berisi tentang sistem persamaan linear tiga variabel untuk kelas X

1. S
I
S
T
E
MP
E
R
S
A
M
A
A
NL
I
N
E
A
RT
I
G
AV
A
R
I
A
B
E
L
MATEMATIKA
Untuk SMA/MA Kelas X

2. SISTEM PERSAMAAN
LINEAR TIGA VARIABEL
(SPLTV)

3. Melaluikegiatanpembelajarandenganmodeldiscoverylearningdanpendekatansaintific,diskusidan
tanyajaw
abpesertadid
ikdapat:
1.Menemukankonsepsistempersamaanlineartigavariabeldenganbenar.
2. Membuatmodelmatematikadarimasalahkontekstualyangberkaitandengansistempersamaan
lineartigavariabeldengantepat.
3. Menyelesaikanmasalahkontekstualsistempersamaanlineartigavariabeldenganmetode
substitusi,eliminasi,gabungan,dandeterminandenganteliti.
TUJUAN PEMBELAJARAN

4. Tari, Leni, dan Ratih sedang membeli makanan di supermarket. Tari
membeli satu chitato, tiga permen, dan satu satu minuman botol
dengan harga Rp. 8.000,00. Leni membeli satu chitato, satu permen,
dan minuman botol dengan harga Rp. 6.000,00. Ratih membeli dua
chitato, satu permen, dan satu minuman botol dengan harga Rp.
9.000,00. Ratih sedikit kebingungan mengetahui jika belanjaannya
sebesar Rp 9.000,00, maka harga masing-masing makanan tersebut
berapa??

5. Konsep SPLTV
Bentuk Umum SPLTV adalah:
𝒂𝟏𝒙 + 𝒃𝟏𝒚 + 𝒄𝟏𝒛 = 𝒅𝟏
𝒂𝟐𝒙 + 𝒃𝟐𝒚 + 𝒄𝟐𝒛 = 𝒅𝟐
𝒂𝟑𝒙 + 𝒃𝟑𝒚 + 𝒄𝟑𝒛 = 𝒅𝟑
Dengan 𝒂𝟏, 𝒃𝟏, 𝒄𝟏, 𝒅𝟏,
𝒂𝟐, 𝒃𝟐, 𝒄𝟐, 𝒅𝟐, 𝒂𝟑, 𝒃𝟑, 𝒄𝟑, 𝒅𝟑 adalah bilangan
real.
Keterangan:
𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑 adalah koefisien dari x
𝒃𝟏, 𝒃𝟐, 𝒃𝟑 adalah koefisien dari y
𝒄𝟏, 𝒄𝟐, 𝒄𝟑 adalah koefisien dari z
𝒅𝟏, 𝒅𝟐, 𝒅𝟑 adalah konstanta
𝒙, 𝒚, 𝒛 adalah variabel (peubah)
Sistem Persamaan Linear Tiga
Variabel (SPLTV) adalah suatu
persamaan matematika yang
terdiri dari tiga persamaan
linear yang masing-masing
persamaannya juga bervariabel
tiga. SPLTV ini merupakan
bentuk perluasan dari Sistem
Persamaan Linear Dua Variabel
(SPLDV).

6. Contoh SPLTV:
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 8
{𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 12
𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 6
Penyelesaian SPLTV dapat dilakukan
dengan cara:
1. Metode Substitusi
2. Metode Eliminasi
3. Metode Campuran
4. Metode Determinan Matriks

7. 1. Metode Substitusi
Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV berikut
dengan menggunakan metode substitusi!
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 5 persamaan 1
2𝑥 − 5𝑧 = 6 persamaan 2
𝑦 = 7 persamaan 3
Penyelesaian:
Persamaan 3 disubstitusikan pada persamaan 1:
𝒙 + 𝟐 𝟕 − 𝒛 = 𝟓
𝒙 + 𝟏𝟒 − 𝒛 = 𝟓
𝒙 − 𝒛 = 𝟓 − 𝟏𝟒
𝒙 − 𝒛 = −𝟗 (persamaan 4)

8. Persamaan 4 disubstitusikan pada persamaan 2:
𝟐 𝒛 − 𝟗 − 𝟓𝒛 = 𝟔
𝟐𝒛 − 𝟏𝟖 − 𝟓𝒛 = 𝟔
−𝟏𝟖 − 𝟑𝒛 = 𝟔
−𝟑𝒛 = 𝟔 + 𝟏𝟖
−𝟑𝒛 = 𝟐𝟒
𝟐𝟒
𝒛 =
−𝟑
= −𝟖
Untuk 𝒛 = −𝟖 disubstitusikan ke persamaan 4 :
𝒙 = 𝒛 − 𝟗
𝒙 = −𝟖 − 𝟗
𝒙 = −𝟏𝟕
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(-17, 7, -8)}.

9. 2. Metode
Eliminasi
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem
persamaan linear tiga variabel dengan menggunakan
metode eliminasi!
3𝑝 + 2𝑞 + 2𝑟 = 18 persamaan 1
4𝑝 + 3𝑞 − 5𝑟 = 17 persamaan 2
2𝑝 − 𝑞 + 𝑟 = 7 persamaan 3
Penyelesaian
Eliminasi variabel r dari persamaan 1 dan 3:
𝟑𝒑 + 𝟐𝒒 + 𝟐𝒓 = 𝟏𝟖
𝟐𝒑 − 𝒒 + 𝒓 = 𝟕
× 𝟏
× 𝟐
𝟑𝒑 + 𝟐𝒒 + 𝟐𝒓 = 𝟏𝟖
𝟒𝒑 − 𝟐𝒒 + 𝟐𝒓 = 𝟏𝟒
−
−𝒑 + 𝟒𝒒 = 𝟒
∴ −𝒑 + 𝟒𝒒 = 𝟒 pers. 4

10. Eliminasi r dari persamaan 2 dan 3:
𝟒𝒑 + 𝟑𝒒 − 𝟓𝒓 = 𝟏𝟕 × 𝟏
𝟐𝒑 − 𝒒 + 𝒓 = 𝟕 × 𝟓
𝟒𝒑 + 𝟑𝒒 − 𝟓𝒓 = 𝟏𝟕
𝟏𝟎𝒑 − 𝟓𝒒 + 𝟓𝒓 = 𝟑𝟓
𝟏𝟒𝒑 − 𝟐𝒒 = 𝟓𝟐
+
∴ 𝟏𝟒𝒑 − 𝟐𝒒 = 𝟓𝟐 pers. 5
𝟐𝟕
𝒑 =
𝟏𝟎𝟖
= 𝟒
Eliminasi variabel q dari persamaan 4
dan 5:
−𝒑 + 𝟒𝒒 = 𝟒 × 𝟏
𝟏𝟒𝒑 − 𝟐𝒒 = 𝟓𝟐 × 𝟐
−𝒑 + 𝟒𝒒 = 𝟒
𝟐𝟖𝒑 − 𝟒𝒒 = 𝟏𝟎𝟒
𝟐𝟕𝒑 = 𝟏𝟎𝟖 +
54
𝑞 =
108
= 2
Eliminasi p dari
persamaan 4 dan 5:
−𝑝 + 4𝑞 = 4 × 14
14𝑝 − 2𝑞 = 52 × 1
−14𝑝 + 56𝑞 = 56
14𝑝 − 2𝑞 = 52
54𝑞 = 108 +
Eliminasi variabel q dari persamaan 1 dan 3:
3𝑝 + 2𝑞 + 2𝑟 = 18 × 1
2𝑝 − 𝑞 + 𝑟 = 7 × 2
3𝑝 + 2𝑞 + 2𝑟 = 18
4𝑝 − 2𝑞 + 2𝑟 = 14
7𝑝 + 4𝑟 = 32
+
∴ 7𝑝 + 4𝑟 = 32 pers. 6

11. Eliminasi variabel q dari persamaan 2
dan 3:
4𝑝 + 3𝑞 − 5𝑟 = 17 × 1
2𝑝 − 𝑞 + 𝑟 = 7 × 3
4𝑝 + 3𝑞 − 5𝑟 = 17
6𝑝 − 3𝑞 + 3𝑟 = 21
10𝑝 − 2𝑟 = 38
+
∴ 10𝑝 − 2𝑟 = 38 pers. 7
Eliminasi variabel p dari persamaan 6
dan 7:
7𝑝 + 4𝑟 = 32 × 10
10𝑝 − 2𝑟 = 38 × 7
70𝑝 + 40𝑟 = 320
54𝑟 = 54
𝑟 =
54
= 1
70𝑝 − 14𝑟 = 266
−
54
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{4, 2, 1}.

12. 3. Metode Gabungan
Masalah dan penyelesaiannya
Pada suatu hari, Hani, Tari, dan Putri pergi belanja ke toko buku.
Hani membeli tiga novel, dua buku tulis, dan dua spidol. Tari
membeli dua novel, dua buku tulis, dan empat spidol. Sedangkan
Putri membeli sebuah novel, tiga buku tulis, dan tiga spidol.
Masing-masing dari mereka harus membayar Rp. 49.000,-; Rp.
48.000,-; Rp. 35.000,-. Jadi berapa harga untuk sebuah novel,
sebuan buku tulis, dan sebuah spidol di toko tersebut?

13. penyelesaian:
Diketahui:
• Hani membeli 3 novel, 2 buku tulis, dan 2 spidol
dengan harga Rp. 49.000
• Tari membeli 2 novel, 1 buku tulis, dan 4 spidol
dengan harga Rp. 48.000
• Putri membeli 1 novel, 3 buku tulis, dan 3 spidol
dengan harga Rp. 35.000
Ditanya: Harga sebuah novel, sebuah buku tulis, dan
sebuah spidol?
Jawab:
Misalkan:
x adalah sebuah novel
y adalah sebuah buku tulis
z adalah sebuah spidol

14. Berdasarkan informasi dari permasalahan di
atas, kita memperoleh hubungan
permasalahan tersebut, yaitu:
Hani : 3𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 49.000 (Persamaan 1)
Tari : 2𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 48.000 (Persamaan 2)
Putri : 𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 = 35.000 (Persamaan 3)
Eliminasi variabel y dari persamaan 1 dan 2
3𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 49.000 × 1
2𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 48.000 × 2
𝟑𝒙+𝟐𝒚+𝟐𝒛=𝟒𝟗.𝟎𝟎𝟎
𝒙+𝟔𝒛=𝟒𝟕.𝟎𝟎𝟎
𝟒𝒙+𝟐𝒚+𝟖𝒛=𝟗𝟔.𝟎𝟎𝟎
− (pers. 4)

15. Eliminasi variabel y dari persamaan 1 dan 3
3𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 49.000 × 3 9𝑥 + 6𝑦 + 6𝑧 = 147.000
𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 = 35.000 × 2 2𝑥 + 6𝑦 + 6𝑧 = 70.000
7𝑥 = 77.000
𝑥 = 11.000
Nilai x = 11.000 disubstitusi ke persamaan 4, maka
11.000 + 6𝑧 = 47.000
6𝑧 = 47.000 − 11.000
6𝑧 = 36.000
𝑧 = 6.000

16. Nilai x = 11.000 dan z = 6.000 disubstitusi ke persamaan 3,
maka
𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 = 35.000
11.000 + 3𝑦 + 3 6.000 = 35.000
11.000 + 18.000 + 3𝑦 = 35.000
29.000 + 3𝑦 = 35.000
3𝑦 = 35.000 − 29.000
3𝑦 = 6.000
𝑦 = 2.000
Jadi, nilai x = 11.000, y = 2.000, dan z = 6.000, atau
harga untuk sebuah novel adalah Rp. 11.000,00 ; harga
sebuah buku tulis adalah Rp. 2.000,00 ; dan harga
untuk sebuah spidol adalah Rp. 2.000,00.

17. 4. Metode
Determinan
Dengan menggunakan metode determinan
tentukan nilai x, y, dan z yang memenuhi sistem
persamaan berikut:
5𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 = 2
2𝑥 + 5𝑦 − 2𝑧 = 21
3𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 11
Perhatikan bentuk umum sistem persamaan linear
tiga variabel x, y, dan z berikut.
𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 = 𝑑1
persamaan 1
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 = 𝑑2
persamaan 2
𝑎3𝑥 + 𝑏3𝑦 + 𝑐3𝑧 = 𝑑3
persamaan 3
Dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑑𝑎𝑛 𝑑 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑎𝑛
𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑘𝑒𝑡𝑖𝑔𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑏𝑜𝑙𝑒ℎ 𝑛𝑜𝑙 (0).
Adapun langkah-langkah yang dilakukan untuk
menyelesaikan SPLTV dengan metode determinan,
sebagai berikut:
contoh

18. Penyelesaian:
Langkah 1: mencari nilai D
- Ambil variabel x, y, dan z kemudian susun dalam satu kolom. Lalu,
nilai persamaannya juga dibuat dalam satu kolom atau membentuk
matriks 3x3, sebagai berikut:
5 −2 2 𝑥 2
2 5 −2 𝑦 = 21
3 3 4 𝑧 11
- Menentukan nilai D dengan cara menambahkan kolom 1 dan 2 ke
sebelah kanan. Lalu buat garis dengan arah diagonal ke kanan
dikurangkan dengan diagonal kiri.
𝐷 =
𝑥 𝑦 𝑧
5 −2 2 5
2 5 −2 2
3 3 4
𝐷 = 5 5 4 + −2
𝑥 𝑦
−2
5
3 3
−2 3 + 2 2 3 − 3 5 2 − 3 −2 5 −
(4)(2)(−2)
𝐷 = 100 + 12 + 12 − 30 + 30 + 16
𝐷 = 140

19. Langkah 2: mencari nilai 𝐷𝑥
- Menentukan determinan x dengan cara mengganti nilai variabel x dengan
nilai persamaannya.
𝐷𝑥 =
𝑥 𝑦 𝑧
21 5
11 3 4
𝑥 𝑦
2 −2 2 2 −2
−2 21 5
11 3
𝐷𝑥 = 2 5 4 + −2 −2 11 + 2 21 3 − 11 5 2 3 −2 2 −
(4)(21)(−2)
𝐷𝑥 = 40 + 44 + 126 − 110 + 12 + 168
𝐷𝑥 = 280

20. Langkah 3: mencari nilai 𝐷𝑦
𝑥 𝑦 𝑧
3
𝑥 𝑦
𝐷𝑦 = 5 2 2 5 2
2 21 −2 2 21
3 11 4 11
𝐷𝑦 = 5 21 4 + 2 −2 3 + 2 2 11 −
3 21 2 − 11 −2 5 (4)(2)(2)
𝐷𝑦 = 420 − 12 + 44 − 126 + 110 − 16
𝐷𝑦 = 420
Langkah 4: mencari nilai 𝐷𝑧
𝐷𝑧 =
𝑥 𝑦 𝑧
5 21
3 11
𝑥 𝑦
5 −2 2 5 −2
2 2 5
3 3 3
𝐷𝑧 = 5 5 11 + −2 21 3 + 2 2 3 −
3 5 2 − 3 21 5 − (11)(2)(−2)
𝐷𝑧 = 275 − 126 + 12 − 30 − 315 + 44
𝐷𝑧 = −140

21. Dari keempat langkah di atas, maka dapat diperoleh
nilai x, y, dan z sebagai berikut:
𝐷 140
𝑥 =
𝐷𝑥
=
280
= 2
𝐷𝑦
𝑦 = =
420
𝐷 140
= 3
𝑧 =
𝐷𝑧
=
−140
= −1
𝐷 140
Jadi, nilai x = 2, y = 3, dan z = -1.

22. TERIMAKASIH