met Newton

1. Tema: Metoda lui Newton
Efectuat: Pădure Cătălina Cl
12 B

2. Introducere
Printre cele mai cunoscute şi mai folosite tehnici de
rezolvare a ecuaţiilor neliniare, găsim metoda
Newton, denumită uneori şi metoda Newton-
Raphson sau metoda tangentelor.
Ea se deosebeşte de alte metode de aproximaţii
succesive prin faptul că pentru fiecare punct din
şirul aproximaţiilor este necesar atât evaluarea
funcţiei f(x) ce defineşte ecuaţia, cât şi a derivatei
acesteia f '(x).

4. Valoarea aproximativă
Valoarea aproximativă a rădăcinii exacte δ se
calculează folosind un şir de aproximaţii succesive
{x0, x1, x2, ... } construit după următorul model.
Pornind de la aproximaţia x0, curba y=f(x) este
aproximată în punctul de coordonate (x0, f(x0)) prin
tangenţa la ea.
Noua aproximaţie x1 se obţine la intersecţia acestei
tangente cu axa absciselor. Folosind pe x1 ca
aproximaţie iniţială, se reia procedeul,
determinându-se o nouă aproximaţie x2 până cînd
abaterea între două iteraţii succesive scade sub o
valoare prag impusa:
|x_(n+1) - x_n| <ε

5. Condiţiile de convergenţă ale metodei Newton sunt relativ
complexe ca formă şi se referă nu numai la funcţia f(x), ci şi la
primele sale două derivate, f '(x) şi f ''(x).
Marele avantaj al metodei Newton este rata mare de
convergenţă în apropierea soluţiei exacte, se asigură practic
dublarea numărului de cifre exacte ale soluţiei calculate la fiecare
iteraţie.
Această proprietate remarcabilă este "cartea de vizită" ce
recomandă metoda Newton ca fiind cea mai eficientă cale de
rezolvare a unei ecuaţii neliniare pentru care este posibilă
evaluarea derivatei f '(x).
FORMULA DE RECURENŢĂ

6. Algoritmul metodei Newton
1. Definirea functiei f(x), a derivatei f '(x), a aproximaţiei iniţiale x,
a preciziei Eps şi a numărului maxim de iteraţii nmax.
2. Iniţializarea procesului iterativ: It ← 0;
3. Procesul iterativ:
1)Se trece la o noua iteratie: It ← It+1;
2)Calculul corectiei: dx ← f(x) / f '(x) ;
3)Calculul noii aproximaţii: x ← x + dx ;
4)Dacă s-a atins precizia dorită (|dx| <= Eps) sau numărul
maxim de iteraţii(nmax) se întrerupe bucla iterativă şi se trece la
pasul 4.
4. Stabilirea condiţiilor de ieşire din bucla iterativă:
1)Dacă |dx|<Eps - proces convergent – soluţia aproximativă
este x.
2)Dacă |dx|>=Eps şi It=nmax, se afişează mesajul :
"Depăşire număr maxim iteraţii".