstanta

4. 1. Metode Substitusi
2. Metode Eliminasi
3. Metode Gabungan (Subtitusi
dan Eliminasi)
4.Metode Grafik
Metode yang digunakan untuk
menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua
Variabel :

5. 1. METODE SUBSTITUSI
Konsep dasar dari metode substitusi adalah mengganti sebuah
variabel dengan menggunakan persamaan yang lain.
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2p + 3q = 6
p – q =3
p- q = 3 diubah menjadi p = 3 + q
Kemudian subtitusikan p = 3 + q ke dalam persamaan 2p + 3q = 6
p= 3 + q → 2p + 3q = 6
2(3 + q) + 3q = 6
2x3 2xq
6 + 2q + 3q = 6
6 + (2+3)q = 6
6 + 5q = 6
6 – 6 + 5q = 6 – 6

6. 5q = 0
q = 0
Kita dapatkan bahwa nilai q = 0, kemudian kita cari nilai p.
Untuk mencari nilai p, kita subtitusikan q = 0 ke salah satu persamaan,
persamaan p – q = 3, maka
q= 0 → p – q = 3
p- 0 = 3
p = 3
Atau persamaan 2p + 3q = 6, maka
q= 0 → 2p + 3q = 6
2p + 3x0 = 6
2p + 0 = 6
2p = 6
2𝑝
2
=
6
2
p = 3

7. Kita dapatkan bahwa nilai p = 3
Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
2p + 3q = 6
p – q = 3
Adalah { (3,0) }.
Dari uraiaan diatas dapat disimpulkan bahwa untuk menyelesaikan sistem persamaan
linier dua variabel dengan metode subtitusi, terlebih dahulu kita nyatakan variabel yang
satu ke dalam variabel yang lain dari suatu persamaan, kemudian menyubstitusikan
(menggantikan) variabel itu dalam persamaan yang lain.

8. 2. METODE ELIMINASI
Pada metode eliminasi, untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem
persamaan linier dua variabel, caranya adalah dengan menghilangkan
(mengeliminasi) salah satu variabel dari sistem persamaan tersebut. Jika
variabelnya x dan y, untuk menentukan variabel x kita harus mengeliminasi
variabel y terlebih dahulu, atau sebaliknya.
Jika koefisien dari salah satu variabel sama maka kita dapat mengeliminasi
atau menghilangkan salah satu variabel tersebut, untuk selanjutnya
menentukan variabel yang lain.
contoh :
Dengan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan
2x + 3y = 6 dan x – y = 3

9. Penyelesaian
2x + 3y = 6 dan x – y = 3
Langkah I ( eliminasi variabel y )
Untuk mengeliminasi variabel y, koefisien y harus disamakan, sehingga persamaan
2x – 3y = 6 dikalikan 1 dan persamaan x – y = 3 dikalikan 3.
2x + 3y = 6 x1 2x + 3y = 6
x - y = 3 x3 3x - 3y = 9
+
2x + 3x = 6 + 9
5x = 15
5𝑥
5
=
15
5
x = 3
(-)→3y - (-3y) = 3y + 3y = 6y
(+)→3y + (-3y) = 3y – 3y = 0
kita ingin menghilangkan y
maka kita gunakan operasi
penjumlahan (+)

10. Langkah II ( eliminasi variabel x )
Seperti pada langkah pertama untuk mengeliminasi variabel x, koefisisen x harus sama,
sehingga persamaan 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan persamaan x – y = 3 dikalikan 2.
2x + 3y = 6 x1 2x + 3y = 6
x – y = 3 x2 2x – 2y = 6 -
3y – (-2y) = 6 - 6
3y + 2y = 0
(3+2)y = 0
5y = 0
Y = 0
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { (3,0) }.
(-)→ 2x – 2x = 0
(+)→2x + 2x = 4x
kita ingin menghilangkan x
maka kita gunakan operasi
pengurangan (-)

11. 3. Metode Gabungan
Metode gabungan adalah cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua
variabel dengan menggabungkan antara metode eliminasi dan substitusi.
Contoh :
Dengan menggunakan metode gabungan, tentukan himpunan penyelesaian
dari sistem persamaan 2x - 5y = 2 dan x + 5y = 6, jika x, y ∈ R.

12. Diketahui:
Sistem persamaan 2x – 5y = 2 dan x + 5y = 6
Ditanyakan : himpuan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut.
Penyelesaian :
Langkah pertama yaitu dengan metode eliminasi,
diperoleh:
2x – 5y = 2 x1 ↔ 2x – 5y = 2
x + 5y = 6 x2 ↔ 2x +10y = 12 –
- 15y = - 10
y =
− 10
− 15
=
2
3
Selanjutnya, substitusikan nilai y ke persamaan x + 5y =
6, sehingga diperoleh:
x + 5y = 6
 x + 5(
2
3
) = 6
 x +
10
3
= 6
 x = 6 -
10
3
 x = 2
2
3
Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x – 5y = 2
Dan x + 5y = 2 adalah ( 2
2
3
,
2
3
)

13. 4. Metode Grafik
Pada metode grafik, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel
adalah koordinat titik potong dua garis tersebut. Jika garis – garisnya tidak berpotongan
di satu titik tertentu maka himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong.
Contoh :
Dengan metode grafik, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua
variabel x + y = 5 dan x – y = 1, jika x, y variabel pada himpunan bilangan real.

14. Diketahui :
sistem persamaan x + y = 5 dan x – y = 1
Ditanyakan : dengan metode grafik, tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut.
Penyelesaian :
Untuk memudahkan menggambar grafik dari x + y = 5 dan x – y = 1, buatlah tabel nilai x dan y yang
memenuhi kedua persamaan tersebut.
x + y = 5 x – y = 1
x 0 5
Y 5 0
(x,y) (0,5) (5,0)
x 0 1
Y -1 0
(x,y) (0,-1) (1,0)

15. Gambar grafik di samping adalah grafik sistem
persamaan dari x + y = 5 dan x – y = 1.
Dari gambar grafik tersebut tampak bahwa koordinat
titik potong kedua garis adalah ( 3, 2 ).
Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
x + y = 5 dan x – y = 1 adalah ( 3, 2 )
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7
-1
x – y = 1

16. Membuat Model Matematika dan Menyelesaikan Masalah Sehari-hari yang
Melibatkan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Beberapa permasalahan dalam kehidupan sehari-hari dapat diselesaikan dengan perhitungan yang
melibatkan sistem persamaan linear dua variabel. Permasalahan sehari – hari tersebut biasanya disajikan
dalam bentuk soal cerita.
Langkah – langkah menyelesaikan soal cerita, sebagai berikut :
1. Mengubah kalimat – kalimat pada soal cerita menjadi beberapa kalimat matematika ( model
matematika), sehingga membentuk sistem persamaan linear dua variabel.
2. Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel.
3. Menggunakan penyelesaian yang diperoleh untuk menjawab pertanyaan pada soal cerita.

17. Contoh :
Asep membeli 2 kg mangga dan 1 kg apel dan ia harus membayar Rp.15.000,00, sedangkan Intan
membeli 1 kg mangga dan 2 kg apel dengan harga Rp.18.000,00. Berapakah harga 5 kg mangga
dan 3 kg apel?
Diketahui :
Asep → 2 kg mangga dan 1 kg apel membayar Rp.15.000,00
Intan → 1 kg mangga dan 2 kg apel membayar Rp.18.000,00
Ditanya : berapa harga 5 kg mangga dan 3 kg apel?
Jawab:
Jika di misalkan harga 1 kg mangga = x
harga 1 kg apel = y
Kalimat matematika dari soal tersebut adalah
2𝑥 + 𝑦 = 15.000
𝑥 + 2𝑦 = 18.000
Selanjutnya, selesaikan dengan menggunakan salah satu metode penyelesaian, misalnya dengan
metode gabungan.

18. Langkah I: Metode eliminasi
2x + y = 15.000 x1 2x + y = 15.000
x + 2y = 18.000 x2 2x + 4y = 36.000
–
y – 4y = 15.000 – 36.000
- 3y = - 21.000
y =
−21.000
−3
= 7.000
Langkah II: Metode Substitusi
Substitusi nilai y ke persamaan 2x + y = 15.000
2x + y = 15.000
2x +7.000 = 1.5000
2x = 15.000 – 7.000
2x = 8.000
x =
8.000
2
= 4.000

19. Dengan demikian, harga 1 kg mangga adalah Rp.4.000,00 dan harga 1 kg apel adalah
Rp.7.000,00.
Jadi, harga 5 kg mangga dan 3 kg apel adalah
5x + 3y = (5 x Rp.4.000,00) + (3 x Rp.7.000,00)
= Rp.20.000,00 + Rp.21.000,00
= Rp.41.000,00

20. Menyelesaikan Sistem Persamaan Nonlinear Dua Variabel Dengan
Mengubah Ke Bentuk Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Perhatikan beberapa sistem persamaan berikut.
1.
𝑥 + 𝑦 = 6
𝑦 − 𝑥 = −3
3.
𝑎 − 3𝑏 = 4
𝑎 − 4𝑏 = 5
2.
𝑥2
− 𝑦2
= 4
2𝑥2
− 3𝑦2
= 1
4. 5𝑎2
+ 𝑏2
= 6
−𝑎2 − 3𝑏2 = 4
Di antara sistem persamaan di atas , dapatkah kalian menemukan perbedaannya?
Perhatikan bahwa sistem persamaan nomor 1 dan 3 merupakan sistem persamaan linear dua
variabel, karena mempunyai dua variabel berpangkat satu.
Adapun nomor 2 dan 4 merupakan sistem persamaan nonlinear dua variabel, karena
mempunyai dua variabel yang berpangkat dua atau tidak linear.

21. Sistem persamaan nonlinear dua variabel dapat diselesaikan dengan cara mengubahnya
terlebih dahulu ke bentuk linear.
Caranya :
1. Dengan memisalkan variabel nonlinear pada sistem persamaan nonlinear dua variabel
menjadi variabel linear.
2. Dengan permisalan tersebut, ubahlah sistem persamaan nonlinear dua variabel tersebut ke
dalam sistem persamaan linear dua variabel, lalu selesaikanlah .
3. Kembalikan solusi penyelesaian persamaan linear dua variabel tersebut ke pemisalan
semula untuk memperoleh penyelesaian.

22. Contoh :
Selesaikan sistem persamaan nonlinear dua variabel berikut.
1
𝑥
+
5
𝑦
= 5 dan
2
𝑥
+
3
𝑦
= 6
Penyelesaian :
1
𝑥
+
5
𝑦
= 5 dan
2
𝑥
+
3
𝑦
= 6
Misalkan
1
𝑥
= 𝑎 dan
1
𝑦
= 𝑏, sehingga bentuk sistem persamaan linear dua variabelnya adalah
1
𝑥
+
5
𝑦
= 5 ↔ 𝑎 + 5𝑏 = 5
2
𝑥
+
3
𝑦
= 6 ↔ 2𝑎 + 3𝑏 = 6

23. Kemudian, selesaikanlah persamaan – persamaan tersebut dengan penyelesaian sistem
persamaan linear dua variabel sebagai berikut:
𝑎 + 5𝑏 = 5 x2 ↔ 2𝑎 + 10𝑏 = 10
2𝑎 + 3𝑏 = 6 x1 ↔ 2𝑎 + 3𝑏 = 6
10𝑏 − 3𝑏 = 10 − 6
7𝑏 = 4
𝑏 =
4
7
Selanjutnya substitusikan nilai 𝑏 ke persamaan 𝑎 + 5𝑏 = 5,

24. Sehingga diperoleh:
𝑎 + 5𝑏 = 5
𝑎 + 5x
4
7
= 5
𝑎 +
20
7
= 5
𝑎 =
15
7
Setelah diperoleh nilai 𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑏 , kembalikan nilai 𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑏 ke pemisalan semula.
1
𝑥
= 𝑎
1
𝑦
= 𝑏
↔
1
𝑥
=
15
7
↔
1
𝑦
=
4
7
↔ 𝑥 =
7
15
↔ 𝑦 =
7
4
jadi, penyelesaian persamaan
1
𝑥
+
5
𝑦
= 5 dan
2
𝑥
+
3
𝑦
= 6 adalah 𝑥 =
7
15
dan 𝑦 =
7
4