Dokumen ini membahas tentang transformasi linier, yang didefinisikan sebagai fungsi pemetaan antara ruang vektor. Transformasi ini memenuhi dua sifat utama: penjumlahan dan pengalian skalar. Terdapat pula pembahasan mengenai kernel, jangkauan, dan teorema yang berkaitan dengan rank dan nulitas dari transformasi linier.

1. TRANSFORMA
SI
LINIER

2.  Lilik Widiastuti (3513100009)
 Irma’atus Solihah (3512100004)
 Aulia Rachmawati (3513100035)
 Syaiful Budianto (3512100099)
 Achmad Rizal Al-amin
(3513100081)

3. Pengantar Kepada
Transformasi LInier

4. Fungsi yang berbentuk w=F(v),dimana
variable bebas v dan variable bebas w
kedua-duanya adalah vektor yang
dinamakan transformasi linier

5. Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah suatu fungsi
yang mengasosiasikan vektor unik di W dengan setiap vektor yang
terletak di dalam V, maka dikatakan F memetakan V ke dalam W.
Ditulis F: V  W. Jika F mengasosiasikan vektor w dengan vektor v,
maka w = F(v). w adalah bayangan dari v dibawah F. Ruang vektor V
dikatakan domain F.
jika v = (x, y) adalah suatu vektor di dalam R2,maka rumus
F(v) = (x, x + y, x - y) (5.1)
Contoh:
Mendefinisikan sebuah fungsi yang memetakan R2 ke dalam R3.
Khususnya, jika v = (1,1)

6. Definisi jika F: V  W adalah suatu fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang
vektor W, maka F dikatakan transformasi linier jika:
F(u + v) = F(u) + F(v) untuk semua vektor u dan v di dalam V.
F(ku) = k F(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k.
Untuk melukiskannya, misalkan F : R2  R3 adalah fungsi yang didefinisikan oleh
(5.1). Jika u = (x1,y1) dan v = (x2,y2), maka u+v = ( x1 + x2,y1 + y2 ), sehingga
F(u+v) = ( x1 + x2, [x1+x2] + [y1 + y2], [x1+x2] - [y1 + y2])
=( x1, x1 + y1, x1 - y1) + (x2, x2 + y2, x2 - y2)
F(u+v) = F(u) + F(v)
jika k adalah sebuah scalar, ku = (kx1,ky1), sehingga
F(ku) = (kx1, kx1 + ky1, kx1 – ky1)
= k(x1, x1 + y1, x1 - y1)
F(ku) = kF(u)
Jadi F adalah sebuah tranformasi
linier.

7. Jika F: V  W adalah sebuah transformasi linier, maka untuk sebarang
v1 dan v2 di dalam V dan sebarang skalar k1 dan k2, kita memperoleh
F(k1v1 + k2v2) = F(k1v1) + F(k2v2) = k1F(v1) + k2F(v2)
Demikian juga, jika v1 , v2, . . . . . ,vn adalah vektor-vektor di dalam V dan
k1, k2, . . . . . ,kn adalah scalar, maka
F(k (5.2) 1v1 + k2v2 + . . . +knvn) = k1F(v1) + k2F(v2)
+ . . . + knF(vn)

8. Cotoh:
Misalkan F:R2R3 adalah fungsi yang didefinisikan oleh F(v) =
(2x, y) dengan v = (x, y) di R2. buktikan bahwa F merupakan
transformasi linier. Misalkan u = (x1, y1) dan v = (x2, y2)

9. Bukti pertama:
F(u + v) = F((x1, y1) + (x2, y2))
= F(x1+x2, y1+y2)
= (2(x1+x2), (y1+y2))
= ((2x1, y1) + (2x2, y2))
F(u + v) = F(u) + F(v) => terbukti
Bukti kedua:
F(ku) = F(kx1, ky1)
= (2kx1, ky1)
= k (2x1, y1)
Jadi F adalah sebuah tranformasi
F(ku) = k F(u) => terbukti
linier.

10. Sifat Transformasi Linier,
Kernel dan Jangkauan

11. KERNEL adalah ruang nol dari T :
himpunan vector yang didalam V yang
dipetakan T kedalam 0,dan dinotasikan
dengan Ker(T)
JANGKAUAN adalah Himpunan semua
vector didalam W yang merupakan
bayangan dibawah T paling sedikit satu
vector didalam V.dinotasikan dengan R(T).

12. Teorema 1
Jika
푇 ∶ 푉 → 푊 푎푑푎푙푎ℎ 푇푟푎푛푠푓표푟푚푎푠푖 퐿푖푛푖푒푟, 푚푎푘푎:
푎 푇 0 = 0
푏 푇 −푣 = −푇 푣 , 푢푛푡푢푘 푠푒푚푢푎 푢 푑푖 푑푎푙푎푚 푉
푐 푇 푣 − 푤 = 푇 푣 − 푇 푤 , 푢푛푡푢푘 푠푒푚푢푎 푣푒푘푡표푟 푣 푑푎푛 푤 푑푖 푑푎푙푎푚 푉
BUKTI
Misal v adalah sembarang vektor di dalam V.dan 0v = 0,
maka :
푇 0 = 푇 0푣 = 0푇 푣 = 0 … … … … … 푎
푇 −푣 = 푇 −1 푣 = −1 푇 푣 = −푇 푣 … … … … … … … (푏)
푣 − 푤 = 푣 + −1 푤
푚푎푘푎
푇 푣 − 푤 = 푇 푣 + −1 푤
= 푇 푣 + −1 푇(푤)
= 푇 푣 − 푇 푤 … … … … … … … . 푐

13. CONTOH
Misal 푇 ∶ 푉 → 푊 adalah Transformasi nol dan T memetakan tiap-tiap vector kedalam
0,maka Ker(T) = V dan 0 adalah satu-satunya bayangan yang mungkin dibawah T, maka
R(T) terdiri dari vector Nol.Misalkan
푇: 푅푛 → 푅푚 adalah perkalian oleh
푎11 푎12 푎1푛
푎21 푎22 푎2푛
푎푚1 푎푚2 푎푚푛
Ker(T) terdiri dari semua
푥 =
푥1
푥2
푥푛
Vektor pemecahan dari system homogen
퐴
푥1
푥2
푥푛
=
0
0
0
R(T) terdiri dari vector
푏 =
푏1
푏2
푏푚

14. Teorema 2
Jika 푇 ∶ 푉 → 푊 adalah transformasi Linier, maka :
a) Kernel dari T adalah subruang dari V
Ker(T) tertutup dibawah penjumlahan dan perkalian skalar.
Misalkan v1 dan v2 adalah vector didalam Ker(T), dan k adalah
sembarang skalar.
Maka
푇 푣1 + 푣2 = 푇 푣1 + 푇 푣2
= 0 + 0 = 0
Sehingga v1 + v2 berada didalam ker(T)
푇 푘푣1 = 푘푇 푣1 = 푘0 = 0
Sehingga kv1 berada didalam ker(T).

15. b) Jangkauan dari T adalah subruang dariW
Misal w1 dan w2 adalah vector di dalam jangkauan T atau R(T).
Harus dicari vector a dan b di dalam V sehingga didapat:
푇 푎 = 푤1 + 푤2 푑푎푛 푇 푏 = 푘푤1 ,
푢푛푡푢푘 푘 푎푑푎푙푎ℎ 푠푒푚푏푎푟푎푛푔 푠푘푎푙푎푟.
푘푎푟푒푛푎 푤1 푑푎푛 푤2 푏푒푟푎푑푎 푑푎푙푎푚 푗푎푛푔푘푎푢푎푛 푇,
푚푎푘푎 푎푑푎 푣푒푘푡표푟 푎1 푑푎푛 푎2
Di dalam V sehingga 푇 푎1 = 푤1 푑푎푛 푇 푎2 = 푤2.
푚푖푠푎푙푘푎푛 푎 = 푎1 + 푎2 푑푎푛 푏 = 푘푎1.
푚푎푘푎:
푇 푎 = 푇 푎1 + 푎2 = 푇 푎1 + 푇 푎2 = 푤1 + 푤2
푇 푏 = 푇 푘푎1 = 푘푇 푎1 = 푘푤1
Sebuah Transformasi linier ditentukan secara lengkap oleh
“nilainya” pada sebuah basis.

16. Contoh:
Tinjau basis 푆 = 푣1, 푣2, 푣3 untuk R3 , dimana v1 = 1, 1, 1 , 푣2 = 1, 1, 0 , 푣3 =
1, 0, 0 , 푑푎푛 푚푖푠푎푙푘푎푛 푇: 푅3 → 푅2 푎푑푎푙푎ℎ 푇푟푎푛푠푓표푟푚푎푠푖 퐿푖푛푖푒푟 푚푎푘푎:
푇 푣1 = 1, 0 푇 푣2 = 2, −1 푇 푣3 = 4, 3 Carilah T(2, -3, 5).
Pemecahan:
Nyatakan 푣 = 2, −3, 5 푠푒푏푎푔푎푖 푘표푚푏푖푛푎푠푖 푑푎푟푖 푣1 = 1, 1, 1 , 푣2 = 1, 1, 0 , 푑푎푛 푣3 = 1, 0, 0 .
Jadi 푣 = 푘푣1 + 푘푣2 + 푘푣3
2, −3, 5 = 푘 1, 1, 1 + 푘 1, 1, 0 + 푘(1, 0, 0)
Komponen yang didapat yaitu:
푘1 + 푘2 + 푘3 = 2
푘1 + 푘2 = −3
푘1 = 5
Yang menghasilkan k1 = 5,k2= -8,k3= 5,sehingga didapat: 2, −3, 5 = 5푣1 − 8푣2 + 5푣3
Jadi
푇 2, −3, 5 = 5푇 푣1 − 8푇 푣2 + 5푇 푣3
= 5 1, 0 − 8 2, −1 + 5 4,3
= (9,23)

17. Jika 푇 ∶ 푉 → 푊 adalah transformasi Linier, maka :
Dimensi dari jangkauan atau R(T) dinamakan rank dari T ,dan dimensi dari kernel
dinamakan nulitas dari T.
Contoh:
Misal T:R2
→
R2 adalah rotasi dari R2 melalui sudut 휋/4.
Jelas secara geometric jangkauan dari T adalah semua R2 dan kernel dari T adalah
(0).maka T memiliki rank 2 dan nulitas = 0 .
Contoh:
Misal T:Rn
→
Rm adalah perkalian oleh sebuah matriks A yang berukuran m x n.
Rank dari T adalah dimensi ruang kolom dari A,yang sama persis dengan rank dari
A.maka:
Rank (T) = Rank(A)
Kernel dari T adalah ruang pemecahan dari AX = 0,jadi nulitas dari T adalah dimensi
ruang pemecahan.

18. Teorema 3
Jika 푇 ∶ 푉 → 푊 adalah transformasi Linier dari sebuah ruang vector V yang
berdimensi n kepada sebuah ruang VektorW,
maka :
(Rank dari T) + (nulitas dari T) = n
Untuk kasus V = Rn , W = Rm ,dan T:Rn
→
Rm adalah perkalian matriks A berukuran
m x n maka berlaku:
Nulitas dari T = n – (rank dari T) = banyak kolom dari A – (rank dari T)
Teorema 4
Jika A adalah matriks m x n ,Maka dimensi ruang pemecahan dari Ax = 0 adalah N
– Rank(A)

19. Contoh:
2x1 + 2x2 – x3 + x5 = 0
-x1 - x2 + 2x3 – 3x4 + x5 = 0
x1+ x2 – 2x3-x5 = 0
x3 + x4 + x5 = 0
Maka harus memenuhi
2 = 5 – rank(A)
Rank(A) = 3

20. Transformasi Linier
dari 푹풏 ke 푹풎 ,Geometri
Transformasi Linier dari 푹ퟐ ke 푹ퟐ

21. Dalam bagian ini akan membahas
mengenai Transformasi linear dari 푅푛 ke
푅푚 dan mendapatkan sifat-sifat
geomatrik dari transformasi linier dari
푹ퟐ ke 푹ퟐ.

22. Jika 푇: 푅푛 → 푅푚 adalah sebarang transformasi linear, maka ada matriks
퐴 berukuran 푚 × 푛 sehingga 푇 adalah perkalian oleh 퐴.
Misalkan 푒1, 푒2, … , 푒푛 adalah basis baku untuk 푅푛 dan misalkan 퐴 adalah
matriks 푚 × 푛 yang mempunyai 푇 푒1 , 푇 푒2 , … , 푇 푒푛 sebagai vektor-vektor
kolomnya.
Jika 푇: 푅2 → 푅2 diberikan oleh 푇
푥1
푥2
=
푥1 + 2푥2
푥1 − 푥2
, maka:
푇 푒1 = 푇
1
0
=
1
1
dan 푇 푒2 = 푇
0
1
=
2
−1
퐴 =
1 2
1 −1
푇 푒1 푇 푒2

23. Secara lebih umum, jika :
푇 푒1 =
푎11
푎21
⋮
푎푚1
, 푇 푒2 =
푎12
푎22
⋮
푎푚2
, ⋯ , 푇 푒푛 =
푎1푛
푎2푛
⋮
푎푚푛
Maka:
퐴 =
푎11
푎21
⋮
푎12
푎22
⋮
푎푚1 푎푚2
⋯
⋯
푎1푛
푎2푛
⋮
… 푎푚푛
푇 푒1 푇 푒2 푇 푒푛
Matriks ini dinamakan matriks bentuk baku untuk 푇. Akan ditunjukkan bahwa
transformasi linear 푇: 푅푛 → 푅푚 adalah perkalian 퐴.

24. Perhatikan bahwa :
푥 =
푥1
푥2
⋮
푥푛
= 푥1푒1 + 푥2푒2 + ⋯ ⋯ + 푥푛푒푛
Maka, karena linieritas dari 푇,
푇(푥) = 푥1푇 푒1 + 푥2푇 푒2 + ⋯ + 푥푛푇 푒푛
Sebaliknya,
퐴푥 =
푎11
푎21
⋮
푎12
푎22
⋮
푎푚1 푎푚2
⋯
⋯
푎1푛
푎2푛
⋮
… 푎푚푛
푥1
푥2
⋮
푥푛
=
푎11푥1 + 푎12푥2 + ⋯ + 푎1푛푥푛
푎21푥1 + 푎22푥2 + ⋯ + 푎2푛푥푛
⋮
푎푚1푥1 + 푎푚2푥2 + ⋯ + 푎푚푛푥푛

25. = 푥1
푎11
푎21
⋮
푎푚1
+ 푥2
푎12
푎22
⋮
푎푚2
+ ⋯ + 푥푛
푎1푛
푎2푛
⋮
푎푚푛
= 푥1푇 푒1 + 푥2푇 푒2 + ⋯ + 푥푛푇 푒푛
dihasilkan 푻 풙 = 푨풙 yakni 푇 adalah perkalian oleh 퐴. Sehingga didapat:
Teorema 5
Jika 푇: 푅푛 → 푅푚 adalah transformasi linear dan jika 푒1, 푒2, ⋯ , 푒푛 adalah basis baku
untuk 푅푛, maka 푇 adalah perkalian oleh 퐴, di mana 퐴 matriks yang menghasilkan
vektor kolom 푇 푒1 , 푇 푒2 , ⋯ , 푇 푒푛 .

26. Contoh:
Carilah matriks baku untuk transformasi 푇: 푅3 → 푅4 yang didefinisikan oleh 푇
푥1
푥2
푥3
=
푥1 + 푥2
푥1 − 푥2
푥3
푥1
Penyelesaian:
푇 푒1 = 푇
1
0
0
=
11
0
1
, 푇 푒2 = 푇
0
1
0
=
1
−1
0
0
, 푇 푒3 = 푇
0
0
1
=
0
0
1
0
Dengan menggunakan 푇 푒1 , 푇 푒2 dan 푇 푒3 sebagai vektor-vektor kolom, maka diperoleh
퐴 =
1 1 0
1 −1 0
0 0 1
1 0 0
Sebagai pemeriksaan, perhatikanlah bahwa:
퐴
푥1
푥2
푥3
=
1 1 0
1 −1 0
0 0 1
1 0 0
푥1
푥2
푥3
=
푥1 + 푥2
푥1 − 푥2
푥3
푥1

27. Terdapat lima jenis transformasi linier bidang (Transformasi Geometri) yaitu :
perputaran (rotasi), refleksi, ekspansi dan kompresi, serta geseran.
1. Perputaran (rotasi)
Jika 푇: 푅2 → 푅2 untuk masing-masing titik dalam bidang terhadap titik asal
atau O(0,0) melalui sudut 휃, kita dapatkan bahwa matriks baku untuk 푇 adalah
퐜퐨퐬 휽 −퐬퐢퐧 휽
퐬퐢퐧 휽 퐜퐨퐬 휽
2. Refleksi
−푥, 푦 푥, 푦 Reflexi terhadap
sumbu 푦
−1 0
0 1

28. 푥, 푦 Reflexi terhadap
−푥, 푦
3. ekspansi dan kompresi
sumbu 푦
1 0
0 −1
푦, 푥
푥, 푦
Reflexi terhadap
garis 푦 = 푥
0 1
1 0
Jika koordinat x dari setiap titik di dalam bidang dikalikan dengan konstanta k yang
positif, maka efeknya adalah mengekspansi atau mengkompresi setiap bidang
dalam arah x
Jika :
a. 0 <k< 1, maka hasilnya adalah kompresi,
b. k > 1, maka hasilnya adalah ekspansi.

29. Jika 푇: 푅2 → 푅2 adalah ekspansi atau kompresi dalam arah 푥 dengan factor 푘,
Maka
푇 푒1 = 푇
1
0
=
푘
0
, 푇 푒2 = 푇
0
1
=
0
1
Sehingga matriks baku untuk T adalah
푘 0
0 1
Demikian juga matriks baku untuk ekspansi atau kompresi untuk arah y adalah
1 0
0 푘
kondisi awal
2푥, 푦
ekspansi 푘 = 2
1
2
푥, 푦
kompresi 푘 =
1
2
푥, 푦

30. 4. Geseran

31.  Sebuah geseran dalam arah x dengan faktor k adalah transformasi yang
menggerakkan masing-masing titik 푥, 푦 sejajar dengan sumbu x sebanyak ky
menuju kedudukan yang baru (x + ky, y). Dengan transformasi seperti itu, maka
sumbu x sendiri tidak bergeser, karena y=0
 Sebuah geseran dengan arah y dengan faktor k adalah sebuah transformasi
yang menggerakkan setiap titik (x,y) sejajar sumbu y sebanyak kx ke kedudukan
yang baru (x, y+kx).
 Jika 푇: 푅2 → 푅2 adalah sebuah geseran yang faktornya k didalam arah x, maka:
Sehingga matriks standar untuk T adalah
 Demikian juga, matriks baku untuk geseran dalam arah y
dengan faktor k adalah:
1 0
푘 1

32. matriks
Transformasi LInier

33. Transformasi linier 푇: 푉 → 푊 dapat dipandang sebagai TRANSFORMASI
MATRIKS. Jika dipilih basis B dan B’ untuk V dan W , maka untuk setiap x di dalam V,
matriks kordinat [x]B akan merupakan sebuah vektor didalam Rn dan matriks kordiat
[T(x)]B, akan merupakan vector di dalam Rm . jadi di dalam proses pemetaan x ke
dalam T(x), transformasi linier T menghasilkan sebuah pemetaan Rn ke Rm dengan
mengirimkan [x]B ke dalam [T(x)]B’. Maka mariks A standar untuk transformasi ini
adalah
A[x]B = [T(x)]B
Untuk mencari matriks A dapat dihitung dalam 3 langkah dengan metode tak
langsung berikut:
1) Hitung matriks kordinat [x]B
2) Kalikan [x]B di sebelah kiri dengan A untuk menghasilkan [T(x)]B’
3) Bangun kembali T(x) dari matriks kordinatnya [T(x)]B’

34. Contoh 1:
Misalkan 푇: 푃1 → 푃2 adalah transformasi linier yang didefinisikan oleh T(p()x)=xp(x)
Carilah matriks untuk T terhadap basis B={u1,u2} dan B’= {u’1,u’2, u’3} Dimana u1=1, u2=
x, u’1 =1, u’2= x, u’3 = x2
Pemecahan:
Dari rumus T didapat
T(u1) = T(1) = (x)(1) = x T(u2) = T(x) = (x)(x) = x2
Maka matriks kordinat untuk T(u1) dan T(u2) relative kepada B’ yakni:
[T(u1)]B =
0
1
0
, [T(u2)]B’ =
0
0
1
Jadi matriks T terhadap baris B dan B’ adalah
A=[ [T(u1)]B [T(u2)]B’] =
0 0
1 0
0 1

35. Contoh 2:
Misalkan 푇: 푃1 → 푃2, 퐵, 퐵′ adalah basis di dalam contoh sebelumnya dan dimisalkan
x= 1-2x
Gunakan hasil matriks contoh sebelumya untuk menghitung T(x) menurut prosedut
tak langsung !
Pemecahan:
Matriks kordinat x terhadap B adalah [x]B=
1
−2
Maka [T(x)]B’ = A[x]B =
0 0
1 0
0 1
1
−2
=
0
1
−2
Jadi
T(x)= 0 u’1 + 1u’2 + 2u’3 =0(1) + 1(x)- 2(x2) = x-2x2
Jika dihitung dengan metode langsung
T(x)= T (1-2x) = x(1-2x) = x-2x2
Jadi untuk
pemeriksaan, hasil
perhitungan dengan
metode langsung
dan tak langsung
harus sama

36. Keserupaan

37. Jika T : V->V adalah sebuah
operator linier pada suatu ruang
vektor berdimensi terhingga V,
dan jika B dan B’ adalah basis
basis untuk V, maka
[T]B’= P-1 [T]BP
Dimana P adalah matriks transisi
dari B’ ke B

38. DEFINISI KESERUPAAN
Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar, kita mengatakan
bahwa B serupa dengan A jika terdapat matriks P yang dapat di balik
sedemikian rupa sehingga
B=P-1AP
Invarian Keserupaan
 Determinan
 Keterbalikan
 Rank
 Nulitas
 Polinomial karakteristik
 Nilai Eigen
 Dimensi Ruang Eigen

39. Contoh:
Misalkan T : R2->R2
T x1 = x1 + x2
x2 -2x1 + 4x2
Tentukan matriks untuk T berkenaan dengan basis standart B
={e1,e2}untuk R2. Kemudian gunakan teorema yang tadi untuk
menentukan matriks T berkenaan dengan basis B’={u1’,u2’} dimana
u1’ = 1 u2’ = 1
1 2