Documentul discută metoda bisecției pentru rezolvarea ecuațiilor nelineare și clasifică ecuațiile în algebrice și transcendente. Metoda bisecției este o tehnică de determinare a soluției ecuației f(x) = 0 pe un interval dat, asigurându-se existența unei soluții prin proprietățile funcției. Deși are o viteză de convergență redusă, aceasta oferă o metodă sigură și stabilă pentru ecuații cu rădăcini simple.

1. Metoda Bisectiei
Chihai Ion, cl 12-B

2. Introducere
Ecuaţiile nelineare cu o necunoscută se împart în ecuaţii
 algebrice
 transcendente.
Ecuaţia se numeste algebrică, daca functia F(x)=0 este o
functie algebrica.
Dacă functiă F(x) nu-i algebrică atunci ecuatia se numeşte
transcendentă.
Metode numerice de rezolvare a ecuaţiilor algebrice şi
transcendente sunt:
 Metoda bisecției
 Metoda coardelor
Metoda Newton

3. Informaţie teoretică
Una dintre cele mai simple metode de determinare a
unei soluţii a ecuaţiei f(x) = 0 este metoda bisecţiei.
Fie data funcţia f(x), continuă pe segmentul [a, b] şi
f(a)f(b)< 0.
Se cere să se determine o soluţie a ecuaţiei f(x) =0 pe
segmentul [a, b]. Proprietăţile funcţiei asigură existenta
cel puţin a unei soluţii pe segmentul [a, b].
Metoda presupune determinarea punctului de mijloc c
a segmentului [a, b] apoi calculul valorii f(c).

4. Reprezentare geometrică a
metodei bisecției.
Daca f(c) = 0, atunci c este soluţia exactă a ecuaţiei. În caz contrar
soluţia este căutată în continuare pe acel dintre segmentele [a, c] sau [c,
b], pentru care semnul funcţiei în extremităţi este diferit.
Daca f(a)f(c)>0, atunci soluţia e căutată în continuare pe segmentul
[ai, bi] , unde a1= c, b1= b. În caz contrar extremităţile noului segment vor
fi a1= a, b1= c.
În urma iteraţiilor succesive se obţine
consecutivitatea segmentelor
[a0,b0], [a1,b1],..., [ai,bi],...
Pentru fiecare din ele are loc relaţia
f(ai)f(bi) < 0, i=0,1, 2,....

5. Algoritmul de calcul pentru un număr
prestabilit n de aproximări succesive:
Pas 0: Iniţializarea: i =0(din poze condiţia)
Pas 1: Determinarea mijlocului segmentului a+b/2;
Pas 2: Reducerea segmentului ce conţine soluţia:
daca f(c) = 0 atunci soluţia calculată este x = c.
SFARŞIT.
În caz contrar daca f(a)f(c)>0, atunci a=c; b=b,
altfel a=a; b = c.
Pas 3: i=i+1; Daca i = n atunci soluţia calculata este
x=a+b/2. SFARŞIT. în caz contrar se revine la
Pasul 1.

6. Exemplu:
Să se determine o rădăcină a ecuației x*x*x*x+2*x*sqr(x)-x-1=0 pe
segmentul [0,1] pentru 16 divizări consecutive.
program bisectie;
var a,b,c:real;i,n,j:integer;
function f(x:real):real;
begin
f:=x*x*x*x+2*x*sqr(x)-x-1;
end;
begin
a:=0;b:=1; n:=16;
i:=1; c:=a;
while (i<=n) and (f(c)<>0) do
begin
c:=(a+b)/2;
writeln('i=',i:3,' x=', c:10:8, ' f(x)=', f(c):10:8);
if f(c)=0 then Writeln('solutia exacta')
else if f(c)*f(a)>0 then a:=c else b:=c;
inc(i);
end;
readln
end.

7. Algoritmul de calcul pentru
o precizie ε data.
Pas 1:Determinarea mijlocului segmentului (a+b)/2;
Pas 2:Daca f(c) = 0 atunci soluţia calculată este
x=c. SFARŞIT.
În caz contrar daca f(a)f(c) > 0, atunci a= c; b= b,
altfel a = a; b= c.
Pas 3 :Daca lungimea intervaluluib |b-a|< ε, atunci
solutia este x=(a+b)/2.
SFARŞIT, în caz contrar se revine la Pas 1.

8. Exemplu:
Scrieți un program Pascal pentru aflarea soluției ecuației
x*x*x*x+2*x*sqr(x)-x-1=0 pe intervalul [0,1] cu o precizie de 0.001.
program bisectie;
var a,b,c,e:real;i,n,j:integer;
function f(x:real):real;
begin
f:=x*x*x*x+2*x*sqr(x)-x-1;
end;
begin
a:=0;b:=1;
i:=0;c:=a;e:=0.001;
while (abs(b-a)>e) and (f(c)<>0) do
begin
c:=(a+b)/2;
writeln('i=',i:3,' x=', c:10:8, ' f(x)=', f(c):10:8);
if f(c)=0 then Writeln('solutia exacta')
else if f(c)*f(a)>0 then a:=c else b:=c;
inc(i);
end;
readln
end.

9. Concluzii
Metoda bisecţiei este destul de clară sub aspect
algoritmic şi sigură în aplicare:în cazul rădăcinilor
simple ea generează şiruri convergente pentru orice
funcţii continue, posedînd stabilitate la erori de
rotunjire.
Deşi viteza de convergenţă la aplicarea metodei
este redusă(la execuţia unui pas precizia doar se
dublează), în multe cazuri această metodă are o
complexitate temporală acceptabilă în contex practic.
Metoda dată nu poate fi aplicată în cazul rădăcinilor
de multiplicitate pară.