L i n g k a r a n

Materi :
L I N G K A R A N
SMA kelas X
M u l a i
Profil

M e n u
M a t e r i L a t i h a n

M e n u
M a t e r i
Persamaan-persamaan Lingkaran
Posisi Garis Terhadap Lingkaran
Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Hubungan Dua Lingkaran
L a t i h a n

M e n u
M a t e r i L a t i h a n
Latihan Mandiri
Contoh soal

Persamaan-Persamaan
Lingkaran
1 2 3 4 5
Definisi Lingkaran :
Lingkaran adalah tempat kedudukan
titik-titik yang berjarak sama terhadap
sebuah titik tertentu yang digambarkan
pada bidang Cartesius
r

Persamaan-Persamaan
Lingkaran
1 2 3 4 5
Secara Umum posisi atau kedudukan titik P(a.b) terhadap lingkaran
L ≡ x2 + y2 = r2 Dapat dirumuskan sbb :
1.Titik P(h,k) terletak di dalam Lingkaran
2.Titik P(h,k) terletak pada lingkaran
3.Titik P(h,k) terletak diluar lingkaran
.P(h,k)
.P(h,k) .P(h,k)

Persamaan-Persamaan
Lingkaran
1 2 3 4 5
• Persamaan Lingkaran yang Berpusat di
O(0,0) dan berjari-jari r
Subtitusikan OP = r, OP’=x dan
PP’ = y maka :
• Maka Persamaan Lingkaran
Dengan pusat O dan jari-jari r adalah :

Persamaan-Persamaan
Lingkaran
1 2 3 4 5
Persamaan Lingkaran yang Berpusat di A(a,b) dan Berjari-jari r
Dalam Notasi pembentuk himpunan
dapat ditulis :

Persamaan-Persamaan
Lingkaran
1 2 3 4 5
Posisi Suatu Titik Terhadap Lingkaran
1. Titik P(h,k) terletak di dalam Lingkaran
2. Titik P(h,k) terletak pada Lingkaran
3. Titik P(h,k) terletak di luar lingkaran
.P(h,k)
.A(a,b)
r
r
.A(a,b).A(a,b)
r
.P(h,k)
.P(h,k)

Persamaan-Persamaan
Lingkaran
1 2 3 4 5
Persamaan Lingkaran dalam bentuk umum
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Pusat (-½A, -½B)
r = CBA  2
2
12
2
1
)()(
.O(a,b)
r

Contoh Soal Persamaan – Persamaan
Lingkaran
1 2 3 4 5
a. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari 5
b. Gambarlah lingkaran pada soal a pada sebuah kertas grafik
c. Pada Gambar yang Telah Anda peroleh pada soal Lukislah titik-titik
P(2,3), Q(3,4), R(3,6)
d. Sebutkanlah kedudukan titik-titik P,Q dan R terhadap lingkaran. Di
dalam, pada ataukah di luar Lingkaran?
Cek Jawaban
6

Penyelesaian
1 2 3 4 5
a. P(-1,2) dan
Jadi Titik P(-1,2) terletak di luar lingkaran
b. P(2,-3) dan
Jadi Titik P(2,-3) terletak pada lingkaran
c. P(3,5) dan
Jadi titik P(3,5) terletak didalam lingkaran
6

Contoh Soal Posisi Garis Terhadap
Lingkaran
1 2 3 4 5
Cek Jawaban
Tanpa Menggambar bidang Cartesius, tentukan posisi
titik pada P terhadap Lingkaran L berikut ini :
a.Titik P(-1,2) terhadap lingkaran
b.Titik P(2,-3) terhadap lingkaran
c.Titik P(3,5) terhadap lingkaran
6

Contoh Soal Posisi Garis Terhadap
Lingkaran
1 2 3 4 5
SOAL 1:
Diketahui garis g ≡ x + y =1 dan Lingkaran L≡ x2 + y2 = 4
a.Gambarlah garis g dan lingkaran L pada sebuah bidang Cartesius.
Sebutkan posisi garis g terhadap lingkaran L.
b.Tentukan persamaan kuadrat gabungan antara garis dan
lingkaran, kemudian tentukan nilai diskriman dari persamaan
kuadrat gabungan itu.
Cek Jawaban
6

Penyelesaian
1 2 3 4 5
Penyelesaian :
a. Garis g ≡ x + y =1 dan lingkaran L≡ x2 + y2 = 4 digambarkan pada
bidang cartesius seperti yang diperlihatkan pada gambar di bawah ini.
Tampak bahwa garis g ≡ x + y =1 memotong lingkaran L≡ x2 + y2 = 4
di dua titik yang berlainan.
6

Contoh Soal persamaan – persamaan
lingkaran
1 2 3 4 5
Cek Jawaban
Tentukan pusat dan jari-jari tiap lingkaran berikut ini
:
6

Penyelesaian
1 2 3 4 5
a. Pusat di (3,4) dan jari-jari r=5
b. Pusat di (-1,5) dan jari-jari r=4
c. Pusat di (2,3) dan jari-jari r = 4
d. Pusat di (-1,-2) dan jari-jari r=4
6

POSISI GARIS TERHADAP
LINGKARAN
3 macam kemungkinan posisi garis
g terhadap lingkaran L:
1.Garis g memotong lingkaran di
dua titik yang berlainan, yaitu titik
A(x1,y1) dan titik B(x2,y2).
1 2 3 4

2. garis g memotong lingkaran di
satu titik atau dikatakan garis g
menyinggung lingkaran di titik
S(xs,ys).
3.Garis g tidak memotong
maupun menyinggung
lingkaran.
1 2 3 4
POSISI GARIS TERHADAP
LINGKARAN

Posisi Garis Terhadap
Lingkaran
Posisi garis g terhadap lingkaran L dapat ditentukan melalui langkah
berikut ini :
Misalkan garis g dan lingkaran L mempunyai persamaan :
Langkah 1
Pada bagian persamaan garis (berbentuk linear), nyatakan x sebagai
fungsi y atau y sebagai fungsi x.
1 2 3 4

Posisi Garis Terhadap
Lingkaran
Langkah 2
Substitusikan x atau y yang diperoleh pada Langkah 1 ke dalam persamaan lingkaran
(berbentuk kuadrat). Substitusi ini menghasilkan persamaan kuadrat dalam peubah x atau
y. Lalu, hitunglah nilai diskriminan D dari persamaan kuadrat gabungan itu.
Langkah 3
Posisi garis g terhadap lingkaran L ditentukan oleh nilai diskriman D :
 D>0 ⇔ garis g memotong lingkaran L di dua titik yang berlainan.
 D=0 ⇔ garis g menyinggung lingkaran L.
 D<0⇔ garis g tidak memotong maupun menyinggung lingkaran L.
Dengan demikian, posisi garis g terhadap lingkaran L dapat ditentukan tanpa
harus menggambarkan garis dan lingkaran pada sebuah bidang Cartesius.
1 2 3 4

Persamaan garis singgung
lingkaran
1 2 3
Pada gambar, garis g adalah garis
singggung lingkaran
dan titik p(x1,y1) adalah titik
singgungnya. Artinya titik P(x1,y1)
terletak pada lingkaran
sehingga berlaku
Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui suatu titik pada lingkaran
A.Untuk lingkaran yang berpusat di (0,0) dan jari – jari r

lingkaran
1 2 3
Persamaan garis singgung g:
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran
Yang melalui titik P(x1,y1) pada lingkaran ditentukan dengan
rumus

lingkaran
1 2 3
Pada gambar, garis g
adalah garis
singggung lingkaran
dan titik
p(x1,y1))terletak pada
lingkaran
B. Untuk lingkaran dengan pusat di A(a,b) dan jari – jari r

lingkaran
1 2 3
Persamaan garis singgung :
Karena P(x1,y1) terletak pada lingkaran
maka berlaku:

lingkaran
1 2 3
Substitusi x1
2 + y1
2 = 2ax1 + a2 – 2by1 + b2 + r2 ke persamaan *
diperoleh
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2
Yang melalui titik P(x1,y1) pada lingkaran ditentukan dengan rumus
(x1 – a)(x – a) + (y1 –b)(y – b) = r2

lingkaran
1 2 3
Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien diketahui
A.Untuk lingkaran yang berpusat di (0,0) dan jari – jari r
Persamaan garis singgung pada lingkaran L≡ x2 + y2 = r2 apabila
gradien garis singgung m diketahui :
Persamaan garis singgung dengan gradient m adalah y = mx + n (n akan
ditentukan kemudian)
Substitusi y = mx + n ke persamaan lingkaran L≡ x2 + y2 = r2
diperoleh:

lingkaran
1 2 3
Nilai diskriminan persamaan kuadrat (1 + m2)x2+ 2mnx + (n2 – r2) = 0
Adalah
Karena garis menyinggung lingkaran maka nilai diskriminan D=0

lingkaran
1 2 3
Persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x2 + y2 = r2
dapat ditentukan dengan rumus

lingkaran
1 2 3
B. Untuk lingkaran dengan pusat di A(a,b) dan jari – jari r
Persamaan garis singgung dengan gradien m adalah y = mx + n (n
akan ditentukan kemudian)
Substitusi ke persamaan lingkaran
diperoleh:

lingkaran
1 2 3
Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D=0

lingkaran
1 2 3
Substitusi ke persamaan
garis
diperoleh
Sehingga persamaan garis singgung pada lingkaran
dengan gradien m ditentukan dengan rumus

lingkaran
1 2 3
Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui sebuah titik di luar
lingkaran
langkah – langkah sbb:
Langkah 1:
Persamaan garis melaui P(x1,y1)
dimisalkan gradiennya m (nilai m
ditentukan kemudian).
Persamaanya adalah

lingkaran
1 2 3
Langkah 2:
Substitusikan y = mx – mx1 + y1 kepersamaan lingkaran, sehingga
diperoleh persamaan kuadrat gabungan. Kemudian nilai diskriminan D dari
persamaan kuadrat gabungan di hitung.
Langkah 3:
Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D=0. Dari
syarat D=0 diperoleh nilai – nilai m.
Nilai – nilai selanjutnya disubstitusikan ke persamaan y = mx – mx1 + y1
sehingga diperoleh persamaan – persamaan garis singgung yang diminta.

1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melaui
titik (-3,1)
2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat A(a,b) yang
melalui titik(7,2)
3. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran
jika diketahui
Mempunyai gradient 3
Membentuk sudut terhadap sumbu X
Contoh Soal Persamaan Garis
Singgung Lingkaran
1 2 3 4 5 6

1 2 3 4
L1 dan L2
berpotongan
di dua titik.
L1 dan L2
bersinggungan
L1 dan L2
Saling lepas
Posisi Dua Lingkaran
5

1 2 3 4
Garis Singgung Persekutuan Luar
Lingkaran L1 dan L2 saling lepas.
Garis PQ dan RS adalah garis singgung
persekutuan luar.
P, Q, R, S adalah titik-titik singgungnya.
Pusat lingkaran L1 adalah M1 dan jari-
jarinya adalah r1.
jarinya adalah r2.
Jarak M1M2 = d.
5

1 2 3 4
Garis Singgung Persekutuan Luar
Dari M2 tarik garis sejajar PQ sehingga
memotong PM1 di A. maka AM2 = PQ,
AM1 =r1 – r2 dan ∆AM1M2 siku-siku di A.
Dengan Theorema Phytagoras, maka:
Karena M2A = PQ dan PQ = RS
Maka
5

1 2 3 4
Garis Singgung Persekutuan Dalam
Garis AB dan CD adalah garis singgung
persekutuan dalam.
A, B, C, D adalah titik-titik singgungnya.
jarinya adalah r1.
jarinya adalah r2.
Jarak M1M2 = d.
5

1 2 3 4
Garis Singgung Persekutuan Dalam
Dari M2 tarik garis sejajar AB sehingga
memotong perpanjangan M1A di E. maka
EM2 = AB, EM1 =(r1 + r2) dan ∆EM1M2
siku-siku di E.
Dengan Theorema Phytagoras, maka:
EM2
Karena EM2 = AB dan AB = CD
Maka
AB = CD =
5

1 2 3 4
Panjang Sabuk Lilitan Luar
Lingkaran L1 pusat di M1 dan jari-jari r1
Lingkaran L2 pusat di M2 dan jari-jari r2
Jarak pusat lingkaran L1 dengan
lingkaran L2 adalah M1M2 = d.
Sabuk lilitan luar adalah sabuk lilitan
yang dibuat dengan cara lingkaran L1
dan lingkaran L2 dikelilingi atau dililit
dengan erat oleh sebuah sabuk atau
tali mengikuti garis singgung persekutuan
luar.
5

1 2 3 4
Panjang sabuk lilitan luar minimal yang diperlukan untuk menghubungkan
lingkaran L1 dan lingkaran L2 adalah
Panjang PQ + panjang RS + panjang busur besar PR + panjang busur kecil QS
= 2 panjang PQ + panjang busur besar PR + panjang busur kecil QS, sebab
PQ = RS.
5

1 2 3 4
Besar sudut α:
∆AM1M2 siku-siku di A, AM1 = (r1 – r2) dan M1M2 = d
Jadi panjang sabuk lilitan luar minimal untuk menghubungkan lingkaran L1 dan
lingkaran L2 ditentukan dengan rumus
5

1 2 3 4
Panjang Sabuk Lilitan Dalam
5
Sabuk lilitan dalam adalah sabuk atau tali
dililitkan mengikuti garis singgung
persekutuan dalam.

1 2 3 4
5
Panjang sabuk lilitan dalam minimal yang diperlukan untuk menghubungkan
lingkaran L1 dan lingkaran L2 adalah
Panjang AB + panjang CD + panjang busur besar AC + panjang busur besar BD
= 2 panjang AB + panjang busur besar AC + panjang busur besar BD, sebab
AB = CD.

1 2 3 4
5
Jadi panjang sabuk lilitan dalam minimal untuk menghubungkan lingkaran L1 dan
lingkaran L2 ditentukan dengan rumus

Contoh Soal
1. Tentukan posisi dua lingkaran L1 ≡ x2 + y2 = 9 dan L2 ≡ x2 + y2 - 6x -6y + 9 = 0.
2. Jari-jari lingkaran L1 adalah r1 = 11 cm, jari-jari lingkaran L2 adalah r2 = 4 cm,
jarak titik pusat lingkaran L1 dengan lingkaran L2 adalah M1M2 = 25 cm.
Hitunglah panjang garis singgung persekutuan luar dari kedua lingkaran itu.
3. Misalkan jari-jari lingkaran L1 adalah r1 = 5 cm, jari-jari lingkaran L2 adalah
r2 = 1 cm, dan jarak titik pusat lingkaran L1 dengan lingkaran L2 adalah M1M2 =
8 cm. hitunglah panjang sabuk lilitan luar minimal yang menghubungkan kedua
lingkaran itu.
Cek Jawaban
1 2 3 4 5 6

LATIHAN SOAL
SOAL-SOAL SOLUSI SOAL

CREATED BY :
1. FINA NURMITA
2. GUSNIARTI
3. FITRI FUJI ASTUTI
4. SARI ASTI SETYA NINGSIH
5. SIYAM MURTINAH
Gusniarti F i n a
Fitri Siyam Asti

L i n g k a r a n

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to L i n g k a r a n

Similar to L i n g k a r a n (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

L i n g k a r a n