Pertemuan 8 bentuk koordinat

Bentuk Koordinat
Koordinat Kartesius, Koordinat Polar,
Koordinat Tabung, Koordinat Bola
Desember 2011

Koordinat Kartesius
Sistem Koordinat 2 Dimensi
Sistem koordinat kartesian dua
dimensi merupakan sistem koordinat
yang terdiri dari dua sumbu yang
saling tegak lurus, biasanya sumbu
X dan Y

Koordinat Kartesius
Sistem Koordinat 3 Dimensi
Sistem Koordinat Kartesian 3
Dimensi, pada prinsipnya sama
dengan sistem koordinat kartesian 2
dimensi, hanya menambahkan satu
sumbu lagi yaitu sumbu Z, yang
ketiganya saling tegak lurus

Koordinat Polar
• Dalam koordinat polar, koordinat suatu titik
didefinisikan fungsi dari arah dan jarak dari titik
ikatnya.
• Jika O merupakan titik pusat koordinat dan garis
OX merupakan sumbu axis polar, maka titik P
dapat ditentukan koordinatnya dalam sistem
koordinat polar berdasarkan sudut vektor (θ) dan
radius vektor (r) atau garis OP yaitu P (r, θ).
Sudut vektor (θ) bernilai positif jika mempunyai
arah berlawanan dengan arah putaran jarum
jam, sedangkan bernilai negatif jika searah
dengan putaran jarum jam.

Koordinat Polar
O
titik kutub sumbu polar
Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari
lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan
koordinat polar.
Koordinat polar menunjukkan posisi relatif
terhadap titik kutub O dan sumbu polar
(ray) yang diberikan dan berpangkal pada O.

Titik P dengan koordinat polar (r, ) berarti
berada di posisi:
-  derajat dari sumbu-x (sumbu polar)
( diukur berlawanan arah jarum-jam)
- berjarak sejauh r dari titik asal kutub O.
Perhatian:
jika r < 0, maka P berada di posisi yang
berlawanan arah.
r : koordinat radial
 : koordinat sudut

Setiap titik mempunyai lebih dari satu
representasi dalam koordinat polar
(r, ) = (-r, +n ), untuk n bilangan bulat ganjil
= ( r, +n ), untuk n bilangan bulat genap
Contoh:
Nyatakan koordinat polar berikut ke dalam
bentuk koordinat kartesius.
(2, /3), (-2, 4/3), (2, 7/3), (-2, -2/3)

Konversi koordinat polar ke dalam koordinat
kartesius
Gunakan relasi:
x = r cos  , y = r sin 
Maka r2 = x2 + y2,
tan  = y/x, jika x  0
Catatan: menentukan 
Jika x > 0, maka x berada di kuadran 1 atau 4
jadi -/2 <  < /2   = arctan (y/x).
Jika x < 0, x berada di kuadran 2 atau 3,
 =  + arctan (y/x).

Koordinat Polar
Persamaan polar dari lingkaran berjari-jari a
adalah r = a
Contoh:
Untuk lingkaran berjari-jari a,
- berpusat di (0,a): r = 2a sin 
- berpusat di (a,0): r = 2a cos 

Koordinat Polar
Jika a = 1, maka
r = 2 sin  r = 2 cos 

Konversikan persamaan polar r = 2 sin  ke
dalam sistem koordinat tegak:
Kalikan kedua sisi dengan r menjadi
r2 = 2r sin 
x2 + y2 = 2y
x2 + y2 - 2y = 0
Jadi persamaan tersebut dalam koordinat
tegak adalah x2 + (y -1)2 = 1

Titik dalam koordinat tabung
r
Koordinat Polar dalam bidang datar

Koordinat tabung hanya dengan
menambahkan sumbu-z pada
koordinat polar (r,).
r

r
r
(r,,z)

Konversi antara koordinat tabung
dan koordinat kartesius
r
r
(r,,z)
cos( )
sin( )
x r
y r
z z





2 2 2
tan( )
r x y
y
x
z z
 




(x,y,z)

Titik dalam koordinat bola

 0 .  

Sudut .
0 2 .  

( , ,)


Konversi antara koordinat bola

(x,y,z)
z

r
sin( ) cos( ) tan( )
r z r
z
  
 
  


(x,y,z)
z

r
cos( ) sin( )cos( )
sin( ) sin( )sin( )
cos( )
x r
y r
z
   
   
 
 
 



(x,y,z)
z

r 2 2 2
2 2
2 2 2
tan( )
tan( )
cos( )
x y z
y
x
x yr
z z
z z
x y z





  


 
 
 

Integral pada Koordinat Kartesius,
Koordinat Tabung dan Koordinat Bola

Integral: Koordinat Kartesius
Riemann Sum dalam triple integral sbb:
Untuk menghitung volume balok-balok kecil
dengan ukuran panjang , lebar ,
dan tinggi
* * *
( , , ) .i i i i i if x y z x y z  
* * *
( , , ) .i i i i i i
nilai fungsi pada volumebalok kecil
titik tertentu
f x y z x y z  
1 4 2 4 3 14 2 43
ix iy
iz

Integral: Koordinat Tabung
Bagaimana dengan ukuran-ukuran
dalam koordinat tabung r, , and z?
Dengan menganggap
kasus 2 dimensi
dalam koordinat polar
r
r
zr  dan,, 

Dengan ekspansi jari-jari ukuran kecil r
r
r+r
r

r+r
r
Jari-jari tabung bagian dalam r dan jari-
jari bagian luar r+ r.
r
r+r

Sudut  terjadi
penambahan sudut
sebesar .





Ini adalah suatu benda padat dengan
jari-jari r dan sudut 

Ini adalah suatu benda padat dengan
jari-jari r dan sudut 

Dengan penambahan z.

dA r dr d 
Untuk mencari volume benda padat

dV r dr d dz 
Maka . . .
( , , )
S
f r z r dr d dz 

Soal
1.Tunjukkan dengan gambar titik-titik berikut
dalam koordinat polar
(2, 4) (-1, 4) (3, 34) (2, -4) (-4, -4)
2. Diketahui persamaan dalam koordinat
tabung:
a.
b.
Tentukan persamaan dalam koordinat
kartesius dan gambarkan
2 2
9r z 
2 cos 3 sin 6r r z   

Soal
3. Diketahui persamaan dalam
koordinat kartesius:
a.
b.
Tentukan persamaan dalam
koordinat tabung dan gambarkan
2 2
9x y 
2 2 2
2 12 14 0x y z z    

Soal
koordinat bola:
a.
b.
c.
koordinat kartesius dan gambarkan
3 
3

 
4

 

Soal
koordinat kartesius:
a.
b.
koordinat bola dan gambarkan
2 2 2
4x y z  
2 2 2
1x y z  

6. Hitunglah dimana S
tetrahedron dengan titik-titik sudut
(0,0,0), (3,2,0), (0,3,0), dan (0,0,2).
x y z
S
e dV 

Soal

Pertemuan 8 bentuk koordinat

More Related Content

What's hot

Similar to Pertemuan 8 bentuk koordinat

More from Senat Mahasiswa STIS

Recently uploaded

Pertemuan 8 bentuk koordinat