Bahan Kuliah Matematika Diskrit_Fakultas Sistem Informas

1. January 27, 2003 Applied Discrete Mathematics
Week 1: Logic and Sets
1
LogikaLogika
• Hal yang penting dalam matematika reasoningHal yang penting dalam matematika reasoning
• Digunakan untuk mendisain sikuit elektronikDigunakan untuk mendisain sikuit elektronik
• Logika berdasarkan padaLogika berdasarkan pada proposisiproposisi..
• Sebuah proposisi adalah sebuah pernyataan (stSebuah proposisi adalah sebuah pernyataan (statatmen)men)
yang memiliki nilai benar atau salah, tetapi tidakyang memiliki nilai benar atau salah, tetapi tidak
keduanya.keduanya.
• Kita dapat mengatakan bahwa nilai kebenaran sebuahKita dapat mengatakan bahwa nilai kebenaran sebuah
proposisi adalah benar (proposisi adalah benar (BB) atau salah () atau salah (SS).).
• Pada sirkuit digital berkorespondensi denganPada sirkuit digital berkorespondensi dengan 11 dandan 0.0.

2. January 27, 2003 Applied Discrete Mathematics
Week 1: Logic and Sets
2
Pernyataan / Permainan ProposisiPernyataan / Permainan Proposisi
““Gajah lebih besar dari tikus.”Gajah lebih besar dari tikus.”
Apakah pernyataan ?Apakah pernyataan ? yaya
Apakah proposisi ?Apakah proposisi ? yaya
Apa nilai kebenaranApa nilai kebenaran
proporsisi ?proporsisi ? BenarBenar

3. January 27, 2003 Applied Discrete Mathematics
Week 1: Logic and Sets
3
Pernyataan / Permainan ProposisiPernyataan / Permainan Proposisi
““520 < 111”520 < 111”
Apakah pernyataan ?Apakah pernyataan ? yaya
Apakah proposisi ?Apakah proposisi ? yaya
Apa nilai kebenaranApa nilai kebenaran
proposisi?proposisi? salahsalah

4. January 27, 2003 Applied Discrete Mathematics
Week 1: Logic and Sets
4
Pernyataan / Permainan ProposisiPernyataan / Permainan Proposisi
““y > 5”y > 5”
Apakah pernyataan ?Apakah pernyataan ? yaya
Apakah proposisi ?Apakah proposisi ? tidaktidak
Nilai kebenarnnya bergantung pada nilai y,Nilai kebenarnnya bergantung pada nilai y,
tetapi nilainya tidak spesifik.tetapi nilainya tidak spesifik.
Kita dapat mengatakan tipe pernyataan iniKita dapat mengatakan tipe pernyataan ini
sebuahsebuah fungsi proposionalfungsi proposional atauatau pernyataanpernyataan
terbukaterbuka..

5. January 27, 2003 Applied Discrete Mathematics
Week 1: Logic and Sets
5
Pernyataan / Permainan ProposisiPernyataan / Permainan Proposisi
““Hari iniHari ini 10 September10 September 20020099 dan 99 < 5.”dan 99 < 5.”
Apakah pernyataan ?Apakah pernyataan ? yaya
Apakah proposisi ?Apakah proposisi ? yaya
Apa nilai kebenaranApa nilai kebenaran
proposisiproposisi ?? salahsalah

6. January 27, 2003 Applied Discrete Mathematics
Week 1: Logic and Sets
6
Pernyataan / Permainan ProposisiPernyataan / Permainan Proposisi
““Jangan membuang sampah sembarangan”Jangan membuang sampah sembarangan”
Apakah pernyataan ?Apakah pernyataan ? TidakTidak
Apakah proposisi ?Apakah proposisi ? TidakTidak
Hanya pernyataan yang dapat dijadikanHanya pernyataan yang dapat dijadikan
proposisi.proposisi.
Hanya sebuah himbauan atau permintaanHanya sebuah himbauan atau permintaan

7. January 27, 2003 Applied Discrete Mathematics
Week 1: Logic and Sets
7
Pernyataan / Permainan ProposisiPernyataan / Permainan Proposisi
““Jika gajah-gajah merah,Jika gajah-gajah merah,
mereka dapat bersembunyi dipohonmereka dapat bersembunyi dipohon
cherry.”cherry.”
Apakah pernyataan ?Apakah pernyataan ? yaya
Apakah proposisi ?Apakah proposisi ? yaya
Apa nilai kebenaran proposisiApa nilai kebenaran proposisi?? Peluang yg salahPeluang yg salah

8. January 27, 2003 Applied Discrete Mathematics
Week 1: Logic and Sets
8
Pernyataan / Permainan ProposisiPernyataan / Permainan Proposisi
““x < y jika dan hanya jika y > x.”x < y jika dan hanya jika y > x.”
Apakah pernyataan ?Apakah pernyataan ? yaya
Apakah proposisi ?Apakah proposisi ? yaya
Apa nilai kebenaran proposisiApa nilai kebenaran proposisi?? BenarBenar
…… sebab nilai kebenarannyasebab nilai kebenarannya
tidak bergantung padatidak bergantung pada
spesifik nilai x dan y.spesifik nilai x dan y.

9. January 27, 2003 Applied Discrete Mathematics
Week 1: Logic and Sets
9
Proposisi MajemukProposisi Majemuk
Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasiSatu atau lebih proposisi dapat dikombinasi
menjadi sebuah bentuk tunggal proposisimenjadi sebuah bentuk tunggal proposisi
majemuk.majemuk.
Secara formal proposisi dapat dinotasikanSecara formal proposisi dapat dinotasikan
sebagai huruf kecil sepertisebagai huruf kecil seperti p, q, r, s,p, q, r, s, dandan
didahului beberapadidahului beberapa operator logikaoperator logika..

10. January 27, 2003 Applied Discrete Mathematics
Week 1: Logic and Sets
10
Operator Logika (Konektivitas)Operator Logika (Konektivitas)
Logika operator :Logika operator :
• NegasiNegasi (NOT)(NOT)
• KonjungsiKonjungsi (AND)(AND)
• DisjungsiDisjungsi (OR)(OR)
• EksEkskklusilusiff oror (XOR)(XOR)
• ImplikasiImplikasi (if – then)(if – then)
• BiimplikasiBiimplikasi (if and only if)(if and only if)
Tabel kebenaran dapat digunakan untukTabel kebenaran dapat digunakan untuk
menunjukkan bagaimana operator dapatmenunjukkan bagaimana operator dapat
dikombinasi dengan proposisi menjadi proposisidikombinasi dengan proposisi menjadi proposisi
majemuk.majemuk.

11. January 27, 2003 Applied Discrete Mathematics
Week 1: Logic and Sets
11
Negasi (NOT)Negasi (NOT)
Operator Unari, Simbol:Operator Unari, Simbol: ¬¬
PP PP
BB SS
SS BB

12. January 27, 2003 Applied Discrete Mathematics
Week 1: Logic and Sets
12
Konjungsi (AND)Konjungsi (AND)
Operator Binari, Symbol:Operator Binari, Symbol: ∧∧
PP QQ PQPQ
BB BB BB
BB SS SS
SS BB SS
SS SS SS

13. January 27, 2003 Applied Discrete Mathematics
Week 1: Logic and Sets
13
Disjunction (OR)Disjunction (OR)
Binary Operator, Symbol:Binary Operator, Symbol: ∨∨
PP QQ PPQQ
BB BB BB
BB SS BB
SS BB BB
SS SS SS

14. January 27, 2003 Applied Discrete Mathematics
Week 1: Logic and Sets
14
EEksksklusif Or (XOR)klusif Or (XOR)
Operator Biner, Symbol:Operator Biner, Symbol: ⊕⊕
PP QQ PPQQ
BB BB SS
BB SS BB
SS BB BB
SS SS SS

15. January 27, 2003 Applied Discrete Mathematics
Week 1: Logic and Sets
15
Implikasi (Jika - Maka)Implikasi (Jika - Maka)
Operator Biner, Symbol:Operator Biner, Symbol: →→
PP QQ PPQQ
BB BB BB
BB SS SS
SS BB BB
SS SS BB

16. January 27, 2003 Applied Discrete Mathematics
Week 1: Logic and Sets
16
Biimplikasi (Jika dan hanya jika)Biimplikasi (Jika dan hanya jika)
Operator Biner, Symbol :Operator Biner, Symbol : ↔↔
PP QQ PPQQ
BB BB BB
BB SS SS
SS BB SS
SS SS BB

17. January 27, 2003 Applied Discrete Mathematics
Week 1: Logic and Sets
17
Pernyataan dan OperatorPernyataan dan Operator
Pernyatan dan operator dapat dikombinasi dengan beberapa caraPernyatan dan operator dapat dikombinasi dengan beberapa cara
menjadi suatu pernyataan yang baru.menjadi suatu pernyataan yang baru.
PP QQ PQPQ

(PQ)(PQ)
(P)(Q(P)(Q
))
BB BB BB SS SS
BB SS SS BB BB
SS BB SS BB BB
SS SS SS BB BB

18. January 27, 2003 Applied Discrete Mathematics
Week 1: Logic and Sets
18
Pernyataan yang EkuivalenPernyataan yang Ekuivalen
PP QQ
(PQ(PQ
))
(P)(Q(P)(Q
))
(PQ)(PQ)(P)(Q(P)(Q
))
TT TT SS SS BB
BB SS BB BB BB
SS BB BB BB BB
SS SS BB BB BB
PernyataanPernyataan ¬¬(P(P∧∧Q) dan (Q) dan (¬¬P)P)∨∨((¬¬Q) adalahQ) adalah ekuivalen logikalekuivalen logikal,,
sebabsebab ¬¬(P(P∧∧Q)Q)↔↔((¬¬P)P)∨∨((¬¬Q) adalah selalu benar.Q) adalah selalu benar.

19. January 27, 2003 Applied Discrete Mathematics
Week 1: Logic and Sets
19
Tautologi dan KontradiksiTautologi dan Kontradiksi
Tautology adalah pernyataan yang selaluTautology adalah pernyataan yang selalu
benar.benar.
Contoh:Contoh:
• RR∨∨((¬¬R)R)
∀ ¬¬(P(P∧∧Q)Q)↔↔((¬¬P)P)∨∨((¬¬Q)Q)
Jika SJika S→→T adalah tautologi, ditulis ST adalah tautologi, ditulis S⇒⇒T.T.
Jika SJika S↔↔T adalah tautologi, ditulis ST adalah tautologi, ditulis S⇔⇔T.T.

20. January 27, 2003 Applied Discrete Mathematics
Week 1: Logic and Sets
20
Tautologi dan KontradiksiTautologi dan Kontradiksi
Kontradiksi adalah pernyataan yang selaluKontradiksi adalah pernyataan yang selalu
bernilai salah.bernilai salah.
Contoh :Contoh :
• RR∧∧((¬¬R)R)
∀ ¬¬((¬¬(P(P∧∧Q)Q)↔↔((¬¬P)P)∨∨((¬¬Q))Q))
Negasi dari tautologi adalah kontradiksi danNegasi dari tautologi adalah kontradiksi dan
negasi dari kontradiksi adalah tautologi.negasi dari kontradiksi adalah tautologi.

21. January 27, 2003 Applied Discrete Mathematics
Week 1: Logic and Sets
21
LatihanLatihan
Buktikan bahwa pernyatan berikut tautologi:Buktikan bahwa pernyatan berikut tautologi:
1.1. ¬¬(P(P∧∧Q)Q) ⇔⇔ ((¬¬P)P)∨∨((¬¬Q)Q)
2.2. ¬¬(P(P∨∨Q)Q) ⇔⇔ ((¬¬P)P)∧∧((¬¬Q).Q).