Metoda bisectionării este o tehnică simplă pentru rezolvarea ecuațiilor algebrice și transcendente, utilizând un interval [α,β] unde funcția are semne contrare la extremități. Procesul implică împărțirea repetată a intervalului și determinarea unei rădăcini aproximative cu o precizie specificată, până când intervalul devine suficient de mic. Algoritmul include definirea funcției, inițializarea, iterarea și calcularea rădăcinii aproximative.

1. METODA BISECTIEI
EFECTUAT: PADURE CATALINA 12B

2. Caracteristici generale:
Metoda bisectiei, numita uneori
şi metoda injumatatirii intervalelor, este cea mai
simplă dintre metodele de rezolvare a ecuaţiilor
algebrice şi transcendente. Se consideră că, printr-un
procedeu oarecare, s-a reuşit localizarea
rădăcinii exacte δ a ecuatiei f(x)=0 în intervalul
[,β]. În ipoteza în care funcţia f(x) este continuă,
iar rădăcina δ este singurul zerou al lui f(x) in [, β],
la extremităţile intervalului funcţia ia valori de
semne contrare: f(α) x f(β)<0.

3. Determinarea aproximatiei δ' a radacinii exacte δ cu o precizie ε
folosind metoda bisectiei foloseste urmatoarea schema (figura de
mai sus): intervalul [α, β] se injumatateste prin punctul m=(α+
β)/2 si se calculeaza produsul f(m) * f(β). Daca f(m) * f(β) este
pozitiv, radacina δ se gaseste intre α si m. In acest caz, se retine
valoarea lui m ca extremitatea dreapta a intervalului (β < m) si se
reia procedeul. Daca f(m) * f(β) este negativ, radacina se gaseste
intre m si β .

4. De aceasta data, se modifica extremitatea stanga a
intervalului (α< m) si se reia procedeul. Aceasta schema
se aplica in mod repetat pana cand lungimea intervalului
[α, β] - modificat de la o iteratie la alta - scade sub
valoarea limita 2*ε, adica α-β < 2*ε. Daca, in acest
moment, se considera ca radacina
aproximativa δ'=(α+β)/2, acesta nu se indeparteaza de
solutia exacta δ cu mai mult de ε. Desigur, intr-un caz
banal, este posibil ca, in cursul injumatatirii intervalelor
succesive [α, β], punctul m sa coincida cu radacina
exacta δ. Aceasta situatie se recunoaste prin anularea
produsului f(m) * f(β), caz in care schema de calcul se
intrerupe, dispunand in acest caz chiar de radacina
exacta δ'=m=δ.

5. Algoritm
1) definirea functiei f(x), a intervalului de lucru [α,β], a preciziei ε si a numarului
maxim de iteratii nmax.
2) procesul iterativ:
1. Initializarea procesului iterativ: it < 0;
2. Daca s-a atins precizia datorita (β-α < 2*ε) sau numarul maxim de
iteratii nmax se incheie bucla iterativa si se trece la pasul 3.
3. Se trece la o noua iteratie: it < it+1;
4. Injumatatirea intervalului curent: m < (α+β)/2 ;
5. Stabilirea noului interval de lucru:
a) daca f(m) * f(β)<0, radacina se gaseste in [m , β]; se actualizeaza limita
stanga: α < m si se trece la pasul 2.4;
b) daca f(m) * f(β)>0, radacina se gaseste in [α , m]; se actualizeaza limita
dreapta: β < m si se trece la pasul 2.4;
c) daca f(m) * f(β)=0, radacina este m; se actualizeaza ambele limite: α
<m,β < m si se trece la pasul 2.4;
6. Se revine la pasul 2.2;
3)calculul radacinii aproximative: x < (α+β)/2.