2. 01
Equivalent stratum menunjukkan bahwa densitas pada permukaan bidang x,y (density
coating) yang dapat mewakili perhitungan nilai efek gravitasi untuk distribusi massa yang
tidak diketahui pada arah z > 0.
Equivalen Stratum
Terdapat perbedaanpenting antara ” medan gravitasi ” dan ”efek-efek gravitasi “
medan gravitasi:kekuatan medan gravitasional bumi (g)
efek gravitasi : dikur dalam arah normal g dan merupakan asumsi bahwa arah g tidak
dipengaruhi oleh adanya massa-massa lokal, atau dengan kata lain bahwa arah jejak
vertikalhampir tidak terganggu di daerah beranomali. Hal ini akan benar jika g << g.
3. 02Equivalen Stratum
Ketika potensial U berkaitan dengan massa-massa yang terdistribusi secara lokal
pada z = 0, efek gravitasi pada titikP dapat kita tuliskan sbb:
0
)(
),(
0
2
0
2/322
zdrdr
zr
r
zG
z
U
g P
P
Untuk menghitung medan gravitasi dari lapisan pada titik Q di z = 0, kita menggunakan
koordinat silinder (r,,z) yang sumbunya vertikal dan titik asal ditempatkan pada Q.
Gambarr 8.2 Equvalen Strartum
Pada titik P yang berada pada sumbu vertikal, potensial gravitasi dapat dituliskan :
0
2
0
22
,
drdr
zr
r
GUP
4. 03Equivalen Stratum
Kita membagi batas integrasi dalam dua bagian: satu lingkaran kecil pada Q
dengan jari-jari , dan yang lain bidang z = 0. Jika jari-jari bernilai cukup
kecil pada seluruh lingkaran , maka distribusi masa (r,) akan bernilai
konstan seperti nilai di titik Q, dimana integral pertama akan menjadi :
22
12
2
0
)
2/1
22
2
1
21
12
2
1
0
2
0
2/322
0
2
0
2/3
22
1
z
z
QG
zr
r
rzQG
d
zr
drr
zQG
zr
drrd
zQGT
5. 04Equivalen Stratum
Walaupun dapat bernilaisekecil yang kita harapkan, kita tetap harus
menganggapbahwa nilainya adalah terhingga, sehingga
Sedangkanuntuk integral kedua memiliki nilai yang non-singular dimana:
Dari kedua persamaandiatas, diperoleh :
QGT
z
2lim 1
0
0lim 2
0
T
z
QGQg 2
6. 05Equivalen Stratum
Karena posisi titik Q dalam z = 0 adalah sembarang, maka kita dapat
memperoleh persamaan berikut :
dengan G merupakan tetapan gravitasi pada bidang x,y , Δg(x,y) adalah
efek gravitasi dan σ(x,y) merupakan rapat massa (densitas).
),(4, yxGy)g(x
7. 06KONTINUASI MEDAN PONTENSIAL GRAVITASI
Kontinuasi adalah transformasi matematis antara bidang ketinggian dari titik-titik akuisisi data
sehingga dapat dipakai sebagai filter.
Data yang telah berada pada bidang datar dengan mudah dapat diangkat ke atas (upward
continuation) atau diturunkan ke bawah (downward continuation) sehingga kita dapat melihat
efek anomali gravitasinya secara jelas.
Proses Kontinuasi ke Atas (Upward Continuation)
Merupakan proses kontinuasi data yang seakan kita melakukan pengukuran di tempat
yang lebih tinggi dari pada tempat pengukuran sesungguhnya, untuk mengurangi efek
anomali dangkal dan untuk mendapatkan efek anomali magnetik dari benda dalam
(anomali regional)
Proses Kontinuasi ke Bawah (Downward Continuation)
Mendekatkan bidang pengukuran terhadap benda anomali dan ini berarti
mendominankan pengaruh anomali benda lokal/dangkal atau untuk mendapatkan
anomali lokal.
8. 07KONTINUASI MEDAN PONTENSIAL GRAVITASI
Teorema Green menyatakan apabila terdapat suatu fungsi kontinyu dalam sebuah volume V,
dengan turunan pertama dan keduanya kontinyu dan dan dapat diintegralkan, maka
Karena permukaan S tertutup volume V. Pembatasan pada U dan W terpenuhi jika kita
memisalkan U menjadi potensial gravitasi dalam kaitannya dengan massa-massa dalam V dan
memisalkan W menjadi fungsi 1/r – r0 = 1/R, dimana r adalah vektor posisi dari sebuah titik
P diluar V dan r0 adalah vektor posisi dari sebuah titik Q dalam V, sehingga potensial gravitas
pada setiap titik P di luar V bernilai :
0
2
0
322
)(.)( rdUWWUrdUWWU
SV
n 8-7
0
3
0
0
)( rdGU
V
p
rr
r
r
9. 08KONTINUASI MEDAN PONTENSIAL GRAVITASI
Dengan mengsubstitusian nilai (r0) dari Persamaan 8-5
, kita dapat memperoleh persamaan :
G
U
4
)(
)( 0
2
0
r
r
V
rd
U
U 0
3
0
0
2
)(
4
1
)(
rr
r
r
Karena P berada di luar V, maka 2W = 0 dimana saja, dan ruas kiri persamaan (8-7) akan menjadi
)(4
)(
0
3
0
0
2
r
rr
r
Urd
U
s
0
211
4
1
)( rd
U
RR
UU
S nn
r 8-8
10. 09KONTINUASI MEDAN PONTENSIAL GRAVITASI
Jika kita mengasumsikan semua massa dalam daerah terhingga pada bangun setengah
ruang Z > 0 dan mengasumsikan S sebagai setengah bola yang sangat besar dalam Z
> 0 tertutup oleh bidang Z = 0 (Gambar.3 Teorema Kontinuasi). Jika radius cukup
besar, integral menghilang sebagai dimanapun pada kurva permukaan S, dan
reduksi integral menjadi
0,
11
4
1
)(
0
zdd
U
RR
UU
r 8-9
R-3
12. 11KONTINUASI MEDAN PONTENSIAL GRAVITASI
Dimana, di lain pihak, karena tidak terdapat massa di z < 0, 2U = 0 untuk seluruh
luasan; oleh karena itu jika kita meletakkan P pada (x,y,-z) dan menutup S di atas
z = 0,
Selanjutntya jika kita menjumlahkan persamaan (8-10) dan (8-9) akan diperoleh :
dd
U
RR
U
0
11
4
1
0 8-10
,
1
2
1
)(
0
dd
U
R
U
r
13. 12KONTINUASI MEDAN PONTENSIAL GRAVITASI
Karena U adalah potensial gravitasi yang disebabkan oleh distribusi massa-massa yang
terlokasi dalam z > 0, kita boleh meletakkan dimana
Dengan pendiferensialan kita memperoleh bahwa
g
z
rU
)(
0
),(
2
1
)(
zdd
R
g
U
r
0zd
R
η)Δg(ξ,
2π
z
d
zr
η)Δg(ξ,
2π
z
d
zr
η)Δg(ξ,
2π
z
d
zr
η)Δg(ξ,
2π
1
z
)(
3
3
22
2322
2122
d
d
d
d
z
U
g r
8-12
8-11
15. 14KONTINUASI MEDAN PONTENSIAL GRAVITASI
Perubahan variabel-variabel x dan y pada bagian ruas kanan menjadi x - = r cos
dan y - = r sin dan p = u cos dan q = u sin , integral kedua pada bagian ruas
kanan menjadi
zee
rdrzrurJedrrdezre
uzqpi
qpiiurqpi
/2
)()(2)( 2/322
0
0
0
2
0
)(cos2/322
Dengan mensubsitusikan nilai u = (p2 + q2)1/2, persamaan diatas menjadi :
ddege
eeddg
z
z
ee
ddg
z
dxdyeyxg
qpi
z
zqp
zuqpi
z
zuqpi
z
qypxi
),(
),(
2
2
),(
2
),(
22
0
pertama)jenisdariBesselfungsimodifikasiadalah(J)2BesselintegralsifatIngat( 00
2
0
cos
Jdex
16. 15KONTINUASI MEDAN PONTENSIAL GRAVITASI
Jika kita menggunakan symbol F0(p,q) merupakan transformasi fourier untuk
∆g0(x,y) dan Fz(p,q) merupakan transformasi fourier untuk ∆gz (x,y), maka
persamaan diatas dapat ditulis menjadi:
Sehingga kita memperoleh :
Tranformasi Fourier Balikan dari persamaan di atas adalah
),()exp(, 22
0 qpFzqpqpF z
),()exp(, 0
22
qpFzqpqpFz
dpdqqpizqpqpFgz
)(exp),(
4
1
),( 22
02
18. 17KONTINUASI MEDAN PONTENSIAL GRAVITASI
Dan menggunakan transformasi Fourier pada dua sisi, kita akan memperoleh :
8-14),(),( 0
)(
0
22
qpFeqpF qp
Jika kita mengsubstitusikan , kita mendapatkan :
Tranformasi Fourier Balikan dari persamaan di atas adalah
),(
),(
),(),(),(
0
)(
0
)(
0
)(
2222
22
22
2222
qpFe
e
qpFe
qpFqpFeqpFe
qpzqp
zqp
qp
z
qp
z
zqp
8-15
),()exp(, 22
0 qpFzqpqpF z
dpdqeqpFg
qpFedeg
qpFeqpF
qpi
qpzqp
z
qpzqpqpi
z
qpzqp
z
)(2222
2222
2222
)(
02
0
)()(
0
)(
),(
4
1
),(),(
),(),(
19. 18KESIMPULAN
EQUIVALEN STRATUM
Data anomali bouger yang di petakan masih terpapar pada topografi,
berarti letak data nya tidak teratur dengan ketinggian bervariasi, oleh
karena itu dibuat suatu bidang datar dengan kedalaman tertentu
dibawah permukaan bumi melalui Equivalen Stratum, gunanya untuk
mempermudah interpretasi.
Equivalent stratum menunjukkan bahwa densitas pada permukaan
bidang x,y (density coating) yang dapat mewakili perhitungan nilai
efek gravitasi untuk distribusi massa yang tidak diketahui pada arah z >
0.
dengan G merupakan tetapan gravitasi pada bidang x,y , Δg(x,y) adalah
efek gravitasi dan σ(x,y) merupakan rapat massa (densitas).
),(4, yxGy)g(x
20. 19KESIMPULAN
TEORI KONTINUITAS
Teorema Green
Pada kontinuasi medan potensial gravitasi berlaku teorema Green
dikarenakan kondisi ruang batas daerah-daerah yang berada pada ruang
terbatas harus diperhatikan, baik dengan atau tampa adanya muatan-
muatan didalamnya. Kondisi batas ini ditimbulkan oleh suatu distribusi
muatan-muatan luar daerah batas tersebut.
0
2
0
322
)(.)( rdUWWUrdUWWU
SV
n
d
R
η)Δg(ξ,
2π
z
)(
3
d
z
U
g
r
dd
U
R
UDimana
0
1
2
1
)(
r
21. 20KESIMPULAN
TEORI KONTINUITAS
Transformasi Fourier
Untuk menentukan nilai dari dari yang telah diketahui
diperkukan analisis integral yang sangat rumit, oleh karena itu digunakan
Transformasi Fourier untuk mengubah anomali medan gravitasi dari
domain parsial/ruang ke domain frekwensi sehingga analisis
konfolusinya hanya menjadi perkalian dan analisis dekonfolusinya hanya
menjadi pembagian.
Turunan persamaan deret Fourier untuk dan menghasilkan :
dxdyykxkiyxgkkG yxyx ))(exp(),(),(
zg 0g
zg 0g
ddegedxdyeyxg qpi
z
zqpqypxi
),(),(
22
0
22. 21KESIMPULAN
TEORI KONTINUITAS
Untuk mempermudah dalan interpretasi (pemetaan kontur) anomali
medan gravitasi, data dari kawasan frekwensi di inverse lagi ke
domain parsial dengan Transformasi Fourier Balikan (Inverse Fourier
Transformasi ).
Turunan persamaan deret Fourier Balikan untuk dan
menghasilkan :
zg0g
dpdqeqpFg
qpFedeg
qpFeqpF
qpi
qpzqp
z
qpzqpqpi
z
qpzqp
z
)(2222
2222
2222
)(
02
0
)()(
0
)(
),(
4
1
),(),(
),(),(
23. 22
KONTINUASI KE ATAS
Tujuan nya adalah untuk menghilangkan pengaruh lokal dan menajamkan anomali
regionalnya. Persamaan yang digunakan untuk kontinuitas ke atas adalah:
dengan U (z’, y’, z0) adalah anomali Bouguer lengkap di bidang datar.
Kontinuasi ke atas juga dapat diartikan sebagai metode perhitungan sebagai fungsi R
dengan syarat di atas bidang datar (bidang pengukuran) yang mana nilai z nya lebih kecil
dari nol yang mengakibatkan integrasi untuk arah z sama dengan nol ;
atau dengan kata lain selama tidak ada massa arah z > 0 maka nilai . Data yang
diketahui pada kontinuitas ke atas adalah dan yang akan dicari adalah dengan
nilai R3 tergantung dari posisinya melalui persamaan:
KESIMPULAN
24. 23
KONTINUASI KE ATAS
Apabila dilaksanakan dalam kawasan frekuensi spasial maka dapat dikatakan sebagai low pass
filter, artinya filter ini digunakan untuk mendapatkan frekuensi lemah dengan cara mereduksi
(menghilangkan frekuensi tinggi) atau menguatkan resolosi anomali tinggi.
),()exp(, 22
0 qpFzqpqpF z
)()exp(0 UFUzUF z
KESIMPULAN
26. 25
KONTINUASI KE BAWAH
Kontinuasi ke bawah juga dapat diartikan sebagai metode perhitungan sebagai fungsi R dengan
syarat di bawah bidang data yang mana nilai z nya lebih besar dari nol yang mengakibatkan
integrasi untuk arah z tidak sama dengan nol (ada nilainya); atau dengan kata lain
selama tidak ada massa arah z < 0 maka nilai . Data yang diketahui pada kontinuitas ke
bawah adalah dan yang akan dicari adalah dengan nilai R3 tergantung dari posisinya
melalui persamaan:
Dengan downward continuation kita juga dapat melaksanakan menentukan bentuk permukaan
bidang batas antar lapisan di bawah permukaan bumi dikarenakan downward continuasi melingkupi
daerah yang memiliki ekses massa sehingga densitas target dapat diketahui berdasarkan nilai medan
gravitasi dibawah permukaan berdasarkan kedalaman, apabila terdapat anamoli medan gravitasi
yang cukup tinggi pada kedalaman tertentu, maka dapat diinterpretasikan bahwa daerah anolmali
tersebut adalah bidang batas antar lapisan bawah permukaan bumi, dan hasil ini dapat dibandingkan
dengan log densitas.
KESIMPULAN
27. 26
KONTINUASI KE BAWAH
Apabila dilaksanakan dalam kawasan frekuensi spasial maka ini disebut dengan high pass
filter, artinya filter ini digunakan untuk mendapatkan frekuensi yang tinggi dengan cara
mereduksi atau menghilangkan frekuensi yang lemah atau menguatkan resolusi anomaly
lemah.
),()exp(, 22
0 qpFzqpqpF z
)()exp(0 UFUzUF z
KESIMPULAN
