1. 6 RUANG VEKTOR EUCLIDEAN
6.1 RUANG RN
Bila n adalah bilangan bulat positif, maka tupel berorde n adalah urutan n bilangan real yang
berbentuk (a1, a2, a3,…, an)
Himpunan semua tupel berorde n dinamakan ruang n (disimbolkan dengan Rn).
Contoh 6.1
Untuk R1 contohnya bilangan -2, 0, 1, 2, -1,…
Untuk R2 contohnya bilangan (-2, 0),(1, 2), (-1,3),…
Untuk R3 contohnya bilangan (-2, 0, 1),( 2, -1,7),…
Untuk R4 contohnya bilangan (-2, 0, 1, 2),( -1,3,5,1), …
Misalkan u = (u1, u2, u3,…, un) dan v = (v1, v2, v3,…, vn) adalah dua vektor di ruang n (Rn)
a. Kita katakan u dan v sama jika u1=v1 u2=v2 … un=vn
b. Penjumlahan u dan v didefinisikan u + v = (u1+ v1, u2 +v2, u3+ v3,…, un+ vn)
c. Negatif dari u adalah -u = (-u1,- u2,- u3,…,- un)
d. Perbedaan (selisih) vektor u dan v adalah u - v = (u1- v1, u2 -v2, u3- v3,…, un- vn)
e. Jika k adalah skalar, maka perkalian u dengan skalar : ku = (ku1, ku2, ku3,…, kun)
f. Vektor nol dalam Rn dinyatakan dengan 0 dan didefinisikan sebagai 0 = (0,0,…,0)
Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi n, dan k dan l adalah skalar,
maka hubungan-hubungan berikut berlaku.
(a) u + v = v + u (e) k(lu) = (kl)u
(b) (u + v) + w = u + (v + w) (f) k(u + v) = ku + kv
(c) u + 0 = 0 + u = u (g) (k + l)u = ku + lu
(d) u + (-u) = 0 (h) lu = u
Misalkan diketahui dua buah vektor u = (u1, u2, u3,…, un) dan v = (v1, v2, v3,…, vn) berada di
ruang n dimensi, maka
u.v = u1.v1+ u2.v2 + u3.v3+…+ un.vn
Lukmanulhakim Almamalik VI- 1

2. NORMA VEKTOR
Jika v adalah sebuah vector di ruang berdimensi n, maka panjang (magnitude) vektor sering
disebuat norma v dan disimbolkan dengan ||v||.
||v|| = v 1 + v 2 + v 2 + ... + v n
2
2 3
2
Misalkan u = (u1, u2, u3,…, un) dan v = (v1, v2, v3,…, vn) adalah dua vektor di ruang n (Rn)
Maka jarak Euclidean antara dua vektor tersebut adalah
d(u,v)=||u-v|| = (u 1 - v 1 ) 2 + (u 2 - v 2 ) 2 + (u 3 - v 3 ) 2 + ... + (u n - v n ) 2
Contoh 6.2
Diberikan u = (9,3,−4,0,1) dan v = (0,−3, 2,−1,7)
Teorema Pythagoras pada Rn
Jika u dan v adalah vektor-vektor orthogonal pada Rn dengan hasil kali euclidean, maka
Contoh 6.3
Diketahui dua vector u dan v berikut.
,
Buktikan bahwa kedua vector tersebut orthogonal
Penyelesaian:
Lukmanulhakim Almamalik VI- 2

3. Jadi
VEKTOR BASIS STANDAR
Vektor basis standar di R3 adalah i, j, k.
Di dalam ruang n (Rn), vector basis standar adalah e1 e2 e3 --- en
e1= (1,0,0,…,0) e2= (0,1,0,…,0) e3= (0,0,1,…,0) en= (0,0,0,…,1)
Vektor u = (u1, u2, …, un) dalam bentuk vektor basis standar.
Vektor u = (u1, u2, …, un) dapat dituliskan dalam bentuk matriks baris atau matriks kolom
berikut.
u.v = vT.u
Lukmanulhakim Almamalik VI- 3

4. 6.2 TRANSFORMASI LINIER
Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah sebuah relasi (perkawanan) dimana setiap
anggota himpunan A hanya dipasangkan dengan satu dan hanya satu kali dengan anggota
himpunan B.
f:A B
A merupakan daerah asal (Domain) : himpunan elemen-elemen tempat fungsi tersebut
mendapat nilai.
B merupakan daerah nilai (Codomain): himpunan nilai-nilai yang diperoleh dari hasil
operasi suatu fungsi.
Fungsi dari Rn ke Rm
Jika domain dari fungsi f adalah Rn dan kodomainnya adalah Rm, maka f disebut peta atau
transformasi dari Rn ke Rm, dan kita menyatakan bahwa fungsi f memetakan Rn ke Rm.
Misalkan fungsi f1, f2,…, fn adalah fungsi-fungsi bernilai real dari n variabel, misalkan
Sejumlah m persamaan ini menunjuk suatu titik tertentu (w1, w2, w3, …, wm) pada Rm untuk
setiap titik (x1, x2, x3,…, xn) pada Rn dan kemudian mendefinisikan transformasi dari Rn ke
Rm. Jika kita menotasikan transformasi ini dengan T, maka
T: Rn Rm
Contoh 6.4
Diberikan
didefinisikan T: R2 R4
Lukmanulhakim Almamalik VI- 4

5. Contoh 6.5
Didefinisikan T: R3 R2 sebagai
Transformasi Linier
Suatu transformasi T : Rn Rm adalah linear jika dan hanya jika hubungan - hubungan
berikut ini berlaku untuk semua vector u dan v pada Rn dan setiap skalar k.
a. T(u + v)=T(u) + T(v)
b. T(ku) = kT(u)
Contoh 6.5
Diketahui
T : R2 R3 dengan
Apakah T merupakan Transformasi Linier?
Misalkan
Syarat 1
Syarat 2
Kedua syarat terpenuhi
Lukmanulhakim Almamalik VI- 5

6. Contoh 6.6
Diketahui F:R2 R3 adalah sebuah fungsi yang didefinisikan oleh :
F(v) = (x, x+y, x-y)
Jika u=(x1, y1) dan v=(x2, y2) maka u + v = (x1 + x2 , y1 + y2)
Sehingga ,
F(u + v) = (x1 + x2, [x1 + x2]+[ y1 + y2], [x1 + x2]-[ y1 + y2])
= (x1, x1 + y1, x1 - y1) + (x2, x2 + y2, x2 – y2)
= F(u) + F(v)
Demikian juga jika k adalah sebuah skalar, ku = (kx1, ky1) sehingga
F(ku) = (kx1, kx1 + ky1, kx1 - ky1)
= k(x1, x1 + y1, x1 - y1)
= k F(u)
Jadi F adalah sebuah transformasi linier
Contoh 6.7
Diketahui
T : R2 R3 dengan
Apakah T merupakan Transformasi Linier?
Diketahui ruang vektor V, W
• Transformasi linear yang bekerja pada ruang vektor yang sama, T : V V disebut
operator linear .
• Transformasi linear T : V W dengan dengan T(u) = 0 disebut transformasi nol .
• Transformasi linear T : V W dengan dengan T(u) = Au disebut transformasi
matriks sedangkan A disebut matriks transformasi.
6.3 Transformasi Linier dari Rn Rm
Misalkan e1, e2, . . . , en adalah basis baku untuk Rn dan misalkan A adalah sebuah matrik m
x n yang mempunyai T(e1), T(e2), . . . , T(en) sebagai vektor – vektor kolomnya.
Misal jika T:R2 R2 diberikan oleh :
Lukmanulhakim Almamalik VI- 6

7.   x    x1 + 2 x 2 
T 1  = 
 x  
  2    x1 − x 2 
Maka
 1  1   0   2 
T(e1) = T     =  
 0  dan T(e2) = T     =  
 1 
    1     −1
1 2 
Jadi A =   adalah matrik baku untuk T di atas.
1 −1
Jika T : Rn Rm adalah suatu transformasi linear, dan e1,e2,. . . . . ,en adalah vektor-vektor
basis standar untuk Rn , maka matriks standar untuk T adalah
[T]=[T(e1)|T(e2)]|. . . |T(en)]
Jika A merupakan matriks m x n, maka transformasi induksi TA: Rn Rm didefinisikan
sebagai
TA (x) = Ax
merupakan suatu transformasi linier.
6.4 Jenis – jenis Transformasi Linier bidang
Refleksi (Pencerminan)
Refleksi terhadap sebuah garis l adalah transformasi yang memetakan masing – masing titik
pada bidang ke dalam bayangan cerminnya terhadap l
Matrik baku untuk :
x − x  − 1 0
a. refleksi terhadap sumbu y ( yang mengubah   menjadi   ) adalah :  
 y  y   0 1
x  x  1 0 
b. refleksi terhadap sumbu x ( yang mengubah   menjadi   ) adalah :  
 y − y  0 −1
Lukmanulhakim Almamalik VI- 7

8. x  y 0 1 
c. refleksi terhadap garis y = x ( yang mengubah   menjadi   ) adalah :  
 y x 1 0
Rotasi (Perputaran)
cos θ − sin θ 
Matrik baku untuk T adalah : 
 sin θ cos θ 
Lukmanulhakim Almamalik VI- 8

9. Ekspansi dan kompresi
Jika koordinat x dari masing – masing titik pada bidang dikalikan dengan konstanta k yang
positif dimana k > 1, maka efeknya adalah memperluas gambar bidang dalam arah x. Jika 0
< k < 1 maka efeknya adalah mengkompresi gambar bidang dalam arah x. Disebut dengan
ekspansi (kompresi) dalam arah x dengan faktor k
k 0
Matrik baku untuk transformasi ini adalah :  
 0 1
Demikian juga , jika koordinat y dari masing – masing titik pada bidang dikalikan dengan
konstanta k yang positif dimana k > 1, maka efeknya adalah memperluas gambar bidang
dalam arah y. Jika 0 < k < 1 maka efeknya adalah mengkompresi gambar bidang dalam arah
y. Disebut dengan ekspansi (kompresi) dalam arah y dengan faktor k
1 0 
Matrik baku untuk transformasi ini adalah :  
0 k 
Geseran
Sebuah geseran dalam arah x dengan faktor k adalah transformasi yang menggerakkan
masing – masing titik (x,y) sejajar dengan sumbu x sebanyak ky menuju kedudukan yang
baru (x + ky, y)
1 k 
Matrik baku untuk transformasi ini adalah :  
0 1 
Sebuah geseran dalam arah y dengan faktor k adalah transformasi yang menggerakkan
masing – masing titik (x,y) sejajar dengan sumbu y sebanyak kx menuju kedudukan yang
baru (x , y + kx)
1 0
Matrik baku untuk transformasi ini adalah :  
k 1
Jika dilakukan banyak sekali transformasi matrik dari Rn ke Rm secara berturutan, maka
hasil yang sama dapat dicapai dengan transformasi matrik tunggal.
Jika transformasi - transformasi matrik
T1(x) = A1x, T2(x) = A2x, , .... , Tn(x) = Anx,
Lukmanulhakim Almamalik VI- 9

10. Dari Rn ke Rm dilakukan berurutan, maka hasil yang sama dapat dicapai dengan
transformasi matrik tunggal T(x) = Ax, dimana
A = Ak . . . A2 A1
Contoh 6.8
a. Carilah transformasi matrik dari R2 ke R2 yang mula – mula menggeser dengan faktor
sebesar 2 dalam arah x dan kemudian merefleksikannya terhadap y = x
b. Carilah transformasi matrik dari R2 ke R2 yang mula – mula merefleksikannya terhadap
y = x dan kemudian menggeser dengan faktor sebesar 2 dalam arah x
Penyelesaian :
1 2
a) Matrik baku untuk geseran adalah A1 =  
0 1 
0 1 
Dan untuk refleksi terhadap y = x adalah A2 =  
1 0
Jadi matrik baku untuk geseran yang diikuti dengan refleksi adalah
0 1 1 2 0 1
A2. A1 =    =  
1 0 0 1 1 2
b) Matrik baku untuk refleksi yang diikuti dengan geseran adalah
1 2 0 1 2 1
A1. A2 =    =  
0 1 1 0 1 0
Dari contoh di atas, perhatikan bahwa A2. A1 ≠ A1. A2
Jika T:R2 R2 adalah perkalian oleh sebuah matrik A yang punya invers, dan misalkan T
memetakan titik (x,y) ke titik (x’, y’), maka
 x' x
 y ' = A  y
   
Dan
 x -1  x'
 y = A  y '
   
Contoh 6.9
Carilah persamaan bayangan sebuah garis y = 2x + 1 yang dipetakan oleh matrik A =
3 1
2 1
 
Lukmanulhakim Almamalik VI- 10

11. Jawab :
 x' 3 1  x 
 y ' = 2 1  y 
     
Dan
−1
 x  3 1  x'  1 − 1  x'
 y  = 2 1  y ' = − 2 3   y '
        
Sehingga
x = x’ – y’
y = -2x’ + 3y’
Substitusikan ke y = 2x + 1 maka dihasilkan :
-2x’ + 3y’ = 2(x’ – y’) + 1
-2x’ + 3y’ = 2x’ – 2y’ + 1
5y’ = 4x’ + 1
y’ = 4
5 x’ + 1
5
Latihan
Tentukan apakah F linier untuk masing – masing latihan berikut :
1. F(x,y) = (2x, y)
2. F(x,y) = (2x+y, x-y)
3. F(x, y, z) = (2x+y, 3y-4z)
4. F(x,y,z) = (1, 1)
5. Carilah matrik bakunya
 x2 
  x    − x1 
a. T   1   = 
 x   x + 3x 

  2  1 2
 
 x1 − x 2 
  x1  
    7 x1 + 2 x 2 − x3 + x 4 
 x 
b. T   2   = 
 x 2 + x3 

x 
 3   − x1 
 x   
  4 
6. Carilah matrik baku untuk transformasi linier bidang T:R2 R2 yang memetakan titik
(x,y) ke dalam :
Lukmanulhakim Almamalik VI- 11

12. (a). Refleksi terhadap garis y = -x
(b). Refleksi melalui titk pusat
(c). Proyeksi ortogonal pada sumbu x
(d). Proyeksi ortogonal pada sumbu y
7. Gambarkan bayangan bujursangkar dengan titik – titik sudut (0,0), (1,0), (0,1), dan (1,1)
− 3 0
di bawah perkalian oleh A =  
 0 1
 4 − 3
8. Carilah persamaan bayangan garis y = -4x + 3 di bawah perkalian oleh A =  
 3 − 2
Lukmanulhakim Almamalik VI- 12