Dokumen tersebut membahas berbagai sistem koordinat termasuk koordinat Kartesius, koordinat polar, koordinat tabung, dan koordinat bola beserta konversi antara sistem-sistem koordinat tersebut. Diberikan pula contoh soal dan penyelesaiannya terkait empat sistem koordinat utama.
Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh..
Hai para Intelektual Muda, kali ini mimin mau berbagi soal dan pembahasan tentang Integral Permukaan ..
semoga Bermanfaat:)
Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh..
Hai para Intelektual Muda, kali ini mimin mau berbagi soal dan pembahasan tentang Integral Permukaan ..
semoga Bermanfaat:)
- Definisi sistem koordinat polar (kutub);
- Mengubah koordinat polar ke koordinat kartesius dan sebaliknya;
- Kurva polar;
- Gradien garis singgung kurva polar;
- Luas area yang dilingkupi kurva polar;
- Panjang busur kurva polar;
- Luas permukaan dari kurva polar yang diputar terhadap sumbu tertentu.
UNTUK DOSEN Materi Sosialisasi Pengelolaan Kinerja Akademik DosenAdrianAgoes9
sosialisasi untuk dosen dalam mengisi dan memadankan sister akunnya, sehingga bisa memutakhirkan data di dalam sister tersebut. ini adalah untuk kepentingan jabatan akademik dan jabatan fungsional dosen. penting untuk karir dan jabatan dosen juga untuk kepentingan akademik perguruan tinggi terkait.
2. Koordinat Kartesius
Sistem Koordinat 2 Dimensi
Sistem koordinat kartesian dua
dimensi merupakan sistem koordinat
yang terdiri dari dua sumbu yang
saling tegak lurus, biasanya sumbu
X dan Y
4. Koordinat Kartesius
Sistem Koordinat 3 Dimensi
Sistem Koordinat Kartesian 3
Dimensi, pada prinsipnya sama
dengan sistem koordinat kartesian 2
dimensi, hanya menambahkan satu
sumbu lagi yaitu sumbu Z, yang
ketiganya saling tegak lurus
6. Koordinat Polar
• Dalam koordinat polar, koordinat suatu titik
didefinisikan fungsi dari arah dan jarak dari titik
ikatnya.
• Jika O merupakan titik pusat koordinat dan garis
OX merupakan sumbu axis polar, maka titik P
dapat ditentukan koordinatnya dalam sistem
koordinat polar berdasarkan sudut vektor (θ) dan
radius vektor (r) atau garis OP yaitu P (r, θ).
Sudut vektor (θ) bernilai positif jika mempunyai
arah berlawanan dengan arah putaran jarum
jam, sedangkan bernilai negatif jika searah
dengan putaran jarum jam.
7. Koordinat Polar
O
titik kutub sumbu polar
Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari
lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan
koordinat polar.
Koordinat polar menunjukkan posisi relatif
terhadap titik kutub O dan sumbu polar
(ray) yang diberikan dan berpangkal pada O.
8. Titik P dengan koordinat polar (r, ) berarti
berada di posisi:
- derajat dari sumbu-x (sumbu polar)
( diukur berlawanan arah jarum-jam)
- berjarak sejauh r dari titik asal kutub O.
Perhatian:
jika r < 0, maka P berada di posisi yang
berlawanan arah.
r : koordinat radial
: koordinat sudut
9. Setiap titik mempunyai lebih dari satu
representasi dalam koordinat polar
(r, ) = (-r, +n ), untuk n bilangan bulat ganjil
= ( r, +n ), untuk n bilangan bulat genap
Contoh:
Nyatakan koordinat polar berikut ke dalam
bentuk koordinat kartesius.
(2, /3), (-2, 4/3), (2, 7/3), (-2, -2/3)
11. Konversi koordinat polar ke dalam koordinat
kartesius
Gunakan relasi:
x = r cos , y = r sin
Maka r2 = x2 + y2,
tan = y/x, jika x 0
Catatan: menentukan
Jika x > 0, maka x berada di kuadran 1 atau 4
jadi -/2 < < /2 = arctan (y/x).
Jika x < 0, x berada di kuadran 2 atau 3,
= + arctan (y/x).
12. Koordinat Polar
Persamaan polar dari lingkaran berjari-jari a
adalah r = a
Contoh:
Untuk lingkaran berjari-jari a,
- berpusat di (0,a): r = 2a sin
- berpusat di (a,0): r = 2a cos
14. Konversikan persamaan polar r = 2 sin ke
dalam sistem koordinat tegak:
Kalikan kedua sisi dengan r menjadi
r2 = 2r sin
x2 + y2 = 2y
x2 + y2 - 2y = 0
Jadi persamaan tersebut dalam koordinat
tegak adalah x2 + (y -1)2 = 1
26. Konversi antara koordinat bola
dan koordinat kartesius
(x,y,z)
z
r
sin( ) cos( ) tan( )
r z r
z
27. Konversi antara koordinat bola
dan koordinat kartesius
(x,y,z)
z
r
cos( ) sin( )cos( )
sin( ) sin( )sin( )
cos( )
x r
y r
z
28. Konversi antara koordinat bola
dan koordinat kartesius
(x,y,z)
z
r 2 2 2
2 2
2 2 2
tan( )
tan( )
cos( )
x y z
y
x
x yr
z z
z z
x y z
30. Integral: Koordinat Kartesius
Riemann Sum dalam triple integral sbb:
Untuk menghitung volume balok-balok kecil
dengan ukuran panjang , lebar ,
dan tinggi
* * *
( , , ) .i i i i i if x y z x y z
* * *
( , , ) .i i i i i i
nilai fungsi pada volumebalok kecil
titik tertentu
f x y z x y z
1 4 2 4 3 14 2 43
ix iy
iz
31. Integral: Koordinat Tabung
Bagaimana dengan ukuran-ukuran
dalam koordinat tabung r, , and z?
Dengan menganggap
kasus 2 dimensi
dalam koordinat polar
r
r
zr dan,,
38. dA r dr d
Untuk mencari volume benda padat
Integral: Koordinat Tabung
39. dV r dr d dz
Maka . . .
( , , )
S
f r z r dr d dz
Integral: Koordinat Tabung
40. Soal
1.Tunjukkan dengan gambar titik-titik berikut
dalam koordinat polar
(2, 4) (-1, 4) (3, 34) (2, -4) (-4, -4)
2. Diketahui persamaan dalam koordinat
tabung:
a.
b.
Tentukan persamaan dalam koordinat
kartesius dan gambarkan
2 2
9r z
2 cos 3 sin 6r r z
41. Soal
3. Diketahui persamaan dalam
koordinat kartesius:
a.
b.
Tentukan persamaan dalam
koordinat tabung dan gambarkan
2 2
9x y
2 2 2
2 12 14 0x y z z
42. Soal
4. Diketahui persamaan dalam
koordinat bola:
a.
b.
c.
Tentukan persamaan dalam
koordinat kartesius dan gambarkan
3
3
4
43. Soal
5. Diketahui persamaan dalam
koordinat kartesius:
a.
b.
Tentukan persamaan dalam
koordinat bola dan gambarkan
2 2 2
4x y z
2 2 2
1x y z
44. 6. Hitunglah dimana S
tetrahedron dengan titik-titik sudut
(0,0,0), (3,2,0), (0,3,0), dan (0,0,2).
x y z
S
e dV
Soal