PD Orde n

1. PERSAMAAN DIFERENSIAL
ORDE Ke-n
Oleh:
Kelompok 5
1. Ni Luh Ani Dian Paramita Sari (2281511024)
2. Manase Sir (2281511028)
3. Elisabet Banunaek (2281511029)
4. I Putu Gede Putra Gunawan (2281511046)
5. Tama Dua Hupomone Sailana (2281511048)

2. Bentuk umum Persamaan Diferensial Linier Orde n
𝑦 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑦(𝑛−1) + ⋯ 𝑎1𝑦′ + 𝑎0y = F(x)
Jika F(x) = 0 → PD Homogen
Jika F(x) ≠ 0 → PD Non Homogen

3. PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN
𝑦 𝑛
+ 𝑎𝑛−1 𝑦(𝑛−1)
+ ⋯ 𝑎1𝑦′
+ 𝑎0y = 0
Persamaan Karakteristik :
𝜆𝑛 + 𝑎𝑛−1𝜆𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝜆 + 𝑎0 = 0
CASE AKAR - AKAR PENYELESAIAN
KHUSUS
PENYELESAIAN UMUM
I
Akar-akar berbeda
𝜆1 ≠ 𝜆𝑛
𝑒𝜆1𝑥
, … , 𝑒𝜆n𝑥
𝑌 = 𝐶1𝑒𝜆1𝑥
+ ⋯ + 𝐶𝑛𝑒𝜆𝑛𝑥
II
Akar-akar sama
𝜆1 = 𝜆𝑛 = 𝜆 𝑒𝜆𝑥, … , 𝑥𝑒𝜆𝑥 𝑌 = 𝐶1𝑒λ𝑥
+ ⋯ + 𝐶𝑛𝑥𝑒𝜆𝑥
III
Akar-akar kompleks
𝜆1 = ∝ + 𝛽𝑖
𝜆2 = ∝ − 𝛽𝑖
𝑒∝𝑥
cos 𝛽𝑥
𝑒∝𝑥
sin 𝛽𝑥
𝑌 = (A cos 𝛽𝑥 + B sin 𝛽𝑥) . 𝑒∝𝑥

4. Contoh soal 1
Tentukan solusi PD 𝑌′′′ − 2𝑦′′ − 𝑦′ + 2𝑦 = 0
Persamaan Karakteristik :
𝜆3
− 2𝜆2
− 𝜆 + 2 = 0
Sehingga penyelesaian umumnya: 𝑌 = 𝐶1𝑒𝜆1𝑥 + ⋯ + 𝐶𝑛𝑒𝜆𝑛𝑥
Akar-akarnya menjadi:
→ 𝜆1 = −1 ; 𝜆2 = 1 ; 𝜆3 = 2
𝑌 = 𝐶1𝑒−𝑥 + 𝐶2𝑒𝑥 + 𝐶3𝑒2𝑥
𝜆𝑛
+ 𝑎𝑛−1𝜆𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎1𝜆 + 𝑎0 = 0
→ Akar − akar berbeda

5. Contoh soal 2
Tentukan solusi umum dan solusi khusus/solusi
masalah nilai awal dari persamaan berikut!
PD y’’’ – 2y” + 2y’ = 0
Dengan kondisi awal , 𝑌(0) = 0,5; 𝑌′(0) = −1;
𝑌′′(0) = 2
Persamaan karakteristik :
𝜆3
− 2𝜆2
+ 2𝜆 = 0
𝜆 𝜆2
− 2𝜆 + 2 = 0
Akar-akarnya menjadi :
→ 𝜆1 = 0 → 𝑌1 = 𝑒0𝑥
= 1
𝜆2
− 2𝜆 + 2 = 0
𝜆2,3 =
2± 4−8
2
=
2+2𝑖
2
= 1 ± 𝑖
→ 𝜆2 = 1 + 𝑖 → 𝑌2 = 𝐴𝑒𝑥
cos 𝑥
→ 𝜆3 = 1 − 𝑖 → 𝑌3 = 𝐵𝑒𝑥
sin 𝑥
Sehingga y = c1 + A ex cos x + B ex sin x
= c1 + ex (A cos x + B sin x)
y’ = ex [(A + B) cos x + (B-A) sin x]
y’’ = ex [2B cos x – 2A sin x]
𝑌(0) = 𝐶1 + 𝐴 = 0,5
𝑌′(0) = A + B = -1
𝑌′′(0) = 2B = 2
Sehingga didapat nilai :
B = 1
A = -2
𝐶1= 2,5
Sehingga : Y = 2,5 + ex [-2 cos x + sin x]
𝜆𝑛
+ 𝑎𝑛−1𝜆𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎1𝜆 + 𝑎0 = 0

6. Contoh soal 3
Tentukan solusi PD 𝑌𝑣′′
+ 18𝑦𝑣
+ 81 𝑌′′′
= 0
Persamaan karakteristik :
𝑌𝑣′′
+ 18𝑦𝑣
+ 81 𝑌′′′
= 0
𝜆7
+ 18𝜆5
+ 81𝜆3
= 0
𝜆3(𝜆4 + 18𝜆2 + 81) = 0
𝜆3
(𝜆2
+ )
9 2
= 0
𝜆3
𝜆 + 3𝑖 𝜆 − 3𝑖 2
= 0
𝜆1 = 𝜆2 = 𝜆3 = 0
𝜆4 = 𝜆5 = −3𝑖 → 0 − 3𝑖
𝜆6 = 𝜆7 = +3𝑖 → 0 + 3𝑖
)
𝑌 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑥𝑒𝑜𝑥 + 𝐶3 𝑥2𝑒𝑜𝑥 + 𝐴1 𝐶𝑜𝑠 3𝑥 + 𝐵1 𝑆𝑖𝑛 3𝑥 + 𝑥 ( 𝐴2𝐶𝑜𝑠 3𝑥 + 𝐵2 𝑆𝑖𝑛 3𝑥
)
𝑌 = 𝐶1 + 𝐶2𝑥 + 𝐶3𝑥2 + 𝐴1𝐶𝑜𝑠 3𝑥 + 𝐵1𝑆𝑖𝑛 3𝑥 + 𝑥 (𝐴2𝐶𝑜𝑠 3𝑥 + 𝐵2𝑆𝑖𝑛 3𝑥

7. Contoh soal 4
Tentukan solusi PD 𝑌𝑉
− 3𝑦𝐼𝑉
+ 3𝑦′′′
−𝑦′′
= 0
Persamaan karakteristik :
𝜆5
− 3𝜆4
+ 3𝜆3
−𝜆2
= 0
𝜆2 𝜆3 −3𝜆2 +3 = 0
Akar-akarnya menjadi :
𝜆2 = 0 → 𝜆1 = 𝜆2 = 0
𝜆3 −3𝜆2 +3 = 0
𝜆 − 1 𝜆 − 1 𝜆 − 1 = 0 → 𝜆3 = 𝜆4 = 𝜆5 = 1
Sehingga : 𝑌 = 𝐶1𝑒0𝑥
+ 𝐶2𝑥𝑒0𝑥
+ 𝐶3𝑒𝑥
+ 𝐶4𝑥𝑒𝑥
+ 𝐶5𝑥2
𝑒𝑥
𝑌 = 𝐶1 + 𝐶2𝑥 + 𝐶3 + 𝐶4 𝑥 + 𝐶5𝑥2 𝑒𝑥

8. Contoh soal 5
Tentukan solusi PD y’ + (sin x) y = 0
Penyelesaian Cara I :
y’ + (sin x) y = 0
y = ∝ 𝑒− sin 𝑥 𝑑𝑥
= ∝ 𝑒cos 𝑥
Penyelesaian Cara II :
𝑦′
𝑦
= − sin 𝑥
ln y = - sin 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐
= cos x + c
y = e cos x + c
= ec ecos x
y = ∝ 𝑒𝑐𝑜𝑠𝑥

9. PERSAMAAN DIFERENSIAL NON HOMOGEN
𝑦 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑦𝑛−1 + ⋯ 𝑎1𝑦′ + 𝑎0𝑌 = F(x)
Persamaan Karakteristik :
𝜆𝑛
+ 𝑎𝑛−1𝜆𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎1𝜆 + 𝑎0 = F(x)
Prosedur umum penyelesaian PD linear Tak Homogen
Langkah 1 : Menentukan solusi umum PD Linier Homogen, 𝑦h (x)
Langkah 2 : Menentukan solusi umum PD Linier Non-Homogen, 𝑦p (x)
Langkah 3 : Menentukan solusi umum PD, y = 𝑦h (x) + 𝑦p (x)

10. PERSAMAAN DIFERENSIAL NON HOMOGEN
Mencari nilai 𝑦p menggunakan metode koefisien tak tentu
𝑎𝑦′′ + 𝑏𝑦′ + cy = F(x)
Nilai 𝑦p tergantung pada F(x)
F (x) 𝑦p
𝐶. 𝑒𝜆𝑥 𝐴. 𝑒𝜆𝑥
𝑘. 𝑥𝑛 + 𝑘. 𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑘1𝑥 + 𝑘0 𝐴𝑥𝑛 + 𝐵𝑥𝑛−1 + C
C sin bx
C cos bx
A cos bx + B sin bx
A, B, dan C = Koefisien tak tentu

11. CONTOH SOAL
Tentukan solusi umum dari persamaan berikut:
𝑦′′′
− 3𝑦′′
+ 3𝑦′
− 𝑦 = 𝑒3𝑥
Langkah 1 : Mencari 𝑦h (x) atau solusi complement dari persamaan homogennya
Langkah 2 : Mencari 𝑦p (x) atau solusi particular
Langkah 3 : Menentukan solusi umum PD, y = 𝑦h (x) + 𝑦p (x)
1. Mencari 𝑦h (x) dari persamaan homogen
Persamaan karakteristik :
Akar-akarnya:
𝜆1 = 𝜆2= 𝜆3 = 1
Sehingga : 𝑦h = 𝐶1𝑒𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒𝑥 + 𝐶3𝑥2𝑒𝑥
𝜆3
− 3𝜆2
+ 3𝜆 − 1 = 0

12. 2. Mencari 𝑦P (x) atau solusi particular
𝑦p = A𝑒3𝑥
𝑦p ′= 3A𝑒3𝑥
𝑦p ′’ = 9A𝑒3𝑥
𝑦p ’’’ = 27A𝑒3𝑥
3. Lalu substitusikan pada persamaan berikut:
𝑦′′′
− 3𝑦′′
+ 3𝑦′
− 𝑦 = 𝑒3𝑥
(27A𝑒3𝑥
) – 3(9A𝑒3𝑥
) + 3(3A𝑒3𝑥
)-(A𝑒3𝑥
) = 𝑒3𝑥
27A𝑒3𝑥 - 27A𝑒3𝑥 + 9A𝑒3𝑥 - A𝑒3𝑥 = 𝑒3𝑥
8 A𝑒3𝑥
= 𝑒3𝑥
A =
𝑒3𝑥
8 𝑒3𝑥
A =
1
8
Sehingga 𝑦p =
1
8
𝑒3𝑥
4. Solusi umum PD, y = 𝑦h (x) + 𝑦p (x)
Sehingga : y = 𝐶1𝑒𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒𝑥 + 𝐶3𝑥2𝑒𝑥 +
1
8
𝑒3𝑥

13. Thank You