Bahan Kuliah Matematika Diskrit_Fakultas Sistem Informas

1. Probabilitas ( Peluang )
 P(A) : Peluang kejadian A
 n(A) : Banyaknya kejadian A
 n(S) : Banyaknya ruang sampel
)(
)(
)(
Sn
An
AP =

2. Contoh. 1
Dari seperangkat kartu Bridge
Tentukan peluang :
a). Terambilnya kartu hati
b). Terambilnya kartu merah
c). Terambilnya kartu As
d). Terambinya kartu bilangan prima

3. Jawab
n(S) = 52 ( kartu bridge tanpa Joker )
a). n(A) = 13 ; P(A) = n(A)/n(S) =13/52 = ¼
b). n(B) = 26 ; P(B) = n(B)/n(S) = 26/52 = ½
c). n(C) = 4 ; P(C) = n(C)/n(S) = 4/52 = 1/13
d). n(D) = 16 ; P(D) = n(D)/n(S) = 16/52 = 4/13

4. Contoh. 2
Diberikan sebuah dadu yang setimbang
Tentukan peluang :
a). Munculnya mata dadu 5
b). Munculnya mata dadu genap
c). Munculnya mata dadu prima
d). Munculnya mata dadu kurang dari 5
e). Munculnya mata dadu 7

5. Jawab
a). A={5}
n(A)=1 ; P(A)=1/6
b). B={2,4,6}
n(B)=3; P(B)=3/6=1/2
c). C={2,3,5}
n(C)=3; P(C)=3/6=1/2
d). D={1,2,3,4}
n(D)=4; P(D)=4/6=2/3
e). E={ }
n(E)=0; P(E)=0/6=0

6. Contoh.3
Peluang dari distribusi Frekuensi
Dari suatu populasi diperoleh data Sbb :
1 1 2 3 3 4 4 4 5 6
Tentukan peluang :
a). P(X>4)
b). P(X<5)
c). P(X=4)

7. Jawab
a). P(X>4) = 2/10 = 1/5
b). P(X<5) = 8/10 = 4/5
c). P(X=4) = 3/10

8. Ruang Sampel (S)
Ruang Sampel adalah himpunan semua
kemungkinan hasil dari suatu percobaan.
Contoh 1
Pada pelemparan 1 koin
Ruang Sampel = {A,G}
Contoh 2
Pelemparan 1 dadu
Ruang Sampel = {1,2,3,4,5,6}

9. Prinsip Perkalian
Adalah jika operasi pertama dapat dilakukan
dengan r cara dan setiap cara dilakukan dengan
operasi kedua dengan s cara, maka kedua
operasi itu secara bersama dilakukan dengan r x
s cara
Contoh 1
Pada pemilihan ketua dan sekretaris Senat
Mahasiswa yang terdiri dari 4 calon untuk ketua
dan 5 calon untuk untuk sekretaris.
Berapa banyak kemungkinan memilih untuk
menduduki jabatan ketua dan sekretaris ?
Jawab : 4 x 5 = 20 cara

10. Contoh 2
Berapa banyak bilangan ratusan yang dapat
disusun dari angka-angka : {0,1,2,3,4,5,6}
dengan :
a. Pengulangan
b.Tanpa pengulangan
Jawab :
a. 6 x 7 x 7 = 294
b. 6 x 6 x 5 = 180

11. Permutasi
Adalah susunan berbeda yang dibentuk dari n
unsur yang diambil secara keseluruhan atau
sebagian.
Defenisi 1
Permutasi n dari n unsur adalah himpunan n
buah unsur yang tiap kelompok terdiri dari n
unsur, urutan diperhatikan dan unsur-unsur
tiap kelompok tidak berulang P(n,n)

12. Faktorial
Dinotasikan Sebagai : n!
n! = n(n-1)(n-2)(n-3)…(3)(2)(1)
dan diasumsikan :
1! = 1
0! = 1

13. Defenisi 2
Permutasi k dari n unsur adalah himpunan n
buah unsur yang tiap kelompok terdiri dari k
unsur dengan k<n, urutan diperhatikan dan
unsur-unsur dalam tiap kelompok tidak
berulang;
)!(
!
),(
kn
n
knP
−
=

14. Contoh 1
Berapa banyaknya permutasi jika tujuh
unsur {a,b,c,d,e,f,g} dipermutasikan tiga-
tiga ?
Jawab :
n = 7 dan k = 3
210
!4
!4567
!4
!7
)!37(
!7
)3,7( ===
−
=
xxx
P

15. Contoh 2
Lima orang laki-laki (L) dan tiga orang wanita
(W) akan duduk pada delapan kursi yang
tidak melingkar.
a. Berapa banyaknya cara mereka duduk?
b. Berapa banyak cara mereka duduk, jika
laki-laki dan wanita duduk mengelompok?
c. Berapa banyak cara mereka duduk, jika
hanya wanita yang mengelompok?

16. a. Kasus ini bebas tanpa syarat
Berarti 8 orang duduk di 8 kursi
Banyak cara = P(8,8) = 8! = 40.320 cara
b. Ada 2 kemungkinan mereka duduk berkelompok
5L 3W atau 3W 5L
5! 3! + 3! 5!
Banyak cara : 2 x 5!3! = 2 X 120 X 6 = 1.440 cara
c. Andaikan kelompok ketiga wanita adalah X, maka:
L L L L L X
6! 3!
Banyaknya cara = 6! X 3! = 4.320 cara
Jawab

17. Permutasi dengan Unsur-unsur
Sama
Banyaknya permutasi yang berbeda dari n
buah unsur, dimana terdapat unsur-unsur
yang sama n1, n2, ..., nk dan unsur yang sama
tidak dibedakan serta n1+ n2 +...+ nk = n
adalah :
!!!
!
)...;(
21
21
k
k
nnn
n
nnnnP

 =

18. Contoh
Berapa banyaknya permutasi (susunan huruf
berbeda ) yang dapat disusun dari unsur-unsur
kata “ mamalia“, bila :
a. Tanpa syarat tambahan
b. Huruf terakhir selalu a
Jawab :
180
!1!1!2!2
!6
)1122;6(.
420
!1!1!3!2
!7
)1132;7(.
==⋅⋅⋅
==⋅⋅⋅
Pb
Pa

19. Kombinasi
Definisi 3
Kombinasi k dari n unsur adalah himpunan n
unsur yang tiap kelompok dari unsur dengan
k<n, urutan tidak diperhatikan dan unsur-
unsur dalam tiap kelompok tidak berulang;
)!(!
!
),(
knk
n
knC
−
=

20. Contoh
Suatu tim panitia terdiri dari 4 orang, dipilih
dari 9 orang laki-laki dan 6 orang wanita.
Berapa banyaknya panitia yang berbeda
dapat dibentuk jika :
a. Tanpa ada syarat lain
b. Tim terdiri dari 2 laki-laki dan 2 wanita
c. Keempat panitia itu tidak boleh laki-laki
atau wanita saja

21. Jawab
224.1141355.1)}4,6()4,9({)4,15(.
5401536)2,6()2,9(.
365.1
!11!4
!15
)4,15(.
=−=+−
==
==
CCCc
xxCCb
Ca

22. Gabungan dan Irisan Kejadian
 Gabungan dua kejadian A dan B adalah
suatu kejadian yang unsurnya terdiri dari
semua unsur ruang sampel termasuk unsur
kejadian A atau termasuk unsur kejadian B
atau termasuk keduanya.
 Irisan dua kejadian A dan B adalah suatu
kejadian yang unsurnya terdiri dari semua
unsur ruang sampel yang sekaligus termasuk
unsur kejadian A dan kejadian B

23. Peluang Gabungan dan Irisan
Kejadian
)(
)(
)(
)(
)()()(
)(
)(
)(
Sn
BAn
BAP
Sn
BAnBnAn
Sn
BAn
BAP
∩
=∩
∩−+
=
∪
=∪

24. Kejadian Majemuk
 Dua kejadian saling lepas
( Eksklusif )
 Dua kejadian tidak saling
lepas

25. Dua Kejadian Saling Lepas
(Eksklusif)
Dua kejadian A dan B saling lepas jika dan
hanya jika tidak ada unsur A yang juga
merupakan unsur B atau sebaliknya
0)(:{},
)()()(
=∩=∩
+=∪
BAnsehinggaBA
karena
BPAPBAP

26. Dua Kejadian Tidak Saling
Lepas
Dua kejadian A dan B tidak saling lepas jika
dan hanya jika ada unsur A yang juga
merupakan unsur B atau sebaliknya
0)(:{},
)()()()(
≠∩≠∩
∩−+=∪
BAnsehinggaBA
karena
BAPBPAPBAP

27. Contoh
Pada pengambilan 1 kartu secara acak dari
seperangkat kartu bridge.
Berapa peluang mendapatkan kartu As atau
King.
Jawab :
A kejadian mendapatkan kartu As
B kejadian mendapatkan kartu King
13
2
52
4
52
4
)()()( =+=+=∪ BPAPBAP

28. Contoh
Pada pengambilan 1 kartu secara acak dari
seperangkat kartu bridge.
Berapa peluang mendapatkan kartu As atau
Kartu berwarna Merah
Jawab :
A kejadian mendapatkan kartu As
B kejadian mendapatkan kartu Merah
26
3
52
2
52
4
52
4
)()()()(
=−+=
∩−+=∪ BAPBPAPBAP