Documentul analizează diferite metode numerice pentru rezolvarea ecuațiilor și sistemelor liniare, inclusiv metoda bisectiei, metoda lui Newton și metoda gauss-seidel. Se discută despre convergența acestor metode, condiții suficiente pentru convergență și aplicabilitatea acestora în diverse situații. De asemenea, se fac observații referitoare la polinoamele lui Lagrange și utilizarea lor în interpolare.

1. Name: ________________________ Class: ___________________ Date: __________ ID: A
awerg
True/False
Indicate whether the sentence or statement is true or false.
T
____ 1. Se considera ecuatia f(x) = 2x 3 − x − 1 = 0
Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [0,2]. Pentru a afla o astfel de solutie putem aplica metoda
bisectiei.
T
____ 2. Se considera ecuatia f(x) = x 3 − x − 2
Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [-1,2]. Pentru a afla o astfel de solutie putem aplica
metoda bisectiei.
F
____ 3. Se considera ecuatia
x
f(x) = [x] −
2
Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [-1,2]. In formula de mai sus [x] este partea intreaga a
numarului x . Pentru a afla o astfel de solutie putem aplica metoda bisectiei.
T
____ 4. Se considera ecuatia f(x)=0
cu f continua pe intervalul [a,b] si f(a)f(b)<0. Atunci metoda bisectiei produce un sir ce converge
catre una din solutiile ecuatiei de mai sus.
F
____ 5. Se considera ecuatia f(x)=0
cu f continua pe intervalul [a,b]si f(a)f(b)<0 . Atunci daca se porneste cu predictie initiala suficient
de aproape de o solutie din [a,b] a ecuatiei de mai sus metoda lui Newton va converge catre acea
solutie cu ordin de convergenta patratic.
F
____ 6. Se considera ecuatia f(x)=0
2
cu f ∈ C [a,b] pe intervalul [a,b] si f' (x *) ≠ 0 unde x * ∈ [a, b] este solutia exacta a
ecuatiei. Atunci daca se porneste cu predictie initiala suficient de aproape de o solutie din [a,b] a
ecuatiei de mai sus metoda lui Newton va converge catre acea solutie cu ordin de convergenta
patratic.
F
____ 7. Metoda bisectiei e intotdeauna mai rapida decat metoda lui Newton.
1

2. Name: ________________________ ID: A
T
____ 8. Metoda bisectiei converge liniar.
T
____ 9. Intotdeauna metoda lui Newton produce un sir de numere care converge catre solutia ecuatiei careia
ii aplicam metoda.
T
____ 10. Se considera ecuatia f(x)=0
cu f continua pe intervalul [a,b] si f(a)f(b)<0 . Utilizam metoda bisectiei pentru aproximarea unei
solutii a ecuatiei de mai sus. Notam cu solutia catre care converge sirul de aproximari produse de
metoda bisectiei. Este adevarat atunci ca putem determina cu exactitate numarul n de iteratii necesare
pentru ca | x n − x * | < 10 −5 . aici x n denota a n-a iteratie.
T
____ 11. Se rezolva un sistemul compatibil determinat cu matrice A si termen liber b utilizand o metoda
numerica iterativa. La pasul n se calculeaza un vector X n . Calculam AX n − b si gasim ca fiecare
componenta a lui AX n − b este foarte mica. Atunci X n este foarte aproape de solutia exacta a
sistemului liniar AX = b
T
____ 12. In general metoda de interpolare a lui Lagrange e mai rapida decat metoda de interpolare cu
diferente divizate.
F
____ 13. Metoda rotatiilor a lui Jacobi calculeaza in mod exact valorile proprii ale oricarei matrici.
T
____ 14. Metoda rotatiilor a lui Jacobi pentru determinarea valorilor proprii ale unei matrici de un anumit tip
A este o metoda iterativa in care la fiecare pas se construieste o matrice R de un anumit tip si se
T
inmulteste A la stanga cu R iar la dreapta cu R. In acest fel la fiecare pas se anuleaza una cate una
componentele din matricea A ce nu sunt pe diagonala si intr-un numar finit de pasi metoda rotatiilor
produce o matrice diagonala ale carei elemente pe diagonala sunt exact valorile proprii ale matricii
A.
F
____ 15. Daca f este un polinom de grad n atunci metoda lui Newton-Cotes cu n+1 noduri echidistante pe
[a,b] va calcula in mod exact integrala
b
∫a f(x)dx
2

3. Name: ________________________ ID: A
F
____ 16. Daca f este un polinom de grad 4 atunci metoda lui Newton-Cotes cu 3 noduri echidistante pe [a,b]
va calcula in mod exact integrala
b
∫a f(x)dx
T
____ 17. Formulele Newton-Cotes sumate se obtin prin impartirea intervalului de integrare in subintervale de
lungime egala, aplicarea formulelor Newton-Cotes pe fiecare subinterval si sumarea rezultatelor
obtinute.
T
____ 18. In practica se folosesc formulele Newton-Cotes nu formulele Newton-Cotes sumate pentru ca
acestea ultimele necesita prea multe calcule.
T
____ 19. Polinomul lui Legendre P 3 de grad 3 este ortogonal pe polinomul lui Legendre P 4 de grad 4 adica
1
∫−1 P 3 (x)P 4(x)dx = 0
A
____ 20. Polinoamul lui Legendre de grad 4 este ortogonal pe ADEVARAT
1
adica ∫ (x 2 + 1) P 4(x)dx = 0
−1
T
____ 21. In formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre(spre deosebire de metoda Newton-Cotes) nodurile se
aleg depinzand de functia ce urmeaza a fi integrata.
F
____ 22. In formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre(spre deosebire de metoda Newton-Cotes) ponderile
se aleg depinzand de functia ce urmeaza a fi integrata.
T
____ 23. Metoda lui Euler produce intotdeauna o solutie aproximativa care pe masura ce pasul h se
micsoreaza va converge catre solutia exacta a problemei.
3

4. Name: ________________________ ID: A
F
____ 24. Se rezolva numeric o ecuatie diferentiala
y' = f(x,y),y(0) = 1
cu metoda lui Euler cu pas h. Notam x 0 = 0,y 0 = 1.La efectuarea primului pas eroarea comisa este
h2
| y 1 − y(x 1 )| = | y' ' (ψ)|
2
unde ψ este un numar din intervalul [ x 0, x 1 ]
Multiple Choice
Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question.
C
____ 25. Se considera ecuatia f(x) = 4x 5 − 3x 3 − 1 = 0
(4x 5 − 3x 3 − 1)
n n
Pentru rezolvarea ei vom alege x 0 = 1.2 si apoi vom defini recursiv x n + 1 = x n − .
(20x 4 − 9x 2 )
n n
Aceasta este
a. metoda bisectiei c. metoda lui Newton
b. metoda secantei d. metoda pozitiei false
C
____ 26. Se considera ecuatia f(x) = 3x 5 − 2x 3 − 1 = 0
(3x 5 − 2x 3 − 1)
n n
Pentru rezolvarea ei vom alege x 0 = 1.2 si apoi vom defini recursiv x n + 1 = x n − ,n
(15x 4 − 6x 2 )
n n
numar natural. Aceasta este
a. metoda bisectiei c. metoda lui Newton
b. metoda secantei d. metoda pozitiei false
4

5. Name: ________________________ ID: A
A
____ 27. Se considera ecuatia f(x) = 3x 3 − x − 1 = 0
Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [0,3]. Punem a=0, b=3 apoi verificam ca f(a)f(b)<0. La
primul pas punem c=(a+b)/2 dupa care calculam f(a)f(c). Daca f(a)f(c)<0 punem b=c. Alftel
punem a=c . Acest pas este primul pas in metoda
a. bisectiei c. lui Newton
b. secantei d. lui Gauss
A
____ 28. Care din urmatoarele afirmatii sunt adevarate?
a. Metoda lui Newton necesita c. Si metoda bisectiei si metoda
calcularea exacta a derivatei la lui Newton se pot utiliza
fiecare pas, in timp ce metoda intotdeauna
bisectiei nu necesita acest
lucru.
b. Metoda bisectiei are un ordin
de convergenta mai mare decat
metoda lui Newton.
B
____ 29. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa
Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica
a. Metoda lui Cholesky(sau c. Metoda lui Newton
metoda radacinii patrate)
b. Metoda lui Gauss d. Metoda lui Lagrange
5

6. Name: ________________________ ID: A
C
____ 30. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa
Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica
a. Metoda lui Cholesky(sau c. Metoda lui Gauss
metoda radacinii patrate)
b. Metoda lui Gauss-Legendre d. Metoda lui Lagrange
C
____ 31. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa
Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica
a. Metoda lu Choleski(sau metoda radacinii c. Metoda lui Gauss
patrate)
b. metoda lui Simpson d. Metoda lui Lagrange
6

7. Name: ________________________ ID: A
A
____ 32. Se rezolva sistemul cu matricea
Ê2
Á 1 1ˆ
˜
Á
Á ˜
˜
Á
Á ˜
˜
Á
Á1 ˜
Á
Á
Á 5 0˜
˜
˜
˜
Á
Á ˜
˜
Á1
Á 0 1˜
˜
Á
Ë ˜
¯
Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica
a. Metoda lui Cholesky(sau metoda c. Metoda bisectiei
radacinii patrate)
b. Metoda lui Newton d. Metoda lui Lagrange
A
____ 33. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa
Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica
a. Metoda lui Cholesky(deasemenea c. Metoda lui Newton
numita si metoda radacinii
patrate)
b. Metoda lui Lagrange d. Metoda lui Gauss-Legendre
7

8. Name: ________________________ ID: A
B
____ 34. Care din urmatoarele conditii sunt suficiente pentru ca metoda lui Jacobi pentru rezolvarea de
sisteme liniare sa produca un sir ce converge catre solutia exacta a sistemului liniar?
a. Matricea sistemului este c. Matricea sistemului e superior
simetrica triunghiulara
b. Matricea sistemului e diagonal d. Matricea sistemului e pozitiv
dominanta pe linii definita
B
____ 35. Care din urmatoarele conditii sunt suficiente pentru ca metoda lui Gauss-Seidel pentru rezolvarea de
sisteme liniare sa produca un sir ce converge catre solutia exacta a sistemului liniar?
a. Matricea sistemului este c. Matricea sistemului e superior
simetrica triunghiulara
b. Matricea sistemului e diagonal d. Matricea sistemului e pozitiv
dominanta pe linii definita
A
____ 36. Care din urmatoarele metode de rezolvare de sisteme liniare nu sunt metode iterative(adica sunt
metode ce teoretic produc solutia exacta a sistemului liniar ce se doreste a fi rezolvat)?
a. Metoda lui Gauss pentru c. Metoda lui Gauss-Seidel
rezolvarea de sisteme
algebrice liniare
b. Metoda lui Jacobi pentru
rezolvarea de sisteme
algebrice liniare
8

9. Name: ________________________ ID: A
A
____ 37. Care din urmatoarele metode de rezolvare de sisteme liniare sunt metode iterative(adica sunt
metode ce teoretic produc un sir ce in anumite conditii converge catre solutia exacta a sistemului
liniar e se doreste a fi rezolvat)?
a. Metoda lui Jacobi(pentru sisteme c. Metoda radacinii patrate(sau metoda
liniare) Cholesky)
.
b. Metoda lui Gauss (pentru
sisteme liniare)
B
____ 38. Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata simetrica si pozitiv definita. Care
din urmatoarele metode de rezolvare poate fi utilizata pentru rezolvarea lui?
a. Metoda lui Lagrange c. Metoda lui Gauss-Legendre
b. Metoda lui Cholesky(metoda d. Metoda lui Newton
radacinii patrate)
9

10. Name: ________________________ ID: A
B
____ 39. Se rezolva sistemul cu matricea A data de
Ê4
Á 0 1ˆ
˜
Á
Á ˜
˜
Á
Á2 ˜
Á
Á
Á 5 2˜
˜
˜
˜
Á
Á ˜
˜
Á3
Á 1 7˜
˜
Ë ¯
Se doreste a se aplica metoda lui Gauss-Seidel cu predictie initiala X 0 = (0,0,0)
De ce este metoda lui Gauss-Seidel garantata sa convearga?
a. Pentru ca metoda lui c. Pentru ca predictia initiala este
Gauss-Seidel converge X 0 = (0,0,0)
intotdeauna.
b. Pentru ca matricea sistemului este d. Pentru ca matricea A este
diagonal dominanta pe linii. inversabila.
B
____ 40. Se rezolva sistemul compatibil determinat cu matricea extinsa A data de
Ê4
Á 0 1ˆ
˜
Á
Á ˜
˜
Á
Á2 ˜
Á
Á
Á 5 2˜
˜
˜
˜
Á
Á ˜
˜
Á3
Á 1 7˜
˜
Ë ¯
Se doreste a se aplica metoda lui Jacobi cu predictie initiala X 0 = (0,0,0). De ce este metoda lui
Jacobi garantata sa convearga?
a. Pentru ca metoda lui Jacobi c. Pentru ca predictia initiala este
converge intotdeauna. X 0 = (0,0,0)
b. Pentru ca matricea sistemului este d. Pentru ca matricea A este
diagonal dominanta pe linii. inversabila.
10

11. Name: ________________________ ID: A
A
____ 41. Ce metoda de interpolare utilizeaza polinoamele
∏ n
j = 1,j ≠ i
(x − x j )
l (x) =
∏
i n
j = 1,j ≠ i
(x i − x j )
a. metoda de interpolare cu c. metoda de interpolare cu
polinoame Lagrange diferente divizate
b. metoda lui Gauss d. metoda de interpolare cu functii
spline
C
____ 42. Care este forma polinoamelor Lagrange de interpolare pe nodurile ?
∏ n
j = 1,j ≠ i
(x i − x j )
a. l (x) =
∏
i n
j = 1,j ≠ i
(x − x j )
∏ n
j = 1,j ≠ i
(x − x i )
b. l (x) =
∏
i n
j = 1,j ≠ i
(x j − x i )
∏ n
j = 1,j ≠ i
(x − x j )
c. l (x) =
∏
i n
j = 1,j ≠ i
(x i − x j )
d. l i (x) = ∏ n
j = 1,j ≠ i
(x − x j ) − ∏ n
j = 1,j ≠ i
(x i − x j )
11

12. Name: ________________________ ID: A
D
____ 43. Polinomul lui Lagrange de ordin 2 ce interpoleaza valorile din tabelul
este
a. (x − 1) 2 − 1 c. (x − 1) 2
b. x2 + 1 d. x2
D
____ 44. Polinomul lui Lagrange de ordin 2 ce interpoleaza valorile din tabelul
este
a. (x − 1) 2 − 1 c. (x − 1) 2
b. x2 − x d. x2 − 2
B
____ 45. Se da tabelul
Cat este l 2 (x) (adica polinomul lui Lagrange corespunzator nodului 0)
a. (x − 1) 2 − 1 c. (x − 1) 2
b. 1 − x2 d. (x − 1) 2 + 1
12

13. Name: ________________________ ID: A
A
____ 46. Se da tabelul
Notam cu l i polinomul lui Lagrange corespunzator nodului i adica l i are grad n si l i (x j ) = 0 daca
j ≠ i si l i (x i ) = 1 . Atunci polinomul lui Lagrange P(x) de grad n ce interpoleaza valorile din tabelul
de mai sus este dat de formula:
yi
a. P(x) = ∑n
i=0
y i l i (x) c. P(x) = ∑n
i=0
l i (x)
b. P(x) = ∑n
i=0
y i − l i (x) d. P(x) = ∑n
i=0
y i + l i (x)
Ê πx ˆ
Á ˜
B
____ 47. Se considera functia f(x) = sin Á
Á
Á ˜ ˜ si P(x) polinomul de grad 1 care interpoleaza valorile lui f pe
˜
Á ˜
Á Á 2 ˜
Ë ˜ ¯
nodurile 0,1 . Cat este atunci P(2)?
a. 1 c. 3
b. 2 d. 4
C
____ 48. Care din urmatoarele este o metoda de calcul a valorilor proprii ale unui anumit tip de matrici?
a. Metoda bisectiei c. Metoda rotatiilor a lui Jacobi
b. Metoda Newton-Cotes d. Metoda trapezului
13

14. Name: ________________________ ID: A
A
____ 49. Carui tip de matrici i se poate aplica metoda rotatiilor?
a. Matrici reale simetrice c. Matrici superior triunghiulare
b. Matrici inversabile d. Matrici diagonal dominante pe
linii
B
1
____ 50. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula ∫ x 3 dx prin
−1
utilizarea a 3 noduri echidistante -1,0,1. Conform metodei Newton-Cotes
1
∫−1
x 3 dx
1
este aproximata de ∫−1
P 2 (x) dx
unde P 2 este un anumit polinom de grad cel mult 2. Cat este P 2 ?
a. x2 c. 2x
b. x d. 2x − 4
C 1
____ 51. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula ∫
−1
x 3 dx prin
utilizarea a 3 noduri echidistante -1,0,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui x 3 pe
nodurile -1,0,1. Aceasta metoda de integrare cu trei noduri se numeste
a. metoda trapezului c. metoda lui Lagrange
b. metoda lui Simpson d. metoda lui Jacobi
14

15. Name: ________________________ ID: A
B
1
____ 52. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula ∫−1
x 3 dx prin
utilizarea a 2 noduri echidistante -1,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui x 3 pe
nodurile -1,1. Aceasta metoda de integrare este
a. metoda trapezului c. metoda lui Lagrange
b. metoda lui Simpson d. metoda lui Jacobi
B
____ 53. Metoda trapezului aproximeaza integrala lui f pe [a,b] dupa formula
(b + a)(f(b) + f(a)) (b − a)(f(b) − f(a))
a. c.
2 2
(b − a)(f(b) + f(a)) (b + a)(f(b) − f(a))
b. d.
2 2
D
____ 54. Metoda lui Simpson aproximeaza integrala lui f pe [a,b] cu formula
Êa+bˆ
Á ˜
Á ˜
(b + a)(f(b) + 4f Á
Á
Á
Á
˜ + f(a))
˜
˜
Á 2 ˜
Ë ˜
¯
a.
6
Êa+bˆ
Á ˜
Á ˜
(b − a)(f(b) − 4f Á
Á
Á
˜
Á 2 ˜ + f(a))
˜
˜
Á
Ë ˜
¯
b.
6
Êa+bˆ
Á ˜
Á ˜
(b + a)(f(b) − 4f Á
Á
Á
˜
Á 2 ˜ + f(a))
˜
˜
Á
Ë ˜
¯
c.
6
Êa+bˆ
Á ˜
Á ˜
(b − a)(f(b) + 4f Á
Á
Á
˜
Á 2 ˜ + f(a))
˜
˜
Á
Ë ˜
¯
d.
6
15

16. Name: ________________________ ID: A
B
____ 55. Aproximam integrala
3
∫ 0
f(x) dx
cu metoda sumata a trapezului cu 3 subintervale. Obtinem
a. (f(0) + 2f(1) − 2f(2) − f(3)) / 2
b. (f(0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) / 2
c. (f(0) + 3f(1) + 3f(2) + f(3)) / 2
d. (f(0) + 4f(1) + 4f(2) + f(3)) / 2
A
____ 56.
6
Aproximam integrala ∫
0
f(x) dx
cu metoda sumata a lui Simpson cu 3 subintervale. Obtinem
a.
b.
c.
d.
16

17. Name: ________________________ ID: A
C
____ 57. Formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre este o metoda de
a. rezolvare a sistemelor algebrice c. integrare numerica
liniare
b. gasire a valorilor proprii ale unei d. interpolare
matrici
D
____ 58. Metoda Newton-Cotes este o metoda de
a. rezolvarea a sistemelor c. interpolare
algebrice liniare
b. gasire a valorilor proprii ale d. integrare numerica
unei matrici
A
____ 59. Metoda lui Simpson se incadreaza in metodele mai generale de tip
a. Newton-Cotes
b. Gauss-Legendre
c. nici una nici alta
17

18. Name: ________________________ ID: A
C
____ 60. Vrem sa aplicam formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre cu n noduri (x i ) i = 1. . n pentru
aproximarea unei integrale pe intervalul [-1,1]. La primul pas
a. se determina nodurile cu c. se integreaza polinomul lui
2i Legendre pe [-1,1] valoarea
formula x i = −1 + obtinuta fiind o aproximare
n−1
(nodurile ar fi in cazul acesta buna a integralei.
echidistante)
b. se afla valoarea polinomului d. se afla radacinile polinomului lui
lui Legendre la capetele Legendre de ordin n
intervalului
C
____ 61. Vrem sa aplicam formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre cu 2 noduri x 1 ,x 2 pentru aproximarea
integralei unei functii f pe intervalul [-1,1]. Atunci x 1 ,x 2 in mod necesar sunt
a. -1 respectiv 1 c. radacinile polinomului de
interpolare al lui Lagrange
pentru functia f pe nodurile -1
si 1
b. se calculeaza valorile d. radacinile polinomului lui
polinomului lui Legendre la Legendre de ordin 2
capetele intervalului. acele
valori sunt x 1 si x 2
A
____ 62. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala y' = x +
y
,y(1) = 1
x
cu metoda lui Euler cu pas h=1. Observati ca solutia exacta a ecuatiei este y(x) = x 2 . Care este
aproximatia produsa de aceasta metoda pentru y(2), unde y este solutia exacta a ecuatiei de mai sus?
a. 3 c. 4
b. 3.5 d. 4.5
18

19. Name: ________________________ ID: A
A
____ 63. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
y' = x + sin(y),y(1) = 1
cu metoda lui Euler cu pas h=0.5 . Notam x 0 = 1,y 0 = 1Formula iterativa din metoda lui Euler este
a. y i + 1 = y i + 0.5(x i − sin(y i )) c. y i + 1 = y i + 0.5(x i + sin(y i ))
b. y i + 1 = y i − 0.5(x i + sin(y i )) d. y i + 1 = y i − 0.5(x i − sin(y i ))
A
____ 64. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
y' = f(x,y),y(0) = 1
Notam x 0 = 0,y 0 = 1. Fixam pasul h si consideram formula iterativa
y i + 1 = y i + hf(x i ,y i )
Aceasta este
a. Metoda lui Euler c. Metoda lui Runge-Kutta de
ordin 2
b. Metoda lui Taylor pentru n=2 d. nicuna din cele de mai sus
19

20. Name: ________________________ ID: A
A
____ 65. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
y' = f(x,y),y(0) = 1
Notam x 0 = 0,y 0 = 1. Fixam pasul h si consideram formula iterativa
y i + 1 = y i + 0.5h(f(x i ,y i ) + f(x i + 1 ,y i + hf(x i ,y i )))
Aceasta este
a. Metoda lui Euler c. Metoda lui Runge-Kutta de
ordin 3
b. Metoda lui Taylor pentru n=2 d. Metoda Cauchy-Euler
A
____ 66. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
y
y' = x + ,y(1) = 1
x
Utilizam metoda Euler-Cauchy cu h=1 . Notam y 0 = 1. Care este prima iteratie y 1 ?
a. 3 c. 3.75
b. 3.5 d. 4
20

21. Name: ________________________ ID: A
C
____ 67. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
y' = f(x,y),y(0) = 1
Fixam pasul h si consideram formula iterativa: la pasul i
(k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 )
yi + 1 =
6
unde k 4 = hf(x i + h,y i + k 3 )
Aceasta este
a. Metoda lui Euler c. Metoda lui Runge-Kutta de ordin
4
b. Metoda lui Taylor pentru n=2 d. Metoda Cauchy-Euler
A
____ 68. Se considera ecuatia f(x) = 5x 3 − x − 1 = 0
Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [0,3]. Punem a=0, b=3 apoi verificam ca f(a)f(b)<0. La
primul pas punem c=(a+b)/2 dupa care calculam f(a)f(c). Daca f(a)f(c)<0 punem b=c. Alftel
punem a=c . Acest pas este primul pas in metoda
a. bisectiei c. lui Newton
b. secantei d. lui Gauss
21

22. Name: ________________________ ID: A
D
____ 69. Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata A = (a ij ) i, j = 1. . n si termen
liber . Consideram urmatoarea formula recursiva: la pasul m avem vectorul
X =m
(x1 , x2 , . . . , x n ) si calculam urmatoarea iteratie X m + 1 = (y 1 , y 2 , . . . , y n ) dupa
formula
-----------------------
pentru i de la 1 la n
y i = (b i − ∑k = 1,k ≠ i a ik x k ) / a ii
n
-----------------------
Ce metoda numerica este caracterizata de aceasta formula recursiva?
a. 1. Metoda lui Lagrange c. 1. Metoda lui Gauss
b. 1. Metoda lui Cholesky(metoda d. 1. Metoda lui Jacobi(pentru
radacinii patrate) rezolvarea de sisteme liniare)
22

23. Name: ________________________ ID: A
C
____ 70. Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata A = (a ij ) i, j = 1. . n si termen
liber . Consideram urmatoarea formula recursiva: la pasul m avem vectorul
X =m
(x 1 , x2 , . . . , x n ) si calculam urmatoarea iteratie X m + 1 = (y 1 , y 2 , . . . , y n ) dupa
formula
-----------------------
pentru i de la 1 la n
i−1
y i = (b i − ∑k = 1 a ik y k − ∑k = i + 1 a ik x k ) / a ii
n
-----------------------
Ce metoda numerica este caracterizata de aceasta formula iterativa?
a. Metoda lui Lagrange c. Metoda lui Gauss-Seidel
b. Metoda lui Cholesky(metoda d. Metoda lui Jacobi(pentru
radacinii patrate) rezolvarea de sisteme liniare)
B
____ 71. Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata A = (a ij ) i, j = 1. . n si termen
liber (b i ) i = 1. . n . Consideram metoda substitutiei inapoi
-----------------------
pentru i de la 1 la n
y i = (b i − ∑k = i + 1 a ik xk ) / a ii
n
-----------------------
Numim o operatie elementara o inmultire plus o adunare. Care este cu aproximatie numarul de
operatii in algoritmul de mai sus?
a. n3 / 2 c. n3 / 3
b. n2 / 2 d. 3n 3 / 2
23

24. Name: ________________________ ID: A
A
____ 72. Se considera un tabel
si asociat lui algoritmul
d=y;
pentru k de la 1 la n
pentru j descrascand de la n la k
d_{j+1}=(d_{j+1}-d_j)/(x_{j+1}-x_{j-k+1});
sfarsit bucla j
sfarsit bucla k
Cu ce metoda numerica asociati acest algoritm?
a. Metoda de interpolare a lui c. Metoda lui Cholesky(metoda
Lagrange radacinii patrate)
b. Metoda de interpolare cu d. Metoda lui Gauss-Seidel
diferente divizate
24

25. Name: ________________________ ID: A
B
____ 73. Se considera un tabel
si asociat lui algoritmul
d=y;
pentru k de la 1 la n
pentru j descrascand de la n la k
d_{j+1}=(d_{j+1}-d_j)/(x_{j+1}-x_{j-k+1});
sfarsit bucla j
sfarsit bucla k
Ce va stoca dupa iesirea din bucla k?
a. coeficientii polinomului de c. valoarea polinomului de
interpolare al lui Lagrange interpolare al lui Lagrange
b. d 1 , d 2 , d 3 , . . . vor stoca d. coeficientii interpolantului
diferentele divizate spline corespunzator nodurilor
corespunzatoare perechilor de
noduri
x 1, (x 1,x 2), (x 1,x 2, x 3), .. .
B
____ 74. Consideram un prim pas:
-----------------------
-----------------------
intr-o metoda numerica utilizata pentru rezolvarea unui anumit tip de sisteme liniare. Ce metoda
numerica incepe cu acest pas?
a. Metoda lui Lagrange c. Metoda lui Gauss-Seidel
b. Metoda lui Cholesky(metoda d. Metoda lui Jacobi(pentru
radacinii patrate) rezolvarea de sisteme liniare)
25

26. Name: ________________________ ID: A
A
____ 75. Se considera sistemul neliniar
x 2 − x − 2y = 0,x + x 2 + 3y = 0
ce admite solutia (0,0). Sa se selecteze mai jos o conditie care impreuna cu alte doua conditii (care
nu sunt prezentate aici) garanteaza convergenta metodei lui Newton pentru sisteme neliniare.
a. Matricea Jacobiana a functiei c. Functiile x 2 − x − 2y,x + x 2 + 3y
F(x,y) = (x 2 − x − 2y,x + x 2 + 3y) admit derivate partiale de
are determinantul diferit de 0 ordin 3
la (0,0)
b. (0,0)este unica solutie a sistemului d. Predictia initiala e mai mica
considerat decat 1
C
____ 76. Se da tabelul
Cat este l 2 (2) (adica polinomul lui Lagrange corespunzator nodului 0 din tabel evaluat la 2)
a. -1 c. -3
b. -2 d. 0
C
____ 77. Se da tabelul
Cat este l 2 (0.5) (adica polinomul lui Lagrange corespunzator nodului 0 din tabel evaluat la 0.5)
a. 1.25 c. 0.75
b. 1.75 d. 0.25
26

27. Name: ________________________ ID: A
C
____ 78. Se da tabelul
Fie P n polinomul de ordin n interpolant al valorilor din tabel, adica
calculat cu metoda lui Lagrange. Care e numarul de operatii efectuate pentru calcularea valorii P n (2)
presupunand ca 2 nu este printre valorile x i ,i = 0..n .
a. n2 c. 4n 2
b. 4n 2 /3 d. 4n 3
27

28. Name: ________________________ ID: A
D
____ 79. Se da tabelul
Notam cu P(x) = a 0 + a 1x +. . .+ a n x polinomul de grad n ce interpoleaza valorile din tabelul de
n
mai sus adica P(x i ) = y i . Atunci coeficientii a 0 , a 1 ,. .., a n pot fi determinati prin rezolvarea
sistemului
Ê
Á ˆÊ ˆ Ê ˆ
˜Á ˜ Á ˜
Áa
Á 0 a1 ... an ˜ Á x0 ˜ Á y0 ˜
˜Á ˜ Á ˜
Á
Á ˜Á ˜ Á ˜
˜Á ˜ Á ˜
Á
Á ˜Á ˜ Á ˜
˜Á ˜ Á ˜
Á
Áa ˜Á ˜ Á ˜
Á 0
Á
Á a1 ... an ˜ Á x1 ˜ Á y1 ˜
˜Á ˜ Á ˜
˜Á ˜ = Á ˜
˜Á ˜ Á ˜
a. Á
Á ˜Á ˜ Á ˜
˜Á ˜ Á ˜
Á
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ...
Á
Á ... ... ... ˜Á . ˜ Á . ˜
˜Á ˜ Á ˜
˜Á ˜ Á ˜
˜Á ˜ Á ˜
Á
Á ˜Á ˜ Á ˜
˜Á ˜ Á ˜
Á
Áa ˜Á ˜ Á ˜
Á 0
Ë a1 ... an ˜ Á xn ˜ Á yn ˜
˜Á ˜ Á ˜
¯Ë ¯ Ë ¯
Ê
Á ˆÊ ˆ Ê ˆ
˜Á ˜ Á ˜
Áa
Á 0 a1 ... an ˜ Á y0 ˜ Á x0 ˜
˜Á ˜ Á ˜
Á
Á ˜Á ˜ Á ˜
˜Á ˜ Á ˜
Á
Á ˜Á ˜ Á ˜
˜Á ˜ Á ˜
Á
Áa ˜Á ˜ Á ˜
Á 0
Á
Á a1 ... an ˜ Á y1 ˜ Á x1 ˜
˜Á ˜ Á ˜
˜Á ˜ = Á ˜
˜Á ˜ Á ˜
b. Á
Á ˜Á ˜ Á ˜
˜Á ˜ Á ˜
Á
Á ... ˜Á ˜ Á ˜
Á
Á
Á ... ... ... ˜Á . ˜ Á . ˜
˜Á ˜ Á ˜
˜Á ˜ Á ˜
˜Á ˜ Á ˜
Á
Á ˜Á ˜ Á ˜
˜Á ˜ Á ˜
Á
Áa ˜Á ˜ Á ˜
Á 0
Ë a1 ... an ˜ Á yn ˜ Á xn ˜
˜Á ˜ Á ˜
¯Ë ¯ Ë ¯
Ê
Á ˆÊ ˆ Ê ˆ
˜Á ˜ Á ˜
Áx
Á 0 x1 ... xn ˜ Á a0 ˜ Á y0 ˜
˜Á ˜ Á ˜
Á
Á ˜Á ˜ Á ˜
˜Á ˜ Á ˜
Á
Á ˜Á ˜ Á ˜
˜Á ˜ Á ˜
Á
Áx ˜Á ˜ Á ˜
Á 0
Á
Á x1 ... xn ˜ Á a1 ˜ Á y1 ˜
˜Á ˜ Á ˜
˜Á ˜ = Á ˜
˜Á ˜ Á ˜
c. Á
Á ˜Á ˜ Á ˜
˜Á ˜ Á ˜
Á
Á ... ˜Á ˜ Á ˜
Á
Á
Á ... ... ... ˜Á . ˜ Á . ˜
˜Á ˜ Á ˜
˜Á ˜ Á ˜
˜Á ˜ Á ˜
Á
Á ˜Á ˜ Á ˜
˜Á ˜ Á ˜
Á
Áx ˜Á ˜ Á ˜
Á 0
Ë x1 ... xn ˜ Á an ˜ Á yn ˜
˜Á ˜ Á ˜
¯Ë ¯ Ë ¯
Ê
Á ˆÊ ˆ Ê ˆ
˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á 1
Á
Á
Á x0 ... xn ˜ Á a0 ˜ Á y0 ˜
˜Á ˜ Á ˜
0 ˜Á
˜Á ˜ Á ˜
Á
Á
Á ˜Á ˜ Á ˜
˜Á ˜ Á ˜
˜ ˜ Á ˜
Á n ˜Á ˜ Á ˜
Á 1
Á
Á
Á x1 ... x1 ˜ Á a1 ˜ Á y1 ˜
˜Á ˜ Á ˜
˜Á ˜ = Á ˜
Á ˜ Á ˜
˜Á ˜ Á ˜
d. Á
Á ˜Á ˜ Á ˜
˜Á ˜ Á ˜
Á
Á ... ˜Á ˜ Á ˜
Á
Á
Á ... ... ... ˜Á . ˜ Á . ˜
˜Á ˜ Á ˜
˜Á ˜ Á ˜
˜Á ˜ Á ˜
Á
Á ˜Á ˜ Á ˜
˜Á ˜ Á ˜
Á n ˜Á a ˜
Á 1
Á
Á xn ... ˜Ë ¯ Á ˜
xn ˜ Á n ˜ Á yn ˜
˜ Ë ¯
Ë ¯
28

29. Name: ________________________ ID: A
2
A
____ 80. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula ∫ f(x)dx prin
0
utilizarea a 2 noduri echidistante 0,2. Conform metodei Newton-Cotes
2
∫0
f(x)dx = A 0 f(0) + A 1 f(2)
Cat este A 1 ?
a. 1 c. 3
b. 2 d. 0
1
C
____ 81. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula ∫ x 3 dx prin
−1
utilizarea a 3 noduri echidistante -1,0,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui x 3 pe
nodurile -1,0,1. Aceasta metoda de integrare este exacta pe polinoame de grad mai mic sau cel mult
egal cu
a. 0 c. 2
b. 1 d. 3
B
____ 82.
1
Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula ∫ x 3 dx prin
−1
utilizarea a 2 noduri echidistante -1,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui x 3 pe
nodurile -1,1. Aceasta metoda de integrare este exacta pe polinoame de grad mai mic sau egal decat
a. 0 c. 2
b. 1 d. 3
29

30. Name: ________________________ ID: A
D
____ 83. Se considera algoritmul pentru integrarea functiei f pe intervalul [a,b] utilizand n subintervale.
---------------------------------
impartim [a,b] in n subintervale de lungime egala cu (b-a)/n.
obtinem nodurile x_0,x_1,...,x_n. Calculam
F=[f(x_0),f(x_1),...,f(x_n)]
calculam
q=A*sum(F)-(h/2)*(F(1)+F(n));
---------------------------------
In aceasta rutina, sum(F) reprezinta suma componentelor vectorului F iar F(1),F(n) reprezinta prima
respectiv ultima componenta a vectorului F. Cat trebuie sa fie variabila A de pe ultima linie din
algoritm pentru ca acest algoritm sa implementeze formula sumata a trapezului?
a. A = (f(b) − f(a)) / n c. A = (b − a) / n
b. A = (b + a) / n d. A = (f(b) + f(a)) / n
A
____ 84. Se aproximeaza integrala unei functii f ∈ C 2 [−1,1] cu metoda trapezului sumata cu n subintervale si
se obtine o eroare e. Atunci cand numarul de subintervale se dubleaza eroarea devine aproximativ
egala cu
a. e/2 c. e/4
b. e/3 d. e/5
B
____ 85. Consideram formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre pe intervalul [-1,1] cu n noduri. Aceasta
metoda este exacta pe polinoame de grad mai mic sau egal cu
a. 2n+1 c. n+1
b. 2n-1 d. n-1
A
____ 86. Vrem sa aplicam formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre cu 2 noduri x 1 ,x 2 pentru aproximarea
integralei unei functii f pe intervalul [-1,1]. Aceasta metoda este exacta pe polinoame de grad mai
mic sau egal ca
a. 1 c. 3
b. 2 d. 4
30

31. Name: ________________________ ID: A
B
____ 87. Radacinile polinomului lui Legendre de grad 2 sunt x 1 = −1 / 3,x 2 = 1 / 3 . Se considera
1
urmatoarea metoda de integrare numerica: ∫ f(x)dx = W 1 f(x 1 ) + W 2 f(x 2 )
−1
Cum alegeti W 1 ,W 2 pentru ca aceast metoda numerica sa fie exacta pe polinoame de grad cel mult 3?
a. alegem l 1 ,l 2 polinoamele lui Lagrange corespunzatoare nodurilor x 1 ,x 2 si
apoi integram aceste polinoame pe [-1,1]. Aceste integrale vor fi W 1 ,W 2 .
b. alegem l 1 ,l 2 polinoamele lui Legendre corespunzatoare nodurilor x 1 ,x 2 si
apoi integram aceste polinoame pe [-1,1]
c. Se stie ca W 1 = f(−1) si W 2 = f(1)
d. Niciunul din raspunsurile de mai sus, intotdeauna W 1 ,W 2 se determina
depinzand de acea functie f ce urmeaza a fi integrata
C
____ 88. Se rezolva numeric o ecuatie diferentiala
y’=f(x,y), y(0)=1
cu metoda lui Euler. Presupunem ca solutia exacta y a ecuatiei de mai sus este liniara. Afirmatie:
indiferent de pasul h folosit solutia numerica obtinuta cu metoda lui Euler este solutia exacta a
ecuatiei de mai sus.
a. Afirmatia nu e corecta, validitatea ei depinde de pasul h ales
b. Afirmatia este corecta.
c. Afirmatia nu este niciodata corecta, solutia numerica este doar o
aproximatie a solutiei exacte, nu e chiar egala cu ea
31

32. Name: ________________________ ID: A
B
____ 89. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
y
y' = x + , y(1)=1
x
1
Utilizam metoda Euler-Cauchy cu pas h= . Notam y 0 = 1. Efectuam zece iteratii in metoda
10
Euler-Cauchy. Obtinem iteratiile succesive y 1 ,y 2 ,y 3 ,. . . ,y 10 , . Atunci y 10 este aproximatia produsa de
metoda numerica pentru
a. y(1), y solutia exacta a ecuatiei c. y(3), y solutia exacta a ecuatiei
b. y(2), y solutia exacta a ecuatiei d. y(4), y solutia exacta a ecuatiei
C
____ 90. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
y
y' = x + , y(1)=1
x
Utilizam metoda Euler cu h=1/20. Notam y 0 = 1. Efectuam 20 de iteratii in metoda Euler. Obtinem
iteratiile succesive y 1 ,y 2 ,y 3 ,y 4 ,. . . ,y 20 . Atunci y 20 este aproximatia produsa de metoda numerica
pentru
a. y(1) c. y(3)
b. y(2) d. y(4)
Yes/No
Indicate whether you agree with the sentence or statement.
N
____ 91. Se considera ecuatia f(x) = 2x 3 + x 2
Este garantata convergenta metodei lui Newton catre solutia exacta 0 daca pornim cu predictie
initiala foarte aproape de 0?
32

33. Name: ________________________ ID: A
Numeric Response
1 92. Se considera ecuatia f(x) = 2x 3 − x − 1 = 0
Dorim sa aflam o solutie a ei utilizand metoda lui Newton cu predictie initiala x 0 = 1 . Cat este
urmatoare iteratie x 1 ?
0 93. Se considera ecuatia f(x) = 2x 3 − 2x − 1 = 0
Dorim sa aflam o solutie a ei utilizand metoda lui Newton cu predictie initiala . Cat este
prima iteratie in metoda lui Newton?
9 94. Se da tabelul
Fie P 2 polinomul de grad 2 interpolant al valorilor din tabel, adica P 2 (−1) = 1,P 2 (0) = 0,P 2 (1) = 1 .
Cat este P 2 (3)?
arctg(x)
0 95. Se considera functia f(x) = si P(x) polinomul de grad 1 care interpoleaza valorile lui f pe
π
nodurile 0,1. Cat este atunci P(2)?
0,50 96. Se da tabelul
Sa se calculeze diferenta divizata f[1,2].
33

34. Name: ________________________ ID: A
2
0 97. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula ∫
0
f(x) dx prin
utilizarea a 3 noduri echidistante 0,1,2. Conform metodei Newton-Cotes
2
∫0
f(x) dx = A 0 f(0) + A 1 f(1) + A 2 f(2)
Cat este A 0 ?
0,50 98. Aproximati integrala
1
∫0
x 2 dx
cu metoda trapezului.
0 99. Aproximati integrala
1
∫0
sin(π x) dx
cu metoda trapezului.
1 100. Aproximati integrala
1
∫0
2 x dx
cu metoda trapezului.
3 101. Aproximati integrala
2
4
∫0 3x dx
cu metoda lui Simpson.
1 102. Aproximati integrala
2
∫0
x 3 dx
cu metoda lui Simpson.
34

35. Name: ________________________ ID: A
4 103. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
y
y' = x + ,y(1) = 1
x
cu metoda lui Euler cu pas h=1. Observati ca solutia exacta a ecuatiei este y(x) = x 2 . Care este
aproximatia produsa de aceasta metoda pentru y(3)?
5 104. Se da tabelul
Sa se calculeze diferenta divizata f[2,3].
7 105. Se da tabelul
Sa se calculeze diferenta divizata f[3,4].
2 106. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
y’=y, y(0)=1
cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam x 0 = 0,y 0 = 1. Care este aproximatia produsa de aceasta
metoda pentru y(1)?
2 107. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
y’=y+x, y(0)=1
cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam x 0 = 0,y 0 = 1. Care este aproximatia produsa de aceasta
metoda pentru y(1), unde y este solutia exacta a ecuatiei diferentiale de mai sus?
2 108. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
y’=y-x, y(0)=1
cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam x 0 = 0,y 0 = 1. Care este aproximatia produsa de aceasta
metoda pentru y(1) unde y este solutia exacta a ecuatiei diferentiale de mai sus?
35

36. Name: ________________________ ID: A
1 109. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
y’=y-6x, y(0)=1
cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam x 0 = 0,y 0 = 1. Cat este prima iteratie y 1 produsa de
metoda lui Euler?
1 110. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
y’=y+5x, y(0)=1
cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam x 0 = 0,y 0 = 1.Cat este prima iteratie y 1 produsa de
metoda lui Euler?
1 111. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
y’=y-10x, y(0)=1
cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam x 0 = 0,y 0 = 1. Cat este prima iteratie y 1 produsa de
metoda lui Euler?
0 112. Se considera sistemul neliniar
x − x + 2y = 0,
2
x2
+ 3y = 0
2
Se aplica metoda lui Newton cu predictie initiala x 0 = (1,1) . Sa se calculeze prima iteratie x 1 (care va
fi un vector) si sa se puna in casuta de mai jos prima componenta a lui x 1 .
1 113. Se considera functia f(x) = (x − 1) 4 si P(x) polinomul de grad 4 care interpoleaza valorile lui f pe
nodurile 1,2,3,4,5 . Cat este P(0)?
9 114. Se da tabelul
Sa se calculeze diferenta divizata f[1,2,3,4,5] .
36

37. Name: ________________________ ID: A
0 115. Se da tabelul
Sa se calculeze diferenta divizata f[1,2,3,4,5] .
3 116. Se da tabelul
1???
Sa se calculeze P 3 (0) unde P 3 este polinomul interpolant al valorilor din tabel.
37